电子科技大学数学分析-2002答案
2002电子科大高等数学竞赛试题与解答
12002电子科大高等数学竞赛试题与解答一、选择题（40分，每小题4分，只有一个答案正确）.1．设)(x f 在] ,[a a -（0>a ）上连续，且为非零偶函数，⎰=Φxdt t f x 0)()(，则)(x Φ（B ）.（A ）是偶函数； （B ）是奇函数；（C ）是非奇非偶函数；（D ）可能是奇函数，也可能是偶函数.2．设)(x f 在] ,[b a 上连续，且0)(=⎰badx x f ，则………………………………（D ）.（A ）在) ,(b a 内不一定有x 使0)(=x f ； （B ）对于] ,[b a 上的一切x 都有0)(=x f ；（C ）在] ,[b a 的某个小区间上有0)(=x f ；（D ）在) ,(b a 内至少有一点使0)(=x f .3．已知当0→x 时，⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数)(x F '与2x 为等价无穷小，则)0(f ''…………………………………………………………………（B ）.（A ）等于0；（B ）等于21；（C ）等于1； （D ）不存在.4．设)(x y 是微分方程x e y x y x y =+'-+''2)1(的满足0)0(=y ，1)0(='y 的解，则2)(limx x x y x -→…………………………………………………………………（B ）.（A ）等于0； （B ）等于1；（C ）等于2；（D ）不存在.5．设直线L ：⎩⎨⎧-=---=++3102123z y x z y x ，平面π：224=+-z y x ，则它们的位置关系是 （C ）.（A ）π//L ； （B ）L 在π上；（C ）π⊥L ； （D ）L 与π斜交.6．设在全平面上有0),(<∂∂xy x f ，0),(>∂∂y y x f ，则保证不等式),(),(2221y x f y x f <成立的条件是………………………………………………………………（A ）.（A ）21x x >，21y y <； （B ）21x x <，21y y <；2（C ）21x x >，21y y >；（D ）21x x <，21y y >.7．设S 为八面体1||||||≤++z y x 全表面上半部分的上侧，则不正确的是………（D ）.（A ）02=⎰⎰Sdydz y ；（B ）0 =⎰⎰Sdydz y ；（C ）02=⎰⎰Sdydz x ；（D ）0 =⎰⎰Sdydz x .8．设常数0>λ，则级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-12 tan )1(n n n πλ是……………………（A ）.（A ）条件收敛； （B ）绝对收敛； （C ）发散； （D ）敛散性与λ有关9．设A 、B 都是n 阶非零矩阵，且O =AB ，则A 和B 的秩…………………………（D ）.（A ）必有一个等于零；（B ）都等于n ；（C ）一个小于n ，一个等于n ；（D ）都小于n .10．设A 是3阶可逆矩阵，且满足062=--E A A ，144||*=A （*A 为A 的伴随矩阵），则A 的三个特征值是…………………………………………………………………（C ）.（A ）3，3，2-； （B ）3-，3-，2； （C ）3，2-，2-； （D ）3-，2，2.二、（8分）设)(x f 在0=x 的邻域具有二阶导数，且31)(1 lim e x x fx xx =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++→，试求)0(f ，)0(f '及)0(f ''.[解] 0])(1ln[lim 3])(1ln[lim])(1[lim 0031=++⇒=++⇒=++→→→xx f x x x x f x e xx fx x x xx00)0()(lim )0(')0(0)(lim 0)(lim000=--=⇒==⇒=⇒→→→x f x f f f x f x x f x x x由等价无穷小得40)0(')('lim )0("22)('lim 2)(lim 3)(lim00200=--=⇒=⇒=⇒=+→→→→x f x f f x x f x x f x x x f x x x x x（或由泰勒公式得4)0("2])(0)0("21[lim )0)((0)0("21)(22022=⇒=+⇒→+=→f xx f x x x f x f x ）三、（8分）设2)1arcsin()(-='x x f 及0)0(=f ，求⎰1)(dx x f .[解]⎰⎰⎰⎰---=---=-=1 0111210)1arcsin()1()(')1()]()1[()1()()(dx x x dx x f x x f x x d x f dx x fux =-1令⎰⎰⎰-------=-=-10 1 430122220 1 2]12arcsin [21arcsin 21arcsin du u u u u du u du u u3]12[210 1 4--+-=t π214-=π.四、（8分）设函数),(y x u 满足0=-yy xx u u 与x x x u =)2 ,(，2)2 ,(x x x u x =，求)2 ,(x x u xx ，)2 ,(x x u xy ，)2 ,(x x u yy （x u 表示u 对x 的一阶偏导数，其他类推）.