数据结构的连通性问题
离散数学图的连通性判定方法介绍
离散数学图的连通性判定方法介绍离散数学是一门研究离散结构以及这些结构中的对象、性质和关系的学科。
其中，图论是离散数学中的一个重要分支，主要研究图的性质和关系。
图是由节点和边组成的结构，可以用于表示各种实际问题以及计算机科学中的数据结构。
在图的研究中，连通性是一个重要的概念，它描述了图中节点之间是否存在路径相连。
在实际应用中，判断图的连通性是一个常见的问题。
下面将介绍几种常用的图的连通性判定方法。
1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常用的图遍历算法，它通过栈来实现。
该算法从图的某个节点开始，首先访问该节点并将其标记为已访问，然后递归地访问它的邻居节点，直到所有可达的节点都被访问过。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
2. 广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种常用的图遍历算法，它通过队列来实现。
与深度优先搜索不同的是，广度优先搜索首先访问图中的某个节点，并将其标记为已访问。
然后访问该节点的所有邻居节点，并将未访问的邻居节点加入队列。
接下来，依次从队列中取出节点并访问其邻居节点，直到队列为空。
如果在搜索过程中访问了图中的所有节点，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
3. 并查集并查集是一种数据结构，用于管理元素之间的动态连通性。
在图的连通性判定中，可以使用并查集来判断图中的节点是否连通。
首先，将每个节点都初始化为一个独立的集合。
然后，遍历图中的所有边，如果两个节点之间存在边，则将它们所在的集合合并为一个集合。
最后，判断图中是否只存在一个集合，如果是，则图是连通的。
否则，图是不连通的。
4. 最小生成树最小生成树是一种保留了图连通性的树结构。
在连通性判定中，可以通过构建最小生成树来判断图的连通性。
首先，选择一个节点作为起始节点。
然后，从所有与当前树相连的边中选择权值最小的边，并将连接的节点加入树中。
重复该过程，直到树中包含了图中的所有节点。
如果最后构建的树包含图中的所有节点，则图是连通的。
《数据结构》期末考试试卷试题及答案
《数据结构》期末考试试卷试题及答案第一部分：选择题（每题2分，共20分）1. 下面哪个数据结构是线性结构？A. 树B. 图C. 队列D. 网络流2. 下面哪个数据结构用于实现广度优先搜索算法？A. 栈B. 队列C. 散列表D. 堆3. 下面哪个数据结构用于实现深度优先搜索算法？A. 栈B. 队列C. 散列表D. 堆4. 下面哪个数据结构用于实现快速排序算法？A. 栈B. 队列C. 散列表D. 堆5. 下面哪个数据结构用于实现优先队列？A. 栈B. 队列C. 散列表D. 堆6. 下面哪个数据结构用于实现哈希表？A. 栈B. 队列C. 散列表D. 堆7. 下面哪个数据结构用于实现最小树算法？A. 栈B. 队列C. 散列表D. 堆8. 下面哪个数据结构用于实现拓扑排序算法？A. 栈B. 队列C. 散列表D. 堆9. 下面哪个数据结构用于实现最短路径算法？A. 栈B. 队列C. 散列表D. 堆10. 下面哪个数据结构用于实现并查集算法？A. 栈B. 队列C. 散列表D. 堆第二部分：填空题（每题2分，共20分）1. 链表是一种______数据结构。
2. 二叉树的节点最多有______个子节点。
3. 堆是一种特殊的______。
4. 散列表的查找效率取决于______。
5. 图的遍历算法包括______和______。
6. 快速排序算法的平均时间复杂度为______。
7. 哈希表中的冲突解决方法有______和______。
8. 最小树算法包括______和______。
9. 最短路径算法包括______和______。
10. 并查集算法用于解决______问题。
第三部分：简答题（每题10分，共50分）1. 请简述栈和队列的区别。
2. 请简述二叉搜索树的特点。
3. 请简述哈希表的原理。
4. 请简述图的深度优先搜索算法。
5. 请简述最小树算法的原理。
第四部分：编程题（每题20分，共50分）1. 编写一个函数，实现链表的插入操作。
并查集解决元素分组及连通性问题
并查集解决元素分组及连通性问题并查集（Disjoint-set Union）是一种常用的数据结构，主要用于解决元素分组及连通性问题。
它将n个元素划分为若干个不相交的集合，每个集合通过一个代表来标识。
在该数据结构下，我们可以高效地进行合并集合和查询某个元素所属的集合操作。
