平面直角坐标系错解剖析
剖析错因反观教学——一道中考压轴题的阅卷反思
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（ ４ ） 在 尝试部 分第 （ ２ ） 问的求解 中 ， 出现２ ＋ ３ ＝ ６ …
错 因分析 ： 学生对新 定义的问题理解不到位 ， 不 能和
如 图１ ， 在平面直角 坐标系ｘ Ｏ ｙ 中， 已知点Ａ（ Ⅱ ， ０ ） （ （ ｚ ＞ ０ ） ， Ｂ（ ２ ， ３ ） ， Ｃ （ ０ ， ３ ） ， 过原 点０ 作 直线ｚ ， 使 它经过 第一 、 三 象限 ， 直线ｚ 与Ｙ 轴的正半轴所成 角设为０ ， 将 四边 形Ｏ Ａ Ｂ Ｃ
操作 过程记为Ｆ Ｚ ［ Ｏ ， ｎ ］ ．
向等原 因未能得 到有效的关注和落实 ，学生对相关 基本
概 念理解不清 ， 不 透彻． 同时不 少学生缺乏必要 的考试 技
１ ２
巧， 考试 时间把握 不好 ， 分配不当 ， 当做 到压轴题 时 ， 时间
所 剩不多 ， 心慌意乱 ， 忙中出错 ； 或者心理状态 未调整好 ，
重视心理疏导及应试技巧的指导计算能力差是现在学生存在的普遍问题平时的训心态是影响考试的一个非常重要的因素良好的心练和检测中老师都能发现有相当一部分学生解题的思路态对考试来说非常的重要在传授知识的同时我们要重正确但因为计算不过硬而得不出正确的答案造成失分视学生的心理疏导教会学生一些调节心理的有效办法严重而有些学生对此还不以为然以为到正式考试时小指导学生正确面对成功与失败如通过谈心引导他们将心一点就不会错了这种想法是十分有害的教师在平时对结果的关注转移到对过程的注重正确分析问题原教学中要特别对这样的学生加强训练要学生懂得解数因降低对自己的期望值
在解题教学 的实践过程 中 ，作为教师 的我们为 了节约 时
间， 往 往越俎代 庖 ， 替学 生画 图 、 审题 ， 替学 生搭好 脚 手 架； 我们 的学 生看 到题 目， 马＿ 卜 － 动笔， 凭经 验和感觉 ， 想当
数学运算失误剖析解读
数学运算失误剖析高考中，数学试题的解答，往往少不了要运算和计算，这方面的得失，对数学成绩的影响很大。
因此，复习中，应把运算的合理性、准确性、简洁性和快速性作为基本功狠抓。
花大力气，提高计算技能和运算能力。
在历年高考中，不少考生在运算和计算上暴露出许多毛病和失误，严重阻碍了他们获取好的数学成绩。
前车之鉴，为了引起后来者的警觉，下面通过举例，剖析各种常见的运算失误，供参考。
1．未能正确使用运算法则和计算公式数学运算要求正确使用各种运算法则，包括整数、实数、复数、不等式、集合、向量、方幂、指数、对数、三角、极限、数列、函数和导数，以及排列、组合、统计和概率等各个方面的运算法则和计算公式，此外，还有几何方面的各种计算公式。
考生对这些法则和公式的使用常有误用和错用的现象发生。
例1 已知过点A (-2,m )和B(m ,4)的直线与直线2x +y -1=0平行，则m 的值为 A ．0 B ．-8 C ．2 D ．10由直线平行判别法则，得224-=+-=m mk AB ， 所以，m = -8。
这是一道比较容易的试题，而且还有多种解法（如向量法、距离法等）。
可是仍有不少考生答错，多数是列写出m 的方程时用错法则（例如把垂直法则当作平行法则），用错公式（例如把AB k 错为2、mm -+42等），以及解方程出错。
例2 求极限 （1）=-+-→9323limx x x ；（2）=+-++∞→112323limn n nn n 。
对此两题，用0作答的考生占有一定数量，反映了没有掌握好00型和∞∞-∞型的极限运算法则。
例3 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s ：t 。
现从箱中逐次取球。
每次从箱中任意取出一个球，若取到黄球，则结束取球，若取到白球，则将其放回箱中，继续下一次取球。
但取球的次数最多不超过n 次。
以ξ表示取球结束时已取到白球的次数。
（1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望。
高一数学集合与函数错题集锦
高一数学集合易错题汇总及详解一、混淆集合中元素的形成例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则AB = ．错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴ 剖析： 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集．{}(11)AB =-，∴（加强练习）1、集合{}{}2,,,A x x y y R B y y x x R==∈==∈，则A B ⋂= （ ）A 、{}0,1 B 、(){}0,1 C 、{}0yy ≥ D 、∅解析：A=R ，[)[)0,,0,B A B =+∞∴=+∞。
答案C2、已知集合}1|{2x y x A -==，},1|{A x x y y B ∈-==，则=⋂B A （） A 、}1,0{ B 、)}0,1{( C 、]0,1[- D 、]1,1[-解析：[1,1],[2,0],[1,0]A B A B =-=-∴=-。
答案C 二、忽视空集的特殊性例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 ． 错解： 由(1)10m x -+= 得11x m=- 由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵ 111m =--∴或3 2m =∴或23m = 剖析：由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =．m ∴的值为2123，，．（加强练习）设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =⋂，求a 的值解析：∵ B B A =⋂∴ B ⊆A ,由A={0，-4}，∴B=Φ，或B={0},或B={-4}，或B={0,-4}当B=Φ时，方程01)1(222=-+++a x a x 无实数根，则 △ =0)1(4)1(422<--+a a 整理得01<+a 解得1-<a ；当B={0}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为0，则⎩⎨⎧=-=+-010)1(22a a 解得1-=a ； 当B={-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根均为-4，则⎩⎨⎧=--=+-1618)1(22a a 无解； 当B={0，-4}时，方程01)1(222=-+++a x a x 的两根分别为0，-4，则⎩⎨⎧=--=+-014)1(22a a 解得1=a 综上所述：11=-≤a a 或三、忽视集合中的元素的互异性．．．这一特征 例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37A B =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a =剖析：由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37A B =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1．四、没有弄清全集的含义例4 设全集{}{}22323212S a a A a =+-=-，，，，，{}5S C A =，求a 的值． 错解： ∵{}5S C A =5S ∈∴且5A ∉2235a a +-=∴2280a a +-=∴2a =∴或4a =- 剖析：没有正确理解全集．．的含义，产生增解的错误．全集中应含有讨论集合中的一切元素，所以还须检验．（1）当2a =时，213a -=，此时满足3S ∈．（2）当4a =-时，219a S -=∉，4a =-∴应舍去，2a =∴． 五、没有弄清事物的本质例5 若{}|2A x x n n ==∈Z ，，{}|22B x x n n ==-∈Z ，，试问A B ，是否相等．错解： 222n n ≠-∵A B ≠∴剖析：只看到两集合的形式区别，没有弄清事物的本质，事实上A 是偶数集，B 也是偶数集，两集合应相等，尽管形式不同．{}{}|2|2A x x n n x x ==∈==⨯Z 整数，{}{}|22|2(1)B x x n x x x n n ==-∈==-∈Z Z ，，{}|2x x ==⨯整数换句话说{}{}||C x x n n x x ==∈==Z ，整数， {}{}|1|D x x n n x x ==-∈==Z ，整数两集合中所含元素完全相同，C D A B =⇔= （加强练习）1. 已知2{1,},{1,}My y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( A )A. M=PB.P R ∈ C . M ⊂≠P D. M ⊃≠P2、已知集合T S T S x x S ⋃=⋂<-=则使},1|12||{的集合T= ( )A 、{|01}x x <<B 、}210|{<<x x C 、}21|{<x xD 、}121|{<<x x解析：显然S=T ，1211,01x x ∴-<-<∴<<。
平面直角坐标系篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题专题12平面直角坐标系考点一：平面直角坐标系之坐标特点1.有序数对：有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对。
表示为()b a ，，可以用来表示位置。
2.平面直角坐标系各部分的坐标特点：①x 轴上的所有点的坐标可表示为()0 ，x 。
②y 轴上的所有点的坐标可表示为()y ，0。
③第一象限内的所有点的坐标横纵坐标都是正数。
即（﹢，﹢）。
④第二象限内的所有点的坐标横坐标是负数，纵坐标是正数。
即（﹣，﹢）。
⑤第三象限内的所有点的坐标横纵坐标都是负数。
即（﹣，﹣）。
⑥第四象限内的所有点的坐标横坐标是正数，纵坐标是负数。
即（﹢，﹣）。
3.点到坐标轴的距离：点()b a ，到横坐标的距离等于纵坐标的绝对值。
即b 。
点()b a ，到纵坐标的距离等于横坐标的绝对值。
即a 。
1．（2022•六盘水）两个小伙伴拿着如图的密码表玩听声音猜动物的游戏，若听到“咚咚﹣咚咚，咚﹣咚，咚咚咚﹣咚”表示的动物是“狗”，则听到“咚咚﹣咚，咚咚咚﹣咚咚，咚﹣咚咚咚”时，表示的动物是（）A ．狐狸B ．猫C ．蜜蜂D ．牛【分析】根据点的坐标解决此题．【解答】解：由题意知，咚咚﹣咚咚对应（2，2），咚﹣咚对应（1，1），咚咚咚﹣咚对应（3，1）．∴咚咚﹣咚对应（2，1），表示C；咚咚咚﹣咚咚对应（3，2），表示A；咚﹣咚咚咚对应（1，3），表示T．∴此时，表示的动物是猫．故选：B．2．（2022•柳州）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，1）D．（2，2）【分析】根据综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），建立适当的平面直角坐标系，即可解答．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系：∴教学楼的坐标是（2，2），故选：D．3．（2022•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（3，2），C（3，﹣1），则D的坐标为（）A．（﹣2，﹣1）B．（4，﹣1）C．（﹣3，﹣2）D．（﹣3，﹣1）【分析】先根据A、B的坐标求出AB的长，则CD＝AB＝6，并证明AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC ∥y轴，由此即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣3，2），B（3，2），∴AB＝6，AB∥x轴，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD∥x轴，同理可得AD∥BC∥y轴，∵点C（3，﹣1），∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），故选：D．4．（2022•宜昌）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为（1，3）．若小丽的座位为（3，2），以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（）A．（1，3）B．（3，4）C．（4，2）D．（2，4）【分析】直接利用点的坐标特点得出与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位位置．【解答】解：如图所示：与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（4，2）．故选：C．5．（2022•扬州）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，a2+1）所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据平方数非负数判断出点P的纵坐标是正数，再根据各象限内点的坐标特征解答．【解答】解：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴点P（﹣3，a2+1）所在的象限是第二象限．故选：B．6．（2022•乐山）点P（﹣1，2）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据各象限内点的坐标符号直接判断的判断即可．【解答】解：∵P（﹣1，2），横坐标为﹣1，纵坐标为：2，∴P点在第二象限．故选：B．7．（2022•攀枝花）若点A（﹣a，b）在第一象限，则点B（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用第一象限内点的坐标特点得出a、b的符号，进而得出答案．【解答】解：∵点A（﹣a，b）在第一象限内，∴﹣a＞0，b＞0，∴a＜0，∴点B（a，b）所在的象限是：第二象限．故选：B．8．（2022•衢州）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，﹣2）落在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定A 点位置．【解答】解：∵﹣1＜0，﹣2＜0，∴点A （﹣1，﹣2）在第三象限，故选：C ．9．（2022•河池）如果点P （m ，1+2m ）在第三象限内，那么m 的取值范围是（）A ．﹣21＜m ＜0B ．m ＞﹣21C ．m ＜0D ．m ＜﹣21【分析】根据点P 在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m 的范围．【解答】解：根据题意得，解①得m ＜0，解②得m ＜．则不等式组的解集是m ＜﹣．故选：D ．10．（2022•兰州）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是．【分析】根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，然后根据点的坐标的表示方法写出黄河母亲像的坐标；【解答】解：如图，根据白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0）画出直角坐标系，∴黄河母亲像的坐标是（﹣4，1）．故答案为：（﹣4，1）．11．（2022•广安）若点P（m+1，m）在第四象限，则点Q（﹣3，m+2）在第象限．【分析】根据点P（m+1，m）在第四象限，求出m的取值范围，得到1＜m+2＜2，进而得到点Q所在的象限．【解答】解：∵点P（m+1，m）在第四象限，∴，∴﹣1＜m＜0，∴1＜m+2＜2，∴点Q（﹣3，m+2）在第二象限，故答案为：二．12．（2022•鄂州）中国象棋文化历史久远．某校开展了以“纵横之间有智慧攻防转换有乐趣”为主题的中国象棋文化节．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使“帥”位于点（﹣1，﹣2），“馬”位于点（2，﹣2），那么“兵”在同一坐标系下的坐标是．【分析】应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案．【解答】解：根据平面内点的平移规律可得，把“帅”向左平移两个单位，向上平移3个单位得到“兵”的位置，∴（﹣1﹣2，﹣2+3），即（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．（2022•烟台）观察如图所示的象棋棋盘，若“兵”所在的位置用（1，3）表示，“炮”所在的位置用（6，4）表示，那么“帅”所在的位置可表示为．【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．【解答】解：如图所示：“帅”所在的位置：（4，1），故答案为：（4，1）．考点二：平面直角坐标系之坐标变换知识回顾微专题1.平行于x 轴（垂直于y 轴）的直线上的点的坐标：纵坐标相等。
