用导数证明不等式

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第 ). 卷
第)期
商洛师范专科学校学报
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用导数证明不等式
赵朋军
(商洛师范专科学校数学系, 陕西商洛
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下列不等式也均可用上述方法证明之0
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参考文献:
/:;陈兰祥 0 高等数学典型题精解 /B;0 北京 C 学苑出版社 .!""!0%0 /!;四川大学数学系高等数学教研室 0 高等数学 /B;0 北京 C 高等教育出版社 .:%%#0$0 /$;华东师范数学系 0 数学分析 /B;0 北京 C 高等教育出版社 .!"":0?0 />;姚允龙 0 数学分析 /B;0 上海 C 复旦大学出版社 .!""!0&0 /#;同济大学数学系高等数学教研室 0 高等数学 /B;0 北京 C 高等教育出版社 .:%%?0:!0 /?;吴迪光 . 张 彬 . 等 0 高等数学教程 /B;0 杭州 C 浙江大学出版社 .!"""0&0 /@;刘玉琏 . 傅沛仁 . 等 0 数学分析讲义 /B;0 北京 C 高等教育出版社 .!""$0@0
(责任编辑: 张国春)
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收稿日期: "$$-+$)+$/ 赵朋军 ("&’&( ) , 男, 陕西渭南人, 商洛师范专科学校数学系助教 作者简介:
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赵朋军: 用导数证明不等式
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定理的推广
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证明
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小结
由上面定理及推论的应用不难得到下面两条结论0
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一方法% 可以比较简洁、 快速地解决一些不等式的证明问题% 而且能充分体现数学美的原则& 关键词: 不等式’连续’可导 中图分类号: !"#"$%# 文献标识码: ( 文章编号: ("$$- ) )$$*+,$,$ $)+$$.#+$,
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理&
定理及证明
在高等数学典型题精解中有这样一道例题 0)1 ()../ 年数学四考研题) % 通过它就可以得到下面的定 定理 ! 设函数 !2"3 在 0#%45) 上连续 % 在 (#%45) 内可导 % 且 !2#36$& 若 !72"3 在 (#%45 ) 上单调增加 (或单
调减少) (" ) (#%45 ) 上单调增加2或单调减少3& %则 ! 6 !2"3 在
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应用
下面我们利用定理的结论来证明一些常见的不等式& 当 "&$ 时%"+ " ’)82)4"3’"0"1
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" " 证明 令 !2"36 " 4)82)4"3%则 !2"3在0$%453 上连续% 在2$%453 内可导% 且 !2$36$& 又 !72"36") ) % " ))" " !772"36 "")" " &$%所以 !72"3在2$%453上单调增加& 2)4"3 "" 4)82)4"3 "" 4)82)4"3 "" 4)82)4"3 " " 于是 !2"36 在2$%453上单调增加&又因9:; 6)%所以 " &)’同理令 ""$ " " " *2"36)82)4"3%则 *(2"36 ) 在2$%453上单调减少&又 *2"3在0$%453上连续%在2$%453内可导%且 *2$36$& )4" 于是 !2"36 )82)4"3 在2$%453 上单调减少& 又因9:; )82)4"3 6)% 所以 )82)4"3 ’)& ""$ " " " " 即 "+ " ’)82)4"3’"& "
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