根式、指数式、对数式)
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综合练习 根式、指数式、对数式
一．基础知识自测题：
1．指数式4
532
-b
a 化为根式是
4
5
3
2
b
a .
2．根式
b
b a
3
4
化为指数式是2
343
-
b
a .
3．log 3 333＝
8
7.
4．已知log m 0.3
二．基本要求：
1．熟练掌握指数式和根式的互化，对含有指数式(或根式)的乘除运算，要善于利用幂的运算法则；
2．熟练掌握指数式和对数式的互化；
3．熟练掌握和运用对数运算法则和换底公式； 4．注意表达式中各数字和字母之间的关系。 例一．若12.2a ＝0.0122b ＝1000，求a
1－b
1的值。
解：a ＝log 12,2 1000, ∴a
1＝log 1000 12.2, 同理b
1＝ log 1000 0.0122.,
∴
a
1－
b
1＝ log 1000 12.2－ log 1000 0.0122＝1.
例二．若lg(a －b )＋lg(a ＋b )＝lg2＋lg a ＋lg b ，求b
a 的值。
解：由已知得lg(a ＋b )(a －b )＝lg2ab , 且a －b >0,a ＋b >0, a >0, b >0. ∴ a 2－ab －b 2＝0, 解得
b
a ＝2, 或
b
a ＝－1(舍)。
例三．已知log a x , log b x , log c x 成等差数列，求证：c 2
＝(ac )b a log .
证明：∵log a x , log b x , log c x 成等差数列，∴2 log b x ＝ log a x ＋log c x , 换成以a 为底的对数， 得
c
x x b
x a
a a
a a
log
log log
log
log 2+
=, log a x ≠0,
∴ 2log a c ＝ log a b ·log a c ＋ log a b ＝ log a b ·log a ac ＝b
a a
ac log )(log
∴c 2
＝(ac )b a log .
例四．设a >0, 且a ≠1, f (x )＝a x ＋a －x , g (x )＝ a x －a －x , 对于正数m , n 有f (m )f (n )＝8, g (m )g (n )＝4, 求m , n 的值。
解：(a m ＋a －m )( a n ＋a －n )＝8, (a m －a －m )( a n －a －n
)＝4, 即 (a
m ＋n
＋a
－m －n
)＋( a
m －n
＋a
n －m
)＝8, (a
m ＋n
＋a
－m －n
)－( a
m －n
＋a
n －m
)＝4,
∴a m ＋n ＋a －m －n ＝6, a m －n ＋a n －m ＝2, ∴a m ＋n ＝3±22, a m －n ＝1, ∴ m ＋n ＝log a (3±22), m ＝n , ∴ m ＝n ＝ log a (2±1). 三．基本技能训练题：
1．设x ＝log 5 6·log 6 7·log 7 8·log 8 9·log 9 10, 则x 属于区间（ B ）。 （A ）(0,1) （B ）(1, 2) （C ）(2, 3) （D ）(3, 4) 2．已知x , y , z 都是正数，且2x
＝3y
＝6z
, 则一定有（ B ）。 （A ）2x <3y <6z （B ）3y <2x <6z （C ）6z <2x <3y （D ）6z <3y <2x 3．已知log 67＝a , log 6 2＝b , 则log 18 28＝
b
b a -+22.
4．已知a >b >1, log a b ＋log b a ＝
3
10, 则log a b －log b a ＝38-
.
5．设a , b , c 均是不等于1的正数，且x x ＝b y ＝c z ,
z
y
x
111+
+
＝0, 求abc 的值。
解：设x x ＝b y ＝c z ＝t , 则
x
1＝log t a ,
y
1＝log t b ,
z
1＝ log t c , ∴
z
y
x
111+
+
＝ log t a
＋ log t b ＋ log t c ＝0, ∴ abc ＝1. 6．
3
log
9log 2
8的值是（A ）。
（A ）
3
2 （B ）1 （C ）
23 （D ）2
7．已知a >0, b >0且a b
＝b a
, b ＝9a ，则a ＝（A ）。 （A ）43 （B ）9 （C ）9
1 （D ）39
8．已知0
log
（B ）p p
（C ）p <3p （D ）p (1－p )<
4
1
（A ）x a
10．若log a 2 （A ）0b >1 （D ）b >a >1 11．若log a 3 2<1，则a 的取值范围是（D ）。