高三理科数学 专题五 立体几何

高三理科数学 专题五 立体几何

1．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637

C.607

D.657

2．已知点B 是点A (3，7，－4)在xOz 平面上的射影，则OB →

2等于( ) A ．10

B ．25

C ．5

D ．13

3．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AC 1→上，且AM →＝12MC 1→

，N 为B 1B 的中点，则|MN →

|为( )

A.216

B.66

C.156

D.153

4．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32 B.22

C.223

D.233

5．二面角α-l -β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于________．

6.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.

(1)求证：C 1B ⊥平面ABC ；

(2)设CE →＝λCC 1→

(0≤λ≤1)，且平面AB 1E 与BB 1E 所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．

7．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的的菱形，∠BAD＝60°，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．

(1)求证：平面BDGH∥平面AEF；

(2)求二面角H－BD－C的大小．

8.如图，△ABC是以∠ABC为直角的三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4.M，N，D

(1)求证：MN⊥AB；(2)求二面角S-ND-A的余弦值；(3)求点A到平面SND的距离．

9．如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCD－A1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边AB＝t(0

(1)当长方体ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求二面角B－A1C－D的值；

(2)线段A1C上是否存在一点P，使得A1C⊥平面BPD，若有，求出P点的位置，没有请说明理由。

10．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝90°，AD∥BC，AD⊥

侧面P AB，△P AB是等边三角形，DA＝AB＝2，BC＝1

2AD，E是线段AB的中点．

(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．

11．如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，F 为线段BP 上一点，∠CDP ＝120°，AD ＝3，AP ＝5，PC ＝27.

(1)试确定点F 的位置，使得EF ∥平面PDC ；

(2)若BF ＝1

3BP ，求直线AF 与平面PBC 所成的角的正弦值．

.

12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AP ＝AD ＝AB ＝2，BC ＝t ，∠P AB ＝∠P AD ＝α.

(1)当t ＝32时，试在棱P A 上确定一点E ，使得PC ∥平面BDE ，并求出此时AE

EP 的值；

(2)当α＝60°时，若平面P AB ⊥平面PCD ，求此时棱BC 的长．

高三理科数学 专题五 立体几何

1．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637

C.607

D.657

2．已知点B 是点A (3，7，－4)在xOz 平面上的射影，则OB →

2等于( ) A ．(9，0，16) B ．25 C ．5

D ．13

解析 A 在xOz 平面上的射影为B (3，0，－ 4)，则OB →＝(3，0，－4)，OB →

2＝25. 答案 B

3．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AC 1→上，且AM →＝12MC 1→

，N 为B 1B 的中点，则|MN →

|为( ) A.216 B.66

C.156

D.153

解析 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→

＝c ， 则a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. 由条件知MN →＝MA →＋AB →＋BN →

＝－13(a ＋b ＋c )＋a ＋12c ＝23a －13b ＋16c ，

∴MN →

2＝49a 2＋19b 2＋136c 2＝2136，

∴|MN →

|＝216. 答案 A

4．设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32

B.22

C.223

D.233

解析 如图，建立空间直角坐标系，则D 1(0，0，2)，A 1(2，0，2)，D (0，0，0)，B (2，2，0)，

∴D 1A 1→＝(2，0，0)，DA 1→＝(2，0，2)，DB →

＝(2，2，0)， 设平面A 1BD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，

则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝2x ＋2z ＝0，n ·

DB →＝2x ＋2y ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)．

∴点D 1到平面A 1BD 的距离 d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.

答案 D

5．二面角α-l -β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，AC 、BD 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB ＝AC ＝BD ＝1，则CD 的长等于________． 解析 如图，∵二面角α-l -β等于120°， ∴CA →与BD →

夹角为60°.

由题设知，CA →⊥AB →

，

AB →⊥BD →，|AB →|＝|AC →|＝|BD →

|＝1， |CD →|2＝|CA →＋AB →＋BD →|2

＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →＝3＋2×cos 60°＝4，∴|CD →|＝2. 6.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ⊥侧面BB 1C 1C ，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝60°.