一、并查集的基本原理并查集主要由两个操作组成：合并（Union）和查找（Find）。
其中，合并操作将两个集合合并为一个集合，查找操作则用于确定某个元素所属的集合。
在并查集中，每个元素都有一个指向父节点的指针，初始时每个元素自成一个集合，其父节点指向自己。
合并操作就是将两个元素所在集合的根节点合并为一个根节点，即将其中一个集合的根节点指向另一个集合的根节点。
查找操作通过递归地向上查找父节点，最终找到根节点，从而确定该元素所属的集合。
二、并查集的具体实现并查集的具体实现可使用数组或树结构。
数组实现简单直观，树结构实现更加高效。
以下是树结构实现的代码示例：```pythonclass UnionFind:def __init__(self, n):self.parent = list(range(n))def union(self, a, b):self.parent[self.find(a)] = self.find(b)def find(self, x):if self.parent[x] != x:self.parent[x] = self.find(self.parent[x])return self.parent[x]```在这个实现中，parent数组记录了每个元素的父节点，初始时每个元素的父节点为自己。
合并操作通过将某个元素的根节点指向另一个元素的根节点来实现。
查找操作递归地向上查找父节点，直到找到根节点。
三、应用场景举例1. 图的连通性判断：利用并查集可以判断图中的两个节点是否连通。
假设图中有n个节点，我们可以用并查集来维护这些节点的连通情况。
数据结构与算法 图的遍历与连通性
数据结构与算法图的遍历与连通性数据结构与算法：图的遍历与连通性在计算机科学中，数据结构和算法是解决各种问题的基石。
其中，图作为一种重要的数据结构，其遍历和连通性的研究具有至关重要的意义。
让我们先来理解一下什么是图。
简单来说，图是由顶点（也称为节点）和边组成的结构。
顶点代表了事物或者对象，而边则表示顶点之间的关系。
例如，在一个社交网络中，人可以被视为顶点，而人与人之间的好友关系就是边。
图的遍历是指按照一定的规则访问图中的所有顶点。
常见的图遍历算法有深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历就像是一个勇敢的探险家，一头扎进未知的领域，勇往直前，直到走投无路，然后回溯。
它的基本思想是先访问一个顶点，然后沿着一条未访问过的边递归地访问下一个顶点，直到没有可访问的边，再回溯到之前的顶点，继续探索其他未访问的边。
想象一下你在一个迷宫中，选择一条路一直走到底，直到遇到死胡同或者已经没有新的路可走，然后再返回之前的岔路口，选择另一条路继续前进。
广度优先遍历则像是一个谨慎的旅行者，逐层探索。
它先访问起始顶点，然后依次访问其所有相邻的顶点，再依次访问这些相邻顶点的相邻顶点，以此类推。
这就好比你在散播消息，先告诉离你最近的人，然后他们再告诉他们附近的人，一层一层地传播出去。
那么，为什么我们要进行图的遍历呢？这是因为通过遍历图，我们可以获取图的各种信息，比如顶点之间的关系、图的结构特点等。
在实际应用中，图的遍历有着广泛的用途。
例如，在搜索引擎中，通过遍历网页之间的链接关系来抓取和索引网页；在社交网络分析中，遍历用户之间的关系来发现社区结构等。
接下来，我们谈谈图的连通性。
连通性是指图中顶点之间是否存在路径相连。
如果从图中的任意一个顶点都可以到达其他任意一个顶点，那么这个图就是连通图；否则，就是非连通图。
判断图的连通性是一个重要的问题。
一种常见的方法是从某个顶点开始进行遍历，如果能够访问到所有的顶点，那么图就是连通的；否则，图是非连通的。
数据结构-图的连通性
③数据结构的动态分析 (closedge[5].adjvex，G.vexs[5])
∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 6 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4
i
1
v2 5
3
5 v4
2
v3
5 ∞ 5 ∞ ∞ 2 2
∞ 3 6 ∞ ∞ 6 3
∞ ∞ 4 2 6 ∞ 4 5
3
6
4
2
4 v 5
6
v6
5
G.vexs:
一、最小生成树
2.实例：V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}
①任取u0=v1, 则：U={v1}, V-U={v2,v3,v4,v5,v6}
v2 6
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 5 v4