[解]等式x x x u =)2,(两端对x 求导,得1)2,(2)2,(=+x x u x x u y x2)2,(x x x u x = .)1(21)2,(2x x x u y -=∴ 这两个等式,对x 求导得x x x u x x u xy xx 2)2,(2)2,(=+, .)2,(2)2,(x x x u x x u yy yx -=+由已知条件得yx xy yy xx u u u u ==,,故解得x u u yy xx 34-==， x u xy 35=. 五、（8分）设向量组1α，2α，…，s α是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，向量β不是方程组0=AX 的解，即0≠βA ，试证明：向量组β，1αβ+，2αβ+，…，s αβ+线性无关.[证]设有一组数s k k k k ,,,,21 使得∑==++si i k 10)(αββ,即∑∑==-=+si i i si i k k k 11)()(αβ两边左乘A ,得∑∑===-=+si ii s i i A k A k k 110)()(αβ 0≠βA ,∑==+∴si ikk 1∑∑===+=-∴si s i i iik k k 110)()(βα,即∑==si ii k 10α,s ααα,,21 为0=AX 的基础解系0021=⇒====∴k k k k s 。
成都电子科技大学数学分析2005-2016年考研初试真题+答案
共2页第1页 电子科技大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目: 601 数学分析注： 所有答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。
一、 填空题(每小题5分, 共25分)1. 极限()=-→2tan 12lim x x x π .2. 若直线x y =与曲线x y a log =相切，则=a ，切点坐标为 .3. 抛物线642+-=x x y 与直线2+=x y 所围成的图形面积=A .4. 设函数),(y x f z =由方程z y x xe z y x 2+-=--所确定，则=∂∂xz . 5. 设区域D 由直线x y =，2=x 及曲线2=xy 所围成，则二重积分⎰⎰Dy x y x f d d ),(先对x后对y 的累次积分为 .二、计算题（每小题7分, 共14分）1. 设函数)(x y y =由参数方程⎩⎨⎧==,sin ,cos t at y t at x 所确定，求22d d x y ； 2. 求幂级数∑∞=--11212n n n x 的和函数及定义域. 三、计算题（每小题8分, 共16分） 1. 计算⎰-107d x a x x ，其中a 为常数；2. 计算第二类曲线积分[]()⎰-++-=L x x y ax y e x y x b y eI d cos d )(sin ，其中b a ,为正常数，L 为曲线22x ax y -=上从)0,2(a 到)0,0(的一段.四、（14分）证明：3)(x x f =在),[∞+a （0>a ）上一致连续.五、（12分）设函数)(),(x g x f 在区间],[b a 上连续，且在),(b a 内可导，证明：存在),(b a ∈ξ，使得)(')()(')()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f -=.六、（12分）证明：函数项级数∑∞=+12821n x n x n 在),(∞+-∞上一致收敛. 七、（14分）证明：曲面a z y x =++（0>a ）上任意一点的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a . 八、（15分）计算三重积分⎰⎰⎰Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛++=z y x z y x I d d d 5222，其中Ω为球体}2|),,{(222z z y x z y x ≤++.。
数学分析-2002年西安电子科技大学考研真题——陌凡vov
西安电子科技大学2002一、填空题（20分）1．已知()()3222cos 1sin 3axy y x dx by x x y dy -+++为某一函数的全微分，则a =，b =。
2．设()21,0,0x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则()312f x dx -=⎰。
3．已知()32f x x ax bx =++在1x =处有极值-2，则a =，b = ()f x 的极小值点是，极大值点是。
4．已知当0x →时，tan x x e e -与k x 为同阶无穷小，则k =。
5．设()f x 连续，则()220x d tf x t dt dx -=⎰。
二、（10分）设()f x 一阶可导，在0x =处二阶可导且()02f ''=，()0lim 0x f x x →=，求()10lim 1x x f x x →⎡⎤+⎢⎥⎣⎦。
三、（10分）求由方程2222222440x y z xy x y z +++---+=所确定的函数(),z z x y =的极值。
四、（10分）计算()()212222axdydz z a dxdy xy z ∑++++⎰⎰，其中∑为下半球面z =的上侧，0a >为常数。