平面直角坐标系内点的坐标特征
1、平面直角坐标系内点的坐标特征2、《平面直角坐标系》错解剖析3、坐标、棋盘、考题4、坐标方法的应用5、《平面直角坐标系》考点聚焦6、《平面直角坐标系》考点例析1、平面直角坐标系内点的坐标特征在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
平面直角坐标系将平面分成四个象限，在坐标轴上以及四个象限内的各点的坐标各有特征。
现就有关点的坐标特征归纳如下。
一、各象限内点的坐标特征如图，点P（a，b）在各象限内的特点：①点P在第一象限⇔a＞0，b＞0；②点P在第二象限⇔a＜0，b＞0；③点P在第三象限⇔a＜0，b＜0；④点P在第二象限⇔a＞0，b＜0；例1 、若a＞0，则点P(－a，2)应在（）A．第一象限内B．第二象限内C．第三象限内D．第四象限内解析：因为a＞0，所以－a＜0．根据各象限内的坐标特点可知，点P(－a，2)应在第二象限内，故应选(C)。
二、坐标轴上的点的坐标特征在x轴上的点的纵坐标为0，即x轴上的点的坐标可记作(x，0)，如点（－3，0）在x 轴上；在y轴上的点的横坐标为0，即y轴上的点的坐标可记作(0，y)，如点(0，－3)在y 轴上；原点的坐标为(0，0)。
归纳：点P（a，b）在坐标轴上的特点：①点P在x轴上⇔a为任何实数，b＝0；②点P在y轴上⇔a＝0，b为任何实数；③点P在原点⇔a＝0，b＝0；例2、若点A（2、n）在x轴上则点B（n－2 ，n+1）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限析解：因为点A（2、n）在x轴上，所以n＝0，所以n－2 ＝－2，n+1＝1，因此点B的坐标为（－2，1），故点B在第二象限内，选（B）．三、点的坐标与点到坐标轴的距离的关系点到直线的距离，也就是这一点到直线的垂线段的长度。
根据点在平面直角坐标系中的特点，点P（a，b）到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|。
如图点A（－2，3）到x轴的距离为AD＝OE＝|3|＝3，到y轴的距离为AE＝OD＝|－2|＝2．例3 、P（3，－4）到x轴的距离是.解析：根据上面的结论可知，点P到x轴的距离为|－4|＝4，到y轴的距离为|3|＝3，所以应填4．四、象限角的平分线上的点的坐标特征①若P（a，b）在第一、三象限的角平分线上⇔横、纵坐标相等，即a＝b；②若P（a，b）在第二、四象限的角平分线上⇔横、纵坐标互为相反数，即a＝－b或a＋b＝0；例4 已知点P（a＋3，7－a）位于象限的角平分线上，则点P的坐标为_______。
“玩”与中小学衔接教学——“从确定位置到平面直角坐标系”教学案例剖析
惊讶 ：“ 这个士兵今天请假 了吗？”学生们 大声 叫
—
４
． ２
Ｏ
２
４
了起来 ：“ 没有 ！根本没有这个点 ！” 教师假装没
听见 ：“ 他 没来 ，那他 的位 置应 该 是在 哪 两 个 士兵 之 间呢 ？”大 家 的 目光 迅 速 移 到 了 （ １ ，１ ）和 （ １ ， ２ ）两个 士兵之 间 ，这 两个 士 兵 显 得 非 常 的 兴 奋 ，
肯 德
味深 长 ，如何玩 转数 学 ？大 有讲 究．本 文 拟通 过 植 入一 个 “ 玩” 字 ，玩 转 中小学衔 接教学 ．既从 内容上
与小 学无缝 对接 ，又 能从心 理上适 应 和满 足学 生 爱
玩 的天性．
１ 楚河汉界 ，各 自为政 — — 中小学衔接教学的现状
目前 中小 学 课 本 内 容 还 存 在 着 一 些 脱 节 现
用（ ５ ，３ ）来 表示 ．”小 组 ２马上 反 驳 道 ：“ Ａ点 为
（ 课 前 ）教 师在 门 口迎接 学 生 ，并 发 给学 生 座
位 号 ，让学 生 对 号 入 座．（ 音 乐在 群 星 闪烁 的 背景
（ ５ ，３ ） ，Ｂ点也 为 （ ５ ，３ ）怎么 区￣ Ｊ ｌ ｌ ？”
学 生讨 论 后 一 致 认 为 ， 应 该 用 相 反 意 思 的 量
初 中的学 习．
由于没 有 了 坐标 轴 ， 学 生 在 认 知 上 形 成 了 冲 突 ，到底 该如何 表示 呢 ？于是 ，由学 生 进行 小组 讨
２ “ 肯德 基店 搬迁 ”与“ 韩 信 点 兵” —— 在 “ 玩 ”中
实现 无缝对 接
论 如何描 述 平 面 内点 的位 置．小 组 １汇报 ： “ 也 是
新人教七年级数学下册 第六章平面直角坐标系全章讲与练
第六章平面直角坐标系第一节：知识梳理一、学习目标1.认识并能画出平面直角坐标系；在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标.2.能在方格纸上建立适当的坐标系，描述物体的位置.3.在同一坐标系中，感受图形变换后点的坐标变化.4.能灵活应用不同的方式确定物体的位置.二、知识网络根据知识网络结构图，按其中数码顺序，说出各个数码所指内容，以达到梳理知识的目的.三、思想方法1.“由特殊到一般”“由一般到特殊”的思想，如图形的平移过程是通过图形上的一个点或几个点的坐标变化研究的，这些都体现了“由特殊到一般”的思想，而“由点与图形的平移”规律去解决图形的平移问题，又体现了“由一般到特殊”的思想.2.对应的思想，具体表现在平面直角坐标系中的一个点对应着一对有序数对，即点的坐标；而每一对有序数对确定的坐标对应着平面中的一个点.3.数形结合的思想，具体表现在借助平面直角坐标系把几何问题转化为代数问题，同时也可以把代数问题转化为几何问题，就是每一个有序数对（坐标）对应着平面上的一个点.第二节、错解剖析【例1】小虎正确地描出了各点，把它们连接起来，涂上阴影，如图所示.小虎兴奋地说：“真没想到，分布在四个象限内的这些点，居然能连成一只可爱的小猫.”不料，此话一出，又遭到小新的反对：“你说的话有毛病，坐标系内的点并不是都分布在四个象限中，还有些点在坐标轴上，它们不属于任何一个象限.比如，本题中（-2，0），（2，0），（3，0）三个点在横轴上，（0，-2），（0，2），（0，4）三个点在纵轴上”.小虎马上更正：“我说错了，我忘了在坐标轴上的点不属于任何象限，就像在横轴上的点都不能在纵轴一样.”没想到，小新又纠正道：“这话也有问题，原点是一个特殊的点，它既在横轴上，也在纵轴上.”这时，老师又问了小虎一个问题：“你能根据这只猫眼睛的大致位置，说出它们的坐标分别是什么吗？”小虎思考了一下，答道：“它两只眼睛的坐标分别是（-1.5，2.5）和（-0.5，2.5）.”老师肯定了他的回答，又布置了一道思考题：请在坐标系中，描出到横轴距离为4、到纵轴距离为5的点.小虎一听，不假思索地说：“这有什么难的，不就是描出坐标为（4，5）的点吗？”他边说边在图中画出点M，没等画完就发现自己错了，急忙更正：“哦——错了！到横距离为4，不是说横坐标为4；到纵轴距离为5，也不是说纵坐标为5.所以，这个点的坐标不是（4，5），而应该是（5，4），这个点N才符合条件——这次，总该没错了吧.”小新一听，说：“你考虑得不全面，还有三个点呢.你看，点P（5，-4），Q（-5，-4）和R（-5，4）三个点是不是也符合条负数，一个点到横轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到纵轴的距离是它的横坐标的绝对值.”第三节、思维点拨一、坐标平面内三角形面积的求法1.有一边在坐标轴上或平行于坐标轴【例1】如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？【思考与解】根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值，所以三角形ABC的面积为S△ABC＝BC×AO＝×4×3＝6.2.三边均不与坐标轴平行【例2】平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？【思考与分析】由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.【小结】本题也可以把三角形ABC分割为两个三角形，转化为1中的情况求解，大家不妨试试.二、平面直角坐标系内四边形面积的求法【例3】如图，你能求出四边形ABCD的面积吗？【思考与分析】四边形ABCD是不规则的四边形，面积不能直接求，我们可以利用分割或补形来求.解法一：将四边形ABCD分割成如上图所示的直角三角形和直角梯形.由各顶点坐标可知DE=3，CE=2， EF=3，CF=5，BF=2，AF=4.所以四边形ABCD的面积为DE×CE＋BF×CF＋×（DE+AF）×EF＝×3×2＋×5×2＋（3＋4）×3＝18.5.解法二：如下图，分别过点A、D作平行于y轴的直线，与过点C平行于x轴的直线交于点E、F.由各顶点坐标可知AB=6，AE=5，CE=4，EF=1，FC=3，DF=2.所以四边形ABCD的面积为（CE+AB）×AE－DF×CF-（DF+AE）×EF=×（4＋6）×5－×2×3－（2+5）×1＝18.5.三、由点的位置确定坐标【例4】如图，小强告诉小华，图中A 点和B 点的坐标分别为（－1，7）和（-3，5），小华一下就说出了C在同一坐标系下的坐标，你知道是多少吗？【思考与分析】我们先由A点和B 点的坐标确定它们所在的坐标系，从而确定C 点的位置.解： C点的坐标是（3，5）.四、由坐标确定图的形状和位置【例5】在平面直角坐标系中，描出下列各组点，并用线段顺次连结起来，观察所得到的图形，说说它像什么？（1）（1，1），（2，0），（7，0），（8，2），（6，1），（1，1）；（2）（6，1），（6，8）；（3）（5，7），（7，8），（7，3），（5，4），（5，7）；（4）（2，1），（6，7）.【思考与解】解决本题，首先要理解本题的顺次连结，就是将每一组中的各点顺次连结起来.建立平面直角坐标系，通过描点，连线，可以发现，所得到的图案是一只帆船（如图）.五、由坐标确定坐标系【例6】如下图，Ｂ，Ｃ两点的坐标分别是Ｂ（２，３），Ｃ（４，３），那么（０，０），（０，４），（4，0），（０，－２），（２，－１）及（４，－１）各是哪点的坐标？图中有和x轴平行的线段吗？有和y轴平行的线段吗？有互相平行的线段吗？【思考与分析】由Ｂ点和Ｃ点的坐标可知，图中的单位长度等于小正方形的边长，根据有序数对（a，b）的有序性，先在x轴上找到a，再在y轴找到b，分别过a，b作x，y轴的垂线，两垂线的交点就是有序数对（a，b）的对应点.解：（０，０），（０，４），（4，0），（０，-2），（２，－１）及（4，-1）对应的点分别是O、A、D、G、F、E.ＢＣ、EF平行于x轴，ＣＥ、BF平行于y轴；ＢＣ平行于ＥＦ，BF平行于AG、CE. 【例7】在纸上建立直角坐标系，根据点的坐标描出下列各点：（0，0），（5，3），（3，0），（5，1），（5，-1），（4，-2），然后按照（0，0）→（5，3）→（3，0）→（5，1）→（5，-1）→（3，0）→（4，-2）→（0，0）的顺序用线段连结起来.（1）看看你得到的图案像什么？（2）如果把这些点的横坐标都加上1，纵坐标都减去2.再按照原来的顺序将得到的各点用线段连结起来，这个图案与原图案在大小、形状、位置上有什么变化？【思考与解】（1）建立平面直角坐标系，将各点描出，连结后我们可以得到一条可爱的小鱼，如图1.（2）如果把这些点的横坐标都加上1，纵坐标都减去2，再按原来的顺序连结，仍得到一条小鱼，这条小鱼的大小、形状与原来的完全一样，它的位置可以看作将原来的小鱼向右平移1个单位长度，然后再向下平移两个单位长度得到，如图2.【例8】如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心.此时，M是线段PQ的中点.如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）.点列P1、P2、P3…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P71的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标.1与点P2关于点A对称，且P1的坐标是（1，1），所以P2的坐标是（1，-1）；点P2与点P3关于点B对称，所以P3的坐标是（-1，3）；点P3与P4关于点O对称，所以P4的坐标是（1，-3）；点P4与点P5关于点A对称，所以P5的坐标是（1，3）；点P5与点P6关于点B对称，所以P6的坐标是（-1，-1）；点P6与点P7关于点O对称，所以P7的坐标是（1，1），这样的话P7与P1重合.依次类推，反复循环，可以知道P8与P2重合、P9与P3重合、P10与P4重合、P11与P5重合、P12与P6重合、P13与P7重合（即与P1重合），由此推断，点Pn是以6为一个周期进行循环的.因此100除以6商是16余数为4，因此P n的坐标与P6的坐标相等为（1，-3）.答案为P2（1，-1）， P7（1,1），P100（1，-3）. 【小结】通过以上分析，在平面直角坐标系中，与点的坐标有关的探索问题中点的变化都是有周期性变化的.希望同学们认真探索、总结，以便做到熟能生巧.第四节、竞赛数学【例1】如果点M（1-x，1-y）在第二象限，那么点N（1－x，y-1）关于原点的对称点P在第几象限？【分析】若抓住对称点的坐标特性这一解题关键，则可由点M（1-x,1-y）与点N（1－x,y-1）的横坐标相等、纵坐标互为相反数，知两点关于x轴对称，从而可确定出点N在第三象限.于是，点N关于原点的对称点P在第一象限.解法一：∵点M（1-x，1-y）在第二象限，∴1-x＜0，1-y＞0.∴y-1＜0，则点N（1－x，y-1)在第三象限.∵点P与点N关于原点对称，∴点P在第一象限.解法二：∵点M（1-x，1-y）与点N（1－x，y-1）关于x轴对称，且点M在第二象限，∴点N在第三象限.∵点P与点N关于原点对称，∴点P在第一象限.【小结】（1）若不能根据题设条件获得1－x与y-1的正、负情况，就没有解法一；（2）若不能发现点M与点N之间的对称关系，就没有解法二.（3）有序实数对与坐标上的点一一对应，这就使得数与形结合起来.解题时可根据条件，运用数形结合的思想灵活解题.【例2】国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种.国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多；“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个４×４的小方格棋盘，图中的“皇后Ｑ”能控制图中虚线（２，３）”来表示，请说明“皇后Ｑ”所在的位置“（２，３）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Ｑ”所控制的四个位置.【分析与解】注意行与列的区别，点（2，3）的意义是第3行、第2列.故“皇后Q”可控制整个第3行和第2列，还可以控制（１，4），（3，２），（４，1）和（１，2），（３，4）.不能被该“皇后Q”所控制的四个位置是（１，１），（３，１），（４，２），（４，４）. 【例3】如图．围棋盘的左下角呈现的是一局围棋比赛中的几手棋．为记录棋谱方便，横线用数字表示．纵线用英文字母表示，这样，黑棋①的位置可记为（C，4），白棋②的位置可记为（E，3），则白棋⑨的位置应记为________．【思考与解】本题平面直角坐标系中的横坐标用英文字母表示，根据坐标点位置的意义，易知白棋⑨的位置应记为（D，6）．【例4】五子连珠棋和象棋、围棋一样，深受广大棋友的喜爱，其规则是：15×15的正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙的对弈图；（甲执黑子先行，乙执白子后走），观察棋盘思考：若A点的位置记做（8，4），甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？【思考与分析】由对弈规则可知：只有当任一方向（包括直线和斜线）上有五个子连在一起时才能获胜，观察棋盘，不难发现，甲必须首先截断乙方的（2，6），（3，5）和（4，4）三颗白子，故必须在（1，7）或（5，3）处落子，方可不败．解：甲必须在（1，7）或（5，3）处落子，因为若甲不首先截断以上两处之一，而让乙在（1，7）或（5，3）处落子，则不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．第五节、本章训练基础训练题1.