二次函数的图像与性质(顶点式)培优训练

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二次函数图像及性质培优练习.doc

二次函数图像与性质提高练习一．选择题1.已知抛物线y 1 x2 2 ，当1 x 5 时，y的最大值是（）32 5D. 7B. C.33 3 ac与正比列函数2.二次函数y ax 2 bx c 的图像如图所示，反比列函数 yy (a b) x在同一坐标系内的大致图像是（x ）y y y y yO xO x O x O x OxA B C D3.抛物线 y x2 x p （ p≠0）的图象与 x 轴一个交点的横坐标是P，那么该抛物线的顶点坐标是（）A．（ 0, 2 ） B.（1, 9 ） C.（1,9） D.（ 1 , 9 ）2 4 2 4 2 44.已知：二次函数y=ax2+bx+c（ a≠0）的图象如图所示，下列结论中：① abc＞ 0；②2a+b ＜0；③ a+b＜ m（ am+b）（ m≠1的实数）；④（ a+c）2＜b2；⑤ a＞1.其中正确的项是（）A．①⑤B．①②⑤C．②⑤D．①③④5. 在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝ 3x2不动，而把x 轴、 y 轴分别向上、向右平移 3 个单位，那么在新坐标系下此抛物线的解析式是（）A． y＝3（ x－ 3）2＋ 3 B． y＝3（ x－3）2－ 3C． y＝3 （x＋ 3）2＋ 3x2 D． y＝3（ x＋ 3）2－ 36. 在直角坐标系中，将抛物线 y 2x 3 绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（）A．y (x 1)2 2 B．C．y (x 1)2 2 D．y (x 1)2 4 y (x 1)2 47.作抛物线 A 关于 x 轴对称的抛物线B，再将抛物线 B 向左平移2 个单位，向上平移 1 个单位，得到的抛物线 C 的函数解析式是y 2( x 1)2 1，则抛物线A所对应的函数表达式是（）A . y 2( x 3) 2 2 B. y 2( x 3) 2 2C. y 2( x 1) 2 2 D y. 2( x 1) 2 28.已知二次函数 y ax 2 bx c (a ≠ 0)的图象开口向上，并经过点 (-1， 2)， (1， 0) . 下列结论正确的是 ()A. 当 x>0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大B. 当 x>0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小C. 存在一个负数 x 0 ，使得当 x<x 0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x> x 0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大D. 存在一个正数 x 0，使得当 x<x 0 时，函数值 y 随 x 的增大而减小；当 x>x 0 时，函数值 y 随 x 的增大而增大9.已知二次函数的图象如图所示，并设 M ＝ | a ＋b ＋ c|-| a － b ＋ c| ＋|2 a ＋ b| － |2 a － b| ，则 ( )＞ 0 ＝ 0 ＜ 0D.不能确定二．填空题10. 抛物线 y 2kx 3的图象经过点 C ，则这个一次 2 x 2 6的顶点为 C ，已知 y函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为__________________. 11.如图，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于 A 、B 两点，点 A 在 x 轴负半轴，点 B 在 x 轴正半轴，与 y 轴交于点 C ，且 tan ∠ ACO= 1， CO=BO ， AB=3，则这条抛物线的函数解析2式是．12.二次函数 y=ax 2+bx+c （ a ≠0）的图象同时满足下列条件： ① 不经过第二象限； ② 与坐标轴有且仅有两个交点．这样的二次函数解析式可以是________________222axa13.设抛物线 y x( a 0) 的顶点为 P ，与 x 轴交于 A 、 B 两点，当△ PAB 为等2边三角形时， a 的值为 _____ _____.1 ＝ 2x2 向右平移2 个单位，得到抛物线y 2 的图象，则2；14.（1）将抛物线 yy =（ 2）如图， P 是抛物线 y 2 对称轴上的一个动点，直线 x ＝ t 平行yy x 于 y 轴，分别与直线 y ＝x 、抛物线 y 2 交于点 A 、B ．若 △ ABP 是以 y 2点 A 或点 B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，·则 t ＝．P三．解答题Ox15.已知如图，抛物线开口向上，顶点P 的横坐标为 -1，图像与 x 轴的两个交点 A 、 B （ A 在左边）间的距离为 4，AOB且 ∠ APB=90°，求抛物线的解析式 .xP16.已知：二次函数为 y=x 2－x+m ，（ 1） m 为何值时，顶点在 x 轴上方，（ 2）若抛物线与 y 轴交于 A ，过 A 作 AB ∥ x 轴交抛物线于另一点B ，当 S △ AOB时，求=4 此二次函数的解析式．17.已知 ,如图 ,二次函数yax 22ax3a (a0) 图象的顶点为H,与 x 轴交于A 、B 两点( B 在 A 点右侧 ),点 H 、B 关于直线 l : y3 x33 对称 .(1) 求 A 、B 两点坐标 ,并证明点 A 在直线 l 上 ;(2) 求二次函数解析式 .18.已知二次函数 y x 2 2(m 1)x m1 ．(1) 随着 m 的变化，该二次函数图象的顶点P 是否都在某条抛物线上如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由．(2) 如果直线 y x 1 经过二次函数 y x 2 2( m 1) x m 1 图象的顶点，求此时Pm 的值．19.已知：关于x的一元二次方程( m 1) x2 (m 2) x 1 0 （m为实数）（ 1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（ 2）在（ 1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线y (m 1)x 2 (m 2) x 1总过 x 轴上的一个固定点；（ 3）若m是整数，且关于x 的一元二次方程( m 1) x2 ( m 2)x 1 0有两个不相等的整数根，把抛物线 y (m 1)x 2 (m 2) x 1向右平移3 个单位长度，求平移后的解析式．20. 如图，已知抛物线标为 Q 2, 1，且与y ax2y 轴交于点bx c(aC 0,3，与0) 的顶点坐x 轴交于A、B两点（点 A 在点 B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点 C沿抛物线向点 A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作 PD∥y 轴，交 AC 于点D．(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题 (2)的结论下，若点 E 在x轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以 A、 P、 E、F 为顶点的平行四边形若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．（ 20 题图）。

22.1二次函数的图像和性质培优训练2024-2025学年人教版八年级数学上册

22.1二次函数的图像和性质一、课标导航二、核心纲要1.二次函数的定义一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数，且. a≠0)的函数，叫做二次函数.注：(1) 函数关系式必须是整式.(2)自变量x的取值范围为全体实数，且最高次数是2.(3)a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，写各项系数时包括它前面的符号.(4)二次项系数a 不等于0.2.二次函数解析式的表示方法(1)一般式: y=ax²+bx+c a,b,c为常数，a≠0).(2)顶点式: y=a(x−ℎ)²+k(a,h,k)为常数，a≠0),，其中(h，k)为顶点坐标.(3)交点式(两根式)：y=a(x−x₁)(x−x₂)(a≠0,x₁、x₂是抛物线与x轴两交点的横坐标，即一元二次方程).ax²+bx+c=0的两个根，对称轴为x=x1+x22注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b²−4ac≥0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.3. 二次函数的图像和性质2√y2()a>0 a<0 a>0,k>0 a<0,k<0 a>0 a<0开口方向向上向下向上向下向上向下()a>0 a<0 a>0 a<0向上向下向上向下4.二次函数解析式的确定根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式.(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式.(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式(两根式).(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.5.二次函数y=ax²+bx+c(a，b，c为常数且a≠0)的图像与各项系数之间的关系(1)二次项系数a：a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小①当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下；②|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大.(2)一次项系数b：在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.若a>0，则①当b>0时, −b2a <0,即抛物线的对称轴x=−b2a在y轴左侧.②当b=0时, −b2a=0,即抛物线的对称轴就是y轴.③当b<0时, −b2a >0,即抛物线的对称轴x=−b2a在y 轴的右侧.注：“左同右异”，即当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧.(3)常数项c：决定抛物线与y轴交点的位置①当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴的正半轴相交.②当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线经过原点.③当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴的负半轴相交.总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线的形状及在坐标平面中的位置就是唯一确定的.6.抛物线的特殊位置与系数的关系(1)顶点在x轴上< b2−4ac=0;; (2)顶点在 y轴上⇔b=0; (3)顶点在原点⇔b=c=0;(4)抛物线经过原点⇔c=0.7.二次函数图像的变换(1)二次函数的平移变换，平移规律：“上加下减、左加右减”.①一般式的平移将抛物线y=ax²+bx+c向上平移m 个单位，得y=ax²+bx+c+m.将抛物线y=ax²+bx+c向下平移m 个单位，得y=ax²+bx+c−m.将抛物线y=ax²+bx+c向左平移m个单位，得y=a(x+m)²+b(x+m)+c.将抛物线y=ax²+bx+c向右平移m个单位，得y=a(x−m)²+b(x−m)+c②顶点式的平移将抛物线y=a(x−ℎ)²+k向上平移m个单位，得y=a(x−ℎ)²+k+m.将抛物线y=a(x−ℎ)²+k向下平移m个单位，得y=a(x−ℎ)²+k−m.将抛物线y=a(x−ℎ)²+k向左平移m 个单位，得y=a(x−ℎ+m)²+k.将抛物线. y=a(x−ℎ)²+k向右平移m个单位，得y=a(x−ℎ−m)²+k.(2)二次函数的对称变换①关于x轴对称抛物线y=ax²+bx+c关于x 轴对称后，得到的抛物线是y=−ax²−bx−c.抛物线y=a(x−ℎ)²+k关于x 轴对称后，得到的抛物线是y=−a(x−ℎ)²−k,②关于 y轴对称抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称后，得到的抛物线是y=ax²−bx+c.抛物线y=a(x−ℎ)²+k关于y 轴对称后，得到的抛物线是y=a(x+ℎ)²+k.③关于原点对称抛物线y=ax²+bx+c关于原点对称后，得到的抛物线是y=−ax²+bx−c.抛物线y=a(x−ℎ)²+k关于原点对称后，得到的抛物线是y=−a(x+ℎ)²−k.④关于顶点对称抛物线y=ax²+bx+c关于顶点对称后，得到的抛物线是y=−ax2−bx+c−b22a.抛物线y=a(x−ℎ)²+k关于顶点对称后，得到的抛物线是y=−a(x−ℎ)²+k.*⑤关于点(m,n)对称抛物线y=a(x−ℎ)²+k关于点(m，n)对称后，得到的抛物线是y=−a(x+ℎ−2m)²+2n−k.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，一般先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.8.求抛物线y=ax²+bx÷c(a≠0)的顶点和对称轴的方法(1)公式法: y=ax²+bx+c(a≠0)的顶点是(−b2a ,4ac−b24a),对称轴是直线x=−b2a.(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x−ℎ)²+k的形式，得到顶点为(h，k)，对称轴是直线x=h.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴是抛物线与x轴的两交点所连线段的垂直平分线，对称轴与抛物线的交点是顶点.9.求二次函数. y=ax²+bx÷c(a≠0)最值的方法(1)若自变量x的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即①若a>0,当x=−b2a 时，y和价=4ac−b24a;②若a<0,当x=−b2a时，yR水=4ac−b24a.(2)若自变量的取值范围是x₁≤x≤x₂,且a>0.①若x=−b2a 在自变量取值范围. x₁≤x≤x₂内，如下左图，当x=−b2a时，yR水=4ac−b24a;当x=x₁时，yR水[fi=ax12+bx1+c.②若x=−b2a 不在自变量取值范围x₁≤x≤x₂内，如下右图，当. x=x₁时，y放价=ax12+bx1+c;当x =x₂时，y浓水=ax22+bx2+c.(1)数形结合; (2)分类讨论.10.数学思想本节重点讲解：一个定义，一个性质(二次函数的图像和性质)，一个关系(图像与系数之间的关系)，两个方法(求对称轴、顶点和最值的方法)，两个变换(平移和对称变换)，两个思想，三个形式(解析式的形式).三、全能突破基础演练1.若y=(m+1)x m2−6m−5是二次函数,则m=( ).A.7B. -1C.-1或7D.以上都不对2.(1)抛物线y=−3(x+6)²−1的对称轴是直线( ).A. x=-6B. x=-1C. x=1D. x=6(2)若抛物线y=x²+2x+a的顶点在x轴的下方，则a 的取值范围是( ).A. a>1B. a<1C. a≥1D. a≤1(3)已知抛物线y=a(x−1)²+ℎ(a≠0)与 x 轴交于 A(x₁,0),B(3,0)两点,则线段 AB 的长度为( ).A.1B.2C.3D.43.设A(-2,y₁),B(1,y₂),C(2,y₃)是抛物线. y=−(x+1)²+a上的三点,则y₁、y₂、y₃的大小关系为( ).A.y₁>y₂>y₃B.y₁>y₃>y₂C.y₃>y₂>y₁D.y₃>y₁>y₂4.(1)要得到. y=−2(x+3)²−4的图像，需将抛物线y=−2x²作如下平移( ).A.向右平移3个单位，再向上平移4个单位B.向右平移3个单位，再向下平移4个单位C.向左平移3个单位，再向上平移4个单位D.向左平移3个单位，再向下平移4个单位(2)已知y=2x²的图像是抛物线，若抛物线不动，把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是( ).A. y=2(x-2)²+2B. y=2(x+2)²-2C.y=2(x−2)²−2D.y=2(x+2)²+2(3)顶点为(-5，-1)，且开口方向、形状与函数y=−13x2的图像相同的抛物线是( ).A.y=13(x−5)2+1B.y=−13x2−5C.y=−13(x+5)2−1D.y=13(x+5)2−15.二次函数y=x²−2x−3的最小值是，此时x= .6.(1)请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数. y=ax²+bx+c(a≠0)的图像同时满足下列条件：①开口向下，②当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小.这样的二次函数的解析式可以是 .(2)二次函数y=4x²−mx+5,当x<--2时，y随x的增大而减小；当x>--2时，y随x的增大而增大，则当.x=--1时,y的值是 .7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b和二次函数y=ax²+bx的图像可能为( ).8.已知，图22-1-1所示是二次函数y=ax²+bx+c的图像，判断以下各式的值是正数还是负数.(1)a;(2)b;(3)c;(4)b²-4ac;(5)2a+b;(6)a+b+c;(7)a-b+c.9.根据给定条件求出下列二次函数解析式：(1)已知二次函数图像的顶点是(-2，1)，且过点( (−1,−1).(2)已知二次函数y=x²+mx+n的图像过( (−4,0),(−1,0).(3)二次函数y=ax²+bx+c的图像经过点(0,-1),(3,2),(1,-2).能力提升10.如图22-1-2 所示,在 Rt△ABC 中,. ∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,,动点 P 从点 A 出发,以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点 C 时停止.设y=PC²,，运动时间为 t秒，则能反映y与t 之间函数关系的大致图像是( ).(x−3)2+1交于点 A(1,3),过点 A 作x 轴的平行线，分别交11.如图22-1-3所示,抛物线y₁=a(x+2)²−3与y2=12两条抛物线于点 B、C.则以下结论：①无论x取何值，y₂的值总是正数.②a=1.③当x=0时,y₂-y₁=4.④2AB=3AC.其中正确结论是( ).A.①②B.②③C.③④D.①④12.若二次函数y=x²−(2p+1)x−3p在--1≤x≤1的范围内至少有一个x的值使y≥0成立，则p的取值范围是( ).A. p>2B. p>0C. p≤2D.0<p≤2x2+x,若存在实数m，n使得当自变量x 的取值范围是m≤x≤n时，函数值y的取值范围恰13.已知二次函数y=−12好是3m≤y≤3n,则m= ,n= .14.把抛物线y=2x²−4x−5绕原点旋转180°得到抛物线C₁，再绕抛物线 C₁的顶点旋转180°，则所得新的抛物线解析式为 .15.(1)抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)满足条件：(1)4a-b=0;(2)a-b+c>0;(3)与x轴有两个交点,且两交点间的距离小于2.以下有四个结论：(:①a<0;②c>0;③a+b+c<0; circle4c4<a<c3,其中所有正确结论的序号是 .(2)已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与x 轴交于(1,0)和(x₁,0),其中−2<x₁<−1,，与y轴交于正半轴上一点.下列结论：①b>0;②ac 14₄b²;③a>b;④-a<c<-2a其中所有正确结论的序号是 .16.如图22-1-4所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+c(a≠0)的图像过正方形 ABOC的三个顶点A、B、C,则 ac的值是 .17.阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y=x²−6x+7的最大值.如图22-1-5所示，画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论.他的解答过程如下：∵二次函数y=x²−6x+7的对称轴为直线x=3，∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等.∴若1≤m<5,则x=1时,y的最大值为2.若m≥5,则x=m时,y的最大值为m²−6m+7.请你参考小明的思路，解答下列问题：(1)当-2≤x≤4时,二次函数y=2x²+4x+1的最大值为 .(2)若p≤x≤2,求二次函数y=2x²+4x+1的最大值.(3)若t≤x≤t+2时,二次函数y=2x²+4x+1的最大值为31，则t的值为 .18.已知二次函数 y =x²+2(m +1)x −m +1.(1)随着 m 的变化，该二次函数图像的顶点 P 是否都在某条抛物线上? 如果是，请求出该抛物线的表达式；如果不是，请说明理由.(2)如果直线 y =x +1经过二次函数 y =x²+2(m +1)x −m +1图像的顶点 P ，求此时m 的值.19.已知抛物线 y =kx²+(k −2)x −2(其中 k >0).(1)求该抛物线与x 轴的交点坐标及顶点坐标(可以用含k 的代数式表示). (2)若记该抛物线的顶点坐标为P(m ，n)，直接写出|n|的最小值.(3)将该抛物线先向右平移. 12个单位长度，再向上平移 1k 个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图像上，求这个新函数的解析式(不要求写自变量的取值范围).20.二次函数 y =ax²+bx +1(a ≠0)的图像的顶点在第一象限，且过点(--1，0).设t= a +b +1,则t 值的变化范围是( ).A.0<t<1B.0<t<2C.1<t<2D.-1<t<121.如图22-1-6所示,已知抛物线 y =12x 2+bx 与y=2x 交于点O(0,0),A(a,12).点 B 是抛物线上OA 之间的一个动点，过点 B 分别作x 轴、y 轴的平行线与直线AO 交于点C 、E ， (1)求抛物线的函数解析式.(2)若点 C 为OA 的中点,求 BC 的长.(3)以 BC 、BE 为边构造矩形BCDE,设点 D 的坐标为(m,n),求出m 、n 之间的关系式.22.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y=ax²+bx(a≠0).(1)对于这样的抛物线：当顶点坐标为(1，1)时，a=;当顶点坐标为(m，m)，m≠0时，a与m之间的关系式是 .(2)继续探究：如果b≠0,，且过原点的抛物线顶点在直线y=kx(k≠0)上，请用含 k 的代数式表示b.(3)现有一组过原点的抛物线，顶点. A1,A2,⋯,A n在直线. y=x上，横坐标依次为1，2，…，n(n为正整数，且n≤12),，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1,B2,⋯,B n,以线段AₙBₙ为边向右作正方形AₙBₙCₙDₙ.若这组抛物线中有一条经过点Dₙ,，求所有满足条件的正方形的边长.巅峰突破23.不论m 取任何实数，抛物线y=x²+2mx+m²+m−1的顶点都在一条直线上，则这条直线的解析式为.24.设a,b,c是△ABC的三边长，二次函数y=(a−b2)x2−cx−a−b2在x=1时取最小值−85b,则△ABC是( ).A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形基础演练1. A2.(1)A (2)B (3)D3. A4.(1)D (2)B (3)C5.-4;16.(1)答案不唯一,只要满足对称轴是x=2,a<0. (2)-77. A8.(1)负;(2)正;(3)正;(4)正;(5)负;(6)正;(7)负O.(1)y=−2x²−8x−7;(2)y=x²+5x+4;(3)y=x²−2x−1.能力提升10. A 11. D 12. C 13.-4,0 14. y=2x²+4x+915.(1)②④ (2)②④ 16.-217.(1)49(2)∵二次函数y=2x²+4x+1的对称轴为直线x=-1，∴由对称性可知，当x=-4和x=2时函数值相等.∴若p≤-4,则当x=p时,y的最大值为: 2p²+4p+1.若-4<p≤2,则当x=2时,y的最大值为17.(3)1或-5.18.(1)由已知得. y=(x+m+1)²−m²−3m,顶点坐标P(-m- 1,−m²−3m)..令-m-1=x.将m=-x-1代入. y=−m²−3m,得: y=−(−x−1)²−3(−x−1)=−x²+x+2故抛物线的表达式是y=−x²+x+2.(2)如果顶点. P(−m−1,−m²−3m)在直线y=x+1上,则−m²−3m=−m−1+1,即m²=−2m.故m=0或m=-2.19.(1)令y=0,则kx²+(k−2)x−2=0..整理,得 (x+1)( kx-2)=0.解得x1=−1,x2=2k.∴该抛物线与x轴的交点坐标为((--1,0),(²/k,0).抛物线y=kx²+(k−2)x−2的顶点坐标为(2−k2k )−k2+4k+44k).(2)|n|的最小值为2.(3)平移后抛物线的顶点坐标为(1k ,−k2+4k4k).由{x=1k,y=−k4−1可得y=−14x−1.∴所求新函数的解析式为y=−14x−1.中考链接20. B21.(1)y=12x2−x(2)∵点C是OA的中点,∴点C的坐标为(3,6).把y=6代入y=12x2−x,解得x1=1+√13,x2=1−√13(舍去).∴BC=√13−2.(3)∵点D的坐标为(m,n),∴点E的坐标为( (12n,n),点C的坐标为(m,2m).∴点 B 的坐标为(12n,2m).把(1 2n,2m)代入y=12x2−x,得m=116n2−14n.∴m、n之间的关系式为m=116n2−14n.22.(1)−1;a=−1m或 am+1=0);(2)∵a≠0,∴y=ax2+bx=a(x+b2a)2−b24a.∴顶点坐标为(−b2a,−b24a).∵顶点在直线y= kx上, ∴k(−b2a)=−b24a.∵b≠0,∴b=2k.(3)∵顶点 An在直线y=x上,∴可设 An的坐标为(n，n)，点 Dn所在的抛物线顶点坐标为(t,t). 由(1)(2)可得，点Dn所在的抛物线解析式为y=−1tx2+2x.∵四边形AnBnCnDn是正方形,∴点 Dn的坐标为(2n,n).∴−1t(2n)2+2×2n=n.∴4n=3t.∵t、n是正整数,且t≤12,n≤12,∴n=3,6或9.∴满足条件的正方形边长为3，6或9巅峰突破23. y=-x-1 24. D。

