反常积分练习题ppt课件
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高等数学课件5第四节 反常积分ppt
lim
t b
t a
f
(
x
)
dx
b
a
f (x) 在 [a , b) 上的反常积分(或瑕积分).
这时称反常积分
收敛;
否则, 称反常积分 发散.
定义6. 设函数 f ( x)在[a, b]上除点c (a c b)外连续,
点 c 为f (x)的瑕点.
若 瑕 积 分ac
f
(
解:
原式
1 p
0
td(e
pt
)
1 p
([te
pt
]0
e
0
pt dt )
a
udv
[uv]a
a
vdu
1 p
( lim te t
pt
0
[
1 p
e
pt
]0
)
0
1 p2
( lim e
t
pt
1)
1 p2
.
定义2. 设 f ( x)在(, b)上连续.
b
f
( x) dx
lim
t
tb
f
( x) dx
若极限存在,则称无穷限积分
2
1)3
]13
1
1
lim 3( x 1)3+ 3 3 3 4 lim 3( x 1)3
x1
x1
3(1 3 4 ).
例12.
讨
论
反
常
积
分
1 1
dx x2
的
收
敛
性.
解:
lim
x0
1 x2
,
x
0是
1 x2
的瑕点.
高等数学第五章第五节反常积分的审敛法函数课件.ppt
使每一项只含一种类型的反常积分,
只有各项都收敛时,
才可保证给定的积分收敛 .
3. 函数的定义及性质 .
思考与练习
P263 题1 (1), (2), (6), (7)
P264 题5 (1), (2)
作业 P263 1 (3), (4), (5), (8) 2 ; 3
由定义
例如
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 ,
有
有
利用
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
定理7. (极限审敛法2)
则有:
1) 当
2) 当
例5. 判别反常积分
解:
利用洛必达法则得
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
例6. 判定椭圆积分
散性 .
解:
由于
的敛
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
类似定理5, 有下列结论:
例7. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
称为绝对收敛 .
故对充分小
从而
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
则反常积分
三、 函数
1. 定义
下面证明这个特殊函数在
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1.
若ห้องสมุดไป่ตู้数
证:
根据极限收敛准则知
存在 ,
定理2 . (比较审敛原理)
且对充
, 则
证: 不失一般性 ,
因此
单调递增有上界函数 ,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
只有各项都收敛时,
才可保证给定的积分收敛 .
3. 函数的定义及性质 .
思考与练习
P263 题1 (1), (2), (6), (7)
P264 题5 (1), (2)
作业 P263 1 (3), (4), (5), (8) 2 ; 3
由定义
例如
因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数
的反常积分中来 .
定理6. (比较审敛法 2)
瑕点 ,
有
有
利用
有类似定理 3 与定理 4 的如下审敛法.
使对一切充分接近 a 的 x ( x > a) .
定理7. (极限审敛法2)
则有:
1) 当
2) 当
例5. 判别反常积分
解:
利用洛必达法则得
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
例6. 判定椭圆积分
散性 .
解:
由于
的敛
根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 .
类似定理5, 有下列结论:
例7. 判别反常积分
的敛散性 .
解:
称为绝对收敛 .
故对充分小
从而
据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .
则反常积分
三、 函数
1. 定义
下面证明这个特殊函数在
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1.
若ห้องสมุดไป่ตู้数
证:
根据极限收敛准则知
存在 ,
定理2 . (比较审敛原理)
且对充
, 则
证: 不失一般性 ,
因此
单调递增有上界函数 ,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
反常积分ppt课件
a
ta
当极限存在时, 称反常积分 收敛;
当极限不存在时, 称反常积分 发散.
4
反常积分
(2) 设f(x)在( ,b]上连,取 续 t b
如果极限lim t
b f (x)dx 存在, 则称这个极限值
t
为 f(x)在 (, b]上反的 常积分,记
作b f(x)dx.