如图，将平行四边形ABCD向右平移2个单位长度，可以得到平行四边形A′B′C′D′，再将平行四边形A′B′C′D′向上平移2个单位长度，可以得到平行四边形A″B″C″D″，画出平移后的图形，并写出平行四边形A″B″C″D″各个顶点的坐标.2.在如图所示的国际象棋棋盘中，双方四只马的位置分别是A（b，3），B（d，5），C（f，7），D（h，2），请在图中描出它们的位置.3.如图是一个8×8的球桌，小明用A球撞击B球，到C处反弹，再撞击桌边D处.请选择适当的坐标系，并用坐标表示各点的位置.答案1.解：如图，A″（1，0），B″（5，0），C″（6，3），D″（2，3）.2.解：如图：3.解：以A为坐标原点，则B（2，1），C（6，3），D（-1，6）.提高训练题1.如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点坐标分别为A（0，0），B（5，0），C（7，3），D（3，6），你能求出这个四边形的面积吗？2.3. 2.已知长方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，-2），则长方形的面积是多少？4.答案1.解：如图：S四边形ABCD ＝ S四边形AEFG － S三角形ADG － S三角形BCE － S三角形CDF＝7×6－×6×3－×（7-5）×3－×（7-3）×（6-3）＝ 42-9-3-6＝ 24.2.解：因为点B的坐标为（3，-2），所以AB＝|-2|＝2，BC=3.所以长方形的面积为2×3＝6.强化训练题1.某学校校门在北侧，进校门向南走30米是旗杆，再向南走30米是教学楼，从教学楼向东走60米，再向北走20米是图书馆，从教学楼向南走60米，再向北走10 米是实验楼，请你选择适当的比例尺，画出该校的校园平面图.150m，再向北100m处，X明同学家在学校以西50m，再往南200m处，王玲同学家在学校以南150m处，建立适当的直角坐标系，在直角坐标系中画出这三位同学家的位置，并用坐标表示出来.5.如图为一辆公交车的得驶路线示意图，“●”表示停靠点，现在请你帮助小明完成对该公交车行驶的路线描述：起点站→（1，1）→…→终点站.6.答案1.解：如图：2.解：如图：3.解：起点站→（1，1）→（2，2）→（4，2）→（5，1）→（6，2）→（6，4）→（5，5）→（3，5）→（1，5）→（1，7）→（2，8）.综合训练题一、填空题（每题7分，共35分）1.已知点M（－4，2），将坐标系先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度,则点M在新坐标系内的坐标为 .2.小红将直角坐标系中的点A的横坐标乘2再加2，纵坐标减2再除以2，点A恰好落在原点上，则点A的坐标是 .3.若A（a，6），B（0，2）两点在同一条直线上，则a的值为 .4.已知点（a，b）在x轴负半轴上，则点（a－b，b－a）在象限.5.如图所示，如果小力的位置可表示为（2，3），则小红的位置应表示为 .二、选择题（每题7分，共35分）6.平面直角坐标系中，将正方形向上平移3个单位后，得到的正方形各顶点与原正方形各顶点坐标相比（）.A.横坐标不变,纵坐标加3B.纵坐标不变,横坐标加3C.横坐标不变,纵坐标乘以3D.纵坐标不变,横坐标乘以37.小明家的坐标为（1，2），小丽家的坐标为（－2，－1），则小明家在小丽家的（）.A.东南方向B.东北方向C.西南方向D.西北方向8.在直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到A′点，则A 与A′的关系是（）.A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.将A点向x轴负方向平移一个单位9. 一只小虫子在一个小方格的线路上爬行，它起始的位置是A （2，2），先爬到B （2，4），再爬到C（5，4），最后爬到D（5，5），则小虫一共爬行了（）个单位.A. 7B. 6C. 5D. 410. 已知点M1（-1，0）、M2（0，-1）、M3（-2，-1）、M4（5，0）、 M5（0，5）、M6（-3，2），其中在x轴上的点的个数是（）.A. 1 个B. 2 个C. 3个D. 4个三、解答题（每题15分，共30分）1. 如图是某城市的交通网络图，横向的行称为“道”，如第一大道，第二大道等，纵向的列称为“路”，如1路，2路等. 如图中的车，就在“第一大道2路”的位置.（1）想一想，如果只用“道”或“路”能不能确定一个点的位置？（2）如图的车，要到第五大道3路处，又要使路程最短，你能想出几种方法?12.已知点P（2，3）（1）在坐标平面内画出点P；（2）分别求出点P关于x轴、y轴的对称点P1、P2.（3）求三角形P1PP2的面积.答案一、1. （-1，5） 2. （-1，2） 3. 04. 第二5. （3，4）二、6.A 7.B 8.B 9.B 10.B三、11. 【解题思路】（1）在平面上确定点的位置至少需要两个数据.（2）车到第五大道3路去的路线很多，可先列出几条较近的再择优选取.解：（1）只用“道”或“路”一个数，不能确定点的位置.（2）要使路程最短，共有五种方法.①（1，2）→（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）②（1，2）→（2，2）→（3，2）→（4，2）→（4，3）→（5，3）③（1，2）→（2，2）→（3，2）→（3，3）→（4，3）→（5，3）④（1，2）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（5，3）⑤（1，2）→（1，3）→（2，3）→（3，3）→（4，3）→（5，3）12.【解题思路】我们可以看到，本题分三问，每一问都是下一问的基础，因此我们不能因为前边的问题简单而麻痹大意，因为一步错，步步错.所以我们必须认真对待，一丝不苟的完成解：（1）如图：（2）P1（2，-3），P2（-2，3）.（3）如图：=PP1×PP2＝×6×4＝12.。
专题11 平面直角坐标系(归纳与讲解)(解析版)
专题11平面直角坐标系【专题目录】技巧1：点的坐标变化规律探究问题技巧2：巧用坐标求图形的面积技巧3：活用有序数对表示点的位置技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【题型】一、用有序数对表示位置【题型】二、求点的坐标【题型】三、距离与点坐标的关系【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征【题型】六、点的坐标的规律探索【题型】七、函数图象的应用【考纲要求】1、会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，掌握坐标平面内点的坐标特征．2、了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．3、能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.【考点总结】一、平面直角坐标系【考点总结】二、函数有关的概念及图象【注意】1、坐标轴上的点不属于任何象限点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
2、确定出数自变量力的取值范围的方法 （1）整式：取全体实数 （2）有分母：取值使分母不为零（3）有二次根式：取值使被开方数不小于0 （4）有很多情况：取它们的公共部分 （5）在实际问题中：取值要符合实际意义 【技巧归纳】技巧1：点的坐标变化规律探究问题【类型】一、沿坐标轴运动的点的坐标规律探究1．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线．点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2 019秒时，点P 的坐标是( )(第1题)A ．(2 018，0)B ．(2 019，－1)C ．(2 019，1)D ．(2 020，0)2．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2 017次运动后，动点P 的坐标是________，经过第2 018次运动后，动点P 的坐标是________．3．如图，一个粒子在第一象限内及x 轴、y 轴上运动，第一分钟从原点运动到(1，0)，第二分钟从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向运动(在第一象限内运动时，运动方向与x 轴或y 轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当粒子所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________； (2)在第2 017分钟时，这个粒子所在位置的坐标是________．【类型】二、绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究4．将正整数按如图所示的规律在平面直角坐标系中进行排列，每个正整数对应一个整点坐标(x ，y)，其中x ，y 均为整数，如数5对应的坐标为(－1，1)，则数2 018对应的坐标的( )A ．(16，22)B ．(－15，－22)C ．(15，－22)D ．(16，－22) 【类型】三、图形变换的点的坐标规律探究5．在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，P 1关于B 的对称点为P 2，P 2关于C 的对称点为P 3，按此规律继续以A ，B ，C 为对称中心重复前面的操作，依次得到P 4，P 5，P 6，…，则点P 2 018的坐标是( )A ．(0，0)B ．(0，2)C ．(2，－4)D ．(－4，2)6．(探究题)如图，在平面直角坐标系中，第一次将三角形OAB 变换成三角形OA 1B 1，第二次将三角形OA 1B 1变换成三角形OA 2B 2，第三次将三角形OA 2B 2变换成三角形OA 3B 3，已知A(1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B(2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA 3B 3变换成三角形OA 4B 4，则点A 4的坐标是________，点B 4的坐标是________；(2)若按(1)题中的规律，将三角形OAB 进行n(n 为正整数)次变换，得到三角形OA n B n ，比较每次变换前后三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n 的坐标是__________，点B n 的坐标是__________． 参考答案1．B 点拨：半径为1个单位长度的圆的周长的一半为12×2π×1＝π，因为点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，所以点P 1秒走12个半圆．当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为(1，1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为(2，0)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为(3，－1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P 的坐标为(4，0)；当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P 的坐标为(5，1)； 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P 的坐标为(6，0)； ….因为2 019÷4＝504……3，所以第2 019秒时，点P 的坐标是(2 019，－1)． 2．(2 017，1)；(2 018，0) 3．(1)6分钟 (2)(44，7)4．C 点拨：以原点为中心，数阵图形成多层正方形(不完整)，观察图形得出下表：正方形在第四象限的顶点 因为442＜2 018＜452＝(2×22＋1)2＝2 025， 所以数2 025对应的坐标为(22，－22)． 所以数2 018对应的坐标为(15，－22)．5．D 点拨：设P 1(x ，y)，因为点A(1，－1)，点P(0，2)关于A 的对称点为P 1，所以x2＝1，y ＋22＝－1，解得x ＝2，y ＝－4，所以P 1(2，－4)．同理可得P 2(－4，2)，P 3(4，0)，P 4(－2，－2)，P 5(0，0)，P 6(0，2)，P 7(2，－4)，…，所以每6个点循环一次．因为2 018÷6＝336……2，所以点P 2 018的坐标是(－4，2)．故选D . 6．(1)(16，3)；(32，0)(2)(2n ，3)；(2n ＋1，0) 技巧2：巧用坐标求图形的面积 【类型】一、直接求图形的面积1．如图，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(－4，4)，求三角形ABC 的面积．【类型】二、利用补形法求图形的面积2．已知在四边形ABCD中，A(－3，0)，B(3，0)，C(3，2)，D(1，3)，画出图形，求四边形ABCD 的面积．3．如图，已知点A(－3，1)，B(1，－3)，C(3，4)，求三角形ABC的面积．【类型】三、利用分割法求图形的面积4．在如图所示的平面直角坐标系中，四边形OABC各顶点分别是O(0，0)，A(－4，10)，B(－12，8)，C(－14，0)，求四边形OABC的面积．【类型】四、已知三角形的面积求点的坐标5．已知点O(0，0)，点A(－3，2)，点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B 的坐标为()A．(0，8) B．(0，4) C．(8，0) D．(0，－8)6．已知点A(－4，0)，B(6，0)，C(3，m)，如果三角形ABC的面积是12，求m的值．7．已知A(－2，0)，B(4，0)，C(x，y)．(1)若点C在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，求点C的坐标，并求三角形ABC的面积；(2)若点C在第四象限，且三角形ABC的面积为9，|x|＝3，求点C的坐标．参考答案1．解：因为C点坐标为(－4，4)，所以三角形ABC 的AB 边上的高为4. 又由题易知AB ＝6， 所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.2．解：如图所示．过点D 作DE 垂直于BC ，交BC 的延长线于点E ，则四边形DABE 为直角梯形． S 四边形ABCD ＝S 梯形DABE －S 三角形C DE ＝12×(2＋6)×3－12×1×2＝11.3．解：方法一：如图，作长方形CDEF ，则S 三角形ABC ＝S 长方形CDEF －S 三角形ACD －S 三角形ABE －S 三角形BCF ＝CD·DE －12·AD·CD －12AE·BE －12BF·CF ＝6×7－12×3×6－12×4×4－12×2×7＝18.方法二：如图，过点B 作EF ∥x 轴，并分别过点A 和点C 作EF 的垂线，垂足分别为点E ，F.易知AE ＝4，BE ＝4，BF ＝2，CF ＝7，EF ＝6，所以S 三角形ABC ＝S 梯形AEFC －S 三角形ABE －S 三角形BFC ＝12(AE ＋CF)·EF －12AE·BE －12BF·CF ＝12×(4＋7)×6－12×4×4－12×2×7＝18. 方法三：如图，过点A 作DE ∥y 轴，并分别过点C 和点B 作DE 的垂线，垂足分别为点D ，E. 易知AE ＝4，BE ＝4，AD ＝3，CD ＝6，DE ＝7，所以S 三角形ABC ＝S 梯形BEDC －S 三角形ABE －S 三角形ADC＝12(BE ＋CD)·DE －12AE·BE －12AD·CD ＝12×(4＋6)×7－12×4×4－12×3×6＝18.4．解：如图，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为点E.易知D(－4，0)，E(－4，8)，且BE ＝－4－(－12)＝8，AE ＝10－8＝2，CD ＝－4－(－14)＝10，所以S 四边形OABC ＝S 三角形AOD ＋S 三角形ABE ＋S 梯形DEBC ＝12OD·AD ＋12AE·BE ＋12(BE ＋CD)·DE ＝12×4×10＋12×2×8＋12×(8＋10)×8＝20＋8＋72＝100.点拨：本题的解题技巧在于把不规则的四边形OABC 分割为几个规则图形，实际上分割的方法是不唯一的，并且不仅可以用分割法，还可以用补形法． 5．A6．