2021中考数学尖子生培优训练二次函数的图象及性质(含答案)

2021中考数学尖子生培优训练二次函数的图象及性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 若二次函数y=ax 2+bx+c (a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，则使函数值y>0成立的x 的取值范围是 ( ) A .x<-4或x>2 B .-4≤x ≤2 C .x ≤-4或x ≥2D .-4<x<22. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度D ．向右平移8个单位长度3. (2019•哈尔滨)将抛物线22yx =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为 A ．22(2)3y x =++ B ．22(2)3y x =-+ C ．22(2)3y x =-- D ．22(2)3y x =+-4. 对对对对y 对对2(x 对m )2对对对对对对对对对对()A对对对对对对对对 B对对对对对对对对对对对x 对m C对对对对对0 D对对对对对y 对对对对5. 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A ．有最大值－1，有最小值－2B ．有最大值0，有最小值－1C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值7，有最小值－26. 对对对对对y 对x 2对mx 对对对对对x 对3对对对对x 对对对x 2对mx 对7对对对()A. x 1对0对x 2对6B. x 1对1对x 2对7C. x 1对1对x 2对对7D. x 1对对1对x 2对77.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则以下结论同时成立的是( )A.⎩⎨⎧abc>0，b 2－4ac<0B.⎩⎨⎧abc<0，2a ＋b>0C.⎩⎨⎧abc>0，a ＋b ＋c<0D.⎩⎨⎧abc<0，b 2－4ac>08. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，顶点为D(－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，有以下结论：对b 2－4ac ＜0；对a ＋b ＋c ＜0；对c －a ＝0；对一元二次方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. （2020·常德）二次函数的图象如图所示，下列结论：240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．110.对对对对对对2对对对对ABC 对对对对1对对对对A ′B ′C ′对对对对对B ′C ′对BC 对对对对对对对l 对对对对对对对C ′对B 对对对对ABC 对对对对对对对对对A ′B ′C ′对对对对对对对l 对对对对对对ABC 对(对B ′对C 对对)对对对对对A ′B ′C ′对对对对对对x 对对对对对对对对对对对对对对y 对对y 对对x 对对对对对对( )二、填空题（本大题共10道小题）11. 已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y=-x 2+bx+c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 .12. (2019•株洲)若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则__________0(填“=”或“>”或“<”)．13.对对对对对对对对对对y 对对x 2对bx 对c 对对对对对对对x 对1对对对x 对对对对对对对对对对(3对0)对对对对对对对对对对对对对______________对14. 某个函数具有性质：当x>0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是________(只要写出一个符合题意的答案即可)．15.对对对(x 对m )(x 对n )对3(m 对n 对对对对对m 对n )对对对对对对对对a 对b (a 对b )对对m 对n 对a 对b 对对对对对对______________对16. 已知抛物线y=ax 2+4ax+4a+1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2+a+1的最小值是 .17. 对对对对对对y 对3x 2对c 对对对对对对y 对4x 对对对对对对对对对对对c 对对对________对18. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s ．19.对对对对y 对⎩⎪⎨⎪⎧对x 2对2x 对x >0对对对x 对x ≤0对对对对对对对对对对对对y 对x 对m 对对对对对对对对对对对对对对对m 对对对对对对________对20.对对对对对对对对对对对对对y 对x 2对对对对对对对对A 对对对对(1对1)对对对A 对AA 1对x 对对对对对对对A 1对对对A 1对A 1A 2对OA 对对对对对对A 2对对对A 2对A 2A 3对x 对对对对对对对A 3对对对A 3对A 3A 4对OA 对对对对对对A 4……对对对对对对对对对A 2019对对对对________对三、解答题（本大题共6道小题）21. 对对对对对对对对对y 对x 2对ax 对3对对对对对对P (对2对3)对(1)对a 对对对对对对对对对对对 (2)对Q (m 对n )对对对对对对对对对对对对对m 对2对对对n 对对对对对对Q 对y 对对对对对对2对对对对对对对对对对n 对对对对对对22. 设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两实数根，当a为何值时，x12＋x22的值最小？最小值是多少？23. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．24. 对对对对对对y对1 3x2对bx对c对x对对对A(3对0)对B(对1对0)对对对对对B对对对BC对x对对对对对y对对2x对对C.(1)对对对对对对对对对对(2)对对对对对对对对D对对对对对对对对对D对对对对对y对对2x对对(3)对P对对对对对对对对对对对对对对对对对P(对A对对)对对对PBC对对BC对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对P对对对对对对对对对对对对对对对25. (2019·山东滨州)如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点,B C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． (1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 时，求sin PAD ∠的值．26. (2019·四川资阳)如图，抛物线212yx bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值； (3)设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2021中考数学尖子生培优训练二次函数的图象及性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D [解析]∵二次函数y=ax 2+bx +c (a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，∴二次函数的图象与x 轴另一个交点为(-4，0)， ∵a<0，∴抛物线开口向下，则使函数值y>0成立的x 的取值范围是-4<x<2.2. 【答案】B[解析] y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)．y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，故选B.3. 【答案】B【解析】将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+，故选B ．4. 【答案】D5. 【答案】D[解析] 对二次函数y ＝x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2，对该函数在－1≤x≤3的取值范围内，当x ＝2时，y 有最小值－2；当x ＝－1时，y 有最大值7.故选D.6.【答案】D 对对对对对对对对对y 对x 2对mx 对对对对对x 对对m 2对3对对对m 对对6对对对对x 对对对对x 2对6x 对7对对对对x 1对对1对x 2对7.7. 【答案】C [解析] 由图象可知，当x ＝1时，y ＜0，对a ＋b ＋c ＜0；对二次函数图象与x 轴有两个交点，对b 2－4ac>0；对二次函数图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上，对c ＜0；对二次函数图象开口向上，对a ＞0；对对称轴－b2a ＞0，a ＞0，对b ＜0.对abc ＞0.故选C.8. 【答案】B9. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根， 240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =，22b a ∴-=，40a b ∴+=，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>. 0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B．10. 【答案】B 【解析】由题意知：在对A ′B ′C ′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x ≤1时，边长为x ，此时y ＝12x ×32x ＝34x 2；当1＜x ≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y ＝12×1×32＝34；当2＜x ≤3时，边长为3－x ，此时y ＝12(3－x )×32(3－x )．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为34.故选B.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】(1，4) [解析]∵A (0，3)，B (2，3)是抛物线y=-x 2+bx +c 上两点， ∴代入得解得∴y=-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，顶点坐标为(1，4).12. 【答案】<【解析】∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下， ∴0a <．故答案为：<．13. 【答案】y对对x 2对2x对3[对对] 对对对对y对对x 2对bx对c对对对对对对对x对1对对b2对1对对对b对2.对对对对y对对x 2对2x对c对x对对对对对对对对对对(3对0)对对0对对9对6对c对对对c对3. 对对对对对对对对对对对y对对x 2对2x对3.14. 【答案】答案不唯一，如y ＝x 215.【答案】a 对m 对n 对b对对对对对对对对对对对(x对m)(x对n)对3对对对对对对y对(x对m)(x对n)对y对3对对对对对对对对对对对对对对对对a对m对n对b.16. 【答案】[解析]∵抛物线y=ax 2+4ax +4a +1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，∴=-=-2.∵线段AB 的长不大于4，∴4a +1≥3，∴a ≥， ∴a 2+a +1的最小值为:2++1=.17.【答案】43对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对y对3x 2对c对y对4x对对对对对对对对y对3x 2对c对4x对对对对3x 2对4x对c对0对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对b 2对4ac对(对4)2对4×3c对0对对对c对43.18. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得： ∴20205t t =-，得：(205)0t t -=，解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ，故答案为：4．19.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23对00<m<14[对对]对对y对x对m对y对对x 2对2x对对x对m对对x 2对2x对对对对x 2对x对m对0对对对对对对对对对b 2对4ac对(对1)2对4m>0对对对m<14.对对对y对x对m对对对对对对对对对y对⎩⎪⎨⎪⎧对x 2对2x对x>0对x对x≤0对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对m>0对 ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.20.【答案】(对1010对10102) [对对]对对A对对对对对对对OA对对对对对y对x.对AA 1对x对对对A 1(对1对1)对对对对A 1A 2对OA对对对对对A 1A 2对对对对对y对x对2对对对对对对对对对对对对A 2对对对对(2对4)对对对对对对A 3(对2对4)对A 4(3对9)对A 5(对3对9)对…对A 2019(对2019对12对10102)对对A 2019(对1010对10102)对三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】对对(1)对对P(对2对3)对对y对x 2对ax对3对对对a对2对对y对x 2对2x对3对(x对1)2对2对对对对对对对对对对(对1对2)对(2)对对m对2对对n对11. 对对Q对y对对对对对对2对对|m|对2对对对2对m对2对对2≤n对11.22. 【答案】解：依题意得Δ＝(2a)2－4(a2＋4a －2)≥0， ∴a≤12.∵x1＋x2＝－2a ，x1x2＝a2＋4a －2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4a2－2(a2＋4a －2)＝2(a －2)2－4. ∵a≤12，∴当a ＝12时，x12＋x22的值最小，此时x12＋x22＝2×(12－2)2－4＝12，即最小值为12.23. 【答案】(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=．②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯-252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4 考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图724. 【答案】(1)对y 对13x 2对bx 对c 对x 对对对A (3对0)对B (对1对0)对对对对⎩⎪⎨⎪⎧13×32对3b 对c 对013×对对1对2对b 对c 对0对对对⎩⎪⎨⎪⎧b 对对23c 对对1对对对对对对对对对对y 对13x 2对23x 对1对 (2)对a 对13对b 对对23对c 对对1对对对对对对对D 对对对对(a b 2-对a b ac 442-)对对x D 对对对232×13对1对y D 对4×13×对对1对对对对23对24×13对对43对对D (1对对43)对对x 对1对对y 对对2x 对对y 对对2对对对43≠对2对对对对D 对对对对y 对对2x 对对 (3)对对对对对对对对对对对对对对C 对x 对对对对对对对对对对对对对对P 1对P 2对对对BP 1对BP 2.对对对对对BC 对x 对对对对P 1BC 对对P 2BC 对对对对对对对对对x 对对1对对y 对对2x 对对对 y 对对2×(对1)对2对对C (对1对2)对对对y 对2对对y 对13x 2对23x 对1对对13x 2对23x 对1对2对对对x 1对10对1对x 2对对10对1. 对P 1(10对1对2)对P 2(对10对1对2)对25. 【答案】(1)当0x =时,4y =，则点A 的坐标为()0,4，当0y =时，2110482x x =-++，解得，124,8x x =-=，则点B 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()8,0，∴4OA OB ==，∴45OBA OAB ∠=∠=︒，∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到直线AD ， ∴90BAD ∠=︒，∴45OAD =︒，∴45ODA ∠=︒，∴OA OD =，∴点D 的坐标为()4,0，设直线AD 的函数解析式为,y kx b =+440b k b =⎧⎨+=⎩，得14k b =-⎧⎨=⎩，即直线AD 的函数解析式为4y x =-+；(2)作PN x ⊥轴交直线AD 于点N ，如图①所示，设点P 的坐标为211,482t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为(),4t t -+，∴2211134(4)8282PN t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， ∴PN x ⊥轴， ∴PN y ∥轴，∴45OAD PNH ∠=∠=︒，作PH AD ⊥于点H ，则90PHN ∠=︒，∴222136)82PH t t t ⎫==-+==-+⎪⎝⎭，∴当6t =时，PH ，此时点P 的坐标为(56,2)，即当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标是(56,2)，最大距离是4；②当点P 到直线AD 时，如图②所示，则2+=，解得：122,10t t ==，则1P 的坐标为(92,2)，2P 的坐标为(10,)72-，当1P 的坐标为(92,2)，则12P A ==，∴1sin P AD ∠==；当2P 的坐标为(10,)72-，则2252P A ==，∴24sin 25102P AD ∠==；由上可得，sin PAD ∠或10．【名师点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P 点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离，难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.26. 【答案】(1)将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+，71422m =-+=-， ∴B 的坐标为1(4,)2-，将(3,2)A ，1(4,)2B -代入212y x bx c =-++，2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩，解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++；(2)设217(,)22D m m m ++，则7(,)2E m m -+，22217711()()2(2)222222DE m m m m m π=-++--+=-+=--+，∴当2m =时，DE 有最大值为2，此时7(2,)2D ，作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小， ∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，A D '==，即PD PA +； (3)作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++，∴(1,4)M ，∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ︒∠=，90AHM ︒∠=，∴12AQM AHM ∠=∠，可知AQM ∆外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，则2=，2t =+2∴符合题意的点Q 的坐标：1(0,2Q 、2(0,2Q ．【名师点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．。

2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题含答案及答案

2020-2021九年级数学二次函数的专项培优练习题(含答案)及答案一、二次函数1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x 轴的交点为M 、N （M 在N 的左侧），由（2）知：M （﹣3，0），N （1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M 与O 重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S △OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.3．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

二次函数的图像与性质(顶点式)练习

二次函数图像与性质(顶点式)1．等边三角形的边长2x 与面积y 之间的函数表达式为． 1．二次函数y=2x 2-4的顶点坐标为__ ___，对称轴为____ ______．2．二次函数1)3(22-+-=x y 由1)1(22+--=x y 向_____平移_______个单位，再向_____平移_______个单位得到。

3．将抛物线2)3(652+-=x y 向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是． 4．把抛物线1)1(2---=x y 向平移个单位，再向_____平移_______个单位得到抛物线3)2(2-+-=x y ．5．已知函数y=(x +5)2-2，当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x = 时，函数值y 取得最值，最值y= ．6．若一抛物线形状与y ＝－5x 2＋2相同，顶点坐标是(4，－2)，则其解析式是___________ _____．7．①求抛物线y=3(x -3)2-1关于x 轴对称的抛物线的函数关系式；②求抛物线y=3(x -3)2-1关于y 轴对称的抛物线的函数关系式；③求抛物线y=3(x -3)2-1关于原点对称的抛物线的函数关系式；④求抛物线y=3(x -3)2-1关于直线y= -1对称的抛物线的函数关系式．8．若二次函数y=（x ﹣m ）2﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（）A ．m=1B ．m ＞1C ．m≥1D ．m≤19．对于有相同对称轴的两条抛物线组成的图案（如图所示），有下列判断：①h ＞0；②m ＞0；③a ＞b ；④m ＞n ，其中正确的个数有（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．如图，点A ，B ，M 的坐标分别为（1，4）、（4，4）和（﹣1，0），抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB （包括线段端点）上，与x 轴交于C 、D 两点，点C 在线段OM 上（包括线段端点），则点D 的横坐标m 的取值范围是．第9题图第10题图11．如图，y ＝－94(x －2)2＋m 与x 轴交于A 、B 两点，顶点为M , MH ⊥x 轴于H , sin ∠MOH ＝552, 求解析式．12．如图是二次函数y=a （x+1）2+2的图象的一部分，根据图象回答下列问题．（1）抛物线与x 轴的一个交点的坐标是，则抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标是；（2）确定a 的值；（3）设抛物线的顶点是P ，试求△PAB 的面积．13．抛物线y =(x －1)2+n 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴负半轴交于C （0，-3）．(1) 求抛物线的解析式；（2）点P 为对称轴右侧抛物线上一点，以BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 落在对称轴上，求P 点的坐标．14．如图，已知点O (0，0)，A (−5，0)，B (2，1)，抛物线l ：y ＝−(x −h )2＋1(h 为常数)与y 轴的交点为C ．(1)l 经过点B ，求它的解析式，并写出此时l 的对称轴及顶点坐标；(2)设点C 的纵坐标为y C ，求y C 的最大值，此时l 上有两点（x 1，y 1），（x 2，y 2），其中x 1＞x 2≥0，比较y 1与y 2的大小；(3)当线段OA 被l 只分为两部．．分．，且这两部分的比是1∶4时，求h 的值．M yx P O C B A。