v5
6
v6
一、最小生成树
2.实例：V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}
①任取u0=v1, 则：U={v1}, V-U={v2,v3,v4,v5,v6} ②取边(v1,v3),则：U={v1,v3} V-U={v2,v4,v5,v6}
一、最小生成树
3.算法的实现：
③数据结构的动态分析 G.arcs如下：
0 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6
0
v1 5 1
1
v2 5
3
5 v4
2
v3
∞ 6 1 6 ∞ 5 1 5 ∞ 5 6 5 ∞ 3 6 ∞ ∞ 4
i
5 ∞ 5 ∞ ∞ 2 2
∞ 3 6 ∞ ∞ 6 3
∞ ∞ 4 2 6 ∞ 4 5
v2 6
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 5 v4
v5
6
v6
④取边(v6,v4),则：U={v1,v3, v6,v4} V-U={v2,v5} ⑤取边(v3,v2),则：U={v1,v3, v6,v4,v2} ⑥取边(v2,v5),则：U={v1,v3, v6,v4,v2,v5}
数据结构课设有向图强连通分量求解
数据结构课设有向图强连通分量求解数据结构课设：有向图强连通分量求解一、引言有向图是图论中的一种重要概念，强连通分量是有向图中的一个子图，其中任意两个顶点之间都存在一条有向路径。
在数据结构课设中，我们需要实现一个算法，能够求解给定有向图的强连通分量。
二、问题描述给定一个有向图G=(V,E)，其中V表示顶点的集合，E表示边的集合。
我们需要设计一个算法，能够找出图G中的所有强连通分量，并将其输出。
三、算法设计为了解决这个问题，我们可以使用Tarjan算法，该算法是一种经典的强连通分量求解算法。
下面是Tarjan算法的详细步骤：1. 初始化步骤：- 创建一个空栈S，用于存储访问过的顶点。
- 创建一个整数数组dfn和low，用于记录每个顶点的访问次序和最早访问到的祖先顶点的次序。
- 创建一个布尔数组inStack，用于标记顶点是否在栈中。
- 创建一个整数变量index，用于记录当前访问的次序。
2. 递归搜索步骤：- 遍历图中的每个顶点v，若v未被访问，则执行递归搜索函数Tarjan(v)。
- 在Tarjan(v)函数中，首先将v入栈，并标记v在栈中。
- 然后将dfn[v]和low[v]均设为index的值，并将index加1。
- 对于v的每个邻接顶点u，若u未被访问，则执行递归搜索函数Tarjan(u)。
- 在递归返回后，更新low[v]的值为v的所有邻接顶点u的low值的最小值。
- 若dfn[v]等于low[v]，则说明v是一个强连通分量的根节点，将栈中的顶点依次出栈，直到v为止，并将这些顶点构成一个强连通分量。
3. 输出结果：- 将找到的所有强连通分量输出。
四、算法分析Tarjan算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V为顶点的数量，E为边的数量。
该算法通过深度优先搜索的方式遍历图中的每个顶点，同时使用dfn和low数组记录顶点的访问次序和最早访问到的祖先顶点的次序。
通过比较dfn和low数组的值，可以确定强连通分量的根节点，并将其输出。
并查集与的连通性问题
并查集与的连通性问题并查集与图的连通性问题在图论中，连通性问题是一个非常重要的概念。
它研究的是在一个图中，任意两个节点是否存在路径相连。
而解决这类问题的一种常用数据结构就是并查集。
一、并查集的基本概念并查集（Disjoint Set Union）是一种树型的数据结构，常用于处理不相交集合的合并与查询问题。
它可以高效地判断两个元素是否处于同一集合，并进行集合的合并操作。
在并查集中，每个节点都有一个指针指向它的父节点，如果一个节点的父节点为自己，则代表该节点是集合的代表元素。
为了提高效率，还可以使用路径压缩和按秩合并两种优化策略。
二、并查集的操作1. 初始化操作首先，我们需要将每个元素初始化为一个单独的集合，也就是每个元素的父节点都指向自己。
2. 查找操作查找操作用于判断两个元素是否属于同一个集合。
它通过一层一层地往上查找，直到找到根节点，根节点就是集合的代表元素。
3. 合并操作合并操作用于将两个集合合并为一个集合。
首先需要找到两个元素所在集合的代表元素，然后将其中一个代表元素的父节点指向另一个代表元素。
三、并查集解决连通性问题在图的连通性问题中，可以使用并查集来快速判断两个节点是否连通。