解：AB ＝6－(－4)＝10.根据三角形的面积公式，得12AB·|m|＝12，即12×10·|m|＝12，解得|m|＝2.4. 因为点C(3，m)，所以点C 在第一象限或第四象限． 当点C 在第一象限时，m ＞0， 则m ＝2.4；当点C 在第四象限时，m ＜0，则m ＝－2.4.综上所述，m 的值为－2.4或2.4.7．解：(1)因为点C 在第二象限，且|x|＝4，|y|＝4，所以点C 的坐标为(－4，4)． 又易知AB ＝6，所以S 三角形ABC ＝12×6×4＝12.(2)由题意可知AB ＝6.因为点C 在第四象限，|x|＝3，所以x ＝3.因为S 三角形ABC ＝12×6×|y|＝9，所以|y|＝3.所以y ＝－3.所以点C 的坐标为(3，－3)． 技巧3：活用有序数对表示点的位置 【类型】一、利用有序数对表示座位号1．如图，王明同学的座位是1组2排，如果用有序数对(1，2)表示，那么张敏同学和石玲同学的座位怎样用有序数对表示？【类型】二、利用有序数对表示棋子位置2．五子棋深受广大棋友的喜爱，其规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，轮流弈子，在任一方向上连成五子者为胜．如图是两个五子棋爱好者甲和乙对弈时的部分示意图(甲执黑子先行，乙执白子后走)，观察棋盘思考：若A点的位置记为(8，4)，甲必须在哪个位置上落子，才不会让乙在短时间内获胜？为什么？【类型】三、利用有序数对表示地理位置3．如图是某市市区几个旅游景点示意图(图中每个小正方形的边长为1个单位长度)，如果以O为原点建立两条互相垂直的数轴，如果用(2，2.5)表示金凤广场的位置，用(11，7)表示动物园的位置，根据此规定：(1)湖心岛、光岳楼、山陕会馆的位置如何表示？(2)(11，7)和(7，11)是同一个位置吗？为什么？【类型】四、利用有序数对表示运动路径4．如图，小军家的位置点A在经5路和纬4路的十字路口，用有序数对(5，4)表示；点B是学校的位置，点C是小芸家的位置，如果用(5，4)→(5，5)→(5，6)→(6，6)→(7，6)→(8，6)表示小军家到学校的一条路径．(1)请你用有序数对表示出学校和小芸家的位置；(2)请你写出小军家到学校的其他几条路径．(写3条)参考答案1．解：张敏同学的座位可以表示为(3，3)，石玲同学的座位可以表示为(4，5)．2．解：甲必须在(1，7)或(5，3)处落子，因为若甲不先截断以上两处之一，而让乙在(1，7)或(5，3)处落子，则下一步不论截断何处，乙总有一处落子可连成五子，乙必胜无疑．3．解：(1)湖心岛的位置可表示为(2.5，5)；光岳楼的位置可表示为(4，4)；山陕会馆的位置可表示为(7，3)．(2)不是同一个位置，因为前面一个数字代表横向，后一个数字代表纵向，交换数字的位置后，就会表示不同的位置．4．解：(1)学校和小芸家的位置分别可表示为(8，6)，(3，3)．(2)答案不唯一，如：①(5，4)→(5，5)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)；②(5，4)→(6，4)→(7，4)→(8，4)→(8，5)→(8，6)；③(5，4)→(6，4)→(6，5)→(7，5)→(8，5)→(8，6)．技巧4：巧用直角坐标系中点的坐标特征解相关问题【类型】一、象限内的点的坐标1．若点M(x，y)满足(x＋y)2＝x2＋y2－2，则点M所在象限是()A．第一象限或第三象限B．第二象限或第四象限C．第一象限或第二象限D．不能确定2．在平面直角坐标系中，若点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是________．【类型】二、坐标轴上的点的坐标3．若点M的坐标为(－a2，|b|＋1)，则下列说法中正确的是()A．点M在x轴正半轴上B．点M在x轴负半轴上C．点M在y轴正半轴上D．点M在y轴负半轴上4．已知点P(a－1，a2－9)在y轴上，则点P的坐标为________．【类型】三、平面直角坐标系中一些特殊点的坐标5．已知点P(2m－5，m－1)，当m为何值时，(1)点P在第二、四象限的角平分线上？(2)点P在第一、三象限的角平分线上？6．已知A(－3，m)，B(n，4)，若AB∥x轴，求m的值，并确定n的取值范围．【类型】四、点的坐标与点到x轴、y轴的距离之间的关系7．已知点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧，则点A到x轴、y轴的距离分别为() A．3a，－2b B．－3a，2b C．2b，－3a D．－2b，3a8．已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5，求点P的坐标．【类型】五、关于坐标轴对称的点9．点P(－3，4)关于x轴对称的点的坐标是()A．(－4，3)B．(3，－4)C．(－3，－4) D．(3，4)10．已知点P(3，a)关于y轴的对称点为Q(b，2)，则ab＝________.11．在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－3)，作点A关于x轴的对称点，得到点A′，再作点A′关于y轴的对称点，得到点A″，则点A″的坐标是(______，______)．【类型】六、关于特殊直线对称的点12．点P(3，5)关于第一、三象限的角平分线对称的点为点P1，关于第二、四象限的角平分线对称的点为点P2，则点P1，P2的坐标分别为()A．(3，5)，(5，3)B．(5，3)，(－5，－3)C．(5，3)，(3，5) D．(－5，－3)，(5，3) 13．点M(1，4－m)关于过点(5，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标是____________；若点M关于过点(0，－3)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(1，7)，则m＝________．参考答案1．B2．m＞2点拨：第一象限内的点的横、纵坐标必须同时为正，所以m＞2.3．C点拨：由－a2可确定a＝0，所以－a2＝0. 又|b|＋1＞0，所以点M(－a2，|b|＋1)在y轴正半轴上．4．(0，－8)5．解：(1)根据题意，得2m－5＋m－1＝0，解得m＝2.所以当m＝2时，点P在第二、四象限的角平分线上．(2)根据题意，得2m－5＝m－1，解得m＝4.所以当m＝4时，点P在第一、三象限的角平分线上．点拨：第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等，第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．6．解：因为AB∥x轴，所以m＝4.因为A，B不重合，所以n≠－3.点拨：与x轴平行的直线上的点的纵坐标相等．7．C点拨：由点A(3a，2b)在x轴上方，y轴的左侧可知点A在第二象限，故3a是负数，2b是正数，所以点A到x轴、y轴的距离分别为2b，－3a.8．解：设点P的坐标为(x, y)，依题意，得|x|＝5，|y|＝2，所以x＝±5，y＝±2.所以点P的坐标为(5，2)或(5，－2)或(－5，2)或(－5，－2)．点拨：(1)点P(x，y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.(2)写点P的坐标时，横、纵坐标的前后顺序不能随意改变．(3)找全满足条件的点P的坐标，不要遗漏．9．C10.－611.－2；312．B点拨：任意点A(a，b)关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为(b，a)，关于第二、四象限的角平分线对称的点的坐标为(－b，－a)．13．(9，4－m)；17点拨：点A(a，b)关于过点(k，0)且垂直于x轴的直线对称的点的坐标为(2k－a，b)，关于过点(0，k)且平行于x轴的直线对称的点的坐标为(a，2k－b)．【题型讲解】【题型】一、用有序数对表示位置例1、小李、小王、小张、小谢原有位置如图（横为排、竖为列），小李在第2排第4列，小王在第3排第3列，小张在第4排第2列，小谢在第5排第4列．撤走第一排，仍按照原有确定位置的方法确定新的位置，下列说法正确的是（）．A．小李现在位置为第1排第2列B．小张现在位置为第3排第2列C．小王现在位置为第2排第2列D．小谢现在位置为第4排第2列【答案】B【分析】由于撤走一排，则四人所在的列数不变、排数减一，据此逐项排除即可．【详解】解：A. 小李现在位置为第1排第4列，故A选项错误；B. 小张现在位置为第3排第2列，故B选项正确；C. 小王现在位置为第2排第3列，故C选项错误；D. 小谢现在位置为第4排第4列，故D选项错误．故选：B．【题型】二、求点的坐标例2、如图，四边形OBCD 是正方形，O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，点C 在第一象限，则点C 的坐标是（ ）A ．()6,3B ．()3,6C ．()0,6D ．()6,6【答案】D【分析】利用O ，D 两点的坐标，求出OD 的长度，利用正方形的性质求出ＯB ，BC 的长度，进而得出C 点的坐标即可．【详解】解：①O ，D 两点的坐标分别是()0,0，()0,6，①OD ＝6，①四边形OBCD 是正方形，①OB ①BC ，OB =BC =6 ①C 点的坐标为：()6,6， 故选：D ．【题型】三、距离与点坐标的关系例3、在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ） A ．(3,4)- B ．(4,3)-C ．(4,3)-D ．()3,4-【答案】C 【解析】 由题意，得 x=-4，y=3，即M 点的坐标是（-4，3）， 故选C ．【题型】四、象限角的平分线上的点的坐标例4、若点N 在第一、三象限的角平分线上，且点N 到y 轴的距离为2，则点N 的坐标是( ) A ．(2，2) B ．(－2，－2) C ．(2，2)或(－2，－2) D ．(－2，2)或(2，－2)【答案】C 【解析】已知点M 在第一、三象限的角平分线上，点M 到x 轴的距离为2，所以点M 到y 轴的距离也为2.当点M 在第一象限时，点M 的坐标为（2，2）；点M 在第三象限时，点M 的坐标为（-2，-2）．所以，点M 的坐标为（2，2）或（-2，-2）．故选C ． 【题型】五、与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征例5、已知点A （a ﹣2，2a +7），点B 的坐标为（1，5），直线AB ①y 轴，则a 的值是（ ） A ．1 B ．3C ．﹣1D ．5【答案】B 【详解】 解：①AB①y 轴，①点A 横坐标与点A 横坐标相同，为1， 可得：a -2=1，a=3 故选：B ．【题型】六、点的坐标的规律探索例6、在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点1A ，第二次移动到点2A ……第n 次移动到点n A ，则点2019A 的坐标是（ ）A ．()1010,0B ．()1010,1C ．()1009,0D ．()1009,1【答案】C【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点2019A 的坐标． 【详解】()10,1A ，()21,1A ，()31,0A ，()42,0A ，()52,1A ，()63,1A ，…，201945043÷=⋅⋅⋅，所以2019A 的坐标为()50421,0⨯+，则2019A 的坐标是()1009,0， 故选C ．【题型】七、函数图象的应用例7、如图，一只蚂蚁从O 点出发，沿着扇形OAB 的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t ，蚂蚁到O 点的距离．．为s ，则s 关于t 的函数图象大致为( )．【答案】C【分析】利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，探求变量和函数之间的变化趋势，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题． 【详解】本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s 与t 的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O 到点A 时，s 与t 成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A 到点B 时，s 不变；(3)当蚂蚁从点B 回到点O 时，s 与t 成一次函数关系，且回到点O 时，s 为零．平面直角坐标系（达标训练）一、单选题1．在平面直角坐标系中，点A (a ，2)在第二象限内，则a 的取值可以是（ ） A ．1 B ．-3C ．4D ．4或-4【答案】B【分析】根据第二象限的坐标特征判断即可； 【详解】解：①点A (a ，2)在第二象限内， ①a ＜0， A ．不符合题意；B ．符合题意；C ．不符合题意；D ．不符合题意； 故选： B ．【点睛】本题考查了象限的坐标特征，掌握第二象限内点的横坐标为负数，纵坐标为正数是解题关键． 2．若点(),1A a a -在x 轴上，则点()1,2B a a +-在第（ ）象限． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四【答案】D【分析】由点A 在x 轴上求得a 的值，进而求得点B 坐标，进而得到答案． 【详解】解：点(),1A a a -在x 轴上， 10a ∴-=，即1a =，则点B 坐标为()2,1-， ∴点B 在第四象限，故选：D ．【点睛】本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握各象限及坐标轴上点的横纵坐标特点． 3．如图，在围棋棋盘上有3枚棋子，如果黑棋①的位置用有序数对(0，−1)表示，黑棋①的位置用有序数对(−3，0)表示，则白棋①的位置可用有序数对表示为（ ）A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()1,2-【答案】C【分析】根据黑棋①的坐标向上1个单位确定出坐标原点，然后建立平面直角坐标系，再写出白棋①的坐标即可．【详解】解：建立平面直角坐标系如图，白棋①的坐标为（-2，1）．故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出坐标原点的位置是解题的关键．4．如图，货船A与港口B相距35海里，我们用有序数对（南偏西40°，35海里）来描述货船B相对港口A的位置，那么港口A相对货船B的位置可描述为（）A．（南偏西50°，35海里）B．（北偏西40°，35海里）C．（北偏东50°，35海里）D．（北偏东40°，35海里）【答案】D【分析】根据方位角的概念并结合平行线的性质，可得答案．【详解】解：过点B作BD①AC，①①1=①A=40°①港口A相对货船B的位置可描述为（北偏东40°，35海里），故选：D．【点睛】本题考查了方向角的知识点，解答本题的关键是理解确定一个点的位置需要两个量应该是方向角，一个是距离．5．某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修，如图所示的图像反映了他骑车上学的整个过程，则下列结论正确的是（）A ．修车花了25分钟B ．小明家距离学校1000米C ．修好车后骑行的速度是200米/分钟D ．修好车后花了15分钟到达学校【答案】C【分析】根据横坐标，可得时间；根据函数图像的纵坐标，可得路程．【详解】解：A ．由横坐标看出，小明修车时间为25-10=15（分钟），故本选项不符合题意； B ．由纵坐标看出，小明家离学校的距离2000米，故本选项不合题意；C ．小明修好车后骑行到学校的平均速度是：（2000-1000）÷5=200（米/分钟），故本选项符合题意；D ．由横坐标看出，小明修好车后花了30-25=5（分钟）到达学校，故本选项不合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查了函数图像，观察函数图像得出相应的时间，函数图像的纵坐标得出路程是解题关键．二、填空题6．已知点()29,62A m m --在第三象限．则m 的取值范围是______． 【答案】3<m <4.5【分析】在第三象限内的点的横纵坐标均为负数，列式求值即可． 【详解】解：①点A （2m −9,6−2m ）在第三象限， ①2m −9＜0且6−2m ＜0， ①3＜m ＜4.5， 故答案为： 3＜m ＜4.5【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，此特点常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围．