二次函数图像与性质培优题及答案

2016/11/24 14:57:23一．选择题（共10小题）1．一次函数y=ax +b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．2．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如下：x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11… 则该函数图象的对称轴是（）A ．直线x=﹣3B ．直线x=﹣2C ．直线x=﹣1D ．直线x=03．二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．4．已知函数y=ax 2﹣2ax ﹣1（a 是常数，a ≠0），下列结论正确的是（）A ．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B ．当a=﹣2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大5．如图，已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0 ②4a +2b +c ＞0 ③4ac ﹣b 2＜8a ④＜a ＜⑤b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（）A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤ 6．抛物线y=x 2+bx +c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，则c 的值不可能是（） A ．4 B ．6 C ．8 D ．107．如图是抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a ﹣b +c ＞0；②3a +b=0；③b 2=4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx +c=n ﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a +b=0；（2）9a +c ＞3b ；（3）8a +7b +2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x +1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y310．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A ．B．2 C ．D ．二．选择题（共10小题）11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A 在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．12．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为．13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是．14．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D （0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD 为底的等腰三角形，则点P的坐标为．15．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）16．如图，二次函数y=ax2+mc（a≠0）的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且ac=﹣2，则m的值为．17．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y 随x的增大而增大，则m的取值范围是．18．抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交，其中一个交点坐标是（p，0）．那么该抛物线的顶点坐标是．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A，直线AB交x轴正半轴于点B，交抛物线的对称轴于点C，若OB=2OA，则点C的坐标为．20．二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=．三．选择题（共6小题）21．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P的坐标．22．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．23．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．24．如图，直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0）相交于A、B两点，抛物线的顶点为P．（1）抛物线的对称轴为，顶点坐标为（用含k 的代数式表示）．（2）无论k 取何值，抛物线总经过定点，这样的定点有几个？试写出所有定点的坐标，是否存在这样一个定点C，使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行？如果不存在，请说明理由；如果存在，求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时，直线PC 的解析式．25．已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点．（1）用含m的代数式来表示顶点M的坐标（直接写出答案）；（2）当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，求m的取值范围（3）若m=6，当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y 最小值=2，求t的取值范围．26．如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B （1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．四．选择题（共3小题）27．在二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …8 3 0 ﹣1 0 …求这个二次函数的解析式．28．如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点．（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；（2）根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．29．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a的对称轴为直线x=，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，点D关于直线BC的对称点为点E，求点E的坐标．五．解答题（共1小题）30．已知二次函数y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．（写出详细的解题过程）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题） 1．（2016•毕节市）一次函数y=ax +b （a ≠0）与二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＞0，x=﹣＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确； D 、由抛物线可知，a ＜0，x=﹣＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0故本选项错误．故选C ．2．（2016•衢州）二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）图象上部分点的坐标（x ，y ）对应值列表如下：x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11… 则该函数图象的对称轴是（）A ．直线x=﹣3B ．直线x=﹣2C ．直线x=﹣1D ．直线x=0【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等， ∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故选：B ． 3．（2016•泰安）二次函数y=ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y=ax +b 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵y=ax 2+bx +c 的图象的开口向上， ∴a ＞0，∵对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y=ax +b 的图象经过一，二，三象限．故选A ．4．（2016•宁波）已知函数y=ax 2﹣2ax ﹣1（a 是常数，a ≠0），下列结论正确的是（）A ．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B ．当a=﹣2时，函数图象与x 轴没有交点C ．若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小D ．若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大【解答】解：A 、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B 、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x 轴有两个交点，故错误；C 、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，故错误； D 、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，故正确；故选D ． 5．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交于点A （﹣1，0），与y 轴的交点B 在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc ＞0 ②4a +2b +c ＞0 ③4ac ﹣b 2＜8a ④＜a ＜⑤b ＞c ．其中含所有正确结论的选项是（）A ．①③B ．①③④C ．②④⑤D ．①③④⑤【解答】解：①∵函数开口方向向上， ∴a ＞0；∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号，∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴， ∴c ＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a ＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．6．（2016•绍兴）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，∴解得6≤c≤14，故选A．7．（2016•孝感）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．8．（2016•随州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B （﹣，y2）、点C （，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：（1）正确．∵﹣=2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B （﹣，y2）、点C （，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．9．（2016•兰州）点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y=﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1=y2C．y1＞y2＞y3D．y1=y2＞y3【解答】解：∵y=﹣x2+2x+c，∴对称轴为x=1，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1=y2＞y3，故选D．10．（2016•舟山）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x ≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A ．B．2 C ．D ．【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=，所以m+n=﹣2+=．故选：D．二．选择题（共10小题）11．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15．【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S△BCD=×5×（﹣x 2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，∵﹣＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为15，故答案为15．12．（2016•泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为（1+，3）或（2，﹣3）．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，∴AB边上的高为3，又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，∴x=1或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x=1+或x=2∴C（1+，3）或（2，﹣3）故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）13．（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是P＞Q．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣=1，∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0，∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．14．（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．【解答】解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．15．（2016•镇江）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B （a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c 的大小关系是b＜c（用“＞”或“＜”号填空）【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a，二次项系数1＞0，∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∵a+1＜a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，∴b＜c，故答案为：＜．16．（2016•绵阳校级自主招生）如图，二次函数y=ax2+mc （a≠0）的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且ac=﹣2，则m的值为1．【解答】解：连接BC，如图，根据题意得A（0，mc），即OA=mc，∵四边形ABCD为正方形，∴OA=BC，OA与BC互相垂直平分，∴C 点坐标为（，），把C （，）代入y=ax2+mc得a•（）2+mc=，整理得amc=﹣2，∵ac=﹣2，∴m=1．故答案为1．17．（2016•新县校级模拟）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≥﹣1．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴≤1，解得：m≥﹣1．故答案为：m≥﹣1．18．（2016•同安区一模）抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交，其中一个交点坐标是（p，0）．那么该抛物线的顶点坐标是（，﹣）．【解答】解：将（p，0）代入得：p2﹣p+p=0，p2=0，p=0，则y=x2﹣x=x2﹣x+﹣=（x﹣）2﹣，∴顶点坐标为（，﹣）．19．（2016•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A，直线AB交x轴正半轴于点B，交抛物线的对称轴于点C，若OB=2OA，则点C的坐标为（1，）．【解答】解：由抛物线y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1可知A （0，2），对称轴为x=1，∴OA=2，∵OB=2OA，∴B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AB为y=﹣x+2，当x=1时，y=，∴C（1，）．20．（2016•闸北区二模）二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x=1．【解答】解：∵y=x2﹣2x+b=x2﹣2x+1+b﹣1=（x+1）2+b﹣1故对称轴是直线x=1．故答案为：1．三．选择题（共6小题）21．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x 轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC 的值最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC 的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．22．（2016•封开县二模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A （4，8）．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．【解答】解：（1）由题意，可得8=16a﹣4（a+1）及8=4k，解得a=1，k=2，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣2x，直线的解析式为y=2x．（2）设点P的坐标为（t，2t）（0≤t≤4），可得点Q的坐标为（t，t2﹣2t），则PQ=2t﹣（t2﹣2t）=4t﹣t2=﹣（t﹣2）2+4，所以，当t=2时，PQ的长度取得最大值为4．23．（2016•安徽）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．【解答】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD =OD•AD=×2×4=4；S△ACD =AD•CE=×4×（x﹣2）=2x﹣4；S△BCD =BD•CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．24．（2016•江西模拟）如图，直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0）相交于A、B两点，抛物线的顶点为P．（1）抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣k﹣4）（用含k的代数式表示）．（2）无论k取何值，抛物线总经过定点，这样的定点有几个？试写出所有定点的坐标，是否存在这样一个定点C，使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行？如果不存在，请说明理由；如果存在，求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x轴对称时，直线PC 的解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0），∴对称轴为直线x=﹣=1，当x=1时，y=k﹣2k﹣4=﹣k﹣4，∴顶点P为（1，﹣k﹣4），故答案为直线x=1，（1，﹣k﹣4）；（2）由y=kx2﹣2kx﹣4=k（x﹣2）x﹣4可知，无论k取何值，抛物线总经过定点（0，﹣4）和（2，﹣4）两个点，∵交点Q与点P 关于x轴对称，∴Q（1，k+4），∵直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点为Q，∴k+4=k+2k ﹣1，解得k=，∴P（1，﹣），∵线PC与直线y=kx+2k ﹣1平行，∴设直线PC的解析式为y=x+b，代入P（1，﹣）得﹣=+b，解得b=﹣9，∴直线PC的解析式为y=x﹣9．故存在定点C，使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行，直线PC的解析式为y=x﹣9．25．（2016•萧山区模拟）已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x +与y=﹣x+m﹣1的交点．（1）用含m的代数式来表示顶点M的坐标（直接写出答案）；（2）当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x +的值均随x的增大而增大，求m的取值范围（3）若m=6，当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y 最小值=2，求t的取值范围．【解答】解：（1）由，解得，即交点M 坐标为；（2）∵二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x +与y=﹣x+m﹣1的交点为，且当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x +的值均随x的增大而增大，∴≤2，解得m ≤，∴m的取值范围为m ≤；（3）∵m=6，∴顶点为（3，2），∴抛物线为y=（x﹣3）2+2，∴函数y有最小值为2，∵当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，∴t﹣1≤3，t+3≥3，解得0≤t≤4．26．（2016•湘潭一模）如图，已知抛物线y=ax2+x+c 经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）存在，理由如下：设D的横坐标为t（0＜t＜4），则D 点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2，∴E点的坐标为（t ，t﹣2），∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，∴△DAC的面积S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，当t=2时，S最大=4，∴此时D（2，1），△DAC面积的最大值为4．四．选择题（共3小题）27．（2016秋•宁县校级期中）在二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x …﹣1 0 1 2 3 …y …8 3 0 ﹣1 0 …求这个二次函数的解析式．【解答】解：根据题意得，解得：，则二次函数的解析式是y=x2﹣4x+3．28．（2016秋•丹江口市校级月考）如图，一次函数y1=kx+b与二次函数y2=ax2的图象交于A、B两点．（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；（2）根据图象写出使y1＞y2的x的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知：B（2，4）在二次函数y2=ax2上，∴4=a×22，∴a=1，则二次函数y2=x2，又A（﹣1，n）在二次函数y2=x2上，∴n=（﹣1）2，∴n=1，则A（﹣1，1），又A、B两点在一次函数y1=kx+b上，∴，解得：，则一次函数y1=x+2，答：一次函数y1=x+2，二次函数y2=x2；（2）根据图象可知：当﹣1＜x＜2时，y1＞y2．29．（2016春•江阴市校级月考）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a的对称轴为直线x=，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，点D关于直线BC的对称点为点E，求点E的坐标．【解答】解：（1）将C（0，4）代入y=ax2+bx﹣4a中得a=﹣1又∵对称轴为直线x=，∴，得b=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4，∵y=﹣x2+3x+4=﹣（x ﹣）2+．∴顶点坐标为：（，），∴当0≤x≤4时y的取值范围是0≤y ≤．（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，∴m+1=﹣m2+3m+4，解得：m=﹣1，或m=3；∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，4）．又∵C（0，4），∴CD∥AB，且CD=3．当y=﹣x2+3x+4=0时，解得：x=﹣1，或x=4，∴B（4，0）；当x=0时，y=4，∴C（0，4），∴OB=OC=4，∴∠OCB=∠DCB=45°，∴点E在y轴上，且CE=CD=3，∴OE=1．即点E的坐标为（0，1）．五．解答题（共1小题）30．（2016秋•临沭县校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c过点A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．（写出详细的解题过程）【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，﹣3）代入得a×（﹣1）×3=﹣3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x+3）=x2+2x ﹣3．（2）∵A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4，设P（m，n），∵△ABP的面积为6，∴AB•|n|=6，解得：n=±3，当n=3时，m2+2m﹣3=3，解得：m=﹣1+或﹣1﹣，∴P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）；当n=﹣3时，m2+2m﹣3=﹣5，解得m=0或m=﹣2，∴P（0，﹣3）或P（﹣2，﹣3）；故P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）或（0，﹣3）或P（﹣2，﹣3）．。

九年级数学-二次函数的图象与性质：顶点式同步培优题典

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】专题22.2二次函数的图象与性质：顶点式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•兴庆区校级月考）下列抛物线的图象，开口最大的是（）A．y=14x2B．y＝4x2C．y＝﹣2x2D．无法确定2．（2020•崇州市模拟）对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（）A．图象开口向下B．当x＞1时，y随x的增大而减小C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x＝﹣13．（2020春•雨花区校级期末）在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．4．（2020•萧山区模拟）已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．（2020•南充一模）已知函数y ={−x 2−2(x ≤0)−x −1(x ＞0)，则当函数值y ＝﹣6时，自变量x 的值是（） A ．±2 B ．2或﹣5 C ．2或5 D ．﹣2或56．（2019秋•齐齐哈尔期末）二次函数y ＝a （x +k ）2+k （a ≠0），无论k 取何值，其图象的顶点都在（）A ．直线y ＝x 上B ．直线y ＝﹣x 上C ．x 轴上D ．y 轴上7．（2019秋•铜山区期末）已知抛物线与二次函数y ＝﹣3x 2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（﹣1，3），它对应的函数表达式为（）A ．y ＝﹣3（x ﹣1）2+3B ．y ＝3（x ﹣1）2+3C ．y ＝3（x +1）2+3D ．y ＝﹣3（x +1）2+38．（2020•永嘉县模拟）已知抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1经过点A （m ，y 1），B （m +2，y 2），若点A 在抛物线对称轴的左侧，且1＜y 1＜y 2，则m 的取值范围是（）A ．0＜m ＜1B ．0＜m ＜2C ．1＜m ＜2D ．m ＜29．（2021•新城区校级模拟）已知二次函数的图象（0≤x ≤4）如图，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（）A ．有最大值2，有最小值﹣2.5B ．有最大值2，有最小值1.5C ．有最大值1.5，有最小值﹣2.5D ．有最大值2，无最小值10．（2020•雁塔区校级一模）已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ≠0）经过A （m ﹣4，0），B （m ﹣2，3），C （4﹣m ，3）三点，其中m ＜3，则下列说法正确的是（）A ．a ＞0B ．h ＜0C ．k ≥3D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2019秋•镇江期末）已知二次函数y =mx m 2−2的图象开口向上，则m 的值为 2 ．12．（2020•三门县一模）已知函数y ={(x −1)2(x ＜2)−x +3(x ≥2)，在自变量x ≤m 的范围内，相应的函数最小值为0，则m 的取值范围是 1≤m ≤3 ．13．（2020春•武邑县校级月考）若函数y ={x 2+2(x ≤2)2x(x ＞2)，则当函数值y ＝12时，自变量x 的值是 6或−√10 ．14．（2019秋•九龙坡区期末）已知一条抛物线y ＝2（x ﹣3）2+1，以下说法：①对称轴为x ＝3，当x ＞3时，y 随x 的增大而增大；②y 最大值＝1；③顶点坐标为（﹣3，1）；④开口向上．其中正确的是 ①④ ．（只填序号）15．（2019秋•奉贤区期末）如果二次函数y ＝a （x ﹣1）2（a ≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是 a ＞0 ．16．（2020秋•西安期末）把二次函数y ＝2x 2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是 y ＝2（x +3）2﹣1 ．17．（2019秋•安居区期末）对于抛物线y =−12（x +1）2+4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为（﹣1，4）；④x ＞1时，图象从左至右呈下降趋势．其中正确的结论是 ①③④ （只填序号）．18．（2020•都江堰市模拟）已知二次函数y ＝﹣（x +a ）2+2a ﹣1（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a 取四个不同数值时此二次函数的图象．发现它们的顶点在同一条直线上，那么这条直线的表达式是 y ＝﹣2x ﹣1 ．三．解答题（共6小题）19．（2020秋•兴国县期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为（1，4），且过点（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求将抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位后抛物线的函数表达式．20．（2019秋•萧山区期中）已知二次函数y=−12（x﹣1）2（1）完成下表；x…﹣2﹣101234…y…−92﹣2−120−12﹣2−92…（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．21．（2019秋•丹江口市期中）如图，已知抛物线y1＝﹣2x2+2与直线y2＝2x+2交于A，B两点，（1）求A，B两点的坐标．（2）求△ABO的面积．22．（2019秋•包河区期中）抛物线y＝a（x+h）2的顶点为（2，0），它的形状与y＝3x2相同，但开口方向与之相反．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）求抛物线与y轴的交点坐标．23．（2020•杭州模拟）在同一直角坐标系中画出二次函数y=13x2+1与二次函数y=−13x2﹣1的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．24．如图，抛物线y=−12x2+2与x轴交于A、B两点，其中点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上（1）试写出该抛物线的对称轴和顶点C的坐标；（2）问在抛物线上是否存在一点M，使△MAC≌△OAC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数的图象与性质(3)同步培优题典(解析版)

专题2.4二次函数的图象与性质（3）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•南岗区校级期中）抛物线y＝x2+2x+2的对称轴是（）A．直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线y＝﹣1D．直线y＝1【分析】利用二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=−b2a可求出答案．【解析】y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x=−b2a，代入数值求得对称轴是直线x＝﹣1；故选：B．2．（2019秋•思明区校级期中）对于二次函数y＝x2﹣2x+3的图象，下列说法正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣1C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．函数最大值为4【分析】将解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质可得抛物线开口方向、对称轴方程和顶点坐标及最值情况，据此求解可得．【解析】∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴由a＝1＞0知抛物线开口向上，顶点坐标是（1，2），对称轴是直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而减小，函数有最小值为2，无最大值，∴C选项正确；故选：C．3．（2019秋•太仓市期中）函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a≠0）在同一直角坐标系内的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．【解析】当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A、D不正确；由B、C中二次函数的图象可知，对称轴x=−b2a＞0，且a＞0，则b＜0，但B中，一次函数a＞0，b＞0，排除B．故选：C．4．（2018秋•渝中区校级期中）抛物线y＝﹣x2+mx+4﹣m2的图象如图所示，则m的值为（）A．±2B．4C．2D．﹣2【分析】根据图形可知，函数图象经过原点，然后把（0，0）代入函数解析式进行计算求得m的值，再根据−b2a＜0，求得m的符号即可得解．【解析】由图可知二次函数图象经过点（0，0），所以，4﹣m2＝0，解得m＝±2，∵−b2a＜0，即−m2×(−1)＜0，解得m＜0，∴m＝﹣2，故选：D．5．（2020•雁塔区校级模拟）已知抛物线y＝﹣x2+mx+2m，当x＜1时，y随x的增大而增大，则抛物线的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据题意和二次函数的性质，可以求得m 的取值范围，从而可以得到该抛物线顶点所在的象限，本题得以解决．【解析】∵抛物线y ＝﹣x 2+mx +2m ＝﹣（x −m 2）2+m 24+2m ，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，∴该抛物线的对称轴是直线x =m2，开口向下， ∴m 2≥1，即m ≥2， ∴m 24+2m ＞0，∴该抛物线的顶点（m 2，m 24+2m ）在第一象限，故选：A ．6．（2020•菏泽）一次函数y ＝acx +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【分析】先由二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝acx +b 的图象相比较看是否一致．【解析】A 、由抛物线可知，a ＞0，b ＜0，c ＞0，则ac ＞0，由直线可知，ac ＞0，b ＞0，故本选项不合题意；B 、由抛物线可知，a ＞0，b ＞0，c ＞0，则ac ＞0，由直线可知，ac ＞0，b ＞0，故本选项符合题意；C 、由抛物线可知，a ＜0，b ＞0，c ＞0，则ac ＜0，由直线可知，ac ＜0，b ＜0，故本选项不合题意；D 、由抛物线可知，a ＜0，b ＜0，c ＞0，则ac ＜0，由直线可知，ac ＞0，b ＞0，故本选项不合题意．故选：B ．7．（2020•永嘉县模拟）已知抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1经过点A （m ，y 1），B （m +2，y 2），若点A 在抛物线对称轴的左侧，且1＜y 1＜y 2，则m 的取值范围是（） A ．0＜m ＜1B ．0＜m ＜2C ．1＜m ＜2D ．m ＜2【分析】根据题目中的抛物线，可以得到该抛物线的对称轴，然后根据题意，可知点A 和点B 在对称轴两侧，从而可以得到m 的取值范围，本题得以解决．【解析】∵抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1， ∴该抛物线的对称轴为直线x ＝2，∵点A （m ，y 1），B （m +2，y 2）在抛物线y ＝a （x ﹣2）2+1上，点A 在抛物线对称轴的左侧，且1＜y 1＜y 2， ∴1＜m ＜2，故选：C ．8．（2020•稷山县校级一模）已知二次函数y ＝x 2﹣bx +1（﹣1≤b ≤1），当b 从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象（）A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．向往右下方移动，再往右上方移动【分析】先分别求出当b ＝﹣1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案．【解析】当b ＝﹣1时，此函数解析式为：y ＝x 2+x +1，顶点坐标为：（−12，34）；当b ＝0时，此函数解析式为：y ＝x 2+1，顶点坐标为：（0，1）；当b ＝1时，此函数解析式为：y ＝x 2﹣x +1，顶点坐标为：（12，34）．故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动．故选：C ．9．（2020•岐山县二模）若抛物线y ＝x 2+mx +n 的顶点在x 轴上，且过点A （a ，b ），B （a +6，b ），则b 的值为（） A ．9B ．6C ．3D ．0【分析】根据抛物线y ＝x 2+mx +n 的顶点在x 轴上，可知△＝0，从而可以得到m 与n 的关系，再根据抛物线y ＝x 2+mx +n 过点A （a ，b ），B （a ﹣4，b ），可以得到a 和m 的关系，从而可以求得b 的值．【解析】∵抛物线y ＝x 2+mx +n 顶点在x 轴上， ∴△＝m 2﹣4×1×n ＝m 2﹣4n ＝0， ∴n =14m 2，∵抛物线y ＝x 2+mx +n 过点A （a ，b ），B （a +6，b ）， ∴b ＝a 2+ma +n ，b ＝（a +6）2+m （a +6）+n ， ∴a 2+ma +n ＝（a +6）2+m （a +6）+n ，化简，得 a =−6−m2， ∴b ＝a 2+ma +n ＝（−6−m 2）2+m ×−6−m 2+14m 2＝9，故选：A ．10．（2020•长春模拟）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA 喷出，OA 长为1.5m ．水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B 到O 的距离为3m ．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间近似满足函数关系y ＝ax 2+x +c （a ≠0），则水流喷出的最大高度为（）A ．1米B ．32米C ．2米D ．138米【分析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a 和c 的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度．【解析】由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： {c =1.59a +3+c =0，解得：{a =−12c =32， ∴函数表达式为：y =−12x 2+x +32， =−12（x ﹣1）2+2，∵a ＜0，故函数有最大值，∴当x ＝1时，y 取得最大值，此时y ＝2，答：水流喷出的最大高度为2米．故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•立山区二模）若二次函数y ＝mx 2+（m ﹣2）x +m 的顶点在x 轴上，则m ＝ ﹣2或23．【分析】根据二次函数的顶点坐标列出方程求解即可．【解析】∵二次函数y ＝mx 2+（m ﹣2）x +m 的顶点在x 轴上， ∴4m⋅m−(m−2)24m=0，解得m ＝﹣2或23．故答案为：﹣2或23．12．（2020•玄武区二模）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y…4664…若点P （m 2﹣2，y 1）、Q （m 2+4，y 2）在抛物线上，则y 1 ＞ y 2．（选填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】由表中对应值可得到抛物线的对称轴为直线x =12，且抛物线开口向上，然后根据两点到对称轴的距离进行判断即可．【解析】∵x ＝0时，y ＝6；x ＝1时，y ＝6， ∴抛物线的对称轴为直线x =12，且抛物线开口向下，∵点P （m 2﹣2，y 1）、Q （m 2+4，y 2）在抛物线上，且|m 2﹣2−12|＜|m 2+4−12|， ∴y 1＞y 2，故答案为＞．13．（2020•海珠区一模）抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣2，0）、B （1，0）两点，则该抛物线的顶点坐标是（−12，−94）．【分析】利用待定系数法确定b 、c 的值，然后求得顶点坐标即可．【解析】∵抛物线y ＝x 2+bx +c 经过点A （﹣2，0）、B （1，0）两点，∴{4−2b +c =01+b +c =0，解得：{b =1c =−2，∴y ＝x 2+x ﹣2＝（x +12）2−94， ∴顶点坐标为（−12，−94），故答案为：（−12，−94）．14．（2018秋•顺庆区校级月考）某同学用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象时，列出了下面的表格由于粗心他算错了其中一个y 的值，则这个错误的数值是 ﹣5 ． x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y…﹣11﹣21﹣2﹣5…【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．【解析】由函数图象关于对称轴对称，得（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得 {a −b +c =−2c =1a +b +c =−2，解得{a =−3b =0c =1，函数解析式为y ＝﹣3x 2+1 x ＝2时y ＝﹣11，故这个错误的数值是﹣5，故答案为﹣5．15．（2020•梁园区模拟）点P 1（﹣2，y 1），P 2（0，y 2），P 3（1，y 3）均在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +c 的图象上，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系是 y 1＝y 2＞y 3 ．【分析】先根据二次项系数为负，得出函数图象开口向下；再求出其对称轴，根据横坐标离对称轴的远近即可作出判断．【解析】二次函数y ＝﹣x 2﹣2x +c 的二次项系数a ＝﹣1， ∴函数图象开口向下又∵对称轴为x＝﹣1，∴y1＝y2＞y3点故答案为：y1＝y2＞y3．16．（2011秋•越秀区期末）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则其对称轴方程是x＝﹣1，方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1．【分析】根据二次函数与x轴的交点的坐标（x1，0）、（x2，0）和对称轴方程x=x1+x22，代入求出即可；同样根据二次函数与x轴的交点坐标能求出方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1．【解析】∵从图象可知，二次函数与x轴的交点的坐标是（﹣3，0），（1，0），对称轴方程是x=−3+12=−1，方程x2+bx+c＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1．故答案为：x＝﹣1，x1＝﹣3，x2＝1．17．（2019秋•南充期末）将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线，若直线y＝x+b与这两条抛物线共有3个公共点，则b的取值范围为0＜b＜94．【分析】画出图象，利用图象法解决即可．【解析】将抛物线y＝﹣x2﹣4x（﹣4≤x≤0）沿y轴折叠后得另一条抛物线为y＝﹣x2+4x（0≤x≤4）画出函数如图，由图象可知，当直线y ＝x +b 经过原点时有两个公共点，此时b ＝0，解{y =x +b y =−x 2+4x ，整理得x 2﹣3x +b ＝0，若直线y ＝x +b 与这两条抛物线共有3个公共点，则△＝9﹣4b ＞0，解得b ＜94所以，当0＜b ＜94时，直线y ＝x +b 与这两条抛物线共有3个公共点，故答案为0＜b ＜94．18．（2020•长春一模）如图，直线y ＝x +1与抛物线y ＝x 2﹣4x +5交于A ，B 两点，点P 是y 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最小时，点P 的坐标为（0，135）．【分析】首先确定点A 和点B 的坐标，然后根据轴对称，可以求得使得△P AB 的周长最小时点P 的坐标．【解析】{y =x +1y =x 2−4x +5，解得，{x =1y =2或{x =4y =5，∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5）， ∴AB =√(5−2)2+(4−1)2=3√2，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小，点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5），设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ， {−k +b =24k +b =5，得{k =35b =135，∴直线A ′B 的函数解析式为y =35x +135，当x ＝0时，y =135，即点P 的坐标为（0，135），故答案为：（0，135）．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2019秋•大观区校级期中）当x ＝1时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 取得最小值为﹣3，且函数图象与y 轴交于点C （0，1）（1）求此函数解析式；（2）若A （m ，y 1），B （m +2，y 2）两点都在函数图象上，且y 1＜y 2，直接写出m 的取值范围 m ＞0 ．【分析】（1）根据题意设函数的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣3，然后代入点C （0，1），利用待定系数法即可求得；（2）分别把A （m ，y 1），B （m +2，y 2）两点代入y ＝4（x ﹣1）2﹣3，得到y 2﹣y 1＝[4（m +1）2﹣3]﹣[4（m ﹣1）2﹣3]＝16m ＞0，解得即可．【解析】（1）∵x ＝1时，二次函数y ＝ax 2+bx +c 取得最小值为﹣3， ∴抛物线开口向上，顶点为（1，﹣3），设函数的解析式为y ＝a （x ﹣1）2﹣3，代入点C （0，1）得，1＝a ﹣3，解得a ＝4，∴此函数解析式为y ＝4（x ﹣1）2﹣3；（2）∵A （m ，y 1），B （m +2，y 2）两点都在函数y ＝4（x ﹣1）2﹣3的图象上， ∴y 1＝4（m ﹣1）2﹣3；，y 2＝4（m +1）2﹣3， ∵y 1＜y 2，∴y 2﹣y 1＝[4（m +1）2﹣3]﹣[4（m ﹣1）2﹣3]＝16m ＞0，∴m＞0，∴m＞0时，y1＜y2，故答案为m＞0．20．（2019秋•昌平区校级期中）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，﹣1），（0，3）（1）求二次函数的解析式；（2）写出二次函数的对称轴和顶点坐标．【分析】（1）把三个点的坐标代入y＝ax2+bx+c，得出方程组，求出方程组的解即可．（2）化成顶点式即可求得．【解析】（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，﹣1），（0，3）∴代入得：{a+b+c=04a+2b+c=−1 c=3解得：a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴二次函数的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1）．21．（2019秋•西城区校级期中）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），顶点坐标是（1，﹣4）；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x ＜2时，﹣4＜y＜﹣3．【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【解析】（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3．解得x1＝﹣1，x2＝3．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…图象如图所示：；（3）当﹣2＜x＜1时，﹣4＜y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3．22．（2019秋•西城区校级期中）已知二次函数y＝﹣2x2+8x﹣6（a≠0）（1）将其化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式y＝﹣2（x﹣2）2+2；（2）顶点坐标（2，2）对称轴方程直线x＝2；（3）用五点法画出二次函数的图象；（4）当0＜x≤3时，写出y的取值范围﹣6＜y≤2．【分析】（1）直接利用配方法写成顶点式的形式即可；（2）根据顶点式即可求得；（3）利用顶点坐标以及对称轴以及图象与坐标轴交点画出图象即可；（4）利用函数图象得出y的取值范围．【解析】（1）y＝﹣2x2+8x﹣6＝﹣2（x﹣2）2+2，故答案为y＝﹣2（x﹣2）2+2；（2）顶点为（2，2），对称轴为直线x＝2，故答案为（2，2），直线x＝2；（3）列表：x…01234…y…﹣6020﹣6…描点、连线，画出函数图象如图：（4）由图象可知，当0＜x≤3时，﹣6＜y≤2，故答案为﹣6＜y≤2．23．（2020•湖北）把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2．（1）直接写出抛物线C2的函数关系式；（2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由；（3）若点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0，比较y1，y2的大小，并说明理由．【分析】（1）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解；（2）根据二次函数的最小值即可判断；（3）根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．【解析】（1）∵y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2，∴把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2：y＝（x+1﹣4）2+2﹣5，即y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3．（2）动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上，理由如下：∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴函数的最小值为﹣3，∵﹣6＜﹣3，∴动点P（a，﹣6）不在抛物线C2上；（3）∵抛物线C2的函数关系式为：y＝（x﹣3）2﹣3，∴抛物线的开口向上，对称轴为x＝3，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），B（n，y2）都在抛物线C2上，且m＜n＜0＜3，∴y1＞y2．24．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；（2）求a，b的值；（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）因为直线经过A 、B 和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A 、B 点，即可判断抛物线只能经过A 、C 两点，根据待定系数法即可求得a 、b ；（3）设平移后的抛物线为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p 2，p 24+q ），根据题意得出p 24+q =p 2+1，由抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴交点的纵坐标为q ，即可得出q =p 24−p 2−1=−14（p ﹣1）2+54，从而得出q的最大值．【解析】（1）点B 是在直线y ＝x +m 上，理由如下：∵直线y ＝x +m 经过点A （1，2），∴2＝1+m ，解得m ＝1，∴直线为y ＝x +1，把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3，∴点B （2，3）在直线y ＝x +m 上；（2）∵直线y ＝x +1经过点B （2，3），直线y ＝x +1与抛物线y ＝ax 2+bx +1都经过点（0，1），点（0.1），A （1，2），B （2，3）在直线上，点（0，1），A （1，2）在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点且B 、C 两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A 、C 两点，把A （1，2），C （2，1）代入y ＝ax 2+bx +1得{a +b +1=24a +2b +1=1，解得a ＝﹣1，b ＝2；（3）由（2）知，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x +1，设平移后的抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+px +q ，其顶点坐标为（p 2，p 24+q ），∵顶点仍在直线y ＝x +1上，∴p 24+q =p 2+1， ∴q =−p 24+p 2+1，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 与y 轴的交点的纵坐标为q ，∴q =−p 24+p 2+1=−14（p ﹣1）2+54，∴当p ＝1时，平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值为54．。

