数学建模-微分方程模型(二)
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微分方程模型
微分方程
所谓微分方程，就是表示未知函数、 未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程。未知函数是一元函数的微分 方程，称之为常微分方程；未知函数 是多元函数的微分方程，称之为偏微 分方程。
微分方程模型
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变 化率或导数，通常寻找满足变量的瞬时表达式， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因 此，要得到直接关系，就得求微分方程。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法。
两种典型微分方程模型
• 马尔萨斯（Malthus）模型
• 阻滞增长（Logistic）模型
马尔萨斯（Malthus）模型
马尔萨斯通过对大量的人口数据进行分析，
做出了如下假设：单位时间内人口增长量与人口
总数成正比，即人口净增长率 基本上是一常
数，
, 为出生率， 为死亡率。
设时刻 的人口总数为 人口增长量为：
• 当男生追求女生的时候，男生成绩的自然下降率 与成绩成正比；
• 当男生采取追求攻势后，追求攻势与该时刻的疏 远度成正比。
男生追女生的模型
假设A君追B女，设t时刻A君的学业成绩为 Y(t)，其B女对A君的疏远度为X(t)；
当A君没开始追求B女时, B女对A君的疏远度
增长(平时发现的A君的不良行为) 符合Malthus 模型（其中a为正常数 ）：
知道其中T是反应时间，于是
A v0 I L T
2 g v0
将A关于v0的图像描绘出来，有
黄灯模型
A
黄灯模型
v0
假设T=1s,L=457.2cm,I=914.4cm，另外，工程师
提出的 =0.2,当v0=48.27,64.36及80.45km/h时，
黄灯时间表：
v0(km/h) 48.27 64.36 80.45
10 x 0 x 0，y 0
5
T4
0
y 0 •P0
T1
0
20 40 60 80 100 120
进 现在考虑追求攻势对上述模型的影响。 一 设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数 步 为h，h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下， 分 上述学业与疏远度的模型应变为：
析
dX (t) aX (t) bX (t)Y(t) hX (t)
Y (t)
解 的
解得系统的两个平衡位置为O(0,0), P( e , a )
cb
形
30
P(e / c, a / b)
状
25
20
15
a/b10
P
5
0 0
e/c 20 40 60 80 100 120
合理性
P(e / c, a / b)
30
T3
25
20 x 0
T2
15 y 0 x 0，y 0
P
Hale Waihona Puke Baidudt
在 dx / dt(0) v0 的条件下积分得：
dx dt
gt
v0
黄灯模型
因此，当t tb v0 / ( g) 时，速度为零。在x(0)=0条件下再
次积分，得
x
1 2
gt
2
v0t
t tb 时，x的值为
x(tb )
Db
v20
2g
黄灯模型
接下来计算黄灯状态
A Db I L T v0
N/人
x 1011 3.5
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0 1950
2000
马尔萨斯模型人口预测
2050 t/年
2100
2150
2200
阻滞增长（Logistic）模型
人口净增长率应与人口数量有关，即反应 了自然因素对人口增长的影响，令r=r(N)
从而有： dN (t) r(N )N (t)
dt
微分方程模型的一般步骤
第一步：翻译或转化 实际问题中，有许多导数的常用词，如速 率、增长、衰变及边际等。
第二步：找出规律（物理的、几何的、化学的和生 物学的等）
第三步：建立模型。 在任何时刻都正确的瞬时表达 式，将实 际问题将给出的信息转化为导数 问题