7．如图，两只福娃的发尖所处的位置的坐标分别为M （－2，2）、N （1，－1）， 则A 、B 、C 三个点中为坐标系原点的是____．【答案】A【分析】利用平移规律，从M（-2，2）向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，可得A是坐标原点.【详解】解：①M（－2，2）,①A是坐标原点.故答案为A.【点睛】本题考查了平面直角坐标系，利用平移逆向推理是解题关键.三、解答题8．某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验观察：实验小组通过观察，每两小时记录一次电子秤读数，得到表1．表1探索发现：(1)建立平面直角坐标系，如图2，横轴表示漏沙时间x，纵坐标表示精密电子称的读数y，描出以表1中的数据为坐标的各点．(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出函数表达式，如果不在同一条直线上，请说明理由．结论应用：应用上述发现的规律估算：(3)若漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为多少？(4)若本次实验开始记录的时间是上午7:30，当精密电子秤的读数为72克时是几点钟？ 【答案】(1)作图见解析(2)在同一直线上．函数表达式为：66y x =+ (3)漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克 (4)下午6:30【分析】（1）根据表中各点对应横、纵坐标，描点即可．（2）通过连线可知这些点大致分布在同一直线上，满足一次函数表达式，所以可假设一次函数表达式，利用待定系数法求解函数表达式．（3）根据（2）中的表达式可求出当9x =时，精密电子秤的读数．（4）根据（2）中的表达式可求出当72y =时，漏沙的时间，然后根据起始时间可求出读数为72克的时间． （1） 解：如图所示（2）解：如图所示，连线可得，这些点在同一线上，并且符合一次函数图像． 设一次函数表达式为：y kx b =+将点(0,6)，(2,18)代入解析式中可得6218b k b =⎧⎨+=⎩解得66a b =⎧⎨=⎩∴函数表达式为：66y x =+（3）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当9x =时，60y =∴漏沙时间为9小时，精密电子称的读数为60克．（4）解：由（2）可知函数表达式为：66y x =+ ∴当72y =时，11x =起始时间是上午7:30∴经过11小时的漏沙时间为下午6:30．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，要求掌握描点法画函数图象，待定系数法求解析式，会求函数自变量或函数值是解决本题的关键．平面直角坐标系（提升测评）一、单选题1．如图，小石同学在正方形网格图中建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为(1,1)-，点B 的坐标为(2,0)，则点C 的坐标为（ ）A ．(1,2)-B ．(2,1)-C ．(1,2)--D ．(1,1)-【答案】A【分析】利用已知点A 、B 的坐标确定平面直角坐标系，进而可得答案． 【详解】解：根据题意，建立如图所示的直角坐标系， ①点C 的坐标为（1，﹣2）． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标的确定，属于基本题型，正确得出原点位置是解题关键． 2．如图所示，从小明家到学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是北南或西东方向，小明走下面哪条线路最短（ ）A ．(1，3)→(1，2)→(1，1)→(1，0)→(2，0)→(3，0)→(4，0)B ．(1，3)→(0，3)→(2，3)→(0，0)→(1，0)→(2，0)→(4，0)C ．(1，3)→(1，4)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(4，3)→(4，2)→(4，0)D ．以上都不对 【答案】A【分析】要想线路最短，就应从小明家出发向右及向下走，而不能向左或向上走，所以选A ． 【详解】解：要想路线最短，就只应向右及向下走， 故选：A【点睛】本题考查了平面直角坐标系的应用以及数学在实际生活的应用，理解线路最短，应始终向着目标靠近，并明白平面直角坐标系中点的坐标的表示是解题关键．3．道路两旁种植行道树，选择行道树的因素有很多，比如：树形要美、树冠要大、存活率要高、落叶要少…现在只考虑树冠大小、存活率高低两个因素，可以用如下方法将实际问题数学化：设树冠直径为d ，存活率为h ．如图，在平面直角坐标系中画出点（d ，h ），其中甲树种、乙树种、丙树种对应的坐标分别为A （d 1，h 1）、B （d 2，h 2）、C （d 3，h 3），根据坐标的信息分析，下列说法正确的是（ ）A ．乙树种优于甲树种，甲树种优于丙树种B ．乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种C ．甲树种优于乙树种，乙树种优于丙树种D ．丙树种优于甲树种，甲树种优于乙树种 【答案】B【分析】根据图象，比较A 、B 、C 三点的存活率和树冠直径即可得出答案． 【详解】根据题意和图象可得，213h h h >>，231d d d >>， ①乙树种是最优的，①甲树种的存活率略高于丙树种，基本相等，但丙树种的树冠直径远远大于甲树种的树冠直径， ①丙树种优于甲树种，①乙树种优于丙树种，丙树种优于甲树种， 故选：B ．【点睛】本题考查规律型：点的坐标，准确读出坐标中的信息是解题的关键．4．点A 在第二象限，距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度，则点A 的坐标为（ ） A ．()5,3- B ．()3,5-C ．()5,3-D ．()3,5-【答案】A【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标． 【详解】解：①点A 在第二象限， ①点的横坐标为负数，纵坐标为正数，①点距离x 轴3个单位长度，距离y 轴5个单位长度， ①点的坐标为（-5，3）． 故选：A ．【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．5．如图，雷达探测器发现了A ，B ，C ，D ，E ，F 六个目标．目标C ，F 的位置分别表示为C （6，120°），F （5，210°），按照此方法表示目标A ，B ，D ，E 的位置时，其中表示正确的是（ ）A ．A （4，30°）B ．B （1，90°）C ．D （ 4，240°） D ．E （3，60°）【答案】C【分析】按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数，分别写出坐标A （5，30°），B （2，90°），D （4，240°），E （3，300°），即可判断．【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在列的度数， 由题意可知A 、B 、D 、E 的坐标可表示为：A （5，30°），故A 不正确；B （2，90°），故B 不正确；D （4，240°），故C 正确；E （3，300°），故D 不正确．故选择：C ．【点睛】本题考查新定义坐标问题，仔细分析题中的C 、F 两例，掌握定义的含义，抓住表示一个点，。
平面直角坐标系难点解读
Ｏ Ｇ Ｓ Ｅ Ｇ Ｓ ｌ ｌ
平 面直角坐标 系难点解 读
周 君
平 面 直 角 坐 标 系是 描 述 物 体 位 置 的重 表 示 为 — — ． 要模 型 ， 是 后 续 学 习 函数 及其 图像 的 “ 基 【 分析 】 根据实验楼 的坐标建立平面直
石” ， 更 是 中考 的重要 考点 ， 为 了帮 助 同学 角 坐 标 系 ， 然 后再 确 定 教 学楼 的坐 标 （ ３ ， ４ ） ．
ｎ ＜ ０ ， 所 以 点 Ｂ的横 坐 标 小 于 ０ ， 纵 坐 标 大 七年级 我们 学 习“ 数轴” 时， 在 一 条 直 于 ０， 点Ｂ在第 二 象 限 ． 线上确定一个 点的位置只要一个“ 量” 就 行 【 点评 】 此题也说 明横纵 坐标 的位置是 了． 在平 面直角坐标 系中 ， 需 要 有 一 定 顺 序 不 能 随 意 互 换 的． 的两个 “ 量” 确 定 平 面 上 一 个 点 的位 置 ， 即 难 点 二 点 的 坐 标 与 点 的 坐 标 表 示 对有 序 实数 ； 反之 ， 任 意 一 点 的 位 置 可 的 线 段 长 度 之 间 的符 号 关 系 以用一对有 序实数来 表示 ． 有 顺 序 的两 个 在平 面直角 坐标 系 中 ， 点 的 位 置 可 以 实数０ 与ｂ 组 成 的数 对 叫做 坐 标 ， 记作 （ ０ ， ｂ ） ， 出 现 在 四个 象 限 或 两 条 坐 标 轴 上 ， 因此 ， 表 实数 ０ 与ｂ 的先 后 顺 序 对 位 置 会 产 生影 响 ． 示 点的横 、 纵 坐 标 的数 是 实数 － 由于 线 段 的 例 １ 王 海 和 李 星 相 约 一 起 去 看 电 长度一 定是非 负数 ， 所 以 根 据 线 段 长 来 确
１ ， 即 ＝ １ ． ＝ ± １ ． 又点Ｐ 的位 置不确定 ，
第1部分 第3章 第1节 平面直角坐标系与函数
2．(2019·日照)如图，在单位为 1 的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，
△A5A6A7，…，都是斜边在 x 轴上，斜边长分别为 2，4，6，…的等腰直角
三角形，若△A1A2A3 的顶点坐标分别为 A规律，A2019 的坐标为( A )
函数(2018.10，2016.9，2014.9，2012.9) 1．函数及相关概念 (1)变量与常数：在一个变化过程中，可以变化的量，是变量；保持不 变的量，是常量． (2)函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x，y，且对于 x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有⑯ 唯一确定 的值与它对应，那么 就说 x 是自变量，y 是 x 的函数． (3)函数值：对于一个函数，取自变量 x 在允许范围内的一个确定值， 代入函数表达式求得的函数 y 的值，就叫做函数值．
【解析】由题意知，A1(21， 23)，A2(1，0)，A3(32， 23)， A4(2，0)，A5(25，－ 23)，A6(3，0)，A7(72， 23)，…综上可知，每个点的 横坐标为序号的一半，纵坐标每 6 个点依次为 23，0， 23，0，－ 23，0 这 样循环，∴A2019(20219， 23)．
【解析】∵不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，x 表示漏水时间，y 表示壶底到水面的高度，∴y 随 x 的增大而减小，符合一 次函数图象．
点的坐标特征(冷考) 1．(2013 安徽，18(2)，4 分)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作 如图(1)所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有 7 个特征点，将此基 本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图(2)， 图(3)，….
如图所示，三架飞机 P，Q，R 保持编队飞行，某时刻在坐标 系中的坐标分别为(－1，1)，(－3，1)，(－1，－1).30 秒后，飞机 P 飞到 P′(4， 3)位置，则飞机 Q，R 的位置 Q′，R′分别为( A )
初中数学常见错题归类及解题技巧研究
初中数学常见错题归类及解题技巧研究初中数学常见错题归类及解题技巧研究贾龙才（甘肃省古浪县第四中学，甘肃㊀武威㊀７３３１２７）ʌ摘要ɔ学生在解决数学问题时出现的错误往往暴露出其学习能力不足．整理学生的错题，并对错题原因进行分析㊁归类，有利于教师进一步掌握学生的学习动态，从而提高教学针对性，提升学生综合能力．文章立足于教学实践，对代数㊁几何㊁统计等类型的数学错题进行整理，将其分类为知识型错题㊁思维型错题㊁态度型错题，并给出具体案例．同时，文章剖析三类错题成因，以期为进一步提高初中数学解题教学质量提供参考．ʌ关键词ɔ初中数学；错题；归类；教学技巧引 言数学学习的过程本身就是不断犯错㊁改错的过程．合理归类错误并辨明其原因，落实配套的改错教学，可促进学生与教学内容的有效交互，使其在练习㊁纠错㊁反思的过程中形成深刻认知．实际教学中，教师有必要认识到错题教学的重要性，先对常见错题进行归类，之后结合典型错误案例说明错误原因，指导学生反思自身的解题情况，使其在观察案例的过程中反思自身，做到 有则改之，无则加勉 ．一㊁初中数学常见错题归类初中数学常见题目类型有很多，如实数㊁整式㊁函数的计算，线段垂直㊁平行的判断，三角形相似或全等的证明，概率计算，等等．围绕数学知识点对错题进行归类，可将初中数学错题分为数十类，极大地增加了错题教学的复杂性．而从错因角度出发对错题进行归类，则使错题体系变得简单得多．观察学生的解题过程，发现造成其解题错误的原因不外乎以下几个：知识遗忘或混淆导致解题错误，主观判断或惯性思维造成解题错误，审题时漏掉或错看关键信息造成解题错误，解题计算时不认真导致结果错误，等等．根据解题错因，可大致将初中数学错题归类为知识型错题㊁思维型错题㊁态度型错题三类．（一）知识型错题１．代数知识掌握不扎实导致错题代数知识以数的概念㊁算理㊁算法为主，包括实数的分类，单项式㊁多项式的概念及合并同类项的方法，一元一次方程㊁一元二次方程㊁二元一次方程（组）的概念及解法，等等．笔者在初中数学教学中发现，学生存在代数理论知识掌握不扎实的情况，导致其在解题时出现错误．以人教版七年级数学上册 有理数 的单元练习教学为例，有知识型错题如下：例１㊀计算－１２ː（－３）与２１３ː－１１６æèçöø÷．错解㊀－１２ː（－３）＝－４；２１３ː－１１６æèçöø÷＝７３ː－７６æèçöø÷＝７３ˑ７６＝２１３１８解析㊀此例题考点较多，主要包括：①乘积是１的两个数互为倒数；②除以一个不等于０的数，等于乘这个数的倒数；③两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；④两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．观察－１２ː（－３）的错解，发现在计算时未 变号 ，导致解题错误；观察２１３ː－１１６æèçöø÷的错解，发现该解题过程尝试将分数除法转化为分数乘法，但未将除数转化为其倒数，而错误地对其进行 变号 操作，导致错解．正解为：－１２ː（－３）＝１２ː３＝４；２１３ː－１１６æèçöø÷＝７３ˑ－６７æèçöø÷＝－２．２．几何知识掌握不扎实导致错题初中数学几何内容由图形的性质（点㊁线㊁面㊁角㊁相交线㊁平行线等）㊁图形的变化（轴对称㊁旋转㊁平移㊁相似㊁投影等）㊁图形与坐标（平面直角坐标系㊁图形的运动与坐标等）三部分构成．各部分知识互有关联，学生在学习过程中，容易因理解不到位而出现知５５１识遗忘㊁混淆等问题．以人教版七年级数学下册 相交线与平行线 的单元练习教学为例，有知识型错题如下：例２㊀如图１所示，已知直线ａʊｂ，ø１＝４５ʎ，ø２＝６５ʎ，则ø３等于（㊀㊀）．Ａ．１１０ʎ㊀㊀Ｂ．２５０ʎ㊀㊀Ｃ．７０ʎ㊀㊀Ｄ．１２０ʎ图１错解㊀Ｂ选项或Ｃ选项．解析㊀此题以平行线的性质为主要考点，包括：①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③若一个角的终边与始边互为反向延长线，则这个角叫作平角，若两个角的和等于１８０ʎ，则称这两个角互为补角．分析错题原因，发现选择Ｂ选项的学生将平行线的性质错记为 两直线平行，内错角互补 ，之后构造平行线得出ø３＝２５０ʎ；发现选择Ｃ选项的学生混淆平行线性质，按照 两直线平行，内错角互余 ，构造平行线得出ø３＝７０ʎ．按照正确的知识点，应作平行线ｃ平行于直线ａ，将ø３分为ø１与ø２的内错角，之后按照 两直线平行，内错角相等 的性质计算，得出正确的是Ａ选项．（二）思维型错题１．思维定式类型错题思维定式是指在定向思维的影响下出现的思维趋向性㊁专注性状态．思维定式在初中数学教学中是客观存在的，具有正㊁反两方面的作用．正向作用在于思维定式可帮助学生快速回顾已掌握的数学知识㊁原理㊁思想方法，从而迁移新知，解决类似问题．负面作用在于思维定式会限制学生的学习视野，使其局限于自身的知识体系，不能灵活变化角度分析并解答新问题．在初中数学解题过程中，常有学生因思维定式生搬硬套数学定理㊁公式来解决问题，导致答错．