二次函数培优专题训练(含答案)

；；；．
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
11．若抛物线y=x2﹣2x+m（m为常数）与x轴没有公共点，则实数m的取值范围为．
12．二次函数y=x2-4x+5的最小值是
13．已知（x1，y1），（x2，y2）是抛物线y＝ax2（a≠0）上的两点．当x2＜x1＜0时，y2＜y1，则a的取值范围是_____．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）每件文具的售价定为多少元时，月销售利润为2520元？
（3）每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
（1）求x=2时，平行四边形AGEF的面积．
（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？
19．某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示.
(1)已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每干克的收益是多少元?(收益=售价－成本)
试题解析：A：在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．故此选项正确，
B：当x=0，y=1，∴图象与y轴的交点坐标为：（0，1），故此选项错误，
C：∵a=-1，∴函数的开口向下，对称轴是x=1，故此选项错误，
D：∵这个函数的顶点是（1，2），故此选项错误，
故选A．
考点：二次函数的性质．
(2)S是x的什么函数？
(3)当S＝6时，求点P的坐标；
(4)在y＝x2的图象上求一点P′，使△OP′A的两边OP′＝P′A.

(完整版)初三二次函数培优专题练习

二次函数考点分析培优★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点:开口方向,对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点．★★二次函数y=ax 2+bx+c(a ，b,c 是常数，a ≠0）一般式：y=ax 2+bx+c ，三个点顶点式：y=a （x －h)2+k ，顶点坐标对称轴顶点坐标（－2ba，244ac b a -）．顶点坐标(h ，k ）★★★a b c 作用分析│a │的大小决定了开口的宽窄,│a │越大,开口越小，│a │越小，开口越大，a ，b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时,对称轴x=－b 〈0,即对称轴在y 轴左侧，当a ，b•异号时，对称轴x=－2b a 〉0，即对称轴在y 轴右侧,c•的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点,c 〉0时，与y 轴交于正半轴；c<0时,与y•轴交于负半轴,以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．交点式：y=a(x- x 1)(x — x 2），（有交点的情况）与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2对称轴为221x x h +=1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是2)1(2-+=x y 则原二次函数的解析式为２。

二次函数的图象顶点坐标为（2,1），形状开品与抛物线y= - 2x 2相同,这个函数解析式为________。

３.如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k是二次函数，则k 的值是______４.(08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（）A ．若12y y =,则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >５.(兰州10）抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位,所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为A 。

二次函数的图形与性质大题专练

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题2.11二次函数的图形与性质大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（2022·江苏·九年级阶段练习）已知二次函数y=−1x2−2x+3．2(1)将该二次函数化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)指出该二次函数的图像的顶点坐标；(3)当−3＜x＜0时，直接写出y的取值范围2．（2022·江苏·西安交大苏州附中九年级阶段练习）如图，抛物线y=x2+x−2与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C．(1)结合函数图像，当−2<x<4时，直接写出y的取值范围______．(2)若点M是直线AC下方抛物线上一动点，求四边形ABCM面积的最大值．3．（2022·江苏泰州·九年级期末）已知抛物线y=x2−2mx+m2−m+1，其中m是常数，点P是抛物线的顶点．(1)求点P的坐标（用含m的代数式表示）；(2)若抛物线上有且只有两个点到x轴的距离为1，直接写出m的取值范围．2(3)当抛物线的顶点在第一象限时，在抛物线上有两点E(a，y1)，F(a＋3，y2)，且y1< y2，求a的取值范围．4．（2022·江苏南京·模拟预测）已知二次函数y1＝ax2+bx+c．(1)若二次函数y1的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），判定点D（2，2）是否在二次函数y1的图象上；(2)一次函数y2＝ax+b+c经过二次函数y1的顶点．①求二次函数y1的对称轴；②当b＜0，1＜x＜2时，比较y1与y2的大小．5．（2022·江苏南通·九年级阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A（3，3）．点M（x1，y1），N （x2，y2）为抛物线上两个不同的点，且满足x1＜x2，x1+x2＝2．(1)用含a的代数式表示b；(2)当y1＝y2时，求抛物线的对称轴及a的值；(3)当y1＜y2时，求a的取值范围．6．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A（1，0），B（－2，3）．(1)求该二次函数的表达式；(2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）(3)结合图像，直接写出当y＞3时，x的取值范围是．7．（2022·江苏南通·九年级阶段练习）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梦想点”．(1)若点P（2，p）是二次函数y=x2＋mx＋n的图象上唯一的“梦想点”，求这个二次函数的解析式；(2)设函数y＝3（x＞0），y＝﹣x＋b的图象的“梦想点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当x△ABC的面积为3时，求b的值；(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦想点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t=b2−2b，直接写出t的取值范围．8．（2020·江苏徐州·九年级期中）在平面直角坐标系中，一次函数y=x−2的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像y=a x2+bx+c(a>0)经过点A、B．(1)求a、b满足的关系式及c的值；(2)如果a=1，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使DE=PE．①求点P的坐标；②若直线PD上是否存在点Q，使△ABQ为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2022·江苏南通·九年级期末）定义：A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)是二次函数y=a x2+bx+c(m≤x≤n)图象上任意三个不重合的点，若满足y1，y2，y3中任意两数之和大于第三个数，任意两数之差小于第三个数，且y1，y2，y3都大于0，则称函数y=a x2+bx+c是m≤x≤n上的“仿三角形函数”．(1)①函数y=x2(1≤x≤2)的最小值是m，最大值是n，则2m______n（填写“>”，“<”或“=”）；②函数y=x2______1≤x≤2上的“仿三角形函数”；（填写“是”或者“不是”）(2)若二次函数y=a x2−2ax+3是1≤x≤2上的“仿三角形函数”，求a的取值范围；(3)若函数y=x2−2mx在1≤x≤3上是“仿三角形函数”，求m的取值范围．210．（2022·江苏扬州·九年级期末）已知二次函数y=2x2−4x+3的图像为抛物线C．(1)抛物线C顶点坐标为______；(2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P(2,3)，并说明理由；(3)当−2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．11．（2022·江苏·苏州工业园区金鸡湖学校九年级阶段练习）已知二次函数y=x2+2x−3．(1)用配方法把这个二次函数化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)在所给的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；(3)当−4≤x≤0时，结合图象直接写出y的取值范围．12．（2021·江苏省南京市浦口区第三中学九年级阶段练习）已知二次函数y＝x2－2mx+2m2－1(m为常数）．（1）若该函数图像与x轴只有一个公共点，求m的值；（2）将该函数图像沿过其顶点且平行于x轴的直线翻折，得到新函数图像．①新函数的表达式为________________________，并证明新函数图像始终经过一个定点；②已知点A（－2，－1）、B（2，－1），若新函数图像与线段AB只有一个公共点，请直接写出m的取值范围．13．（2021·江苏·涟水县红日中学九年级阶段练习）如图所示，抛物线y=2x2−4x−6与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，请求出点P的坐标并求出最小值；（3）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．14．（2021·江苏·九年级）已知二次函数y=x2+bx−c图象通过两点P(1,a),Q(2,10a)．（1）如果a，b，c是整数，且c<b<8a，求a，b，c值．（2）设二次函数y=x2+bx−c图象和x轴交点为A、B，和y轴交点为C．如果有关x方程x2+bx−c=0两个根都是整数，求△ABC面积．15．（2021·江苏·九年级）如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时，抛物线C2的顶点在抛物线C1上，那么我们称抛物线C1与C2关联．（1）已知抛物线①y=x2+2x−1，判断下列抛物线②y=−x2+2x+1；③y=x2+2x+1与已知抛物线①是否关联，并说明理由．（2）抛物线C1:y=1(x+1)2−2，动点P的坐标为(t,2)，将抛物线绕点P(t,2)旋转180°得到抛物线C2，若抛8物线C1与C2关联，求抛物线C2的解析式．（3）点A为抛物线C1:y=1(x+1)2−2的顶点，点B为与抛物线C1关联的抛物线顶点，是否存在以AB为斜8边的等腰直角△ABC，使其直角顶点C在y轴上，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）已知二次函数y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a、m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC的面积为1时，求a的值．17．（2021·江苏扬州·九年级期中）阅读下面的材料，回答问题：爱动脑筋的小明发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2﹣2x＋2＝（x2﹣2x＋1）＋1＝（x﹣1）2＋1≥1；因此x2﹣2x＋2有最小值是1（1）尝试：﹣2x2﹣4x＋3＝﹣2（x2＋2x＋1﹣1）＋3＝﹣2（x＋1）2＋5，因此﹣2x2﹣4x＋3有最大值是；（2）拓展：已知实数x，y满足x2＋3x＋y﹣3＝0，则y﹣x的最大值为；（3）应用：有长为28米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为16米），围成一个长方形的花圃．能围成面积最大的花圃吗？如果能，请求出最大面积．18．（2021·江苏·景山中学九年级期中）若两个二次函数图像的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“和谐二次函数”．（1）请写出两个为“和谐二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2−4mx+2m2+1和y2=a x2+bx+1，其中y1的图像经过点A(1,1)，若y1+y2与y1为“和谐二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的取值范围．19．（2022·北京市第三中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2mx+m2−1．(1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；(2)若当1≤x≤2时，y的最小值是0，请直接写出m的值；(3)直线y=x+b与x轴交于点A(−3，0)，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2−2mx+m2−1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为P，当△OAP为钝角三角形时，求m的取值范围．20．（2022·福建·上杭县教师进修学校九年级期中）已知：抛物线y=a x2−bx(1)若此抛物线与直线y=x只有一个公共点且经过点(2,0)．①求此抛物线的解析式；②以y轴上的点C(0,−2)为中心，作该抛物线关于点C对称的抛物线y′，若这两条抛物线交于A，B（点A在点B的右侧），求线段AB的长；(2)设定a>0，将此抛物线向上平移c个单位（c>0），此时与x轴交于点(c,0)，若当0<x<c时，y>0，求证：ac≤1．21．（2022·浙江·杭州启正中学九年级期中）已知二次函数y=1(x−2m)2+3−4m（m是实数）．4(1)小明说：当m的值变化时，二次函数图象的顶点始终在一条直线上运动，你认为他的说法对吗？为什么？(2)已知点P(a−5,t)，Q(4m+3+a,t)都在该二次函数图象上，求证：t≥7．22．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级期中）定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”y =x +1，其“青一点”为(1,2)．(1)①判断：函数y =2x +3 “青一函数”（填“是”或“不是”）；②函数y =8x 的图像上的青一点是；(2)若抛物线y =(m−1)x 2+mx +14m 上有两个“青一点”，求m 的取值范围；(3)若函数y =x 2+(m−k +2)x +n 4−k 2的图像上存在唯一的一个“青一点”，且当−1≤m ≤3时，n 的最小值为k ，求k 的值．23．（2022·北京市西城外国语学校九年级期中）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =a x 2−2ax +2(a <0)与y 轴交于点A ．(1)求点A 的坐标及抛物线的对称轴；(2)当0≤x ≤3时，y 的最大值是3，求当0≤x ≤3时，y 的最小值；(3)抛物线上的两点P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，若对于t <x 1<t +1，t +2<x 2<t +3，都有y 1≠y 2，直接写出t 的取值的范围．24．（2022·浙江·信达外国语学校九年级阶段练习）在直角坐标系中，设函数y =(x−m )(x−n )（m 、n 是实数）.(1)当m =1时，若该函数的图象经过点(2,6)，求函数表达式.(2)若n =m−1，且当x⩽−2时，y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围.(3)若该函数图象经过(0,a )，(3,b )两点（a 、b 是实数）当2⩽m <n⩽3时，求ab 的取值范围.25．（2022·全国·九年级专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，函数F 1和F 2的图象关于原点对称．(1)函数F 1为y =x +1，F 2的解析式为________；(2)函数F 1为y =a x 2+bx +c （a ≠0），F 2的解析式为_______；(3)函数F1为y=m x2−4mx−5．①已知A(0,3)、B(−3,3)，F2与线段AB有一个交点，求m的取值范围；②若m>0，当m−4≤x≤m−3时，设函数F2的最大值与最小值的差为ℎ，求ℎ关于m的函数解析式；并直接写出自变量m的取值范围．26．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级阶段练习）在y关于x的函数中，对于实数m，n(m>n)，当n≤x≤m时，函数y有最小值y min，满足y min=12(m−n)，则称函数为“青一函数”．(1)当n=2，m=4时，下列函数____（填序号）为“青一函数”．①y=x；②y=2x−3；③y=−12x+3．(2)当m=3n时，二次函数y=x2−2nx+2为“青一函数”，求实数n的值；(3)已知二次函数y=x2−mx+n2−n−3是“青一函数”，且y有最小值1，求实数n的值．27．（2022·吉林长春·九年级期末）已知二次函数y＝x2＋ax＋2a（a为常数）．(1)若a＝1，①求此二次函数图象的对称轴和顶点坐标；②当x≤n＋2时，函数值y随x的增大而减小时，直接写出n的取值范围；③当－3≤x≤1时，设此二次函数的最大值为m与最小值为n，求m－n．(2)若点A（－5，2）、点B（1，2），当此二次函数的图象与线段AB有两个交点时，直接写出a的取值范围．28．（2022·吉林省第二实验学校九年级阶段练习）已知二次函数解析式为y=1a x2−a2ax−1(a≠0)，该抛物线与y轴交于点A，其顶点记为B，点A关于抛物线对称轴的对称点记为C．已知点D在抛物线上，且点D 的横坐标为2，DE⊥y轴交抛物线于点E．(1)求点D的纵坐标．(2)当△ABC是等腰直角三角形时，求出a的值．(3)当0≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为2时，求a的取值范围．(4)设点R(a−3,−1)，点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M，当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出a的取值范围．x+1与x，y轴分别交于点A，B，抛物线的解29．（2022·广东·珠海市紫荆中学桃园校区三模）直线y=−12析式为y=2x2−4ax+2a2+a．(1)求出点A，B的坐标，用a表示抛物线的对称轴；(2)若函数y=2x2−4ax+2a2+a在3≤x≤4时有最大值为a+2，求a的值；(3)取a=−1，将线段AB平移得到线段A′B′，若抛物线y=2x2−4ax+2a2+a与线段A′B′有两个交点，求直线A′B′与y轴交点的纵坐标的取值范围．30．（2022·吉林·长春市第五十二中学九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−ax+a（a为常数）的顶点为A，与y轴交于点B．(1)点A的坐标是，点B的坐标是．（均用含a的式子表示）(2)若点A在第三象限，且此抛物线对应的函数值y的最小值为-3时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并直接写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．(3)点C在抛物线y=x2−ax+a（a为常数）上，且点C的横坐标为a−1，此抛物线在B、C之间的部分（包括B、C两点）记为图象G．①当a=4时，若直线y=m与图象G有且只有一个公共点时，求m的取值范围．②当a<0时，以点B为对称中心作边长为4的正方形PQMN，该正方形的边均与某坐标轴垂直．当图象G时，直接写出a的值．在正方形内部（包括边界）部分对应的函数值的最大值与最小值的差为32。

