第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)

单元综合测试三(第三章)

时间：90分钟 分值：150分

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题(每小题5分，共60分)

1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(1

2)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1

D ．2

解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(1

2)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B

2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos x

D ．y ′＝cos 2x ＋cos x

解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x .

答案：C

3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1)

D ．(1，＋∞)

解析：f ′(x )＝3－3x 2>0⇒x ∈(－1,1)．

答案：C

4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( )

A ．14

B ．4

C ．10

D ．6

解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ，

所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14.

答案：A

5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π

2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π

2)＝1， ∴k ＝－a

2＝－1，a ＝2. 答案：D

6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( )

A ．1

B ．3

C ．－4

D ．－8

解析：

如图所示，由已知可设P (4，y 1)，Q (－2，y 2)， ∵点P ，Q 在抛物线x 2＝2y 上，

∴⎩⎨

⎧

42＝2y 1， ①(－2)2＝2y 2， ②

∴⎩⎨

⎧

y 1＝8，y 2＝2，

∴P (4,8)，Q (－2,2)．

又∵抛物线可化为y ＝1

2x 2，∴y ′＝x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x ＝4＝4，

∴过点P 的切线为y －8＝4(x －4)，即y ＝4x －8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x ＝－2＝－2.

∴过点Q 的切线为y －2＝－2(x ＋2)，即y ＝－2x －2.

联立⎩⎨

⎧

y ＝4x －8，y ＝－2x －2，

解得x ＝1，y ＝－4.

∴点A的纵坐标为－4. 答案：C

7．若函数y＝a(x3－x)的递增区间是(－∞，－

3

3)，(

3

3，＋∞)，

则a的取值范围是()

A．a>0 B．－11 D．0

解析：依题意y′＝a(3x2－1)>0的解集为(－∞，－

3

3)，(

3

3

，＋

∞)，故a>0.

答案：A

8．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()

A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7

C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，当Δ＝4a2－84a≤0，即0≤a≤21时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)不存在极值点．故选A.

答案：A

9．已知函数f(x)＝x3－3x，若对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()

A．0 B．10

C．18 D．20

解析：f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x＝±1，所以1，－1为函数f(x)的极值点，因为f(－3)＝－18，f(－1)＝2，f(1)＝－2，f(2)

＝2，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝2，f(x)min＝－18，所以对于区间[－3,2]上任意的x1，x2，|f(x1)－f(x2)|≤20，所以t≥20，从而t的最小值为20.

答案：D

10．设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()

A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)

B．－x0是f(－x)的极小值点

C．－x0是－f(x)的极小值点

D．－x0是－f(－x)的极小值点

解析：取函数f(x)＝x3－x，则x＝－

3

3

为f(x)的极大值点，但

f(3)>f(－

3

3)，∴排除A.取函数f(x)＝－(x－1)

2，则x＝1是f(x)的极大

值点，f(－x)＝－(x＋1)2，－1不是f(－x)的极小值点，∴排除B；－f(x)＝(x－1)2，－1不是－f(x)的极小值点，∴排除C.故选D.

答案：D

11．若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则()

A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)

C．af(a)

解析：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0，

∴g(x)在R上是增函数，

又a>b，∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b)．