第四步：给定解条件，求出有关常数 第五步：解出方程
成绩成正比，比例系数为e。于是有 c b
dY (t) eY (t) cX (t)Y (t) dt
则有
dX (t) aX (t) bX (t)Y (t) dt
dY (t) eY (t) cX (t)Y (t) dt
X (t) a bY (t) X (t)
Y (t) e cX (t)
其中， r(N) r( K N ) r(1 K ) 则：
K
N
dN (t) r(1 N )N (t)
dt
K
阻滞增长（Logistic）模型
故满足初始条件N(t0)=N0的解为：
K N (t)
1 ( K 1)er (tt0 ) N0
不同 初始 条件 下的
N(t) 的图 形
阻滞增长（Logistic）模型
，时间从 到
等式两边同时除以 t ，有
N (t t) N (t) rN (t) t
再运用极限的思想，令 t 0 则：
dN (t ) rN (t ) dt
由初始条件 N(t0) = N0 ，即为初始时刻的人口 数，故解方程得
N(t)
N er(tt0 0
)
马尔萨斯（Malthus）模型
马 尔 萨 斯 模 型 人 口 预 测 图
交通管理色灯中黄灯模型
考虑这样一个问题；红绿灯在亮红灯之前黄 灯应亮多长时间？
G为车重量
为摩擦系数
x(t)为t时刻的位移 g为重力加速度 A为黄灯状态 I为交叉路口的宽度 L为车身长度 T为反应时间
先来计算刹车距离
黄灯模型
G g
•
d2x dt 2
G
dx t=0时，x=0且 dt v0 所以，刹车距离就是直到 dx 0 时车行驶过的距离
A 5.46s 6.35s 7.34s
黄灯模型
经验法 3s 4s 5s
男生追女生的模型
• 男生不追女生的时候男生成绩随时间呈现Malthus
增长；
• 女生在没有被男生追的时候，女生对男生的疏远
度随时间呈现Malthus增长；
• 当男生追女生的时候，单位时间内减少的疏远度 与疏远度及成绩成正比，并且转化为女生对男生 的好感；
dX (t) aX (t) dt
当Y(t)存在时, 单位时间内减少X(t)的值与X(t) 的值及Y(t)的值成正比, 比例常数为b, 从而
dX (t) aX (t) bX (t)Y (t) dt
假定A君追求B女后, 立即转化为B女对A君的 好感，并且设转化系数为α；而随着的A君发起 对B女的攻势后，A君学业的自然下降率与学业
微分方程
所谓微分方程，就是表示未知函数、 未知函数的导数与自变量之间的关系 的方程。未知函数是一元函数的微分 方程，称之为常微分方程；未知函数 是多元函数的微分方程，称之为偏微 分方程。
微分方程模型
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变 化率或导数，通常寻找满足变量的瞬时表达式， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因 此，要得到直接关系，就得求微分方程。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法。
两种典型微分方程模型
• 马尔萨斯（Malthus）模型
• 阻滞增长（Logistic）模型
马尔萨斯（Malthus）模型
马尔萨斯通过对大量的人口数据进行分析，
做出了如下假设：单位时间内人口增长量与人口
总数成正比，即人口净增长率 基本上是一常
数，
, 为出生率， 为死亡率。
设时刻 的人口总数为 人口增长量为：
• 当男生追求女生的时候，男生成绩的自然下降率 与成绩成正比；
• 当男生采取追求攻势后，追求攻势与该时刻的疏 远度成正比。
男生追女生的模型
假设A君追B女，设t时刻A君的学业成绩为 Y(t)，其B女对A君的疏远度为X(t)；
当A君没开始追求B女时, B女对A君的疏远度
增长(平时发现的A君的不良行为) 符合Malthus 模型（其中a为正常数 ）：
知道其中T是反应时间，于是
A v0 I L T
2 g v0
将A关于v0的图像描绘出来，有
黄灯模型
A
黄灯模型
v0
假设T=1s,L=457.2cm,I=914.4cm，另外，工程师
提出的 =0.2,当v0=48.27,64.36及80.45km/h时，
黄灯时间表：
v0(km/h) 48.27 64.36 80.45