二次函数图像与性质顶点式培优训练

二次函数的图像与性质(顶点式)培优训练2 第三节:y=a(x-h)+k的图像与性质一、知识形成:在坐标系中画出下列函数草图。

并判断开口、对称轴、顶点、增减性与最值21(1) y=,(x,5)+3， (2) y,,(x，2222-3 (4)y=3(x-1)+2 1),1 (3)y=(x+2)2【观察图像思考归纳】:对于y=a(x-h)+k(1)开口方向 (2)对称轴(3)顶点 (4)增减性 (5)最值二、例题与练习2例题1、如图是二次函数y=a(x+1)+2图象的一部分，该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是 _________ (例题2求二次函数的解析式.12例题3:y,a(x,1)，4与x轴交于A、B, 与y轴正半轴交于C点, D为顶点, 对称轴交x轴于E点, DE,AB, 求解析式.【练习】一、解析式的求法(顶点式)2421y,,(x,2)，m, 顶点为M, MH?x轴于H, sin?MOH,, 求解析式. 、59522、已知: 如图1, 二次函数y,a (x,1),4的图象交x轴负半轴于点A, 交x 轴正半轴于点B, 交y轴负半轴于点C, 且OB,3OA.(1) 求二次函数的解析式;3、如图(1)，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线2y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，axca(1)(0)，，,310y 与y轴交于点C(0，-3)，其顶点为M,且cos?BCO,. 10(1)求此抛物线的函数表达式;A OB xCM图(1)24、已知: 二次函数y,a (x+6),3的图象交x轴负半轴于点A,B两点，直线DE?x轴于点2E, 交Y轴于点C,D为顶点。

且AE= 3DE. (1) 求二次函数的解析式;42y(x)c ,,,，25、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x9轴交于、两点(点在点的左侧)，交轴的正半轴于点，其ABAByC25顶点为M，MH?x轴于点H，MA交y轴于点N，sin?MOH,( 5(1)求此抛物线的函数表达式;226、已知:抛物线,与y轴相交于点C,与轴相交于A,B(3,0)两点，且S=3yax,,，(2)1?ABC(如图所示)(1) 求此抛物线的函数表达式;YBAOXC2(x,1),4的顶点为D, 与x轴交于A、B两点, 与y轴负半轴交于C点, 对称轴7、函数y=a与x轴交于H点, 且HD=AB.(1) 求抛物线的解析式;二、能力提高21、抛物线y=(x,1)+n与x轴交于A、B两点, 与y轴负半轴交于C(0，-3)。

人教版数学九年级上学期课时练习- 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质(培优篇)

专题22.3 二次函数（巩固篇）（专项练习）一、单选题知识点一、二次函数的判断1．下列实际问题中，可以看作二次函数模型的有（）①正常情况下，一个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数b 与这个人的年龄a 之间的关系为b ＝0.8（220－a ）；①圆锥的高为h ，它的体积V 与底面半径r 之间的关系为V ＝13πr 2h （h 为定值）；①物体自由下落时，下落高度h 与下落时间t 之间的关系为h ＝12gt 2（g 为定值）； ①导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q 与电流I 之间的关系为Q ＝RI 2（R 为定值）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．关于函数y=（500﹣10x ）（40+x ），下列说法不正确的是（） A ．y 是x 的二次函数 B ．二次项系数是﹣10 C ．一次项是100D ．常数项是200003．下列函数关系中，是二次函数的是（）A ．在弹性限度内，弹簧的长度y 与所挂物体质量x 之间的关系B ．当距离一定时，火车行驶的时间t 与速度v 之间的关系C ．等边三角形的周长c 与边长a 之间的关系D ．圆心角为120°的扇形面积S 与半径R 之间的关系 4．下列各式中，y 是x 的二次函数的是（） A ．y=a 2x +bx+c B ．x 2+y -2=0C ．y 2-ax=-2D ．2x -y 2+1=0知识点二、二次函数的参数5．若函数y ＝（a ﹣1）x 2+2x +a 2﹣1是二次函数，则（） A ．a ≠1B ．a ≠﹣1C ．a ＝1D ．a ＝±16．当函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数时，a 的取值为（）A ．1a =B ．1a =±C ．1a ≠D ．1a =-7．若y=（m ＋1）265m m x --是二次函数，则m= （）A ．－1B ．7C ．－1或7D ．以上都不对8．下列结论正确的是（） A ．y=ax 2是二次函数B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数C ．二次方程是二次函数的特例D ．二次函数的取值范围是非零实数知识点三、二次函数的解析式9．用一根长60cm 的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积2()y cm 与它的一边长()x cm 之间的函数关系式为（）A ．230(030)y x x x =-<<B ．230(030)y x x x =-+<C ．230(030)y x x x =-+<<D ．230(030)y x x x =-+<10．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那么商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（）A ．2105607350y x x =--+B ．2105607350y x x =-++C ．210350y x x =-+D ．2103507350y x x =-+-11．下列函数关系中，可以看做二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）模型的是（） A ．在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系 B ．正方形周长与边长之间的关系 C ．正方形面积和正方形边长之间的关系 D ．圆的周长与半径之间的关系12．某商店从厂家一每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品售为x 元，则可卖出（350-10x ）件商品，那商品所赚钱y 元与售价x 元的函数关系为（）A ．y ＝-10 x 2-560x+7350B ．y ＝-10 x 2+560x -7350C ．y ＝-10 x 2+350xD ．y ＝-10 x 2+350x -7350二、填空题知识点一、二次函数的判断13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．下列函数中：①y=－x 2；①y=2x ；①y=22+x 2－x 3；①m=3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量).15．下列各式：()()()()2222212;2;;;12;2(1)2;2122y x y x y y y x x y x y x x x x x=+====-+=-+=+--；其中y 是x 的二次函数的有________（只填序号）16．二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是_____，一次项系数是_____．知识点二、二次函数的参数17．定义：由a ，b 构造的二次函数()2y ax a b x b =+++叫做一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”，一次函数y ＝ax ＋b 叫做二次函数()2y ax a b x b =+++的“本源函数”（a ，b 为常数，且0a ≠）．若一次函数y ＝ax ＋b 的“滋生函数”是231y ax x a =-++，那么二次函数231y ax x a =-++的“本源函数”是______．18．如果函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，那么m =____．19．当m____________________________时，函数22(23)(2)y m m x m x m =--+-+是二次函数．20．点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上一点，则236m m -的值为__________知识点三、二次函数的解析式21．图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n 个叠放的图形中，小正方体木块总数m 与n 的解析式是______．22．如图，正方形ABCD 的边长是10cm ，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上的一点，BE DF =．四边形AEGF 是矩形，矩形AEGF 的面积()2cm y 与BE 的长cm x ()010x <≤的函数关系是______．23．将二次函数245y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式为__________． 24．二次函数()()y 412x x 3=-+-的一般形式2y ax bx c =++是________．三、解答题25．已知函数y ＝(m 2－m )x 2＋(m －1)x ＋2－2m . (1)若这个函数是二次函数，求m 的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m 的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？26．已知函数()229123y k x kx =-++是关于x 的二次函数，求不等式141123k k -+≥-的解集．27．某农科所研究出一种新型的花生摘果设备，一期研发成本为每台6万元，该摘果机的销售量y (台)与售价x (万元/台)之间存在函数关系：24y x =-+．（1）设这种摘果机一期销售的利润为1W (万元)，问一期销售时，在抢占市场份额(提示：销量尽可能大)的前提下利润达到32万元，此时售价为多少？（2）由于环保局要求该机器必须增加除尘设备，科研所投入了7万元研究经费，使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元，若科研所的销售战略保持不变，请问在二期销售中利润达到63万元时，该机器单台的售价为多少？参考答案1．C解：形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）的函数是二次函数，由二次函数的定义可得①①①是二次函数，故选C．2．C【分析】先化简，整理成一般式，然后对每个选项判断即可.解：①y=（500﹣10x）（40+x）=-10x2+100x+20000，①y是x的二次函数，二次项系数是-10，一次项系数是100，常数项是20000，①A、B、D正确，C错误.故选C.【点拨】本题考查了二次函数的一般形式，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，据此求解即可.3．D【分析】根据各选项的意思，列出个选项的函数表达式，再根据二次函数定义的条件判定则可．解：A、y=mx+b，当m≠0时（m是常数），是一次函数，错误；B、t=sv，当s≠0时，是反比例函数，错误；C、C=3a，是正比例函数，错误；D、S=13πR2，是二次函数，正确．故选D．【点拨】本题考查二次函数的定义．4．B解：利用二次函数的定义，可知：A.y=a2x+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；B.x2+y-2=0可变为y=2x+2，是二次函数，故此选项正确；C.y2-ax=-2不是二次函数，故此选项错误；D.x2-y2+1=0不是二次函数，故此选项错误；故选B．5．A 【分析】利用二次函数定义进行解答即可．解：由题意得：a ﹣1≠0，解得：a ≠1，故选：A ．【点拨】本题主要考查了二次函数的定义，准确计算是解题的关键． 6．D 【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．解：①函数21(1)23ay a x x +=-++ 是二次函数，①a -1≠0，2a 1+=2， ①a≠1，21a =， ①1a =-，故选D ．【点拨】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键．7．B 【分析】令x 的指数为2，系数不为0，列出方程与不等式解答即可．解：由题意得：m 2-6m -5=2；且m+1≠0；解得m=7或-1；m≠-1， ①m=7，故选：B ．【点拨】利用二次函数的定义，二次函数中自变量的指数是2；二次项的系数不为0． 8．B 【分析】根据二次函数的定义和自变量的取值范围，逐一判断解答问题．解：A 、应强调a 是常数，a≠0，错误；B、二次函数解析式是整式，自变量可以取全体实数，正确；C、二次方程不是二次函数，更不是二次函数的特例，错误；D、二次函数的自变量取值有可能是零，如y=x2，当x=0时，y=0，错误．故选B．【点拨】本题考查二次函数的定义和自变量的取值范围,解题关键是熟练掌握定义．9．C【分析】由矩形另一边长为周长的一半减去已知边长求得另一边的长，进一步根据矩形的面积等于相邻两边长的积列出关系式即可．解：由题意得：矩形的另一边长=60÷2-x=30-x，矩形的面积y（cm2）与它的一边长x（cm）之间的函数关系式为y=x（30-x）=-x2+30x （0＜x＜30）．故选：C．【点拨】此题考查根据实际问题列二次函数关系式，掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的关系是解题的关键．10．B【分析】商品所赚钱=每件的利润×卖出件数，把相关数值代入即可求解．解：每件的利润为（x-21），①y=（x-21）（350-10x）=-10x2+560x-7350．故选B．【点拨】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解决本题的关键是找到总利润的等量关系，注意先求出每件商品的利润．11．C【分析】利用二次函数的性质：一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是长常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数．逐一分析解答即可．解：A、在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系是一种反比例关系，不能看作二次函数y=ax2+bx+c模型；B 、正方形周长与边长之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax 2+bx+c模型；C 、正方形面积和正方形边长之间的关系，可以看做二次函数y=ax 2+bx+c 模型；D 、圆的周长与半径之间的关系属于一次函数，不能看作二次函数y=ax 2+bx+c 模型．故选C ．【点拨】本题考查了二次函数的性质，建立二次函数的模型要从解析式，数值的变化和图象几个方面分析．12．B解：根据商品的单价利润×销售的件数=总利润，即可得y=（x -21）（350－10x ）=－10x 2＋560x －7350，故选B.13．12-2x , 1【分析】函数化简为一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．解：①y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项①21212y x x =-+ 中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是1.故答案是：12; -2x;1.【点拨】考查了二次函数的定义，二次函数的一般形式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．14．①① 【分析】一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．根据二次函数的定义条件判定则可．解：①y ＝－x 2，二次项系数为－1，是二次函数；①y ＝2x ，是一次函数；①y ＝22＋x 2－x 3，含自变量的三次方，不是二次函数；①m ＝3－t －t 2，是二次函数. 故填①①．【点拨】本题考查二次函数的定义．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．判断一个函数是二次函数需要注意三点： (1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2；(3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a 是否为0．15．①①① 【分析】根据二次函数的定义与一般形式即可求解．解：y 是x 的二次函数的有①，①，①．故答案是：①，①，①．【点拨】本题考查了二次函数的定义，一般形式是y=ax 2+bx+c （a≠0，且a ，b ，c 是常数，x 是未知数）．16． 3 0 【分析】根据二次函数的定义解答即可．解：二次函数y ＝3x 2+5的二次项系数是3，一次项系数是0．故答案是：3；0．【点拨】考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0．17．2-1y x =﹣【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数231y ax x a =-++的本源函数．解：由题意得3=++1=a b a b ⎧⎨⎩﹣解得=2=1a b ⎧⎨⎩﹣﹣①函数231y ax x a =-++的本源函数是2-1y x =﹣．故答案为：2-1y x =﹣．【点拨】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．18．2．【分析】直接利用二次函数的定义得出m 的值．解：①函数2(1)2m m y m x -=++是二次函数，①m 2−m ＝2，（m−2）（m ＋1）＝0，解得：m 1＝2，m 2＝−1，①m ＋1≠0，①m≠−1，故m ＝2．故答案为：2．【点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确得出m 的方程是解题关键．19．不等于1-和3【分析】我们一般把形如2y ax bx c =++(a b c 、、为常数)的函数称之为二次函数，其中二次项系数不能为0，据此进一步求解即可.解：根据二次函数的定义可得：2230m m --≠，即：()()130m m +-≠，①1m ≠-，且3m ≠，即当m 不等于1-和3时，原函数为二次函数，故答案为：不等于1-和3.【点拨】本题主要考查了二次函数的定义的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 20．6【分析】把点(),1m 代入221y x x =--即可求得22m m -值，将236m m -变形()232m m -，代入即可．解：①点(),1m 是二次函数221y x x =--图像上，①2121m m =--则222m m -=．①()223632326m m m m -=-=⨯=故答案为：6．【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．21．m =2n 2−n【分析】图（1）中只有一层，有（4×0＋1）一个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有（4×1＋1）个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有（4×2＋1），依此类推出第n 层正方形的个数，即可推出当有n 层时总的正方形个数．解：经分析，可知：第一层的正方形个数为（4×0＋1），第二层的正方形个数为（4×1＋1），第三层的正方形个数为（4×2＋1），……第n 层的个数为：[4×（n −1）＋1]，第n 个叠放的图形中，小正方体木块总数m 为：1＋（4×1＋1）＋（4×2＋1）＋…＋[4×（n −2）＋1]＋[4×（n −1）＋1]＝1＋4×1＋1＋4×2＋1＋…＋4×（n −2）＋1＋4×（n −1）＋1＝n ＋4（1＋2＋3＋…＋n −2＋n −1）＝n ＋4()()1112n n +--⨯ ＝n ＋2n （n −1）＝2n 2−n ．即：m =2n 2−n ．故答案为：m =2n 2−n【点拨】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n 层时小正方形共增加了4（n −1）＋1个，将n 层的小正方形个数相加即可得到总的小正方形个数．22．2100y x =-+##2100y x =-【分析】由已知图形可以分析得到矩形AEGF 的长AF 为(10)x +cm ，宽AE 为(10)x -cm ，由面积公式即可计算得到正确答案．解：①正方形ABCD 的边长是10cm ，且BE DF =①矩形AEGF 的长AF 的长为(10)x +cm ，宽AE 的长为(10)x -cm①矩形AEGF 的面积为：()()21010=100y AF AE x x x ==+--+故答案为：2100y x =-+【点拨】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键．23．22()1y x =-+【分析】利用配方法整理即可得解．解：222454()4121y x x x x x =-+=-++=-+，所以22()1y x =-+．故答案为22()1y x =-+．【点拨】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：2(y ax bx c =++0,a a b c ≠、、为常数)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+；(3)交点式(与x 轴)：12()()y a x x x x =--．24．2y 8x 20x 12=-++【分析】直接利用乘法运算法则化成一般式．解：y ＝−4（1＋2x ）（x−3）＝−8x 2＋20x ＋12，故答案为y ＝−8x 2＋20x ＋12．【点拨】此题考查二次函数的解析式的三种形式，熟练掌握这几种形式是解题的关键．25．(1). m ≠0且m ≠1.(2). m ＝0.(3). 不可能试题分析：（1）根据二次函数的二次项系数不等于0，可得答案；（2）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项不等于0，是一次函数，可得答案；（3）根据二次函数的二次项系数等于0，常数项等于0，可得正比例函数．解：(1)①这个函数是二次函数，①m 2－m ≠0，①m (m －1)≠0，①m ≠0且m ≠1.(2)①这个函数是一次函数，①①m ＝0.(3)不可能．①当m ＝0时，y ＝－x ＋2，①不可能是正比例函数．26．15k ≤且13k ≠-．【分析】首先利用二次函数的定义得出k 不能取的值，进而解不等式得出答案.解：∵函数()229123y k x kx =-++是关于x 的二次函数，∴2910k -≠，解得：13k ≠±， 141123k k -+≥- ()()312416k k -≥+-，解得：15k ≤，故不等式141123k k -+≥-的解集为：15k ≤且13k ≠-．【点拨】此题主要考查了二次函数的定义以及解不等式，正确解不等式是解题关键. 27．（1）在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台；（2）要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【分析】（1）先根据等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量，列出函数关系式，再将132W =代入函数关系式得出方程求解即得；（2）先根据等量关系式：总利润=（售价-新成本）⨯销售量-7，列出函数关系式，再将263W =代入函数关系式得出方程求解即得．解：（1）根据题意列出函数关系式如下：21(6)(6)(24)(15)81W x y x x x =-⋅=--+=--+当132W =时，2(15)8132x --+=，解得18x =，222x =．①要抢占市场份额①8x =．答：在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元，此时售价为8万元/台．（2）降低成本之后，每台的成本为5万元，每台利润为(5)x -万元，销售量24y x =-+．依据题意得22(5)(24)729127W x x x x =--+-=-+-，当263W =时，22912763x x -+-=，解得110x =，219x =．①要继续保持扩大销售量的战略①10x =答：要使二期利润达到63万元，销售价应该为10万元/台．【点拨】本题考查函数解析式及解一元二次方程，解题关键是正确找出等量关系式：总利润=（售价-成本）⨯销售量．。