以人教版八年级数学上册 全等三角形 的单元解题教学为例，有思维定式类型错题如下：㊀图２例３㊀如图２所示，点Ｏ表示港口，Ａ，Ｂ分别表示的灯塔与港口距离相等．ＯＡ，ＯＢ表示海岸线，一艘货轮从港口驶出，计划沿øＡＯＢ的平分线航行．航行过程中，有人测得货轮距Ａ，Ｂ两个灯塔的距离相等，试着判断货轮是否偏离指定航线．错解㊀根据相关知识，到角两边距离相等的点在角平分线上，但题中给出的是到Ａ，Ｂ的距离，所以无法判断．解析㊀这一问题以角的平分线为主要考点，学生在解题时也考虑到应用此知识解答问题，但是，受思维定式的影响，直接将 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 生搬硬套到解题过程中，并未想到角的平分线将一个角分成了两个度数相等的角这一实质．解答这一问题，可从全等三角形的角度出发．如图３所示．图３结合题目给出的信息，可以发现ＯＡ＝ＯＢ，ＡＣ＝ＢＣ，ＯＣ＝ＯＣ，由此判断әＡＯＣɸәＢＯＣ，得到øＡＯＣ＝øＢＯＣ，即ＯＣ平分øＡＯＢ，所以该货轮并未偏离指定航线．２．主观判断类型错题思维是对经验的改组，是探索㊁发现新事物的心理过程，具有概括㊁间接认识客观事物的功能．解决数学问题需要学生从客观的角度分析问题的表象，挖掘其本质，并基于已掌握的数学概念㊁定理㊁思想方法找准解题切入点，按照确切的逻辑进行．但是，有的学生在解题时存在主观思维过强的问题，具体表现为：主观臆断题目考查内容，想当然地为题目添加新的解题条件，等等．其原因在于学生主观意识过于强烈，不能从客观角度出发分析并解决数学问题．以人教版八年级数学下册 勾股定理 的单元习题教学为例，有主观判断类型错题如下：例４㊀已知ａ，ｂ，ｃ为三角形ＡＢＣ的三边，且满足ｃ２（ａ２－ｂ２）＝（ａ２－ｂ２）（ａ２＋ｂ２），试判断三角形ＡＢＣ是什么三角形．错解㊀因为ｃ２（ａ２－ｂ２）＝（ａ２－ｂ２）（ａ２＋ｂ２），所以ｃ２＝ａ２＋ｂ２，符合勾股定理，三角形ＡＢＣ为直角三角形．解析㊀这一问题以勾股定理为主要考点，同时涉及整式的除法计算．学生犯错原因是从主观角度出发臆断ａ２－ｂ２不为零，所以判断错解中的等式成立．但是，题目并未明确给出ａ２－ｂ２不为零的条件，存在ａ２－ｂ２＝０的情况．因此，还应对ａ２－ｂ２＝０进行化简，因式分解得到（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝０．这时，三角形ＡＢＣ为等腰三角形．综合两项分析内容，可以得到，三角形ＡＢＣ可６５１能是直角三角形，也可能是等腰三角形．（三）态度型错题１．审题不细致审题是解题的第一步，学生只有认真审题，明确题目要求的是什么㊁给出了怎样的关键信息㊁不同数量间的关系是什么，才有可能找对解题切入点，顺利解题．但是，目前仍有学生在审题时不认真，导致解题出现纰漏．比如，一些学生过于自信，审题后未对题目给出的条件㊁信息进行深入思索，对照以往所解答的数学问题直接照搬解题套路；再如，一些学生急于求成，粗略读题，忽略题目给出的关键信息㊁题目中的隐藏信息，导致解题失败等．以人教版九年级数学下册 相似 的单元习题教学为例，有审题不细致的错题如下：例５㊀已知线段ＡＢ＝２ｍｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，则ＡＢʒＣＤ＝．错解㊀因为ＡＢ＝２ｍｍ，ＣＤ＝６ｃｍ，所以ＡＢʒＣＤ＝２ʒ６＝１ʒ３．解析㊀这一问题以比例为考点，是一道非常简单的习题，只需结合题目给出的信息计算比例即可．上述错解中，学生在审题时不认真，漏看了两条线段长度单位的差异，即线段ＡＢ的长度单位是毫米，线段ＣＤ的长度单位是厘米，在计算二者的比例时，应将二者转换为相同的长度单位再求解．正解为：因为ＡＢ＝２ｍｍ，ＣＤ＝６ｃｍ＝６０ｍｍ，所以ＡＢʒＣＤ＝２ʒ６０＝１ʒ３０．２．计算不认真计算是得到问题正确答案的手段．学生只要准确掌握算理算法，即可解决基本的数学运算问题．但是，在实际教学中，有的学生常出现代错数值㊁忽略变号等问题，导致计算结果错误．原因是计算态度不认真，未能在计算时将正确数值代入算式，或未能在计算后采取正确检验方法检验结果．以人教版九年级数学上册 二次函数 的单元习题教学为例，有计算型错题如下：例６㊀如图４所示，在平面直角坐标系中，点Ａ，Ｃ的坐标分别为（－１，０），（０，－３），点Ｂ在ｘ轴上．已知某二次函数的图像经过Ａ，Ｂ，Ｃ三点，且它的对称轴为直线ｘ＝１．求该二次函数的解析式．图４错解㊀由题意，可设ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｋ，图像经过点（－１，０），（０，－３），得到０＝４ａ＋ｋ，ａ＋ｋ＝－３，{所以ａ＝－３３，ｋ＝４３３．ìîíïïïïï解析㊀上述错解，学生在设函数解析式㊁代入交点坐标时没有统一书写格式，在用加减法解方程组时符号错误，导致错解．此外，学生在得到解后没有将其代入解析式进行检验，导致未及时发现错误．该题目的正解应当为：由题意设ｙ＝ａ（ｘ－１）２＋ｋ，图像经过点（－１，０），（０，－３），得到４ａ＋ｋ＝０，ａ＋ｋ＝－３，{所以ａ＝３３，ｋ＝－４３３．ìîíïïïïï二㊁教学反思学生解题错误，其原因不外乎基础不牢固㊁思维僵化㊁解题态度不严谨等．明确错因，并对症下药，可在一定程度上避免学生犯错．教师应专注课程教学，及时发现学生的问题并为其进行点拨㊁解惑，从根本上促成其对数学概念㊁性质等理论知识，数学思想方法等程序性知识的内化吸收，确保其能够从不同角度出发灵活解决疑难问题．结 语错题是一类不可忽视的重要教学资源，围绕其展开初中数学教学工作，可使教师更加深刻地认识到学生对数学基础知识的掌握情况㊁数学思维及解题能力的发展情况．教师应当明确数学错题的育人价值，并关注学生在代数㊁几何㊁统计学知识中的错误情况．收集错题并对其进行分类整理，以便明确学生的错误原因，从而采取加强基础知识教学㊁思维训练等针对性教学策略，为提高初中学生的数学综合能力提供支持．ʌ参考文献ɔ［１］游冬妮．初中数学典型易错题分析及应对策略［Ｊ］．中学教学参考，２０２２（３５）：２５－２７．［２］战文颜．初中数学解题策略的研究及应用［Ｊ］．数理天地（初中版），２０２２（２３）：６９－７１．［３］高雁．有效教学理论下的初中数学复习课教学［Ｊ］．数理天地（初中版），２０２２（２３）：７８－８０．［４］司淑萍．新时期初中数学解题策略与数学思维的研究［Ｊ］．数学学习与研究，２０２２（３１）：３８－４０．７５１。
平面直角坐标系“误”中“悟”
刻 画变 化 ． 但 不 断 的 变 化 也 给 我 们 解 决 问 正 ； 第 二象 限 的点 横 坐标 为 负 ， 纵 坐 标 为 题 带 来 了许 多 困难 ， 产 生 了一 些 错 误 ． 正； 第 三 象 限 的点 横 坐 标 为 负 ， 纵 坐 标 也 为
一
、
不 能 清 楚 描 述 物 体 的位 置 变化
【 错解 】 建立如 图 ２
二 、不 能 准 确 判 断横 、 纵 坐 标 的符 号
错， 必须 明确 ： 点 到 轴 的 距 离 用 纵 坐 标 的
４ ７
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 点 的 坐 标 绝 对 值 表 示 ， 到 ｙ 轴 的距 离用 横 坐 标 的绝 对
１ １ ＂ ｎ ｔ ｅ ｌ ｌ ｉ ｇ ｅ ｎ ｔ ｍ ａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ＿ Ｉ Ｌ 智慧数 学
【 分析 】 错 解 只是 判 断 了横 坐标 是 负 【 错解 】 （ ３ ， ２ ） ， （ ３ ， ３ ） ， （ ４ ， ３ ） ， （ ４ ， ４ ） ， （ ５ ， ４ ） ． 数， 忽 略 了第 四 象 限 的点 坐 标 的特 点 ： 横 坐 【 分析 】 错解忽 略了“ 怪兽 ” 开始 出发的 标 是 正 数 ， 并且纵 坐标是负数． 头两个 位 置 的表 示 ． 从 图 中看 ， 第 一 个 位 【 正解 】 ０ ． ５ ＜ ｍ＜ ３ ．
置 是 横 向 表 示 的 数 是 ０， 纵 向 表 示 的 数 也 是 ０ ， 所 以可用 （ ０， ０ ） 来 表示 ， 第 二 个 位 置 以可用 （ １ ， ０ ） 来表示 ．
三 、不 能 正 确 理 解 点 的坐 标 的 意义
在 平 面 直 角 坐 标 系 中 表 示 点 的 坐 标
(易错题精选)初中数学函数之平面直角坐标系易错题汇编含解析
（易错题精选）初中数学函数之平面直角坐标系易错题汇编含解析一、选择题1．点A （-4，3）和点B （-8，3），则A ，B 相距（ ）A ．4个单位长度B ．12个单位长度C ．10个单位长度D ．8个单位长度【答案】A【解析】【分析】先根据A ，B 两点的坐标确定AB 平行于x 轴，再根据同一直线上两点间的距离公式解答即可．【详解】解：∵点A 和点B 纵坐标相同，∴AB 平行于x 轴，AB=﹣4﹣（﹣8）=4．故选A ．2．如图，动点P 从()0,3出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P 第2018次碰到矩形的边时，点P 的坐标为( )A ．()1,4B ．()5,0C ．()7,4D ．()8,3【答案】C【解析】【分析】 理解题意，由反射角与入射角的定义作出图形，观察出反弹6次为一个循环的规律，解答即可.【详解】如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2018÷6=336…2，∴当点P 第2018次碰到矩形的边时为第336个循环组的第2次反弹，点P 的坐标为（7，4）．故选C ．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，首先作图，然后观察出每6次反弹为一个循环，据此解答即可.3．已知直线y x m =-+与直线1y x =-的交点在第四象限，则m 的取值范围是( ) A ．1m >-B ．1m <C ．11m -<<D ．11m -≤≤【答案】C【解析】【分析】解方程组求出交点坐标，根据交点在第四象限得到不等式组，即可求出答案.【详解】 解方程组1y x m y x =-+⎧⎨=-⎩，得1212m xm y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴直线y x m =-+与直线1y x =-的交点坐标是（12+m ，12m - ）， ∵交点在第四象限， ∴102102m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩， 得-1<m<1，故选：C.【点睛】此题考查一次函数交点与二元一次方程组的关系：交点的横纵坐标即是方程组的解，直角坐标系中点的坐标的特点，熟记每个象限内点的坐标特点是解题的关键.4．在平面直角坐标系中，若干个半径为2个单位长度，圆心角为60︒的扇形组成一条连续的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为2个单位长度/秒，点在弧线上的速度为23π个单位长度/秒，则2019秒时，点P 的坐标是（ ）A ．()2019,0B ．()2019,3C ．()2019,3-D ．()2018,0【答案】C【解析】【分析】 如图，过半径OA 的端点A 作AB x ⊥轴于点B ，设第n 秒运动到点n P （n 为自然数），根据锐角三角函数和扇形的弧长公式求得414+34+442(41,3),(42,0),(43,3),(44,0)n n n n P n P n P n P n +++++-+，根据201945043=⨯+即可求解点P 的坐标．【详解】如图，过半径OA 的端点A 作AB x ⊥轴于点B ，设第n 秒运动到点n P （n 为自然数）2,60OA AOB ︒=∠=Qsin 3cos 1AB OA AOB OB OA AOB ∴=⋅∠==⋅∠=，圆心角为60°的扇形的弧长为60221803ππ⨯= 12345(13),(2,0),(3,3)(4,0),3),,P P P P P ∴-L1244(413),n n P n P ++∴+4+34+4(42,0),(43,3),(44,0)n n n P n P n ++-+201945043=⨯+Q∴2019秒时，点P 的坐标为(2019,3-故答案为：C ．【点睛】本题考查了坐标类的规律题，掌握各点坐标的规律是解题的关键．5．下列结论：①坐标为3-的点在经过点(3,0)-且平行于y 轴的直线上；②0m ≠时，点()2,P m m -在第四象限；③点()3,4-关于y 轴对称的点的坐标是(3,4)--；④在第一象限的点N 到x 轴的距离是1，到y 轴的距离是2，则点N 的坐标为(2,1)． 其中正确的是（ ）．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③ 【答案】C【解析】依据点的坐标的概念，关于坐标轴对称的点的特征以及不同象限内点的坐标特征，即可得到正确结论．【详解】①横坐标为3-的点在经过点(3,0)-且平等于y 轴的直线上，故正确；②当0m ≠时，点()2,P m m -在第四象限或第一象限，故错误；③与点()3,4-关于y 对称点的坐标是(3,4)，故错误；④在第一象限的点N 到x 轴的距离是1，到y 轴的距离是2，则点N 的坐标为(2,1)，故正确．故选：C ．【点睛】本题考查了点的坐标的概念，关于坐标轴对称的点的特征以及不同象限内点的坐标特征．6．如图，点P 在第二象限，OP 与x 轴负半轴的夹角是α，且35,cos 5OP α==，则P 点的坐标为（）A ．()3,4B ．()3,4-C ．()4,3-D ．()3,5-【答案】B【解析】【分析】 过点P 作PA ⊥x 轴于A ，利用35,cos 5OP α==求出OA ，再根据勾股定理求出PA 即可得到点P 的坐标.【详解】过点P 作PA ⊥x 轴于A ， ∵35,cos 5OP α==， ∴3cos 535OA OP α=⋅=⨯=， ∴22PA OP OA =-=4，∵点P 在第二象限，∴点P 的坐标是（-3,4）【点睛】此题考查三角函数，勾股定理，直角坐标系中点的坐标特点，解题中注意点所在象限的坐标的符号特点.7．平面直角坐标系中，点A(-3，2)，()3,5B ，(),C x y ，若AC ∥x 轴，则线段BC 的最小值及此时点C 的坐标分别为( )A ．6，()3,4-B ．2，()3,2C ．2，()3,0D ．3，()3,2【答案】D【解析】【分析】由AC ∥x 轴，A （-3，2），根据坐标的定义可求得y 值，根据线段BC 最小，确定BC ⊥AC ，垂足为点C ，进一步求得BC 的最小值和点C 的坐标．【详解】∵AC ∥x 轴，A （-3，2），(),C x y ，()3,5B ，∴y=2，当BC ⊥AC 于点C 时， 点B 到AC 的距离最短，即：BC 的最小值=5−2=3，∴此时点C 的坐标为(3，2)．故选D ．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中的点的坐标，根据题意，画出图形，掌握“直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短”，是解题的关键．8．如图，已知A ：(1，0)．A 2(1，-1)，A 3(-1,-l)．A 4 (-1, 1), A 5 (2, 1)，．．．则点A 2020的坐标是( )A ．(506，505)B ．(-505，-505)C ．(505，-505)D ．(-505，505)【答案】D【解析】【分析】 经过观察可得在第一象限的在格点的正方形的对角线上的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加1，在第二象限的点的横坐标依次加-1，纵坐标依次加1；在第三象限的点的横坐标依次加-1，纵坐标依次加-1，在第四象限的点的横坐标依次加1，纵坐标依次加-1，第二，三，四象限的点的横纵坐标的绝对值都相等，并且第三，四象限的横坐标等于相邻4的整数倍的各点除以4再加上1，由此即可求出点A 2020【详解】解：易得4的整数倍的各点如:4812,,A A A∵20204505÷=，∴点2020A 在第二象限，∴2020A 是第二象限的第505个点，∴2020A 的坐标为(-505,505)，故选：D【点睛】本题考查了点的坐标规律，属于规律型，考查点的坐标，首先确定象限，再找出点之间的规律．9．在平面直角坐标系中，过点3,2)A -画直线a x ⊥轴，过点(2)B -画直线b y ⊥轴，直线,a b 相交于点P ，则点P 的坐标是（ ）A ．(3,2B ．(2,3C ．)3,1-D ．(2-【答案】A【解析】【分析】 根据过点(3,2)A -画直线a x ⊥轴可以知道P 点的横坐标，根据过点(1,2)B -画直线b y ⊥轴可以知道p 点的纵坐标，由点P 的横纵坐标即可得到答案.【详解】解：∵点p 是通过点(3,2)A -画直线a x ⊥轴，过点(1,2)B -画直线b y ⊥轴得到的交点，∴点P 的横坐标与点A 的横坐标相同，即3，点P 的纵坐标与点B 的纵坐标相同，即2，因此，点p 的坐标为()3,2， 故A 为答案.