具体步骤如下：1. 初始化并查集，将每个节点都初始化为一个独立的集合。
2. 遍历图中的所有边，对于每条边 (u,v)，找到 u 和 v 所在集合的代表元素。
3. 如果 u 和 v 的代表元素相同，则说明 u 和 v 已经连通，否则将 u 和 v 所在的集合合并。
4. 重复步骤2和步骤3，直到遍历完所有的边。
通过以上操作，就可以得到一个具有连通性信息的图。
在实际应用中，我们可以使用并查集来判断网络中是否存在通路、判断图中是否存在回路等。
四、应用场景举例并查集在算法和数据结构中有广泛的应用场景，例如：1. 最小生成树：使用 Kruskal 算法或者 Prim 算法来构造最小生成树时，可以使用并查集来判断各个节点之间是否连通。
数据结构14--传递闭包
计算每一对顶点间的最短路径（floyd算法）
现有一张城市地图，图中的顶点为城市，有向边代 表两个城市间的连通关系，边上的权即为距离。现 在的问题是，为每一对可达的城市间设计一条公共 汽车线路，要求线路的长度在所有可能的方案里是 最短的。 输 入 ： n( 城 市 数 ， 1≤n≤20);e( 有 向 边 数 1≤e≤210); 以下e行，每行为边（i,j）和该边的 距离wij（1≤i,j≤n） 输出：k行，每行为一条公共汽车线路
m 1 2 i 1 i m
[证明]这就是要证明A和B中至少有一个集合满足题目中的那条 性质。 设A不满足这条性质,证明B一定是满足性质的S。考察任意一个 不相等的点对(a, b)，如果(a, b)的颜色属于B，那么在B集合 诱导的子图中a和b是直接相连的：即存在一条长度不大于3的 通路。否则，(a, b)的颜色属于A，那么假设边是A颜色与a相 连的点集合为NA(a)，边是B颜色的点集为NB(a)；同理定义 NA(b)和NB(b)。易知： NA(a)∪NB(a) = [1, N] / {a} NA(b)∪NB(b) = [1, N] / {b} 如果NB(a)∩NB(b)不为空，即存在x∈NB(a)∩NB(b)，那么就 一定有通路axb涂B颜色,满足题意。
输入一张无向图，指出该图中哪些顶点对之间有路。 输入：n (顶点数，1≤n≤20);e (边数 1≤e≤210);以下e行，每行为有边连接的一对顶点 输出： k行，每行两个数，为存在通路的顶点对序 号i、j(i<j)
var
longlink：array[1..20，1..20] of boolean；/* 无向图和无向图的传递 i至j有路 true 闭包。其中 */ longlink i, j ] [
连通问题的快速合并算法
连通问题的快速合并算法连通问题是计算机科学中一个重要的问题，它涉及到在一个图中寻找图中的连通组件。
连通组件指的是图中的一些节点的集合，这些节点之间可以通过边互相到达。
快速合并算法（Union-Find algorithm）是一种用于解决连通问题的算法。
它通常用于动态图中，其中图的节点和边可以动态地添加和删除。
快速合并算法的目标是在保持高效性能的同时，对图进行连通查找和合并操作。
快速合并算法的基本思想是使用一种称为并查集（Disjoint Set）的数据结构来表示图中的节点和它们的连通关系。
并查集是一种用于存储不相交集合的数据结构，它将每个节点都看作是一棵树，其中树的根节点表示该节点所属的连通组件。
在快速合并算法中，我们首先初始化每个节点为一个单独的连通组件，将每个节点的父节点指向自己。
然后，当我们要判断两个节点是否属于同一个连通组件时，我们只需要判断它们的根节点是否相同。
在进行合并操作时，我们首先查找两个节点所属的连通组件的根节点，然后将其中一个根节点的父节点指向另一个根节点，从而将两个连通组件合并为一个。
快速合并算法有两种优化方法，即路径压缩和按秩合并。
路径压缩是在查找根节点时，将每个节点的父节点直接指向根节点，从而减少后续查找的时间。
按秩合并是在合并两个连通组件时，将较小的树合并到较大的树中，从而使得整棵树的高度趋于较小。
快速合并算法的时间复杂度取决于路径压缩和按秩合并的优化程度。
在最理想的情况下，路径压缩和按秩合并可以使得查找和合并操作的时间复杂度均为常数级别。
而在最坏的情况下，快速合并算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为节点的个数。
快速合并算法在解决连通问题时有着广泛的应用。
例如，在图像处理中，可以使用快速合并算法来进行图像分割，将图像中具有相似属性的像素点划分到同一个连通组件中。
在社交网络分析中，可以使用快速合并算法来找到社交网络中的社群结构，将社交网络中互相关联的用户划分到同一个连通组件中。
数据结构-第7章图答案