二次函数的图象及公共点交点问题大题培优专练

2023-2024学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【人教版】专题2.5二次函数的图象及公共点交点问题大题培优专练班级：_____________ 姓名：_____________ 得分：_____________一．解答题（共30小题）1．（2022秋•西城区校级期中）已知二次函数的解析式是y＝x2﹣2x﹣3．（1）与x轴的交点坐标是　（﹣1，0），（3，0）　，顶点坐标是　（1，﹣4）　；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）结合图象回答：当﹣2＜x＜2时，函数值y的取值范围是　﹣4＜y＜5　．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据抛物线y＝x2﹣2x﹣3，可以求得抛物线与x轴和y轴的交点；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．【解答】解：（1）令y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3．解得x1＝﹣1，x2＝3．抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点的坐标为（﹣1，0），（3，0）．y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）x2﹣4，所以它的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）列表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣30…图象如图所示：；（3）当﹣2＜x≤1时，﹣4≤y＜5；当1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣3，综上所述，﹣4≤y＜5．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴、y轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．2．（2021秋•东城区校级期末）已知二次函数y＝x2﹣4x+3．（1）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；（2）二次函数的图象与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，则△ABC面积为　3　；（3）当0≤x≤3时，y的取值范围是　﹣1≤y≤3　．【答案】见试题解答内容【分析】（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，求得抛物线与x轴的交点坐标，再确定抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；（2）根据交点坐标，得到AB＝2，OC＝3，然后根据三角形面积公式即可求得；（3）结合二次函数图象，写出当0≤x≤3时对应的y的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝x2﹣4x+3＝3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），如图，（2）∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），∴AB＝2，OC＝3，∴S△ABC =12AB•OC=12×2×3＝3，故答案为：3；（3）由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．故答案为﹣1≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．3．（2021•渝中区模拟）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是张华同学研究函数y=x2―7，(x≤―2或x≥2)―x2+1，(―2＜x＜2)图象、性质及其应用的部分过程，试解答下列问题：（1）请写出下列表中m 、n 的值，并在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；x …﹣3―52 ﹣2―32 ﹣1―12012 132 252 3…y …2―34 ﹣3―54 034 1m 0―54 n ―342…（2）根据所画函数的图象，写出该函数的两条性质：①　函数图象关于y 轴对称　；②　函数有最小值﹣3　．（3）若直线y ＝kx ﹣1，（k ＞0）与函数y =x 2―7，(x ≤―2或x ≥2)―x 2+1，(―2＜x ＜2)的图象至少有3个交点，则k 的取值范围为　0≤k ≤1　．【答案】（1）m =34．n ＝﹣3．（2）函数图象关于y 轴对称；函数有最小值﹣3．（3）0＜k ≤1．【分析】（1）把x =12、x ＝2分别代入代入函数解析式即可把下表补充完整；描点、连线即可得到函数的图象；（2）函数图象关于y 轴对称；函数有最小值﹣3．（3）把（﹣2，﹣3），（2，﹣3）代入y ＝kx ﹣1求得k 的值，根据函数的图象即可得到符合题意的k 的取值范围．【解答】解：（1）当x=12时，m＝﹣x2+1=―14+1=34．当x＝2时，n＝x2﹣7＝4﹣7＝﹣3．如图所示：；（2）由图象可知：①函数图象关于y轴对称；②函数有最小值﹣3；故答案为：函数图象关于y轴对称；函数有最小值﹣3．（3）把（﹣2，﹣3）代入y＝kx﹣1得，﹣3＝﹣2k﹣1，解得k＝1，把（2，﹣3）代入y＝kx﹣1得，﹣3＝2k﹣1，解得k＝﹣1，根据函数图象，直线y＝kx﹣1，（k＞0）与函数y=x2―7，(x≤―2或x≥2)―x2+1，(―2＜x＜2)的图象至少有3个交点，则k的取值范围为0＜k≤1，故答案为0＜k≤1．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确的识别图象是解题的关键．4．（2019•海曙区一模）在坐标平面内，以x轴上的1个单位长为底边按一定规律向上画矩形条．现已知其中几个矩形条的位置如图，其相应信息如表单位底…﹣3～﹣﹣2～﹣﹣1～00～11～22～33～4…位置21矩形条高…1…… 3.5……15…若所有矩形条的左上顶点都在我们已学的某类函数图象上．（1）根据所给信息，直接写出这个函数图象上的三个点的坐标　（﹣3，1），（0，3.5），（3，15）　．（2）求这个函数解析式；（3）若在坐标平面内画出所有这样依次排列的矩形条，求这些矩形条中面积最小矩形条的面积．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意，表格中给定矩形左边长对应的数为在函数图象上的点的横坐标，高即为点的纵坐标，因此得到对应的三个坐标．（2）我们已学的函数有一次函数、反比例函数、二次函数，需逐个计算排除．由于函数图象经过y 轴上的点（0，3.5），故排除反比例函数；取其中两个点求一次函数解析式，把第三个点的横坐标代入解析式，发现得到的纵坐标与实际不符，说明这三点没有在一条直线上，故排除一次函数；所以只能是二次函数，设一般式用待定系数法即求出函数解析式．（3）所有矩形的底边长即宽相等，为1，只有求出最矮的矩形的高即求出最小矩形条的面积．把二次函数解析式配方得顶点式，可得x =―73时，y 有最小值y =79．但由于矩形底边左右端点对应的都是整数，即函数图象只取x 为整数的点，故需考虑x =―73在﹣3～﹣2之间，得到其高为56．【解答】解：（1）∵矩形条的左上顶点都在我们已学的某类函数图象上，且﹣3～﹣2高为1，0～1高为3.5，3～4高为15∴对应点坐标为（﹣3，1），（0，3.5），（3，15）故答案为：（﹣3，1），（0，3.5），（3，15）．（2）∵函数图象过点（0，3.5）∴此函数不可能为反比例函数假设是一次函数y＝kx+d，把点（﹣3，1）和（0，3.5）代入，∴―3k+d=10+d=3.5解得：k=56d=72当x＝3时，y=56x+72=56×3+72=6≠15故这三点构成的函数不是一次函数设此函数为二次函数y＝ax2+bx+c∴9a―3b+c=1c=3.59a+3b+c=15解得：a=12b=73c=72∴这个函数解析式为y=12x2+73x+72（3）∵二次函数y=12x2+73x+72=12(x+73)2+79∴当x=―73时，y有最小值y=79，故最小矩形在﹣2～﹣1之间，当x＝﹣2时，y=12（﹣2）2+73•（﹣2）+72=56，∴其对应的矩形条高最矮，为5 6∴最小矩形条的面积为5 6．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，求二次函数的最值问题，二次函数的应用．解题关键是（1）读懂题意，找准点的横坐标；（2）逐步排除反比例函数和一次函数可能性；（3）求二次函数顶点后发现实际取不到最值对应的横坐标，要找最值所在矩形的位置．5．（2021•襄阳模拟）有这样一个问题：探究函数y=16x3―2x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=16x3―2x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=16x3―2x的自变量x的取值范围是　任意实数　；（2）如表是y与x的几组对应值x…﹣4﹣3.5﹣3﹣2﹣10123 3.54…y…―83―7483283116―116―83m74883…则m的值为　―32　；（3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（4）观察图象，写出该函数的两条性质　①当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；②当x＞2时，y随x 的增大而增大　．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据函数解析式是整数即可得到结论；（2）把x＝3代入函数解析式即可得到结论；（3）根据描出的点，画出该函数的图象即可；（4）根据函数图象即可得到结论．【解答】解：（1）函数y=16x3―2x的自变量x的取值范围是任意实数；故答案为：任意实数；（2）把x＝3代入y=16x3―2x得，y=―32；故答案为：―3 2；（3）如图所示；（4）根据图象得，①当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；②当x＞2时，y随x的增大而增大．故答案为：①当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；②当x＞2时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查了二次函数的图象，函数自变量的取值范围，二次函数的性质，正确的画出函数的图形是解题的关键．6．（2022秋•白云区校级期末）平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+2m +2与x 轴有两个交点．（1）求抛物线的对称轴（用含有m 的式子表示）：（2）过点P （0，m ﹣1）作直线l ⊥y 轴，抛物线的顶点A 在直线l 与x 轴之间（不包含点A 在直线l 上），求m 的范围：（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与直线l 相交于点B ．结合图象，求△ABO 的面积最大时m 的值．【答案】（1）抛物线的对称轴为直线x ＝m ；（2）﹣3＜m ＜﹣1；（3）面积最大时，m =―32．【分析】（1）先把抛物线化为顶点式，从而可得答案；（2）应用配方法得到顶点A 坐标，讨论点A 与直线l 以及x 轴之间位置关系，确定m 取值范围；（3）在（2）的基础上表示△ABO 的面积，根据二次函数性质求面积最大值与m 的值即可．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝x 2﹣2mx +m 2+2m +2＝（x ﹣m ）2+2m +2，∴抛物线的对称轴为直线x ＝m ；（2）∵y ＝x 2﹣2mx +m 2+2m +2＝（x ﹣m ）2+2m +2，∴抛物线顶点坐标为A（m，2m+2），∵二次函数图象的顶点A在直线l与x轴之间（不包含点A在直线l上），∴当直线l在x轴上方时2m+2＜m―1 m―1＞02m+2＞0，此时不等式组无解，当直线l在x轴下方时2m+2＞m―1 m―1＜02m+2＜0，解得﹣3＜m＜﹣1；（3）由（1）得：点A在点B上方，则AB＝2m+2﹣m+1＝m+3，∵﹣3＜m＜﹣1，∴△ABO的面积S=12(m+3)⋅(―m)=―12m2―32m，∵―12＜0，∴当m=―322×(12)=―32时，S最大值=98．【点评】本题考查了二次函数的图象性质，以及分类讨论、数形结合的数学思想，理解题意，构建不等式组与关于面积的二次函数关系式是解本题的关键．7．（2023•海淀区校级开学）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2m2x+2（m≠0）与y轴交于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为点B．（1）求B点的横坐标（用含m的式子表示）；（2）已知点P（m+2，2），Q（0，m+2），若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．【答案】（1）B点的横坐标为2m；（2）m的取值范围为﹣2≤m＜0或0＜m≤2．【分析】（1）先求得点A的坐标为（0，2）和抛物线的对称轴x＝m，据此即可求得B点的横坐标；（2）抛物线的对称轴为直线x＝m，则点B的坐标为（2m，2），可得点P在直线AB上，分m＞0时，m ＜0两种情况讨论，画出图象，结合图象列出不等式组，即可求解．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，则点A的坐标为（0，2），抛物线y＝mx2﹣2m2x+2（m≠0）的对称轴为x=―b2a=―2m22m=m，∵点B与点A关于直线x＝m对称，∴B点的横坐标为2m；（2）：由（1）知抛物线的对称轴为直线x＝m，点B的坐标为（2m，2），∵点P的坐标为（m+2，2），∴点P在直线AB上，①如图，当m＞0时，2m＞0，m+2＞2，m+2＞m，∴B （2m ，2）在A （0，2）右侧，且Q （0，m +2）在y 轴上A （0，2）的上方，P （m +2，2）在抛物线的对称轴右侧，∵抛物线y ＝mx 2﹣2m 2x +2（m ≠0）与线段PQ 恰有一个公共点，结合图象可得，当点P 在点B 右侧（或与点B 重合）时满足题意，即x P ≥x B 时，∴m ＞0m +2≥2m ，解得0＜m ≤2；②当m ＜0时，2m ＜0，m +2＜2，m +2＞m ，即Q （0，m +2）在y 轴上A （0，2）的下方，P （m +2，2）在抛物线的对称轴右侧，如图，点B （2m ，2）在A （0，2）左侧，∵抛物线y ＝mx 2﹣2m 2x +2（m ≠0）与线段PQ 恰有一个公共点，结合图象可得，点P ，点A 的横坐标x p ，x A 满足x P ≥x A ，∴m ＜0m +2≥0，解得﹣2≤m ＜0；综上所述，m 的取值范围为﹣2≤m ＜0或0＜m ≤2．【点评】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m 进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键．8．（2023•遵义模拟）在平面直角坐标系中，已知二次函数y ＝mx 2﹣x +1．（1）若点（2，3）在二次函数的图象上，求二次函数的表达式；（2）当m =14时，二次函数y ＝mx 2﹣x +1的图象与y ＝t （t 为常数）的图象只有一个交点，求t 的值；（3）已知点A （﹣1，0），B （1，1），若二次函数y ＝mx 2﹣x +1的图象与线段AB 有两个不同的交点，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）二次函数的表达式为y ＝x 2﹣x +1；（2）t ＝0；（3）m 的取值范围为m ≤﹣2或1≤m ＜98．【分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）求得抛物线的顶点即可求得；（3）分m ＞0和m ＜0两种情况来讨论，结合图象作出判断．【解答】解：（1）∵点（2，3）在二次函数y ＝mx 2﹣x +1的图象上，∴3＝4m ﹣2+1，解得m ＝1，∴二次函数的表达式为y ＝x 2﹣x +1；（2）当m =14时，二次函数关系式为y =14x 2﹣x +1，∵y =14（x ﹣2）2，∴抛物线的顶点为（2，0），∵二次函数y ＝mx 2﹣x +1 的图象与y ＝t （t 为常数）的图象只有一个交点，∴t ＝0；（3）①如图1，当m ＜0时，x ＝﹣1时，y ＝mx 2﹣x +1＝m +1+1≤0，解得m ≤﹣2，所以m ≤﹣2，②如图2，∵点A （﹣1，0），B （1，1），∴直线AB 为y =12x +12，令12x +12=mx 2﹣x +1，整理得mx 2―32x +12=0，∵二次函数y ＝mx 2﹣x +1的图象与线段AB 有两个不同的交点，∴Δ＝（―32）2﹣4m ×12＞0，解得m ＜98，当m ＞0时，x ＝1时，y ＝mx 2﹣x +1＝m ﹣1+1≥1，解得m ≥1，∴1≤m ＜98，∴m 的取值范围为m ≤﹣2或1≤m ＜98．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．9．（2023•东城区校级开学）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线M ：y ＝ax 2﹣4ax +4a +1（a ≠0）和直线l ：y =12x ―32．（1）抛物线M 的对称轴是 x ＝2　；（2）若直线y ＝n 与抛物线M 有两个公共点，它们的横坐标记为x 1，x 2，直线y ＝n 与直线l 的交点横坐标记为x 3．若当﹣1＜n ＜0时，总有x 1＜x 3＜x 2，请结合函数图象，求a 的取值范围．【答案】（1）x ＝2；（2）―13≤a ＜0．【分析】（1）由抛物线解析式直接求出抛物线对称轴即可；（2）画出符合要求的函数图象草图，根据图象列出不等式，即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）抛物线M ：y ＝ax 2﹣4ax +4a +1（a ≠0）的对称轴为直线x =―4a 2a=2，故答案为：x ＝2；（2）①当a ＞0时，抛物线M ：y ＝ax 2﹣4ax +4a +1（a ≠0）中，当y ＝0时，ax 2﹣4ax +4a +1＝0，∵Δ＝（﹣4a）2﹣4a（4a+1）＝﹣4a＜0，∴一元二次方程ax2﹣4ax+4a+1＝0无实数解，∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）开口向上，∴抛物线与直线y＝n（﹣2＜n＜﹣1）没有交点，不符合题意，∴此种情况不存在；②当a＜0时，抛物线M：y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）中，当y＝0时，ax2﹣4ax+4a+1＝0，∵Δ＝（﹣4a）2﹣4a（4a+1）＝﹣4a＞0，∴一元二次方程ax2﹣4ax+4a+1＝0有两个不等实数根，∴抛物线与直线y＝n（﹣2＜n＜﹣1）有两个交点，它们的横坐标记为x1，x2，如图所示：当y＝﹣2时，由l：y=12x―32得：12x―32=―2，解得：x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝ax2﹣4ax+4a+1＝9a+1；∵直线y＝n与直线l的交点横坐标记为x3．若当﹣1＜n＜0时，总有x1＜x3＜x2，∴可得到：9a+1≥﹣2解得：a≥―1 3，∴a的取值范围为―13≤a＜0．【点评】本题考查了抛物线的对称轴，二次函数图象与性质，解不等式组等知识，关键在于根据函数图象得出关于a的不等式．10．（2023•灵宝市二模）在平面直角坐标系xOy中，有一抛物线的表达式为y＝﹣x2+2nx﹣n2．（1）当该抛物线过原点时，求n的值；（2）坐标系内有一矩形OABC，其中A（4，0），B（4，﹣3）．①直接写出C点坐标；②如果抛物线y＝﹣x2+2nx﹣n2与该矩形的边有2个交点，求n的取值范围．【答案】（1）n＝0；（2）①（0，﹣3）②―n≤0或4≤n＜4【分析】（1）把（0，0）代入y＝﹣x2+2nx﹣n2得﹣n2＝0，即可得到n的值；（2）①由四边形OABC是矩形得到OA∥BC，OC∥AB，由A（4，0），B（4，﹣3）即可得到点C的坐标；②由y＝﹣x2+2nx﹣n2＝﹣（x﹣n）2得到抛物线开口向下，顶点在x轴上，顶点坐标为（n，0），分情况讨论和数形结合即可得到答案．【解答】解：（1）把（0，0）代入y＝﹣x2+2nx﹣n2得﹣n2＝0，解得n＝0；（2）①∵四边形OABC是矩形，∴OA∥BC，OC∥AB，∵A（4，0），B（4，﹣3）．∴C点坐标为（0，﹣3）；②∵y＝﹣x2+2nx﹣n2＝﹣（x﹣n）2，∴抛物线开口向下，顶点在x轴上，顶点坐标为（n，0），当对称轴右半部分的抛物线经过点C时，抛物线与矩形OABC的边恰有1个交点，此时﹣（0﹣n）2＝﹣3，解得n1=n2=当抛物线经过原点时，抛物线与矩形OABC的边恰有2个交点，此时n3＝0，∴当n≤0时，抛物线与矩形的边OABC有2个交点；当抛物线过点A时，抛物线与矩形的边OABC恰有2个交点，此时﹣（4﹣n）2＝0，解得n4＝4，当对称轴左侧的抛物线经过点B时，抛物线与矩形OABC的边恰有1个交点，此时﹣（4﹣n）2＝﹣3，解得n5=4―n6=4+∴当4≤n＜4+OABC的边有2个交点；综上所述，抛物线y＝x2﹣2nx+n2与该矩形的边有2个交点时n的取值范围为n≤0或4≤n＜4+【点评】此题是二次函数和几何综合题，考查了二次函数的图象和性质、矩形性质，数形结合和准确计算是解题的关键．11．（2023•光山县三模）已知二次函数y＝mx2+6mx+b与x轴交于A，B两点（其中A在B的左侧），且AB ＝4．（1）求点A和点B的坐标；（2）若m＜0，当﹣5≤x≤1时，y有最大值2，则当﹣5≤x≤1时，求y的最小值；（3）点C的坐标为（﹣4，﹣6），D（0，﹣6）．若抛物线y＝mx2+6mx+b与线段CD恰有一个交点，求m的取值范围．【答案】（1）A点坐标为（﹣5，0），B点坐标为（﹣1，0）．（2）y的最小值为﹣6．（3）m=―32或m＞2或m≤―65．【分析】（1）求出对称轴，由A，B两点是抛物线与x轴的交点，以及AB＝2，对称轴直线x＝﹣3可以求出两点坐标；（2）把解析式化成顶点式，根据﹣5≤x≤1，y有最大值2，即可求得m的值，进一步求得函数的最小值；（3）先求出线段CD的解析式，再根据抛物线与线段CD恰有一个交点，分a＞0和a＜0两种情况讨论即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝mx2+6mx+b＝m（m+3）﹣9m+b，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣3．∵AB＝4，设A点坐标（p，0），B点坐标（q，0），∴q﹣p＝4．p+q＝﹣6，p＝﹣5，q＝﹣1．∴A点坐标为（﹣5，0），B点坐标为（﹣1，0）．（2）∵y＝mx2+6mx+5m＝m（x+3）2﹣4m．∵m＜0，当﹣5≤x≤1，x＝﹣3时，y有最大值．则﹣4m＝2，解得m=―1 2．∴y=―12x2―3x―52=―12(x+3)2+2，∵﹣5≤x≤1，则当x＝1时，y有最小值，即y=―12×12―3―52=―6．∴y的最小值为﹣6．（3）∵y＝mx2+6mx+5m＝m（x+3）2﹣4m，∴抛物线顶点坐标为（﹣3，﹣4m），若y＝mx2+6mx+5m与线段CD恰有一个交点，当m＞0时，①线段CD恰好过抛物线顶点，∴﹣4m＝﹣6．即m=3 2．②抛物线经过点C时，m（﹣4）2+6×（﹣4）m+5m＝﹣6．∴m＝2，此时抛物线与线段CD有两个交点，③当x ＝﹣4时，m （﹣4）2+6×（﹣4）m +5m ＜﹣6．抛物线与线段CD 有一个交点，解得：m ＞2；如图①，当m ＜0时，5m ≤﹣6，即m ≤―65，抛物线与线段CD 有一个交点，如图②．综上：m =―32或m ＞2或m ≤―65．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是通过二次函数的解析式求抛物线的对称轴与坐标轴的交点以及顶点坐标．12．（2023•济南）在平面直角坐标系xOy 中，正方形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，C （2，3），D （﹣1，3）．抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c （a ＜0）与x 轴交于点E （﹣2，0）和点F ．（1）如图1，若抛物线过点C ，求抛物线的表达式和点F 的坐标；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF ，作直线CE ，平移线段CF ，使点C 的对应点P 落在直线CE上，点F 的对应点Q 落在抛物线上，求点Q 的坐标；（3）若抛物线y ＝ax 2﹣2ax +c （a ＜0）与正方形ABCD 恰有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）y =―38x 2+34x +3，F （4，0）；（2）（﹣4，﹣6）；（3）―13＜a ＜0 或 ―35＜a ＜―38．【分析】（1）抛物线 y ＝ax 2﹣2ax +c 过点C （2，3），E （﹣2，0），代入即可求得解析式，令y ＝0即可求得F 点的坐标；（2）设直线CE 的表达式为 y ＝kx +b ，直线过点C （2，3），E （﹣2，0），代入即可求得解析式，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得点 P(t ―2，―38t 2+34t +6)，代入即可；（3）求出顶点坐标，再分情况解答即可．【解答】解：（1）∵抛物线 y ＝ax 2﹣2ax +c 过点C （2，3），E （﹣2，0），得 3=4a ―4a +c 0=4a +4a +c ，解得a =―38c =3，∴抛物线表达式为 y =―38x 2+34x +3，当 y ＝0 时，―38x 2+34x +3=0，解得 x 1＝﹣2 （舍去），x 2＝4，∴F （4，0）；（2）设直线CE 的表达式为 y ＝kx +b ，∵直线过点C （2，3），E （﹣2，0），得 3=2k +b 0=―2k +b ，解得 k =34b =32，∴直线CE的表达式为y=34x+32，设点Q(t，―38t2+34t+3)，则点Q向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点P(t―2，―38t2+34t+6)，将P(t―2，―38t2+34t+6)代入y=34x+32，解得t1＝﹣4，t2＝4 （舍去），∴Q点坐标为（﹣4，﹣6）；（3）将E（﹣2，0）代入y＝ax2﹣2ax+c得c＝﹣8a，∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）2﹣9a，∴顶点坐标为（1，﹣9a），①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，∴0＜﹣9a＜3，解得―13＜a＜0，②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，与正方形有两个交点，a+2a―8a＜3a×22―2a×2―8a＞3，解得―35＜a＜―38综上所述，a的取值范围为―13＜a＜0或―35＜a＜―38．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键．13．（2023•藁城区二模）已知抛物线G：y＝ax2﹣2ax+a+m（a，m均为常数，且a≠0），G交y轴于点C （0，﹣3），点P在抛物线G上，连接CP，且CP平行于x轴．（1）用a表示m，并求抛物线G的对称轴及P点坐标；（2）当抛物线G经过（﹣1，3）时，求G的表达式及其顶点坐标；（3）如果把横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”．如图，当a＞0时，若抛物线G位于线段CP下方的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个“整点”，求a的取值范围．【答案】（1）m＝﹣3﹣a，x＝1，P（2，﹣3）；（2）y＝2x2﹣4x﹣3，（1，﹣5）；（3）5＜a≤6．【分析】（1）将C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+a+m可得m＝﹣3﹣a，利用x=―b2a可求对称轴，根据C点坐标及CP平行于x轴可求P点坐标；（2）将（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3可得解析式，再配成顶点式可得顶点坐标；（3）由a＞0，抛物线G位于线段CP下方的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个“整点”，且C（0，﹣3），P（2，﹣3），可知区域内的整点为（1，﹣4），（1，﹣5），（1，﹣6），（1，﹣7），（1，﹣8），由此可求a的取值范围．【解答】（1）将C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2ax+a+m得：m＝﹣3﹣a，对称轴为：x=―2a2a=1，∵CP平行于x轴．∴点P与点C关于对称轴对称，∴P（2，﹣3）；（2）将（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得：a+2a﹣3＝3，∴a＝2，∴G的表达式为：y＝2x2﹣4x﹣3，∵y＝2x2﹣4x﹣3＝2（x﹣1）2﹣5，∴其顶点坐标为：（1，﹣5）；（3）∵a＞0，抛物线G位于线段CP下方的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个“整点”，且C（0，﹣3），P（2，﹣3），∴区域内的整点为（1，﹣4），（1，﹣5），（1，﹣6），（1，﹣7），（1，﹣8），将（1，﹣8）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得：a＝5，将（1，﹣9）代入y＝ax2﹣2ax﹣3得：a＝6，∴5＜a≤6．【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征、待定系数法求二次函数解析式以及整点问题，熟练掌握各知识点并能灵活运用是解决本题的关键．14．（2023•西城区校级三模）已知关于x的二次函数y＝x2﹣2mx﹣3．（1）当抛物线过点（2，﹣3）时，求抛物线的表达式，并求它与y轴的交点坐标；（2）求这个二次函数的对称轴（用含m的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（a，a）和B（b，﹣b），当a＜0，b＞0时，总有a+b＞0，求m的取值范围．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3，（0，﹣3）；（2）x＝m；（3）m＞0．【分析】（1）根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，令x＝0，求得函数值，即可求得抛物线与y轴的交点；（2）利用对称轴公式求得即可；（3）由题意可知|a|＜|b|，即可判断抛物线的对称轴在y轴的右侧，即m＞0．【解答】解：（1）∵抛物线过点（2，﹣3），∴﹣3＝4﹣4m﹣3，∴m＝1，∴抛物线为：y＝x2﹣2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，∴抛物线与y轴交点（0，﹣3）；（2）∵二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，∴对称轴为直线x=―2m2×1=m；（3）∵a+b＞0，∴b＞﹣a，∵a＜0，b＞0，∴|a|＜|b|，∵点A（a，a）和B（b，﹣b）是抛物线y＝x2﹣2mx﹣3上的两点，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴m＞0．【点评】本题考查了抛物线与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15．（2023•路北区二模）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线C：y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．（1）若抛物线C的图象经过点（3，1）．①写出C的对称轴，并求a的值及C与y轴的交点坐标；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，直接写出a的取值范围．【答案】（1）①a ＝2，C 与y 轴的交点坐标为（0，7）；（2）92；（3）19＜a ≤49．【分析】（1）①把点（3，1）代入二次函数的解析式求出a ，进而可求出C 与y 轴的交点坐标；②判断出M ，N 关于抛物线的对称轴对称，求出点M 的纵坐标，可得结论；（2）分两种情形：若M ，N 在对称轴的异侧，y 1≥y 2，若M ，N 在对称轴的异侧，y 1≤y 2，x 1＜2，分别求解即可．【解答】解：（1）①∵二次函数y ＝a （x ﹣2）2﹣1（a ＞0）经过（3，1），∴1＝a ﹣1，∴a ＝2，∴二次函数的解析式为y ＝2（x ﹣2）2﹣1；当x ＝0时，y ＝2×（0﹣2）2﹣1＝7，∴C 与y 轴的交点坐标为（0，7）；②∵y 1＝y 2，∴M ，N 关于抛物线的对称轴对称，∵对称轴是直线x ＝2，且x 2﹣x 1＝3，∴x 1=12，x 2=72，当x =12时，y 1＝2×（12―2）2﹣1=72，∴当y 1＝y 2时，顶点到MN 的距离=72+1=92；（2）若M ，N 在对称轴的异侧，y 1≥y 2，∴x 1+3＞2，∴x1＞﹣1，∵x2﹣x1＝3，∴x1≤1 2，∴﹣1＜x1≤1 2，∵函数的最大值为y1＝a（x1﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，∴y1﹣（﹣1）＝1，∴a=1(x12)2，∴94≤（x1﹣2）2＜9，∴19＜a≤49．若M，N在对称轴的异侧，y1≤y2，x1＜2，∵x1≥1 2，∴12≤x1＜2，∵函数的最大值为y2＝a（x2﹣2）2﹣1，最小值为﹣1，∴y2﹣（﹣1）＝1，∴a=1(x11)2，∵12≤x1＜2，∴32≤x1+1＜3，∴94≤（x1+1）2＜9，∴19＜a≤49．综上所述，19＜a≤49．【点评】本题考查了二次函数的性质，轴对称等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．16．（2023•桥西区校级模拟）如图，抛物线L：y＝mx2+nx+2（m≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B仍然在抛物线L上．（1）求抛物线L的对称轴，并用含m的代数式表示n；（2）当抛物线L 的顶点在x 轴上时，求该抛物线的解析式；（3）若抛物线与x 轴相交于P 、Q 两点，且PQ ⩽3，求m 的取值范围．【答案】（1）x ＝2，n ＝﹣4m ；（2）y =12（x ﹣2）2；（3）12＜m⩽87．【分析】（1）由题意可知平移后点A 的坐标为（4，2），根据对称性可得对称轴为x ＝2，再由x =―n 2m=2可得n ＝﹣4m ；（2）由题意可得抛物线L 的顶点坐标为（2，0），设抛物线表达式为：y ＝a （x ﹣2）2，将A （0，2）代入即可；（3）分m ＜0和m ＞0分别计算即可．【解答】解：（1）抛物线L 与y 轴交于点A （0，2），将点A 向右平移4个单位长度，得到点B （4，2），∴抛物线L 的对称轴为直线：x =402=2，即：x =―n 2m =2，∴n ＝﹣4m ．（2）∵抛物线L 的顶点在x 轴上，∴抛物线L 的顶点坐标为（2，0），设抛物线表达式为：y ＝a （x ﹣2）2，将A （0，2）代入得，4a ＝2，解得：a =12．∴当抛物线L 的顶点在x 轴上时，该抛物线的解析式为：y =12（x ﹣2）2．（3）①当m ＜0时，抛物线开口向下，不妨设点P 在点Q 的左侧，由（1）知，抛物线L与y轴的交点为（0，2）．∵抛物线L的对称轴为直线x＝2，∴X P＜0，x Q＞4．∴PQ＝|x Q﹣x P|＞4，∵PQ≤3，∴此种情况不符合题意．②当m＞0时，抛物线开口向上，由（2）知，抛物线L：y＝mx2﹣4mx+2．在x轴上关于抛物线的对称轴x＝2对称且距离为3的两点的坐标为(12，0)、(72，0)．∵PQ≤3．∴当x=12时，y=mx2―4mx+2=14m―2m+2⩾0．∴m⩽8 7，∵抛物线与x轴有两个交点，y＝4m﹣8m+2＜0．∴m＞1 2，∴12＜m⩽87．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．17．（2023•新华区校级二模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式y＝x2+bx+c通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的抛物线．（1）若输入b＝4，c＝﹣1，得到如图1所示的抛物线．求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B的坐标；（2）已知点P（﹣1，10），Q（4，0）．①若输入b，c的值后，得到如图2的抛物线恰好经过P，Q两点，求出b，c的值；②淇淇输入b，嘉嘉输入c＝﹣2，若得到抛物线与线段PQ有公共点，直接写出淇淇输入b的范围．【答案】（1）顶点C 为（﹣2，﹣5），抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标分别为（﹣20），（﹣2+0）；（2）①b =―5c =4；②b ≤﹣11或b ≥―72．【分析】（1）把解析式化成顶点时即可求得顶点C 的坐标，令y ＝0，解方程即可求得抛物线与x 轴的交点坐标；（2）①利用待定系数法即可求得；②根据题意得出点P 在抛物线下方或点Q 在抛物线的下方，求出b 的取值范围．【解答】解：（1）∵b ＝4，c ＝﹣1，∴二次函数解析式y ＝x 2+4x ﹣1，∵y ＝x 2+4x ﹣1＝（x +2）2﹣5，∴顶点C 为（﹣2，﹣5），令x 2+4x ﹣1＝0，解得x ＝﹣2∴抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标分别为（﹣2―0），（﹣2+0）；（2）①∵抛物线恰好经过P ，Q 两点，P （﹣1，10），Q （4，0），∴1―b +c =1016+4b +c =0，解得b =―5c =4；②要想使抛物线与线段PQ 有公共点，则点P 在抛物线下方或点Q 在抛物线的下方，∴当x ＝﹣1时，y ≥10或x ＝4时，y ≥0，∴1﹣b ﹣2≥10或16+4b ﹣2≥0，解得b ≤﹣11或b ≥―72．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．18．（2023•方城县模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax +c ．（1）若该二次函数的图象经过（1，3）和（4，0）两点．①求这个二次函数的解析式；②若经过点A （﹣1，1）的直线y ＝kx +b 与该二次函数位于第一象限的图象只有一个交点，请在图中结合函数图象，求b 的取值范围；（2）若c ＝4a +4，该二次函数位于x 轴上方的图象与x 轴构成的封闭图形（不包括边界）有7个整点，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）①y ＝﹣x 2+4x ；②b 的取值范围是0＜b ＜45或b ＝7﹣（2）a 的取值范围是﹣2＜a ≤﹣1．【分析】（1）①将（1，3）和（4，0）代入函数解析式求解．②把（﹣1，1）代入y ＝kx +b 得y ＝（b ﹣1）x +b ，然后由二次函数解析式可得抛物线顶点（2，4），经过点（0，0），（4，0），将坐标分别代入直线解析式求解．（2）根据抛物线对称轴为直线x ＝2，通过数形结合可得区域内有七个整点分别为（1，1），（2，1），（3，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），进而求解．【解答】解：（1）①将（1，3）和（4，0）代入y ＝ax 2﹣4ax +c 得a ―4a +c =316a ―16a +c =0，解得a =―1c =0，∴y ＝﹣x 2+4x ；②把A （﹣1，1）代入y ＝kx +b 得1＝﹣k +b ，整理得k ＝b ﹣1，∴y ＝（b ﹣1）x +b ，∵y ＝﹣x 2+4x ＝﹣（x ﹣2）2+4，∴顶点为（2，4），把x ＝0代入y ＝﹣x 2+4x 得y ＝0，∴抛物线经过原点，将（0，0）代入y ＝（b ﹣1）x +b 得b ＝0，将（4，0）代入y ＝（b ﹣1）x +b 得5b ﹣4＝0，解得b =45，∴0＜b ＜45满足题意．令（b ﹣1）x +b ＝﹣x 2+4x ，整理得x 2+（b ﹣5）x +b ＝0，Δ＝（b ﹣5）2﹣4b ＝0，解得b ＝7±∵抛物线的顶点为（2，4），∴b ＝7﹣∴b 的取值范围是0＜b ＜45或b ＝7﹣（2）∵y ＝ax 2﹣4ax +4a +4＝a （x ﹣2）2+4，∴抛物线顶点坐标为（2，4），a ＞0时，抛物线开口向上，与x 轴无交点，不符合题意．a ＜0时，抛物线开口向下，如图，当区域内包含整点（1，1），（2，1），（3，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3）时满足题意，当抛物线过点（1，2）时，则a﹣4a+4a+4＝2，解得a＝﹣2，当抛物线过（1，3）时，则a﹣4a+4a+4＝2，解得a＝﹣1，∴该二次函数位于x轴上方的图象与x轴构成的封闭图形（不包括边界）有7个整点，a的取值范围是﹣2＜a≤﹣1．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，通过数形结合求解．19．（2023•肇源县二模）如图，抛物线y＝x2﹣6x+c与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），点A在点B的右侧，与y轴交于点C．（1）若直线AC的解析式为y＝﹣x+5，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，过点B的直线与抛物线y＝x2﹣6x+c交于另一点P．若直线AC与直线BP平行，求点P的坐标；（3）点M（﹣1，﹣4），N（6，﹣4）为平面直角坐标系内两点，连结MN．若抛物线与线段MN只有一个公共点，直接写出c的取值范围．。