即
b
b
f (x)dxlim f(x)dx
f(x)0x1 dtt201 x1 dtt22
0
2
f (
x)
. 2
28
反常积分
思考题2
积分 1 ln x dx的瑕点是哪几点？
0 x1
解答
积分
1
0
ln x dx 可能的瑕点是 x 1
x0,
x1
lim lnx lim 1 1 , x1 x 1 x x 1
x1不是瑕点,
又 lim ln x
函数 f(x)在(a,b]上的 反常积分, 仍然记为
b
b
b
f (x)dx, 即 f (x)dxlim f(x)dx
a
a
ta t
也称反常积分ab f (x)dx收敛; 当极限不存在时,
称反常积分
b
a
f
(x)dx发散.
15
反常积分
(2) 设f(x)在[a,b)上连,续 点b为f (x)的瑕点,
(即limf(x))取 . t b, 若极限
注 x , x 各不相关.
sinxdx0
12
反常积分
1.计算
e
1 xln2
dx x
解
e
1 xln2
dx x
《数学分析》第11章 反常积分ppt课件
f ( x)dx 收敛, 则可得
c g( x)dx
收敛,从而
a
a2
a g( x)dx 收敛.反之,若 a g( x) dx 收敛, 可得
3c g( x)dx 收敛,从而
f ( x)dx 收敛.
a2
a
(ii)由 lim f ( x) 0, 存在 G a, 使 x G, 有 x g( x) f (x) 1 , g( x)
的积分
R
m gR 2 x2
dx
lim
r
r R
mgR x2
2
dx
mgR.
由机械能守恒定律可求初速度 v0 至少应使
1 2
mv02
mgR.
用 g 9.81(m / s2) , R 6.371 106 (m) 代入,得
v0 2gR 11.2 (km / s).
例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有
ln u,
,q1 q 1,
故当 0 q 1 时,
1 dx 0 xq
lim
u0
1 dx u xq
1
1
; q
当 1 q 时,
1 0
dx xq
发散.
同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积分的牛顿-莱
布尼茨公式写作
b a
f
(x)
dx
F(x)
b a
F (b)
F (a
)
F (b) lim F (u). ua
a f ( x) dx 与 b f ( x) dx (b a ),
同时收敛或同时发散，且
f ( x)dx
b f ( x)dx
f ( x)dx.
高等数学D5_4反常积分PPT23页
高等数学D5_4反常积分
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
Thank you
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
《反常积分》PPT课件 (2)
可以近似地表示为
r 15000te0.2t . 这里 r 的单位是
人/天，t 为传染病开始流行的天数. 如果不加控制,
最终将会传染多少人？
解 依题意， t [0, ). 已知速度求总量，就是求
速度函数在区间
[0, ) 上的积分
15000te0.2t d t. 0
湘潭大学数学与计算科学学院
14
15000te0.2t d t lim b15000te0.2t d t
数，引入记号
F () lim F ( x) ; F () lim F ( x)
x
x
则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 :
湘潭大学数学与计算科学学院
5
a f (x)dx F(x)
b
f (x)dx F(x)
f (x)dx F(x)
F () F (a); F (b) F (); F () F ().
类间断点,
则本质上是常义积分,
而不是反常积分.
例如,
湘潭大学数学与计算科学学院
20
计算无界函数的反常积分，也可借助于牛顿-莱布
尼茨公式. 设 x=a 是 f(x) 的瑕点，在(a,b]上，
则反常积分
F( x) f ( x)
b
b
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
ta t
lim[F(b) F(t)] t a
若 f ( x) C ( , ),则定义
c
b
lim f ( x)dx lim f ( x)dx
a a
b c
( c 为任意取定的常数 )
只要有一个极限不存在 , 就称
发散 .
湘潭大学数学与计算科学学院
二无界函数反常积分-PPT课件
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b
则定义 若 f ( x ) C ( , ) ,
)d x f (x)d x lim f (x f (x)dx alim b c a
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称
c
b
f (x) dx 发散 .