五、（10分）求幂级数112n n n x n -∞=∑的收敛域及和函数。
六、（10分）函数项级数()()011nn n x x ∞=--∑在[]0,1上是否一致收敛？是否绝对收敛？是否绝对一致收敛？需说明理由。
七、（10分）设在(),a b 内有()0f x ''>。
求证：对任意(),,x y a b ∈，对任意0λ>，0μ> ()1λμ+=，有不等式()()()f x y f x f y λμλμ+<+。
八、（10分）设()f x 在[],a b 上可微，且()0f a +'<，()_0f b '>，求证：存在(),a b ξ∈使()0f ξ'=。
电子科大数学真题答案解析
电子科大数学真题答案解析技大学是中国一所著名的高等学府，以其优秀的教学与研究成果而闻名于世。
其数学学科一直以来在国内乃至国际上都具有很高的声誉。
本文将对大数学真题中的一个题目进行详细解析，希望能够帮助读者更好地理解数学的基本概念与解题思路。
首先，我们来看一道大数学真题：已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上具有二阶导数，且满足f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a, b) 使得f''(ξ) = 0。
首先，我们来理解题目的要求。
题目要求证明对于任意满足条件的函数 f(x)，在区间 [a, b] 上必然存在一个点ξ，使得f''(ξ) = 0。
这个结论其实是关于函数极值或拐点的一个基本定理，也可以理解为导函数的性质。
那么，我们应该如何证明这个结论呢？我们可以采用反证法的思路来进行证明。
首先，我们假设不存在这样的点ξ，即对于任意满足条件的函数 f(x)，在区间 [a, b] 上f''(x) ≠ 0。
根据f''(x) ≠ 0，我们可以得出两种情况：要么 f''(x) > 0，要么 f''(x) < 0。
假设 f''(x) > 0，那么我们可以得到 f'(x) 单调递增（因为导函数与函数的单调性相反）。
根据单调函数的性质可知，若 f'(x) 单调递增，则 f(x) 在 [a, b] 上也单调递增。
因为 f(a) = f(b) = 0，所以在 [a, b] 上 f(x) 恒等于 0。
然而，根据题目条件，我们知道函数 f(x) 在 [a, b] 上有二阶导数，且满足 f(a) = f(b) = 0。
这意味着函数 f(x) 在 [a, b] 上至少有一个拐点（二阶导数正负变换的点）。
这与我们的假设矛盾，因此我们的假设不成立，即存在ξ∈(a, b) 使得f''(ξ) = 0。
电子科技大学数值分析研究生期末考试习题答案
y1 y2 y3
10 1360
，可得
y1 y2
y3
10 6 4
3
1 求解
1 1
5 3
x1
3
2 1
x2 x3
2
2 3
0 0
0 0
4 4
4 4
由
0 1 1 44
0 I B0 1
4
1 4
1 4
1 4 2 ( 1)( 1) 0 22
0
1 1 0 44
可知，
(B0
)
1 2
.
（b）由 G (D L)1U
1 0
0 0 01 0 0 1 1
1 axk1 (1 ax0 )2k1 , k 0,1,2,，解得
xk
1 a
[1
(1
ax0
)
2k
],
k 0,1,2, ，
lim
k
xk
1 a
lim(1
k
ax0
)2
k
0
1 1
ax0
1
0
x0
2 a
，
所以当 0
x0
2 a
时，方法收敛.
4 4
1 4
1 4
0 0 1 0
0
0 0
4 1 4 0
0
电子科技大学-数值分析答案-钟尔杰
x1 =
2
计算，只需取D= 56 − 4 ≈55.96 四位有效数字即可保证方程的两个根均具有四位有效数 字。此时有，x1=0.01786，x2=55.98。 7 设s =
1 2 gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有±0.1 秒的误差，证明当 t 增加时 s 的绝 2
对误差增加，而相对误差减小。 证明 由于e(s) = g t e(t)，er(s) = 2 e(t) / t。而 | e(t)|≤0.1，所以，对这一问题，当t 增加 时s的绝对误差增加，而相对误差减小。
所以，计算y100 的误差界为
ε (Y100 ) ≤ δ = 0.5 × 0.001 = 5 × 10 −4
6 求方程 x – 56x + 1 = 0 的两个根，问要使它们具有四位有效数字，D= b − 4ac 至少
2
2
1
要取几位有效数字？ 如果利用韦达定理，D又应该取几位有效数字？ 解：在方程中，a = 1，b = – 56，c = 1，故 D= 56 − 4 ≈55.96427，取七位有效数字。 由求根公式
2
x1 =
− b + b 2 − 4ac − 56 + 55.96427 − 0.03573 = = 2a 2 2
具有四位有效数字，而
x2 =
− b − b 2 − 4ac − 56 − 55.96427 − 111.96427 = = 2a 2 2 1 2 = x 2 56 + 56 2 − 4
则具有八位有效数字。 如果利用韦达定理，首先计算出x2，利用
2
ln( x − x 2 − 1) = − ln( x + x 2 − 1)
计算，求对数时误差有多大？ 解 令 y = x − x − 1 ，则当 x=30 时，y=30 – 29.9833=0.0167 有三位有效数字，其相对 误差为 10-3。由第一题结论，求对数时误差为 10-3。