(新编)2020年中考数学专题培优：二次函数图像和性质(含答案)

2020年中考数学专题培优二次函数图像和性质（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.抛物线247y x x =--的顶点坐标是（）A ．(2，-11)B ．(-2，7)C ．(2，11)D ．(2，-3)2.把抛物线23y x =先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A.()2332y x =+- B.()2322y x =++ C.()2332y x =--D.()2332y x =-+3.若抛物线22y x x c =-+与y 轴的交点坐标为（0，-3），则下列说法不正确的是（） A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x =1C.当x =1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）。

4.如图，二次函数()2,0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为(－1，0)．则下面的四个结论中正确的个数是（）①20a b +=；②420a b c +<-；③0ac >；④当0y <时，1x <－或2x >． A ．1 B ．2 C ．3 D ．45.将抛物线216212＝－＋yx x 向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为( ) A ．21(8)52＝－＋y x B ．21(4)52＝－＋y x C ．21(8)32＝－＋y x D ．21(4)32＝－＋y x6.已知二次函数()²,0y ax bx c c =++≠的图象如图所示，下列说法错误．．的是 ( )A.图像关于直线1x =对称B.函数()²,0y ax bx c c =++≠的最小值是－4C.－1和3是方程()²0,0ax bx c c ++=≠ 的两个根D.当1x <时，y 随x 的增大而增大7.对于二次函数22y x x =-+，有下列四个结论，其中正确的结论的个数为（）CA B -1x=1xy O -11-4xyO①它的对称轴是直线1x =；②设221112222,2y x x y x x =-+=-+，则21x x >时，有21y y >；③它的图象与x 轴的两个交点是(0，0)和(2，0) ④当02x << 时，0y > A.1B.2C.3D.48.已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x …… -1 0 1 3 …… y …… -3 1 3 1 ……则下列判断中正确的是( )A.抛物线开口向上B.抛物线与y 轴交于负半轴C.图象对称轴为直线x=1D.方程02=++c bx ax 有一个根在3与4之间9.如图，一段抛物线24(22)＝－＋－yx x ≤≤为1C ，与x 轴交于0A ，1A 两点，顶点为1D ；将1C 绕点1A 旋转180°得到2C ，顶点为2D ；1C 与2C 组成一个新的图象，垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点111()P x y ，，222()Px y ，，与线段12D D 交于点333()P x y ，，设123x x x ，，均为正数，123＝＋＋t x x x ，则t 的取值范围是( )A ．68t <≤B ．68t ≤≤C ．1012t <≤D ．1012t ≤≤10.在同一平面直角坐标系中，函数y mx m =+,和函数222,)0y mx x m m =-++≠（是常数,且的图象可能是( )二、填空题（共有7道小题） 11.抛物线开口方向对称轴顶点坐标yxC 2C 1A 0D 2D 1A 1OAx y O B xyO C x yODxyO()232y x =--()2132y x =+12.抛物线()2241y x =--的开口，顶点坐标是，对称轴是；当x ＝时，y 有最值为；在对称轴左侧，即当x 时，y 随x 的增大而，在对称轴右侧，即当x 时，y 随x 的增大而 .13.在平面直角坐标系中，若将抛物线()132++-=x y 先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是．14.二次函数422-+=x x y 的图象的开口方向是，对称轴是，顶点坐标是15.抛物线3422+-=x x y 绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的表达式是．16.若抛物线c x x y +-=42的顶点在直线1+=x y 上，求c 的值______ 17.已知点P （m ，n ）在抛物线a x ax y --=2上，当m ≥﹣1时，总有n ≤1成立，则a 的取值范围是 .三、解答题（共有6道小题）18.抛物线()233y x =- 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A ，B 两点坐标及△AOB 的面积19.已知，在同一平面直角坐标系中，反比例函数xy 5=与二次函数c x x y ++-=22的图象交于点A (－1，m )． (1)求m ，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．20.已知抛物线32++=bx ax y 的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程082=-+bx ax 的一个根为4，求方程的另一个根．21.当k 分别取-1，1，2时，函数()2145y k x x k =--+-都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有最大值，请求出最大值。

人教版九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质培优课时训练(含答案)

人教版九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质培优课时训练一、选择题1. (2019•哈尔滨)将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为 A ．22(2)3y x =++ B ．22(2)3y x =-+ C ．22(2)3y x =-- D ．22(2)3y x =+-2. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度D ．向右平移8个单位长度3.已知二次函数y ＝a (x －1)2＋c 的图象如图，则一次函数y ＝ax ＋c 的图象大致是( )4. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：x －1 0 2 3 4 y5－4－3有下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x ＝2；③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x 轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x 1，2)，B(x 2，3)是抛物线上的两点，则x 1<x 2.其中正确的个数是()A．2 B．3 C．4 D．55. 2018·潍坊已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为()A．3或6 B．1或6 C．1或3 D．4或66.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动．过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是( )7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2>4ac；②abc<0；③2a＋b－c>0；④a＋b＋c<0.其中正确的是()A．①④B．②④C．②③D．①②③④8. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1<x2，则c的取值范围是A．c<-3 B．c<-2C．c<14D．c<19. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，有下列说法：①ac>0；②2a＋b>0；③4ac<b2；④a＋b＋c<0；⑤当x>0时，y随x的增大而减小．其中正确的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．③④⑤10. 某国家足球队在某次训练中，一名队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y＝ax2＋bx＋c的一部分(如图)，有下列结论：①a<－160；②－160<a<0；③a－b＋c>0；④a<b<－12a.其中正确的是()A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题11.将抛物线y＝－(x＋2)2向________平移________个单位长度，得到抛物线y＝－(x －1)2.12.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数解析式为y＝__________.13. 若抛物线y＝x2＋bx＋25的顶点在x轴上，则b的值为________．14. 如图所示，抛物线y＝ax2－3x＋a2－1经过原点，那么a的值是________．15. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，对称轴是直线x＝－1，则a＋b＋c ＝________．三、解答题16. 如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标．17. 如图，已知抛物线经过A(－3，0)，B(0，3)两点，且其对称轴为直线x＝－1.(1)求此抛物线的解析式；(2)若P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A，B)，求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．18. (2019·山东东营)已知抛物线24y ax bx +＝﹣经过点()()20,40AB ，-，，与y 轴交于点C ．(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标；(3)如图2，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂足为,D M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，使CMG 的周长最小？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．人教版九年级数学 22.1 二次函数的图象和性质培优课时训练-答案一、选择题 1. 【答案】B【解析】将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+，故选B ．2. 【答案】B[解析] y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)．y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，故选B.3.【答案】B [解析]根据二次函数的图象开口向上，得a ＞0，根据c 是二次函数图象顶点的纵坐标，得出c＜0，故一次函数y＝ax＋c的图象经过第一、三、四象限．故选B.4. 【答案】B[解析] 先根据二次函数的部分对应值在坐标系中描点、连线，由图象可以看出抛物线开口向上，所以结论①正确．由图象(或表格)可以看出抛物线与x轴的两个交点分别为(0，0)，(4，0)，所以抛物线的对称轴为直线x＝2且抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以结论②和④正确．由图象可以看出当0<x<4时，y<0，所以结论③错误．由图象可以看出当抛物线上的点的纵坐标为2或3时，对应的点均有两个，若A(x1，2)，B(x2，3)是抛物线上两点，既有可能x1<x2，也有可能x1>x2，所以结论⑤错误．5. 【答案】B[解析] 当h＜2时，有－(2－h)2＝－1，解得h1＝1，h2＝3(舍去)；当2≤h≤5时，y＝－(x－h)2的最大值为0，不符合题意；当h＞5时，有－(5－h)2＝－1，解得h3＝4(舍去)，h4＝6.综上所述，h的值为1或 6.6. 【答案】B 【解析】∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝90°，∠B＝∠C＝45°.(1)当0≤x≤2时，点P在AB边上，△BDP是等腰直角三角形，∴PD＝BD＝x，y＝12x2(0≤x≤2)，其图象是抛物线的一部分；(2)当2＜x≤4时，点P在AC边上，△CDP是等腰直角三角形，∴PD＝CD＝4－x，∴y＝12BD·PD＝12x(4－x)(2＜x≤4)，其图象也是抛物线的一部分．综上所述，两段图象均是抛物线的一部分，因此选项B的图象能大致反映y与x之间的函数关系．7. 【答案】A[解析] ①因为图象与x轴有两个不同的交点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故①正确．②图象开口向下，故a<0.图象与y轴交于正半轴，故c>0.因为对称轴为直线x＝－1，所以－b2a＝－1，所以2a＝b，故b<0，所以abc>0，故②错误．③因为a<0，b<0，c>0，所以2a＋b－c<0，故③错误．④当x＝1时，y＝a＋b＋c，由图可得，当x＝－3时，y<0.因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，所以由对称性可知，当x＝1时，y<0，即a＋b＋c<0，故④正确．综上所述，①④正确，故选A.8. 【答案】B【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c=0，所以∆=1–4c>0，又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1<x2，所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140 110cc->⎧⎨++<⎩，解得c<-2，故选B．9. 【答案】C[解析] ①由图象可知：a>0，c<0，∴ac<0，故①错误；②由对称轴可知：－b2a<1，∴2a＋b>0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac>0，即4ac<b2，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a＋b＋c<0，故④正确；⑤当x>－b2a时，y随着x的增大而增大，故⑤错误．故选C.10. 【答案】B[解析] 用排除法判定．易知c＝2.4.把(12，0)代入y＝ax2＋bx＋c中，可得144a＋12b＋2.4＝0，即12a＋15＋b＝0.由图象可知a<0，对称轴为直线x ＝－b 2a ，且0<－b2a <6， ∴b>0，∴12a ＋15<0，∴a<－160，即①成立，②不成立，故不可能选C 与D. ∵－b2a <6，∴b<－12a. ∵a<0，b>0，∴a<b<－12a ，∴④正确，而a －b ＋c 的取值不确定， ∴③不正确．故选B.二、填空题11. 【答案】右 3 12. 【答案】a(1＋x)213. 【答案】±1014. 【答案】－1[解析] 因为抛物线经过原点(0，0)，所以a 2－1＝0，即a ＝±1.因为抛物线的开口向下，所以舍去a ＝1.故a ＝－1.15. 【答案】0[解析] ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A(－3，0)，对称轴是直线x ＝－1，∴抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的另一交点的坐标为(1，0)， ∴a ＋b ＋c ＝0.三、解答题16. 【答案】解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(1，4)， ∴设此抛物线的解析式为y ＝a(x －1)2＋4. ∵抛物线过点B(0，3)，∴3＝a(0－1)2＋4，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －1)2＋4，即此抛物线的解析式为y ＝－x2＋2x ＋3.(2)作点B 关于x 轴的对称点E(0，－3)，连接AE 交x 轴于点P ，此时PA ＋PB 的值最小．设直线AE 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧k ＋b ＝4，b ＝－3，解得⎩⎨⎧k ＝7，b ＝－3， ∴直线AE 的解析式为y ＝7x －3.当y ＝0时，x ＝37，∴当PA ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为(37，0)．17. 【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c. 根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋c ＝0，c ＝3，－b2a＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. 所以抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3.(2)易知直线AB 的表达式为y ＝x ＋3，设P(m ，－m 2－2m ＋3)，过点P 作PC ∥y 轴交AB 于点C ，则C(m ，m ＋3)，PC ＝(－m 2－2m ＋3)－(m ＋3)＝－m 2－3m ，所以S △PAB ＝12×(－m 2－3m)×3＝－32(m 2＋3m)＝－32(m ＋32)2＋278，所以当m ＝－32时，S △PAB 有最大值278，此时点P 的坐标为(－32，154)．18. 【答案】(1)∵抛物线4y ax bx +-＝经过点()()2,0,40A B -，， 424016440a b a b +-=⎧∴⎨--=⎩，解得1,21a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2142y x x --＝；(2)如图1，连接OP ，设点21,42P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中40x -＜＜，四边形ABPC 的面积为S ，由题意得0,4C -（），AOCOCPOBPS SSS∴++＝()1124422x =⨯⨯+⨯⨯-2114422x x ⎛⎫+⨯⨯--+ ⎪⎝⎭，24228x x x ---+＝，2412x x -+＝-，()2216x ++＝．10﹣＜，开口向下，S 有最大值，∴当2x ＝-时，四边形ABPC 的面积最大，此时，4y ＝-，即()2,4P --．因此当四边形ABPC 的面积最大时，点P 的坐标为()2,4--． (3)()2211941222y x x x =+-=+-， ∴顶点91,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．如图2，连接AM 交直线DE 于点G ，此时，CMG 的周长最小．设直线AM 的解析式为y kx b +＝，且过点20A （，），91,2M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，11 / 11 20,92k b k b +=⎧⎪∴⎨-+=-⎪⎩∴直线AM 的解析式为332y x =-．在Rt AOC中，AC ==． D 为AC的中点，12AD AC ∴==ADE AOC ∽，ADAEAO AC ∴=，2=5AE ∴＝，523OE AE AO ∴--＝＝＝，()30E ∴-，，由图可知()1,2D -设直线DE 的函数解析式为y mx n =+，2,30m n m n +=-⎧∴⎨-+=⎩解得：12,32m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线DE 的解析式为1322y x =--．1322,332y x y x ⎧=--⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩解得：34,158x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩315,48G ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭．。