10 x 0 x 0，y 0
5
T4
0
y 0 •P0
T1
0
20 40 60 80 100 120
进 现在考虑追求攻势对上述模型的影响。 一 设追求攻势与该时刻的疏远度成正比，比例系数 步 为h，h反映了追求攻势的作用力。在这种情况下， 分 上述学业与疏远度的模型应变为：
析
dX (t) aX (t) bX (t)Y(t) hX (t)
Y (t)
解 的
解得系统的两个平衡位置为O(0,0), P( e , a )
cb
形
30
P(e / c, a / b)
状
25
20
15
a/b10
P
5
0 0
e/c 20 40 60 80 100 120
合理性
P(e / c, a / b)
30
T3
25
20 x 0
T2
15 y 0 x 0，y 0
P
Hale Waihona Puke Baidudt
在 dx / dt(0) v0 的条件下积分得：
dx dt
gt
v0
黄灯模型
因此，当t tb v0 / ( g) 时，速度为零。在x(0)=0条件下再
次积分，得
x
1 2
gt
2
v0t
t tb 时，x的值为
x(tb )
Db
v20
2g
黄灯模型
接下来计算黄灯状态
A Db I L T v0
N/人
x 1011 3.5
3 2.5
2 1.5
1 0.5
0 1950
2000
马尔萨斯模型人口预测
2050 t/年
2100
2150
2200
阻滞增长（Logistic）模型
人口净增长率应与人口数量有关，即反应 了自然因素对人口增长的影响，令r=r(N)
从而有： dN (t) r(N )N (t)
dt
微分方程模型的一般步骤
第一步：翻译或转化 实际问题中，有许多导数的常用词，如速 率、增长、衰变及边际等。
第二步：找出规律（物理的、几何的、化学的和生 物学的等）
第三步：建立模型。 在任何时刻都正确的瞬时表达 式，将实 际问题将给出的信息转化为导数 问题
第四步：给定解条件，求出有关常数 第五步：解出方程
成绩成正比，比例系数为e。于是有 c b
dY (t) eY (t) cX (t)Y (t) dt
则有
dX (t) aX (t) bX (t)Y (t) dt
dY (t) eY (t) cX (t)Y (t) dt
X (t) a bY (t) X (t)
Y (t) e cX (t)
其中， r(N) r( K N ) r(1 K ) 则：
K
N
dN (t) r(1 N )N (t)
dt
K
阻滞增长（Logistic）模型
故满足初始条件N(t0)=N0的解为：
K N (t)
1 ( K 1)er (tt0 ) N0
不同 初始 条件 下的
N(t) 的图 形
阻滞增长（Logistic）模型
，时间从 到
等式两边同时除以 t ，有
N (t t) N (t) rN (t) t
再运用极限的思想，令 t 0 则：
dN (t ) rN (t ) dt
由初始条件 N(t0) = N0 ，即为初始时刻的人口 数，故解方程得
N(t)
N er(tt0 0
)
马尔萨斯（Malthus）模型
马 尔 萨 斯 模 型 人 口 预 测 图
交通管理色灯中黄灯模型
考虑这样一个问题；红绿灯在亮红灯之前黄 灯应亮多长时间？
G为车重量
为摩擦系数
x(t)为t时刻的位移 g为重力加速度 A为黄灯状态 I为交叉路口的宽度 L为车身长度 T为反应时间
先来计算刹车距离
黄灯模型
G g
•
d2x dt 2
G
dx t=0时，x=0且 dt v0 所以，刹车距离就是直到 dx 0 时车行驶过的距离
A 5.46s 6.35s 7.34s
黄灯模型
经验法 3s 4s 5s
男生追女生的模型
• 男生不追女生的时候男生成绩随时间呈现Malthus
增长；
• 女生在没有被男生追的时候，女生对男生的疏远
度随时间呈现Malthus增长；
• 当男生追女生的时候，单位时间内减少的疏远度 与疏远度及成绩成正比，并且转化为女生对男生 的好感；
dX (t) aX (t) dt
当Y(t)存在时, 单位时间内减少X(t)的值与X(t) 的值及Y(t)的值成正比, 比例常数为b, 从而
dX (t) aX (t) bX (t)Y (t) dt
假定A君追求B女后, 立即转化为B女对A君的 好感，并且设转化系数为α；而随着的A君发起 对B女的攻势后，A君学业的自然下降率与学业