湖南大学《概率论与数理统计》试题一

《概率统计》试题一

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________.

2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2

X Y =在区间)4,0(内的概率

密度为=)(y f Y _________.

4． 设随机变量Y X ,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2

)1(-=>e

X P ，则

=λ_________，}1),{min(≤Y X P =_________.

5． 设总体X 的概率密度为

⎪⎩⎪⎨

⎧<<+=其它

,

0,10,

)1()(x x x f θ

θ 1->θ.

n X X X ,,,21 是来自X 的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.

解：1．3.0)(=+B A B A P

即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P

9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．λ

λ

λ

λ

λ---=

=+==+==≤e

X P e

e X P X P X P 2

)2(,

)1()0()1(2

由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λ

λ

λ

λλ---=+e e e

2

2

即 0122=--λλ 解得 1=λ，故 1

6

1)3(-=

=e

X P .

3．设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则

2

()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y

=≤

=

≤

=≤-

- 因为~(0,2)X U

，所以(0X F =

，即()Y X F y F = 故

04,

1()()0,

.

Y Y X y f y F y f <<'==

=⎩其它

另解 在(0,2)上函数2

y x =

严格单调，反函数为()h y =所以

04,

()0,

.

Y X y f y f <<==⎩其它

4．2

(1)1(1)P X P X e e

λ

-->=-≤==，故 2λ=

{m i n (,)1}1{m i n (,P X Y P X Y ≤=->1(1)(1)

P X P Y =->> 41e -=-.

5．似然函数为 111

(,,;)(1)(1)(,,)n

n n i n i L x x x x x θθ

θθ

θ==+=+∏

1

l n l n (1)l n

n

i

i L n x θθ==++∑

1

ln ln 01

n

i

i d L n

x

d θ

θ==

+

+∑

解似然方程得θ的极大似然估计为

1111

ln n

i i x n θ==-∑.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则A C 与B C 也独立. （B ）若()1P C =，则A C 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C 与B 也独立.

（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ） 2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.

（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ） 3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是

（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.

（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ） 4．设离散型随机变量X 和Y 的联合概率分布为

(,)

(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)

11116

9

18

3

X Y P αβ

若,X Y 独立，则,αβ的值为 （A ）21,99

αβ==. （A ）12,9

9

αβ==

.

（C ） 11,

6

6

αβ=

=

（D ）51,

18

18

αβ=

=. （ ）

5．设总体X 的数学期望为12,,,,n X X X μ 为来自X 的样本，则下列结论中 正确的是

（A ）1X 是μ的无偏估计量. （B ）1X 是μ的极大似然估计量. （C ）1X 是μ的相合（一致）估计量. （D ）1X 不是μ的估计量. （ ）

解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）