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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例2. 证明第一类 p 积分a 时发散 .
dx 当 p >1 时收敛 ; p≤1 p x
证:当 p =1 时有 dx a x lnx a 当 p ≠ 1 时有 , 1 p dx x 1 p a x p a 1 p a , p 1
a b
这时称反常积分 就称反常积分
a
a
f (x) dx 收敛 ; 如果上述极限不存在,
f (x) dx ] ,则定义 类似地 , 若 f
f ( x ) d x lim f ( x ) d x a a
b
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dx . 例1. 计算反常积分 2 1 x y dx 1 y 解: [arctan x ] 1x2 1 x 2 ( ) o x 2 2 x d x 0对吗 ? 思考: 2 1 x x d x 1 2 ln( 1 x ) 分析: 原积分发散 ! 2 1 x 2
1 lim1 1 b b
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( x ) C [ a , ) , 取 b a ,若 定义1. 设 f
b
则定义 若 f ( x ) C ( , ) ,
)d x f (x)d x lim f (x f (x)dx alim b c a
( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称
c
b
f (x) dx 发散 .
注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .
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例2. 证明第一类 p 积分a 时发散 .
dx 当 p >1 时收敛 ; p≤1 p x
证:当 p =1 时有 dx a x lnx a 当 p ≠ 1 时有 , 1 p dx x 1 p a x p a 1 p a , p 1
a b
这时称反常积分 就称反常积分
a
a
f (x) dx 收敛 ; 如果上述极限不存在,
f (x) dx ] ,则定义 类似地 , 若 f
f ( x ) d x lim f ( x ) d x a a
b
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dx . 例1. 计算反常积分 2 1 x y dx 1 y 解: [arctan x ] 1x2 1 x 2 ( ) o x 2 2 x d x 0对吗 ? 思考: 2 1 x x d x 1 2 ln( 1 x ) 分析: 原积分发散 ! 2 1 x 2
1 lim1 1 b b
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( x ) C [ a , ) , 取 b a ,若 定义1. 设 f
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0 , x 0
四、
ห้องสมุดไป่ตู้
x
f
(t )dt
1 4
x2
,
0
x
2.
x 1 , 2 x
5
三、求当 k 为何值时 ，广义 积分 b dx (b a) a (x a)k 收敛？又 k 为何值时 ，这广义积分发散？
0 , x 0
四、已知
f
(x)
1
2
x
,
0
x
2
，试用分段函数表示
1 , 2 x
x f (t)dt .
4
练习题答案
一、1、 p 1, p 1；2、q 1 , q 1； 3、k 1 , k 1 ；
4、广义积分 x dx =____；
1 x2
2
5、广义积分 1 xdx ________；
0 1 x2
6、广义积分 x f (t)dt 的几何意义是______________ ________________________.
二、判别下列各广义积分的收敛性，如果收敛，则计
算广义积分的值：
1、 e pt cosh tdt 0
( p 1) ；
2、
dx
；
x2 2x 2
3、 x ne xdx （ n 为自然数 ）；4、 2 dx ；
0
0 (1 x)2
3
5、 2 xdx ；
1 x1
6、 x ln x dx ；
0 (1 x 2 )2
7、 1 lnn xdx . 0
4－6 反常积分练习题
1
练习题
一、填空题：
1、广义积分 dx 当_______时收敛；当______ 时
1 xp 发散；
2、广义积分 1 dx 当_______时收敛；当_______时发 0 xq 散；
3、广义积分 dx 在______时收敛；在_______
2 x(ln x)k 时发散；
4、发散； 5、1； 6、过点 x 平行于 y 轴 的直
线左边,曲线 y f ( x) 和 x 轴所围图形的面积 .
二、1、 p ； p2 1
2、 ；
3、n!；
4、发散；
5、2 2 ； 3
6、0； 7、(1)n n! .
三、当k 1 时收敛于 1 (b a)1k ； 当k 1 时发散. 1 k