九年级数学下册二次函数的图象和性质专题培优训练【含答案】

九年级数学下册二次函数的图象和性质()k h x a y +-=2知识梳理1.二次函数的图象和性质：)0(2≠+=a k ax y 2.二次函数的图象和性质：())0(2≠-=a h x a y 3.二次函数的图象和性质：)0()(2≠+-=a k h x a y 4. 二次函数图象平移规律：抛物线的平移遵循“左右，上下 ”的原则，具体为：解析式开口方向对称轴顶点坐标最值增减性a ＞0( )最低点x= ,y 最小= x ＞0，y 随x 的 x ＜0，y 随x 的 a ＜0直线 ( )（）最高点x= ,y 最大=x ＞0，y 随x 的 x ＜0，y 随x 的)0(2≠+=a k ax y a决定抛物线开口程度.越开口越 .a a 解析式开口方向对称轴顶点坐标最值增减性a ＞0( )最低点x= ,y 最小= x ＞h,y 随x 的 x ＜h,y 随x 的 a ＜0直线( )最高点x= ,y 最大=x ＞h,y 随x 的 x ＜h,y 随x 的())0(2≠-=a h x a y a决定抛物线开口程度.越开口越 .a a 解析式开口方向对称轴顶点坐标最值增减性a ＞0( )最低点x= ,y 最小= x ＞0，y 随x 的 x ＜0，y 随x 的 a ＜0直线（）最高点x= ,y 最大= x ＞0，y 随x 的 x ＜0，y 随x 的)0()(2≠+-=a k h x a y a 决定抛物线开口程度.越大开口越小.a a【【【(h <0)【【【【【(h >0)【【【(h 【【|k|【【【重点突破知识点一二次函数的性质)0()(2≠+-=a k h x a y 1.抛物线y = −3(x −2)2+4的开口方向、对称轴、顶点坐标分别为( ) A ．开口向下，对称轴为x = −2，顶点坐标为(−2，4) B ．开口向上，对称轴为x = 2，顶点坐标为(2，4) C ．开口向上，对称轴为x = 2，顶点坐标为(2，−4) D ．开口向下，对称轴为x = 2，顶点坐标为(2，4)本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键。

7.二次函数的图象和性质九年级数学下册专题培优训练含答案

二次函数的图象和性质九年级数学下册专题培优训练一、选择题1、有以下关于函数y ＝2x 2的图象的说法：(1)图象有最低点；(2)图象为轴对称图形；(3)图象与y 轴的交点为原点； (4)图象的开口向上．其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、已知点(1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)均在函数y ＝2020x 2的图象上，则下列关于y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 13、对于抛物线y=—21(x+1)2+3,有下列结论:①开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3); ④当x>1时,y 随x 的增大而减小.其中正确的有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个4、函数y=x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（）A.y=21(x －1)2+2B.y=21(x －1)2+21C.y=21(x －1)2－3D.y=21(x+2)2－1 5、在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（）. A. B. C. D.6、二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象上部分点的坐标(x ,y )的对应值列表如下:x … -3 -2 -1 0 1 …y … -3 -2 -3 -6 -11 …则该函数图象的对称轴是 ( )A .直线x=-3B .直线x=-2C .直线x=-1D .直线x=07、函数y=x 2-4x+3的图象的顶点坐标是 ( )A .(2,-1)B .(-2,1)C .(-2,-1)D .(2,1)8、已知一次函数y ＝b ax ＋c 的图像如图所示，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在平面直角坐标系中的图像可能是( )x ≤4)( )A ．有最大值2，有最小值－2.5B ．有最大值2，有最小值1.5C 2.5D ．有最大值2，无最小值10的图象如图所示,有下列结论:①ac<0; ②b-2a<0; ③b>0; ④a-b+c<0.其中正确的是( )A.①②B.①④C.②③D.②④二、填空题11、二次函数y ＝14x 2的图象开口向________，对称轴是________，图象最低点的坐标是________，当x ＝2时， y ＝________，当y ＝1时，x ＝________．12、已知二次函数y ＝12x 2的图象如图所示，线段AB ∥x 轴，交二次函数图象于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2，则AB 的长为________．13、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图6所示,当x=2时,y 的值为 .14、将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__15、已知函数y ＝x 2＋2x ＋1，当y ＝0时，x ＝________；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而________(填写“增大”或“减小”)．16、已知二次函数y=x 2+2mx+2,当x>2时,y 随x 的增大而增大,则实数m 的取值范围是 .17、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0）与一次函数y ＝kx +m (k ≠0）的图象相交于点A （－2，4），B (8，2)，如图所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是 .18、平移抛物线y ＝x 2+2x －8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式19、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的x 、y 的部分对应值如下表：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …y … ﹣5 0 3 4 3 …根据表格中的信息回答：若y ＝﹣5，则对应x 的值是．20、如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝﹣2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间（C 不与A 、B 重合）若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为_________.（用含a 的式子表示）三、解答题21、已知二次函数216y ax bx =++的图象经过点(－2,40)和点(6,－8)(1)分别求a 、b 的值,并指出二次函数图象的顶点、对称轴；(2)当26x -≤≤时，试求二次函数y 的最大值与最小值.22、如图，已知直线l 过A (4，0)，B (0，4)两点，它与二次函数y ＝ax 2的图象在第一象限内交于点P .若△AOP 的面积为92，求a 的值．23、已知一条抛物线的开口方向和开口大小与抛物线y ＝2x 2的都相同，顶点与y ＝－(x ＋2)2的顶点相同.(1)求抛物线的解析式；(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？(3)当x 取何值时，函数有最大(或小)值？最大(或小)值是多少？24、如图,已知二次函数y=-21x 2+bx-6的图象与x 轴交于点A (2,0),与y 轴交于点B ,对称轴与x 轴交于点C ,连接BA ,BC ,求△ABC 的面积.25、如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1，3．与y 轴负半轴交于点C ．（1）若△ABD 是等腰直角三角形，求a 的值．（2）探究：是否存在a ，使得△ACB 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a 的值；不存在，说明理由．二次函数的图象和性质九年级数学下册专题培优训练（答案）一、选择题1、有以下关于函数y ＝2x 2的图象的说法：(1)图象有最低点；(2)图象为轴对称图形；(3)图象与y 轴的交点为原点； (4)图象的开口向上．其中正确的有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、已知点(1，y 1)，(2，y 2)，(3，y 3)均在函数y ＝2020x 2的图象上，则下列关于y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( A )A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 13、对于抛物线y=—21(x+1)2+3,有下列结论:①开口向下;②对称轴为直线x=1;③顶点坐标为(-1,3); ④当x>1时,y 随x 的增大而减小.其中正确的有(C ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个4、函数y=21x 2+2x+1写成y=a(x －h)2+k 的形式是（ D ） A.y=21(x －1)2+2 B.y=21(x －1)2+21 C.y=21(x －1)2－3 D.y=21(x+2)2－1 5、在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n 2与二次函数y=x 2+m 的图象可能是（ D ）. A. B. C. D.6、二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象上部分点的坐标(x ,y )的对应值列表如下:x … -3 -2 -1 0 1 …y … -3 -2 -3 -6 -11 …则该函数图象的对称轴是 ( B )A .直线x=-3B .直线x=-2C .直线x=-1D .直线x=07、函数y=x 2-4x+3的图象的顶点坐标是 ( A )A .(2,-1)B .(-2,1)C .(-2,-1)D .(2,1)8、已知一次函数y ＝b ax ＋c 的图像如图所示，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在平面直角坐标系中的图像可能是( A )9、已知二次函数的图象(0≤x ≤4)如图.关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是( A) A ．有最大值2，有最小值－2.5 B ．有最大值2，有最小值1.5C 2.5D ．有最大值2，无最小值10的图象如图所示,有下列结论:①ac<0; ②b-2a<0; ③b>0; ④a-b+c<0.其中正确的是( A )A.①②B.①④C.②③D.②④二、填空题11、二次函数y ＝14x 2的图象开口向________，对称轴是________，图象最低点的坐标是________，当x ＝2时， y ＝________，当y ＝1时，x ＝________．答案：上 y 轴 (0，0) 1 2或－212、已知二次函数y ＝12x 2的图象如图所示，线段AB ∥x 轴，交二次函数图象于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2，则AB 的长为____ 4____．13、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图6所示,当x=2时,y 的值为 2 .14、将抛物线22y x x =-向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__ _21027y x x =-+__15、已知函数y ＝x 2＋2x ＋1，当y ＝0时，x ＝________；当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而________(填写“增大”或“减小”)．答案：－1 增大16、已知二次函数y=x 2+2mx+2,当x>2时,y 随x 的增大而增大,则实数m 的取值范围是 .[解析] 该抛物线的对称轴为直线x=-=-=-m.∵a=1>0,∴抛物线开口向上,∴当x>-m 时,y 随x 的增大而增大.又∵当x>2时,y 随x 的增大而增大,∴-m ≤2,解得m ≥-2.17、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0）与一次函数y ＝kx +m (k ≠0）的图象相交于点A （－2，4），B (8，2)，如图所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是 .x ＜－2或x ＞8； .18、平移抛物线y ＝x 2+2x －8，使它经过原点，写出平移后抛物线的一个解析式答案不惟一，如，y ＝x 2+2x ；19、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的x 、y 的部分对应值如下表：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …y … ﹣5 0 3 4 3 …根据表格中的信息回答：若y ＝﹣5，则对应x 的值是．【解答】解：由表格中的数据知，该抛物线的对称轴是x ＝1，∵当x ＝﹣2时，y ＝5，∴根据抛物线的对称性质得到：当x ＝4时，y ＝﹣5，综上所述，当x ＝﹣2或x ＝4时，y ＝﹣5．故答案是：﹣2或4．20、如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝﹣2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间（C 不与A 、B 重合）若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为_________.（用含a 的式子表示）解答：如图，∵对称轴为直线x ＝﹣2，抛物线经过原点、x 轴负半轴交于点B ，∴OB ＝4，∵由抛物线的对称性知AB ＝AO ，∴四边形AOBC 的周长为AO +AC +BC +OB ＝△ABC 的周长+OB ＝a +4，故答案为：a +4．三、解答题21、已知二次函数216y ax bx =++的图象经过点(－2,40)和点(6,－8)(1)分别求a 、b 的值,并指出二次函数图象的顶点、对称轴；(2)当26x -≤≤时，试求二次函数y 的最大值与最小值.解：（1）根据题意，将点（-2，40）和点（6，-8）代入216y ax bx =++，得：421640366168a b a b -+=⎧⎨++=-⎩，解得：110a b =⎧⎨=-⎩， ∴二次函数解析式为：()22101659y x x x =-+=--，该二次函数图象的顶点坐标为：（5，-9），对称轴为x=5；（2）由（1）知当x=5时，y 取得最小值-9，在-2≤x ≤6中，当x=-2时，y 取得最大值40，∴最大值y=40，最小值y=-9．22、如图，已知直线l 过A (4，0)，B (0，4)两点，它与二次函数y ＝ax 2的图象在第一象限内交于点P .若△AOP 的面积为92，求a 的值． y)，直线l 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将A(4，0)，B(0，4)分别代入y ＝kx ＋b ，计算可得k ＝－1，b ＝4，故y ＝－x ＋4.∵△AOP 的面积为92＝12×4y ，∴y ＝94. 再把y ＝94代入y ＝－x ＋4，得x ＝74， ∴P(74，94)．把P(74，94)代入y ＝ax 2中，得a ＝3649.23、已知一条抛物线的开口方向和开口大小与抛物线y ＝2x 2的都相同，顶点与y ＝－(x ＋2)2的顶点相同.(1)求抛物线的解析式；(2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？(3)当x 取何值时，函数有最大(或小)值？最大(或小)值是多少？解：(1)设所求抛物线为y ＝a (x －h )2.∵抛物线开口方向和大小与y ＝2x 2相同，∴a ＝2，∴所求抛物线为y ＝2(x －h )2.又∵抛物线的顶点与y ＝－(x ＋2)2的顶点相同，∴顶点为(－2,0)，代入y＝2(x －h )2解得h ＝－2，∴y ＝2(x ＋2)2；(2)当x ＞－2时，y 随x 的增大而增大；当x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；(3)当x ＝－2时，函数有最小值，最小值为0.24、如图,已知二次函数y=-21x 2+bx-6的图象与x 轴交于点A (2,0),与y 轴交于点B ,对称轴与x 轴交于点C ,连接BA ,BC ,求△ABC 的面积.解:将A (2,0)代入y=-x 2+bx-6, 得0=-2+2b-6,解得b=4,∴二次函数的表达式为y=-x 2+4x-6. 当x=0时,y=-6,∴点B 的坐标为(0,-6).∵抛物线的对称轴为直线x=-=4, ∴点C 的坐标为(4,0),∴S △ABC =AC ·OB=×(4-2)×6=6.25、如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1，3．与y 轴负半轴交于点C ．（1）若△ABD 是等腰直角三角形，求a 的值．（2）探究：是否存在a ，使得△ACB 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的a 的值；不存在，说明理由．【解答】解：（1）如图，作DE ⊥AB 于点E ， AB ＝3﹣（﹣1）＝4，∵△ABD 是等腰直角三角形，∴DE ＝AB ＝2，则D 的坐标是（1，﹣2）．设二次函数的解析式是y ＝a （x ﹣1）2﹣2，把（﹣1，0）代入得4a ﹣2＝0，解得：a ＝．（2）存在，分三种情况：①当AB ＝BC 时，∴CB ＝AB ＝4，在Rt △OBC 中，OB 2+OC 2＝BC 2，∴OC 2＝BC 2﹣OB 2＝16﹣9＝7，∴OC ＝，∴C （0，﹣），设二次函数的解析式为：y ＝a （x +1）（x ﹣3），将C （0，﹣）代入，∴a ＝，②当AB＝AC时，∴AC＝AB＝4，在Rt△AOC中，AO2+OC2＝AC2，∴OC2＝16﹣1＝15，∴OC＝，则C（0，﹣），y＝a（x+1）（x﹣3），∴a＝，③当AC＝BC时，∵CO⊥AB，∴O是AB的中点，而AO＝1，BO＝3，∴AO≠BO，∴AC＝BC不成立，∴a＝或．。

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第三节：y=a(x-h)2+k 的图像与性质
一、知识形成：
在坐标系中画出下列函数草图。

并判断开口、对称轴、顶点、增减性与最值
（1） y=﹣（x ﹣5）2+3， (2) y ＝－21(x ＋
1)2－1 （3）y=(x+2)2-3 (4)y=3(x-1)2+2
【观察图像思考归纳】：对于y=a(x-h)2+k
（1）开口方向（2）对称轴
（3）顶点（4）增减性
（5）最值
二、例题与练习
例题1、如图是二次函数y=a （x+1）2+2图象的一部分，该图在
y 轴右侧与x 轴交点的坐标是 _________ ．
例题2求二次函数的解析式.
例题3：y ＝a (x －1)2＋4与x 轴交于A 、B , 与y 轴正半轴交于C 点, D 为顶点, 对称轴交x 轴于E 点, DE ＝AB , 求解析式.
【练习】一、解析式的求法（顶点式）
1、y ＝－94
(x －2)2＋m , 顶点为M , MH ⊥x 轴于H , sin ∠MOH ＝55
2, 求解析式.
2、已知: 如图1, 二次函数y ＝a (x －1)2－4的图象交x 轴负半轴于
点A , 交x 轴正半轴于点B , 交y 轴负半轴于点C , 且OB ＝3OA .
(1) 求二次函数的解析式;
3、如图（1），在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线
y=2(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，
与y 轴交于点C （0，-3），其顶点为M,且cos
∠BCO＝3
1010. (1)求此抛物线的函数表达式；
4、已知: 二次函数y ＝a (x +6)2－3的图象交x 轴负半轴于点A ,B 两点，直线DE ⊥x 轴于点E , 交Y 轴于点C ,D 为顶点。

且AE 2= 3DE. (1) 求二次函数的解析式;
5、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2429y (x ) c =--+与x
轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴的正半轴于点C ，其
顶点为M ，MH ⊥x 轴于点H ，MA 交y 轴于点N ，sin∠MOH ＝
5
52．（1）求此抛物线的函数表达式；
图（1） y x A O B M C
6、已知：抛物线2
(2)1y a x =-+,与y 轴相交于点C,与轴相交于A,B(3,0)两点，且S △ABC =3（如图所示）
(1) 求此抛物线的函数表达式；
7、函数y =a (x －1)2－4的顶点为D , 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴负半轴交于C 点, 对称轴与x 轴交于H 点, 且HD =AB .
(1) 求抛物线的解析式;
二、能力提高
1、抛物线y =(x －1)2+n 与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴负半轴交于C （0，-3）。

(1) 求抛物线的解析式;
（2）点P 为对称轴右侧抛物线上一点，以BP 为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 落在对称轴上，求P 点的坐标。

答案P(2,-3)
2、抛物线y =ax 2+4与x 轴交于A 、B 两点, 与y 轴正半轴交于C ，AB=4.
(1) 求抛物线的解析式;
(2)以AC 为直角边作等腰直角△ACD ，AD 交抛物线于点P,求P 点的坐标。

Y
X O C B A y x D P O C B A M y x P O C B A
3. 如图, 抛物线y=a(x－2)2+1与x轴交于A、B两点, 与y轴负半轴交于点C, 抛物线的对称
轴交抛物线于点D, 交x轴于点E, 若AB=2DE.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 沿抛物线的对称轴向下平移抛物线, 平移后的抛物线交线段BC于F、G两点,
1BC, 求平移后抛物线的解析式;
若FG=
2
(3) 如图, 点P是第四象限的对称轴右侧抛物线上的一个动点, PN⊥BC于点N(N在线段
BC上), 在P点的运动过程中, 是否存在这样的点P, 使得△CPN和△OAC相似? 若存在, 求P点坐标; 若不存在, 请说明理由.
4. 如图, 二次函数y=a(x－1)2－4的顶点为D, 与x轴交于A、B两点, 与y轴负半轴交于C 点, 对称轴与x轴交于H点, 且HD=AB.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 若M为对称轴右侧抛物线上一点, MN∥x轴交抛物线于另一点N, 以MN为斜边的直
角三角形的直角顶点在x轴上, 当这个直角顶点至少有一个时, 求M点纵坐标y M的取值范围;
(3) 经过C、D两点的直线与x轴交于E点. P为对称轴右侧抛物线上一点, CP交对称轴
于点F, 是否存在这样的一点P, 使△CDF与△EAC相似? 若存在, 求P点坐标; 若不存在, 请说明理由.
5. 如图, 已知抛物线y=a(x－2)2－1与x轴交于A、B两点, 与y轴正半轴交于点C, D为抛物线的顶点, 且S△ABD=1.
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 点P在抛物线的对称轴上, 且∠APD=∠ACB, 求点P的坐标;
(3) M为抛物线上一点, 过M作MN⊥x轴于点N, 是否存在这样的点M, 使得以A、M、
N为顶点的三角形与△AOC相似? 若存在, 求出所有符合条件的M点坐标; 若不存在, 请说明理由.。