【点睛】本题主要考查了与直角坐标系有关的知识，掌握向x 轴画垂线得到的点横坐标相同，向y 轴作垂线得到的点纵坐标相同是解题的关键.10．如图，小手盖住的点的坐标可能为( )A ．(-1，1)B ．(-1，-1)C ．(1，1)D ．(1，-1)【答案】D【解析】【详解】 解：根据第四象限的坐标特征，易得小手盖住的点的横坐标为正，纵坐标为负，选项D 符合此特征，故选：D11．在平面直角坐标系中,点P(1,-2)在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.【详解】∵点P(1,-2),横坐标大于0，纵坐标小于0，∴点P(1,-2)在第三象限,故选D.【点睛】本题考查了象限内点的坐标特征，关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号．12．如果点P （m +3，m +1）在x 轴上，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（2，0）C ．（4，0）D ．（0，﹣4）【答案】B【解析】【分析】根据点P 在x 轴上，即y =0，可得出m 的值，从而得出点P 的坐标．【详解】根据点P 在x 轴上，即y ＝0，可得出m 的值，从而得出点P 的坐标．解：∵点P （m +3，m +1）在x 轴上，∴y ＝0，∴m +1＝0，解得：m ＝﹣1，∴m +3＝﹣1+3＝2，∴点P 的坐标为（2，0）．故选：B ．【点睛】本题考查了点的坐标，注意平面直角坐标系中，点在x 轴上时纵坐标为0，得出m 的值是解题关键.13．在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，我们把点()1,1P y x '-++叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…，这样依次得到点123,,,,,n A A A A L L ．若点1A 的坐标为()3,1，则点2019A 的坐标为（ ） A ．()0,2-B ．()0,4C ．()3,1D ．()3,1-【答案】D【解析】【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，每4个点为一个循环组依次循环，用2019除以4，根据商和余数的情况确定点A 2019的坐标即可．【详解】解：A 1的坐标为（3，1），则A 2（-1+1，3+1）=（0，4），A 3（-4+1，0+1）=（-3，1），A 4（0，-2），A 5（3，1），…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2019÷4=504…3，∴点A2019的坐标与A3的坐标相同，为（-3，1），故选D.【点睛】本题考查点的坐标规律，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．14．如图，将平面直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的13，则点A的对应点A′的坐标是( )A．(2，3) B．(6，1) C．(2，1) D．(3，3)【答案】A【解析】【分析】先写出点A的坐标为（6，3），纵坐标保持不变，横坐标变为原来的13，即可判断出答案．【详解】点A变化前的坐标为(6,3)，将纵坐标保持不变,横坐标变为原来的13，则点A的对应点A′坐标是(2,3).故选A.【点睛】本题考查的是坐标，熟练掌握坐标是解题的关键.15．如图，象棋盘上，若“将”位于点（1，﹣2），“象”位于点（5，0），则炮位于点（）A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，2）C ．（﹣2，1）D ．（﹣2，2）【答案】C【解析】【分析】 根据“将”的位置向左平移一个单位所得直线是y 轴，向上平移2个单位所得直线是x 轴，根据“炮”的位置，可得答案．【详解】解：根据题意可建立如图所示坐标系，由坐标系知炮位于点（﹣2，1），故选：C ．【点睛】本题考查了坐标确定位置，利用“将”的位置向左平移一个单位所得直线是y 轴，向上平移2个单位所得直线是x 轴是解题关键．16．P 在第二象限，P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是（ ） A ．()2,3-B ．()3,2-C ．()3,2D ．()2,3 【答案】B【解析】【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x 轴的距离等于纵坐标的长度，到y 轴的距离等于横坐标的长度求解即可．【详解】解：∵点P 在第二象限，且到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，∴点P 的横坐标为-3，纵坐标为2，∴点P 的坐标是（-3，2）．故选：B ．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的长度，到y 轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为()2,3，则菱形OABC 的面积是（ ）A ．6B ．13C ．3132D ．313【答案】D【解析】【分析】 作CH ⊥x 轴于点H ，利用勾股定理求出OC 的长，根据菱形的性质可得OA ＝OC ，即可求解．【详解】如图所示，作CH ⊥x 轴于点H ，∵四边形OABC 是菱形，∴OA ＝OC ，∵点C 的坐标为()2,3，∴OH ＝2，CH ＝3，∴OC ＝22OH CH +＝2223+＝13∴菱形OABC 的面积＝OA·CH ＝313 故选：D【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质、菱形的面积公式，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形．-+有意义，那么直角坐标系中 P(m,n)的位置在（）18．如果代数式mmnA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据二次根式与分式的性质求出m,n的取值，即可判断P点所在的象限.【详解】依题意的-m≥0，mn＞0，解得m＜0，n＜0，故P(m,n)的位置在第三象限，故选C.【点睛】此题主要考查坐标所在象限，解题的关键是熟知二次根式与分式的性质.19．若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）A．（3，0）B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3）D．（0，3）或（0，–3）【答案】B【解析】【分析】根据x轴上点的纵坐标为0，可得P点的纵坐标，根据点P到y轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．【详解】由x轴上的点P，得P点的纵坐标为0，由点P到y轴的距离为3，得P点的横坐标为3或-3，∴点P的坐标为（3，0）或（-3，0），故选B．【点睛】本题考查了点的坐标，利用y轴上点的横坐标为得出P点的横坐标是解题关键，注意点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值．20．为了保障艺术节表演的整体效果，某校在操场中标记了几个关键位置，如图是利用平面直角坐标系画出的关键位置分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示点A的坐标为，表示点B的坐标为，则表示其他位置的点的坐标正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】正确建立平面直角坐标系，根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．【详解】建立平面直角坐标系，如图：则 .表示正确的点的坐标是点D.故选B.【点睛】本题主要考查坐标确定位置，确定坐标原点和x，y轴的位置及方向，正确建立平面直角坐标系是解题关键.。
人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：平面内直角坐标系基础(解析版)
人教版七年级数学下册期考重难点突破、典例剖析与精选练习：平面内直角坐标系基础知识网络重难突破知识点一平面直角坐标系有序数对概念：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a ，b）。
【注意】a、b的先后顺序对位置的影响。
平面直角坐标系的概念：在平面内画两条互相垂直并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系。
两轴的定义：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右为正方向；竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向。
平面直角坐标系原点：两坐标轴交点为其原点。
坐标平面：坐标系所在的平面叫坐标平面。
象限的概念：x轴和y轴把平面直角坐标系分成四部分，每个部分称为象限。
按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
【注意】坐标轴上的点不属于任何象限。
点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)。
【典型例题】题型一位置的确定典例1（2019·平顶山市期末）下列描述不能确定具体位置的是（）A．某影剧院6排8号B．新华东路210号C．北纬32度，东经116度D．南偏西56度【答案】D【详解】解：A、某影剧院6排8号能确定具体位置；B、新华东路210号，能确定具体位置；C、北纬32度，东经116度，能确定具体位置；D、南偏西56度不能确定具体位置；故选D.变式1-1（2019·南宁市期中）下列数据中，不能确定物体位置的是（）A．1单元201号B．南偏西C．学院路11号D．东经，北纬【答案】B【详解】解:A、1单元201号，是有序数对，能确定物体的位置，故正确;B、南偏西45°，不是有序数对，不能确定物体的位置，故错误;C、学院路11号，“学院路”相当于一个数据，是有序数对，能确定物体的位置，故正确；D、东经105°北纬40°，是有序数对，能确定物体的位置，故正确.故选B.变式1-2（2019·孝义市期末）根据下列表述，能确定位置的是( )A．孝义市府前街B．南偏东45︒C．美莱登国际影城3排D．东经116.4︒，北纬39.9︒【答案】D【详解】解：A、孝义市府前街，具体位置不能确定，故本选项错误；B、南偏东45︒，具体位置不能确定，故本选项错误；C、美莱登国际影城3排，具体位置不能确定，故本选项错误；D、东经116.4︒，北纬39.9︒，位置很明确，能确定位置，故本选项正确．故选：D．题型二用坐标表示位置典例2-1（2019·西宁市海湖中学初一期中）如图所示是做课间操时，小明、小红、小刚三人的相对位置，如果用（4，5）表示小明的位置，（2，4）表示小刚的位置，则小红的位置可表示为（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1,0）D．(1,1)【答案】D【详解】如图，∵用（4，5）表示小明的位置，（2，4）表示小刚的位置，∴小红的位置可表示为(1,1)故选D.。
平面直角坐标系中含参数题的错因分析
平面直角坐标系中含参数题的错因分析作者：姚月四来源：《初中生世界·八年级》2020年第02期平面直角坐标系是初中阶段数学学习的重要内容之一，是后续学习函数等知识的重要基础。
有些同学初学平面直角坐标系时，对含参数的习题常常无从下笔，出现一些典型错误。
下面举几例，我们一起来分析。
一、基本概念不清例1 在平面直角坐标系中，点P（m-3，2-m）不可能在（）。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【错解】B（或C、D）。
【错因分析】初看此题，横、纵坐标中都含有字母m，感觉无从下笔。
其实，我们只要抓住各象限内点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-），分别列出不等式组分类讨论，即可求解。
【正确答案】A。
二、图形本质不明例2 已知点M坐标为（2-a，3a+6），且M点到两坐标轴的距离相等，则点M的坐标是____。
【错解】（3，3）。
【错因分析】点M（x，y）到x轴的距离等于纵坐标的绝对值;点M（x，y）到y轴的距离等于横坐标的绝对值。
若已知点到x轴、y轴的距离，求点的横纵坐标，则应考虑两解。
【正确答案】（3，3）、（6，-6）。
三、图形变换不熟例3 如图1，第一象限内有两点P（m-3，n），Q（m，n-2），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是____。
【错解】（0，2）。
【错因分析】平移过程中点的坐标变化规律：右移横坐标加，左移横坐标减;上移纵坐标加，下移纵坐标减。
图形的平移即为图形上点的平移，设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′。
分两种情况进行讨论：①如图2，P′在y轴上，Q′在x轴上;②如图3，P′在x轴上，Q′在y 軸上。
题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现数形结合的思想。
【正确答案】（0，2）、（-3，0）。
同学们，通过对这三道题的错因分析，大家对解决含参数的平面直角坐标系有关问题有更深入的认识了吧？其实，在平时做题时，只要我们仔细审题，抓住图形或数量关系的本质特征，就一定能降低错误率！挑战自我：已知点A（-2，-1），点B（a，b），直线AB与坐标轴平行且AB=3，则点B 的坐标是____。
剖析平移错因 防止错误再生
剖析平移错因 防止错误再生平移是新课标增加的内容.学习它不仅可以培养我们的各种能力，而且它在生产和生活中都有着广泛的应用.但是，不少同学初学时容易出现错误，为了避免错误的再度发生，我们把其主要错误列举如下，以防再次发生.一、平移概念理解不透例1 下列运动：①在球面上爬行的七星瓢虫； ②海浪的运动； ③在跑道上滑行的飞机；④屏幕上一串移动的字幕；⑤沿圆形跑道跑步的运动员，其中属于平移的有哪些？错解 属于平移的有①②③④⑤.剖析 本题之所以出错，是因为忽视了平移是“在同一平面内”或“沿某个方向”两个条件. ①球面是曲面而非平面；②和⑤没有按同一个方向运动； 而③和④符合平移定义.正解 属于平移的有③、④.点评 平移属全等变化,判断其是否属平移的关键是看其形状、大小是否发生变化，特别应注意空间上的平移. 防止错误的方法是：对平移的意义要深入的理解，在判断两个图形是否有平移关系时，容易忽略在“同一平面内”或“沿某一个方向”这两个条件而出错，为避免出错，一定要准确理解平移的概念及特征.二、平移距离把握不准例2、如图1所示，请将图中的“蘑菇”向左平移6个格. 错解 如图1所示剖析 蘑菇平移的方向、平移的距离都为已知，只要将构成 蘑菇的八个关键点分别平移即可.但应注意关键点与对应点间距离 为6个格，而不是原图形与所画图形最左点相差6个格.正解 如图2所示.点评 找准题中平移的方向和平移的距离，是解这类题的关键. 如本例要找准构成蘑菇的八个关键点.分别平移八个关键点，然后将 对应点连接即可.三、平移作图不够完整例3、如图3，已知正方形ABCD 和线段MN ，MN =AB ，请你将正方形ABCD 平移，使其一边是MN ，作出平移后的图形.图2 图1错解 以MN 为边,作出正方形MNEF ，如图4，则正方形MNEF 就是平移后的正方形. 剖析 错解作出的正方形MNEF 也是满足条件，只是没有把符合条件的图作完整，满足条件的正方形应该有两个.正解 如图5所示，以MN 为边作正方形，则正方形EFMN 和正方形PQMN 就是平移后的正方形.点评 作出一个图形平移后对应的图形需要三个条件:图形原来位置、平移方向、平移的距离.其步骤是：(1)分析题目要求，找出平移方向和距离；(2)分析图形，确定成图的关键点；(3)沿一定的方向，按一定距离平移各关键点；(4)顺次连接所作出各关键点，并标上相应字母；(5)写出结论.但是，要注意检查是否作的完整.四、平移问题不会应用例4 、如图6，A 、B 两城市之间有一条国道，国道的宽为a ，现要在国道修建一座垂 直于国道的立交桥，使通过A 、B 两城市路程最近，请你设计建桥的位置，并说明理论依据.错解 如图6，MN 为桥的位置，理由是：两点之间线段最短. 剖析 如果把国道看成一直线,上述的作法正确, 这里给出了国道的宽,显然上述作法是错误的.