高中数学-直线与圆的方程的应用教案

4.2.2 直线与圆的方程的应用教案

（两个课时）

一、教学目标

1、知识与技能

（1）理解直线与圆的位置关系的几何性质；

（2）利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

（3）会用“数形结合”的数学思想解决问题．

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

3、情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力．

二、教学重点、难点

重点与难点：直线与圆的方程的应用．

三、教学过程

例1图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP=4 m，在建造时每隔4 m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）

思考:(用坐标法)

1.圆心和半径能直接求出吗？

2.怎样求出圆的方程？

3.怎样求出支柱A2P2的长度？

解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标

是（0，b）,圆的半径是r ,则圆的方程是

x2+(y-b)2=r2 .

把P（0，4）B（10，0）代入圆的方程得方程组：

102+(0-b)2=r 2 解得，b= -10.5 ， r 2=14.52

所以圆的方程是： x 2+(y+10.5)2=14.52

把点P 2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52

因为y>0,所以y=22(-2)-14.5-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)

答：支柱A2P2的长度约为3.86m.

例2 已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.

解：以四边形ABCD 互相垂直的对角线作为x 轴y 轴，建立直角坐标系，设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).

过四边形的外接圆圆心O ’作AC 、BD 、AD 边的垂线，垂足为M 、N 、E ，则M 、N 、E 分别为AC 、BD 、AD 边的中点。由线段的中点坐标公式有：

用坐标法解决平面几何问题的步骤：

第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几

何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.

练习

求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y 2

=9所截得的弦长.

2

,2,2,2d

y a x d b y y c a x x E

E N O M O ==+==+==||21|E O'|||2

1)222()222(|E O'|222222BC c b BC c b d d b a c a =

+=+=-++-+=所以：又所以，5292)()(5

29245297,5292452979)3(022221221221122=-+-=-=-=+=+=

=+-=--y y x x d y x y x y x y x 解得：解：联立两个方程得

•理解直线与圆的位置关系的几何性质；

•利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

•熟悉直线与方程的关系，并应用其解决相关问题

•会用“数形结合”的数学思想解决问题．

五、作业：教科书 132页练习；习题 4.2 A组 9，10，11，B组 1