连续函数的运算和初等函数的连续性

Q(x)
定理 20.2. （反函数的连续性）连续严格单调递增（减）函数的反函数也是连 续严格单调递增（减）的。 证明：设 y = f (x) 为区间 I 上的连续严格单调递增函数。由定理 5.1（反函数 存在定理）反函数 x = f -1( y) 存在，并且也是严格单调递增的。不妨假设 I = (a,b) ， y0 = f (x0) ，下面证明反函数 x = f -1( y) 在点 y0 = f (x0) 处连续。任取正
|f (u) − f (u0 )|<ε ，当 u ∈U (u0;δ1) 时。
（20.2）
此外，由已知 limx→x0 g(x) = u0 ，故存在正数δ > 0 ，使得 |g(x) − u0|<δ1 ， 当 x ∈U o (x0；δ ) 时。
（20.3）
由（20.2），（20.3）可知，当 x ∈U o(x0；δ ) 时，有（20.1）成立。最后，若
（II）因为基本初等函数在其定义区间内均为连续的，于是基本初等函数经 过有限次四则运算及复合得到的函数在定义区间内仍然连续，于是，初等函 数在基定义区间内连续。
下面的例子告诉我们使用上述定理 20.3 及注记 20.3（II）能较容易地证明函 数的连续性及极限问题。
例子 20.1：设函数 f (x) 与 g(x) 均在[a,b]上连续，证明函数 h(x) = max{ f (x), g(x)}， s(x) = min{ f (x), g(x)} 在 [a, b] 上连续。 证明：注意到函数 m(u) =| u | 是 (−∞,+∞) 上的连续函数。故由定理 20.3 可知 m( f (x) − g(x)) =| f (x) − g(x) |在[a,b]上连续。于是，所述结果可由下列表达式得 到
定理 20.3：（复合函数的连续性）设函数 u = g(x) 在 x → x0 时有极限 u0 ，即
limx→x0 g(x) = u0 ，函数 y = f (u) 在处 u = u0 连续，则复合函数 y = f (g(x)) 在 x → x0 时
的极限为 f (u0) ，即
limx→x0 f (g= ( x)) f= (u0 ) f (limx→x0 g( x))
h(x) max{ f (x), g(x)}= 1 (| f (x) − g(x) | + f (x) + g(x)) 2
s(x) min{ f (x), g(x)}= 1 ( f (x) + g(x)− | f (x) − g(x) |) 。
数 0 < ε < min{x0 − a, b − x0}，则 x0 − ε，x0 + ε ∈(a,b) 并且
f (x0 − ε ) < y=0 f (x0 ) < f (x0 + ε ) 。
取δ = min{y0 − f (x0 − ε ), f (x0 + ε ) − y0} ，则当|y − y0 |< δ 时，有
|f −1( y) − f −1( y0 ) |< ε
即反函数 x = f -1( y) 在点 y0 = f (x0) 处连续。证毕。
注记 20.2：由上述定理可得：正弦函数=y
f= (x) sin x 限制在 D =
−
π 2
,
π 2

时，其
反函数 y = arcsin x 为 f (D) = [−1,1] 上的连续函数。同理，反三角函数
u = g(x) 在 x0 处连续，则 u0 = g(x0 ) ，此即说明 limx→x0 f (g(x)) = f (g(x0 )) ，即复合函
数 y = f (g(x)) 在 x0 处连续。证毕。
注记 20.3：（I）设 u = g(x) 的定义域为 D ，函数 y = f (u) 的定义域为 E ⊇ g(D) 。 若 u = g(x) 为 D 上的连续函数， y = f (u) 为 E 上的连续函数，则复合函数 y = f (g(x)) 为 D 上的连续函数，即两个连续函数的复合函数为连续函数
f (x0 ) 。
g(x0 )
f (x0 )g(x0 )
从而结论得证。
注记 20.1：（I）在点 x0 处连续的有限个函数经有限次加 、减、乘、除（分母 不为 0 ）运算，结果仍是一个在点 x0 处连续的函数。 （II）由前面的例子及上述定理可得，正切函数 tan x ，余切函数 cot x ，有理 分式函数 P(x) （这里 P(x),Q(x) 为多项式函数）在其定义域内每点处均连续。
arccos x,arctan x 及 arccot x 在各自的定义域上均为连续的。此外，由于指数函数
=y f= (x) ax （ a > 0, a ≠ 1）在定义域 D =（-∞,+∞)上为严格单调连续的，故其反
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数（对数函数） y = loga x 为 f (D=) (0,+∞) 上的连续函数。
特别当 u = g(x) 在 x0 处连续时，复合函数 y = f (g(x)) 在 x0 处连续。
证明：任意给定ε > 0 。我们将试图找到正数δ > 0 ，使得当 x ∈U o(x0；δ ) 时，有
|f (g(x)) − f (u0 )|<ε
（20.1）
因为函数 y = f (u) 在处 u = u0 连续，故存在正数δ1 > 0 ，使得
lim x→x0 ( f (x) + g(x)) = lim x→x0 f (x) + lim x→x0 g(x) = f (x0 ) + g(x0 )
= lim x→x0 ( f (x)g(x)) li= m x→x0 f (x) lim x→x0 g(x)
l= imx→x0 gf ((xx))
l= im x→x0 f (x) lim x→x0 g(x)
第二 十讲、连续函数的运算和初等函数的连续性
定理 20.1：设函数 f (x) 与 g(x) 均在点 x0 处连续。则函数 f (x) ± g(x) ， f (x)g(x)
也在点
x0
处连续。此外，若
g
( x0
)
≠
0
，则
f g
(x) (x)
也在点
x0
处连续。
证明：因为 lim x→x0 f (x) = f (x0 ) 及 lim x→x0 g(x) = g(x0 ) ，故有