灰度图像的二维交叉熵阈值分割法(投出稿)

灰度图像的二维交叉熵阈值分割法*

范九伦①

雷博

①，②

(①.西安邮电学院信息与控制系, 陕西 西安710061; ②.西安电子科技大学电子工程学院, 陕西 西安710071)

摘要：一维Otsu 法是一个经典的阈值分割方法，遵循该方法的构造思想，Li 与 Lee 基于交叉熵提出了一个阈值分割方法。本文在解释和说明Li 与 Lee 的方法的基础上，将其推广到二维灰度直方图上，提出了二维交叉熵的图像分割算法并给出快速递推公式。与二维Otsu 法相比，本文方法能够更好的适应目标和背景方差相差较大的情形，是一个有效的阈值分割方法。 关键词：阈值分割；Otsu 法；交叉熵 中图分类号： TN911.73

文献标识码： A

Two-dimensional cross-entropy thresholding segmentation

method for gray-level images

(FAN Jiu-lun ① LEI Bo ①，②)

(①.Department of Information and Control, Xi’an Institute of Pos t and Telecommunications, ,Xi’an, Shaanxi 710061,China ;

②. School of Electronic Engineering of Xidian University, Xi ’an Shaanxi 710071, China)

Abstract: One-dimensional Otsu’s method is a classical thresholding segmentation method. Li & Lee proposed a thresholding segmentation method based on cross-entropy following this thought. In this paper, we extend the cross-entropy method to two dimensions and present a fast recursive formula based on the explanation and illustration of Li & Lee ’s method. Compared with the traditional two-dimensional Otsu’s method, the new method can be better adapted to the cases that the variance between the object and the background is large. It is validated that the new method is an available thresholding selection method.

Keywords: threshold segmentation; Otsu ’s method; cross-entropy

1 引言

图像分割是图像分析、理解和计算机视觉中的难点。在图像分割的诸多方法中，阈值化技术是一种简单有效的方法[1]。Otsu 法[2]是广泛使用的阈值分割方法之一，Otsu 法也称为最大类间方差法或最小类内方差法，等效于一维硬c-均值聚类算法[3]。Kurita 等[4]在各类方差相等的约束下运用条件相关混合概率模型对Otsu 法进行了解释，从文[3]和[4]的描述可见Otsu 法在理论上适用于目标和背景方差相差不大的混合正态分布情形。

Otsu 法涉及到阈值t 、目标均值)(0t μ和背景均值)(1t μ，如果用)(0t μ与)(1t μ构造的

*

国家自然科学基金资助（编号：60572133）

二值图像作为待分割图像的“理想图像”，则Otsu 法的基本思想是从待分割图像和“理想图像”的匹配角度，通过最小化均方误差来获得最佳阈值。交叉熵（相对熵、有向散度）描述了两个概率分布的差异性程度，借用交叉熵并利用Otsu 法的基本思想，Li 和 Lee 给出了另

一个阈值分割方法[5]。我们[6]

从条件相关混合概率模型的角度，基于泊松分布对Li 和 Lee 的方法进行了解释，这种解释使得Li 和 Lee 方法的数学机理更加清晰，为其更好的使用奠定了坚实的理论基础。此外我们也给出了Li 和 Lee 方法的一种快速迭代算法[7]

。

从概率论和数理统计的知识知道，泊松分布和正态分布是有密切关系的，当泊松分布的参数λ比较大时，可以用均值和方差均为λ的正态分布来近似。鉴于Li 和 Lee 方法可以用泊松分布进行解释，我们可以有理由的说，Li 和 Lee 方法能更好的适用于灰度图像中目标和背景的方差相差较大的情形。（注：这里假定了图像中方差较小的部分处于较小灰度值处；方差较大的部分处于较大灰度值处。若出现相反的情形，只需反色即可。）

一维Otsu 法对含噪图像的分割效果不好，为此人们引入了二维灰度直方图并提出了二维Otsu 法[8]

，为了提高运行速度，快速递推算法也已经给出[9]

。近年来有许多基于二维Otsu 法的图像分割方法研究及应用[10-12]。与二维Otsu 法的研究成果相对应，本文给出Li 和 Lee 方法的二维推广。和理论解释相对应，本文方法对于目标和背景方差相差较大的图像的分割效果优于二维Otsu 法。因此，本文的方法在一定程度上弥补了Otsu 法的不足，是一个有效的阈值分割方法。

2 一维交叉熵阈值法

我们用{}N M f f f F ⨯=,,,21 来表示一幅大小为M

N

⨯的数字图像，其中i f 表示图像中

第i 点的灰度值，]1,,1,0[-=∈L G f i 。图像中灰度为g 的象素点总数记为)(g f ，则图像中每一灰度值g 出现的概率()h g 可表示为

()(),

0,1,1f g h g g L M N

=

=-⨯ （1）

设阈值t 将图像分为目标和背景两类，分别记为0C 和1C ，则这两类的先验概率分别为

00()()t

g P t h g ==

∑

（2）

1

11

()()L g t P t h g -=+=

∑

（3）

背景和目标对应的均值分别为

00

()

()

()

t

g t t gh g P μ

==

∑

（4）

1

111

()

()

()

L g t t t gh g P μ

-=+=

∑

（5）

我们用01{,}F μμ=表示分割后的二值图像。则Otsu 方法通过衡量待分割图像F 与二