如图7，不妨设国道的两边分别为l 1、l 2， 桥为MN ，那么从A 到B 要走的路线就是 A →M →N →B 了，而MN ＝a ＝定值，于是要 使路径最短，只要A M +BN =C N +BN 最短即可.正解 过A 点作AC ⊥L 1,使AC =a ,连接BC 交L 2于N 点,建桥的位置如图7. 从A 到B 要走的路线就是A →M →N →B 了，而MN ＝a ＝定值，于是要使路径最短，只要AM +BN =CN +BN 最短即可. 连结BC 的线段即为最短的，此时不难说明线段BC 与国道边缘l 2的交点N 就是修桥的位置.点评 本题是设计建桥的位置，却隐含了平移的知识，体现了数学知识与社会生活的紧C A B M A B F 图7BA 图6BA BD NM图3 ACDN M EFPQ图5N F AC D图4E密联系，既能使我们在具体情况中分析、解决问题，又很好地培养和锻炼了同学们的发散思维能力.例谈平移作图的方法一、已知原图和平移的方向、距离，作出平移后的图形例1 在如图1所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为l ，三角形ABC 的三个顶点在格点上，画出将三角形ABC 沿直线CB 方向向左平移2格得到的三角形A 1B 1C 1.分析：网格作图是考试的热点.平移作图，首先确定平移的条件：平移的方向和距离，再根据条件找出平移前后图形的一组对应点，然后构思并实施方案，得到平移后的图形.平移时要确保对应线段的方向一致.解：如图2，本题只需作出点A ，点B ，点C 沿直线CB 方向向左平移2格后的对应点A 1，B 1，C 1，然后将其按原来的方式顺次连接，即可得到三角形ABC 沿直线CB 方向向左平移2格后的三角形A 1B 1C 1.二、已知原图和一组对应点，作出平移后的图形例2 如图3，经过平移，三角形ABC 的顶点A 移到了点D 的位置，作出平移后的三角形.图1图2分析：由“三角形ABC的顶点A移到了点D的位置”，可确定平移的条件，即沿AD的方向，平移的距离等于线段AD的长，根据条图3 图4 件画出点B，C平移后的对应点E，F即可.解：如图4，过点B，C分别作线段BE，CF，使它们与线段AD平行且相等，连接DE，DF，EF，则三角形DEF就是三角形ABC平移后的图形.三、已知原图和一个不确定的对应点，作出平移后的图形例3 如图5-1，线段AB经过平移有一端点到达点C，画出线段AB平移后的线段CD．分析：平移是由平移的方向和距离决定的，本题中未指明哪一端点（A还是B）移动到点C，故应有两种情况，即点A平移到点C或点B平移到点C，所以平移的方向不同，距离也不一定相同.解：如图5-2，线段CD有两种情况：（1）当点A平移到点C时，则点D在点C的下方，因此下边线段CD即为所求；（2）当点B平移到点C时，则点D在点C的上方，上边线段CD即为所求.图5-1图5-2坐标系问题典例在线平面直角坐标系使平面中的点与坐标（有序数对）建立了一一对应的关系，正是这种对应关系，使数与形完美的结合起来，给那些抽象的数式赋予直观的图形.下面就归类分析考查这方面知识的常见题型，以供参考.一、根据坐标定位置例1 如图1，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M ，如果点M 的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D析解：由点P(a,b)的坐标确定点的位置的方法是：过x 轴上表示a 的点画x 轴的垂线，再过y 轴上表示b 的点画y 轴垂线，两垂线的交点就是点P 的位置.由题意可知图中每个小正方形的边长是10米，所以(10，20)表示的位置是B.故选（B ）.评注：我们要牢记每一个象限中以及坐标轴上点的坐标的特点，灵活的求解点的坐标，或已知坐标确定点的位置.二、根据位置求坐标例3 如图2，是益阳市行政区域图，图中益阳市区所在地用坐标表示为(2，0)，安化县城所在地用坐标表示为(-2，-1)，那么南县县城所在地用坐标表示为 .析解：方法1：要确定“南县县城”的位置，可以先根据“益阳市区”和“安化县城”的坐标建立正确的平面直角坐标系，即建立平面直角坐标系必须符合“益阳市区”和“安化县城”的坐标，建立如图的直角坐标系后，易得“南县县城”的坐标是（3，4）.方法2：利用平移的知识，“南县县城”可以看作“益阳市区”先向右平移1个单位，再向上平移4个单位，故可知“南县县城”的坐标是（3，4）.评注：本题是利用正方形网格的相对位置来考查平面直角坐标系及点的坐标等相关知识，用坐标确定平面内点的位置，需要先建立适当的平面直角坐标系.图1图2图3x(三、根据平移求坐标例3 如图3，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（ ）(A) (1, 7) , (－2, 2)，(3, 4) (B) (1, 7) ， (-2, 2)，(4, 3) (C) (1, 7) , (2, 2)，(3, 4) (D) (1, 7) ，(2,－2)，(3, 3) 析解：若点P （x ，y ）向左（或向右）平移m （m ＞0）个单位，则对应的横坐标是减去m （或加上m ），纵坐标不变；若向上（或向下）平移n （n ＞0）个单位，则对应点的横坐标不变，纵坐标是加上n （或减去n ）.所以得平移后三个顶点的坐标是(1, 7) , (－2, 2)，(3, 4)，故选（A ）.评注：解决这类运动型问题，要多画一画，画出图形后，问题自然就可解决.。
极坐标系问题求解中的“错点”举例与剖析
极坐标系问题求解中的“错点”举例与剖析
吴显诚
【期刊名称】《中学生数理化:高二数学、高考数学》
【年(卷),期】2022()11
【摘要】高中阶段,极坐标系是基于平面直角坐标系,用于研究平面解析几何相关问题,也是近几年全国甲卷、乙卷(原全国Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷)选做题目中的较易问题,重点考查极坐标系的概念、极坐标系与平面直角坐标系的对应联系、运用极坐标的方法解决解析几何问题。
本文简单叙述这几类问题,以同学们经常出现的“错点”为例。
【总页数】3页(P21-23)
【作者】吴显诚
【作者单位】西藏拉萨北京实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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中考数学几何旋转经典例题
旋转知识点归纳知识点1:旋转的定义及其有关概念在平面内，将一个图形绕一个定点O 沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O 称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P 经过旋转到点P ',那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB 绕点O 顺时针转动090得到B A '',这就是旋转,点O 就是旋转中心,A AO B BO '∠'∠,都是旋转角.说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向. 知识点2:旋转的性质由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质：⑴经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，对应点的排列次序相同. ⑵任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角. ⑶对应点到旋转中心的距离相等. ⑷对应线段相等，对应角相等.例1 、如图2，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ADB 绕点A 逆时针方向旋转到△C D A '的位置，则ADD '∠的度数是（ ）Ａ．25Ｂ．30Ｃ．35Ｄ．45'图1图2知识点3:旋转作图例2 如图3，小明将△ABC 绕O 点旋转得到△C B A '''，其中点C B A '''、、分别是A 、B 、C 的对应点.随即又将△ABC 的边AC 、BC 及旋转中心O 擦去(不留痕迹),他说他还能把旋转中心O 及△ABC 的位置找到,你认为可以吗?若可以,试确定旋转中心及的位置;如不可以,请说明理由.评注:旋转角相等及对应点到旋转中心的距离相等是解决这类问题的关键.考点4:钟表的旋转问题钟表的时针与分针每时每刻都以轴心为旋转中心作旋转运动,其中时针12小时旋转一周,则每小时旋转,301236000=这样时针每分钟旋转;5.00分针每小时旋转一周,则每分钟旋转.66036000=例3 从1点到1点25分,分针转了多少度角?时针转了多少度角?1点25分时时针与分针的夹角是多少度?A图3'解读生活中的旋转.五.典例剖析例1如图1，D 是等腰Rt ABC △内一点，BC 是斜边，如果将ABD △绕点A 逆时针方向旋转到ACD '△的位置，则ADD '∠的度数是（ ）Ａ．25Ｂ．30Ｃ．35Ｄ．45例3在如图3的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，ABC △的三个顶点 都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．（1）画出ABC △向平移4个单位后的111A B C △； （2）画出ABC △绕点O 顺时针旋转90后的D图1222A B C △，并求点A 旋转到2A 所经过的路线长．学好旋转的三个要点旋转在实际生活中随处可见．因此，学好旋转的知识有利于我们解决实际问题，学习时应注意把握好以下几点：一、正确理解旋转的概念在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点叫做旋转中心．旋转不改变图形的形状和大小． 理解这个概念应注意以下两点：1．旋转和平移一样，是图形的一种基本变换； 2．图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度．例 如图1，ABC △是等腰直角三角形，90AB AC BAC ==︒，∠，D 是BC 上一点，ACD △经过旋转后到达ABE △的位置．（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？（3）若P 是AC 的中点，那么经过上述旋转后，点P 旋转到了什么位置？三、会寻找旋转中心图1例3 如图3所示，四边形ABCD 绕某点旋转后到四边形A B C D ''''，你能确定旋转中心吗?试一试． 分析：我们可以用待定位置法．假定点O 就是旋转中心，由于对应点到旋转中心的距离相等，则有OA OA OB OB ''==，，从而O 一定是线段AA '和线段BB '的垂直平分线的交点上．． 心．例2 如图4，ABC △是等边三角形，点D G ，分别是AB AC ，的中点，四边形BDEF 和四边形AGHK 都是正方形．（1）试确定正方形AGHK 绕某点旋转得正方形EFBD 的旋转中心． （2）正方形BDEF 旋转多少度时可以与正方形AGHK 重合？分析：因为四边形AGHK 和四边形BDEF 都是正方形，所以情况较多，我们只选择其中一个讲解，其它情况请同学们自己探索，欢迎你把自己的探索成果告诉我们．解：（1）选择BD 和GH 作为对应线段（点B 对应点G ，点D 的对应点为点H ）．连接DG DH BG ，，，则易知DB DG GH ==，连接点D 与线段BG 的中点M 并延长，连接点G 与线段DH 的中点并延长，两直线相交于点O ，则有GO 垂直平分DH DO ，垂直平分BG ，则点O 就是旋转中心．BOG ∠为旋转角．（2）150DGH DGA AGH =+=︒∠∠∠，1752NGH DGH ==︒∠∠，图 1图475MGO NGH ==︒∠∠（对顶角）． 又90GMO =︒∠，所以15MOG =︒∠． 所以旋转角230BOG MOG ==︒∠∠．所以当正方形BDEF 绕点O 顺时针旋转30︒时，可与正方形GHKA 重合．旋转坐标新意多求旋转后点的坐标的问题是学习旋转是常见的问题。
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平面直角坐标系错解剖析
【题1】求点P(m，－n)与两坐标轴的距离．
[误解一]
点P(m，－n)到x轴的距离为n，到y轴的距离为m．
[误解二]点P(m，－n)到x轴的距离为|m|，到y轴的距离为|－n|即|n|．
[正解]点P(m，－n)到x轴的距离为|－n|，即|n|，到y轴的距离为|m|．
[错因分析与解题指导]
[误解一]以为m表示正数，－n表示负数，因而得出错误结论．在题中没有明确限制条件时，我们认为m，－n都表示任意实数，所以P点到x轴的距离应等于它的纵坐标－n的绝对值，即|－n|＝|n|；P点到y轴的距离等于它的横坐标的绝对值，即|m|．
[误解二]由于概念不清，把直角坐标平面上点的坐标(x，y)是有序的实数对，其中前面的数x表示横坐标，后面的数y表示纵坐标搞反了，所以所得结果也是错误的．
【题2】一个菱形的每边长是5，一条对角线长是6，取两条对角线所在直线作为坐标轴，求四个顶点的坐标．
x
x
[误解]
如图1，ABCD 为菱形，以对角线AC ，BD 所在直线为坐标轴建立直角坐标系
∵CA ＝6，OA ＝3，又AB ＝5，
故菱形ABCD 四个顶点的坐标分别为A (3，0)，B (0，4)，C (－3，0)，D (0，－4)．
[正解]设菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，则另一条对角线
8BD === （1）以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴建立直角坐标系(同[误解]中的图1)，得菱形四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(3，0)，(0，4)，(－3，0)，(0，－4)．
(2)以BD 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立直角坐标系(如图2)，则得菱形四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别为(0，3)，(－4，0)，(0，－3)，(4，0)．
[错因分析与解题指导]
[误解]主要是对题中的一句话没有正确理解，即“取两条对角线所在直线作为标轴”，它的涵义是：已知的长6的对角线所在直线既可以作为x 轴，也可以作为y 轴．[误解]只考虑了其中一种情况，因而所得答案是不完整的．
【题3】已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－3，0)，B (1，4)，C (5，0)，试判断三角形ABC 的形状．
[误解]如图△ABC ，则
BC == ∵AB ＝BC ，∴△ABC 是等腰三角形．
AB =
x
[正解]
由以上解算，知AB BC
==
又AC＝5－(－3)＝8，
∴AB＝BC且AB2＋BC2＝AC2
∴△ABC是等腰直角三角形．
[错因分析与解题指导][误解]只计算了△ABC的两条边相等，就得出等腰三角形的结论是不全面的．三角形的两边相等时，除了是等腰三角形外，还可能是等边三角形或等腰直角三角形，因此，必须如[正解]那样，计算
出第三边AC的长，并讨论AB、BC与AC间是否还有相等或勾
股数关系，才能得出确切的结论．
【题4】已知直角坐标平面上的等腰三角形ABC，其中两
个顶点的坐标A(5，3)，B(1，0)，第三个顶点C在坐标轴上，
那么C点可能的不同位置数是（）
A．6B．7C．8D．9．
[误解]分别以A，B，C为等腰三角形的顶点有三种，每一种中C点在坐标轴(x轴或y轴)上可能有2种，所以共有2×3＝6种可能，∴选A．
[正解]分别以A，B，C为等腰三角形的顶点，来分析C点在坐标轴上的可能位置．
设C点的坐标为(x，0)或(0，y
) 5
AB== i)以A为等腰三角形顶点，则AB＝AC．
∵5 AB==
或AC=
5 =，
x 3)
解得 x ＝9(x ＝1舍去)或y ＝3．
∴C 点可能为C 1(9，0)，C 2(0，3)；
ii) 以B 为等腰三角形的顶点，则BA ＝BC ．
∵BC =BC =
5=5=，
解得6x =或4x =-或y =y =-
∴C 点也可能为3456(604000C C C C ， ），（－，），（（，-； iii) 以C 为等腰三角形的顶点，则CA ＝CB ．
即 =
= 解之得 338x =或112
y =． ∴C 点也可能为783311(
,0),(0,)82C C ． 综上可知，C 点可能有8个不同的位置，所以选C ．
[错因分析与解题指导]
[误解]由于分析不仔细，笼统地认为A ，B ，C 分别为顶点的等腰三角形各有2个，根据[正解]所示，当B 为顶点时的等腰三角形有4个，这个结论也可以形象地考虑如下：以B 为圆心，BA 长为半径画圆弧，可在坐标轴上获得4交点．。