7.3 图的遍历 从图中某个顶点出发游历图，访遍图中其余顶点， 并且使图中的每个顶点仅被访问一次的过程。 一、深度优先搜索 从图中某个顶点V0 出发，访问此顶点，然后依次 从V0的各个未被访问的邻接点出发深度优先搜索遍 历图，直至图中所有和V0有路径相通的顶点都被访 问到，若此时图中尚有顶点未被访问，则另选图中 一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程， 直至图中所有顶点都被访问到为止。
void BFSTraverse(Graph G, Status (*Visit)(int v)) { // 按广度优先非递归遍历图G。使用辅助队列Q和访问标志数组 visited。 for (v=0; v<G.vexnum; ++v) visited[v] = FALSE; InitQueue(Q); // 置空的辅助队列Q for ( v=0; v<G.vexnum; ++v ) if ( !visited[v]) { // v尚未访问 EnQueue(Q, v); // v入队列 while (!QueueEmpty(Q)) { DeQueue(Q, u); // 队头元素出队并置为u visited[u] = TRUE; Visit(u); // 访问u for ( w=FirstAdjVex(G, u); w!=0; w=NextAdjVex(G, u, w) ) if ( ! visited[w]) EnQueue(Q, w); // u的尚未访问的邻接顶点w入队列Q
4。邻接多重表
边结点
mark ivex
顶点结点
ilink
jvex
jlink
info
data
firstedge
#define MAX_VERTEX_NUM 20 typedef emnu {unvisited, visited} VisitIf; typedef struct Ebox { VisitIf mark; // 访问标记 int ivex, jvex; // 该边依附的两个顶点的位置 struct EBox *ilink, *jlink; // 分别指向依附这两个顶点的下一条 边 InfoType *info; // 该边信息指针 } EBox; typedef struct VexBox { VertexType data; EBox *firstedge; // 指向第一条依附该顶点的边 } VexBox; typedef struct { VexBox adjmulist[MAX_VERTEX_NUM]; int vexnum, edgenum; // 无向图的当前顶点数和边数 } AMLGraph;
408数据结构试卷
408数据结构试卷一、选择题（每题1分，共5分）1.数据结构被称为什么？A.算法B.程序设计C.数据组织、管理和存储的格式D.计算机网络2.下列哪种数据结构适用于快速插入和删除操作？A.数组B.链表C.树D.哈希表3.在哪种数据结构中，数据元素之间的关系是一对多的？A.栈B.队列C.树D.图4.下列哪种排序算法的时间复杂度最稳定？A.冒泡排序B.选择排序C.插入排序D.快速排序5.在数据结构中，哪个概念用于描述元素之间的顺序关系？A.结构B.关系C.序列D.层次二、判断题（每题1分，共5分）1.数据结构只是与数据元素有关，与元素之间的关系无关。
（错）2.在链表中，插入和删除操作的时间复杂度是O(1)。
（错）3.栈是一种先进先出（FIFO）的数据结构。
（错）4.哈希表可以用于快速查找数据。
（对）5.在二叉树中，叶子节点总是比非叶子节点少一个。
（错）三、填空题（每题1分，共5分）1.数据结构可以分为两大类：______和______。
2.在______中，数据元素之间的关系是一对一的。
3.______是一种特殊的树，其中每个节点最多有两个子节点。
4.______是一种分而治之的排序算法。
5.在图的数据结构中，______用于表示节点之间的连接关系。
四、简答题（每题2分，共10分）1.请简述栈和队列的区别。
2.什么是二叉树？3.请列举三种排序算法，并简述它们的时间复杂度。
4.什么是图？请举例说明。
5.请简述哈希表的工作原理。
五、应用题（每题2分，共10分）1.请使用C语言实现一个简单的顺序栈。
2.请使用Python实现一个简单的链表。
3.请使用Java实现一个简单的二叉树。
4.请使用C++实现一个简单的快速排序算法。
5.请使用JavaScript实现一个简单的图。
六、分析题（每题5分，共10分）1.假设有一个包含1000个元素的数组，请分析使用冒泡排序和快速排序对该数组进行排序的时间复杂度，并说明原因。
连通性及其应用
连通性及其应用随着时代的发展，我们的生活和工作已经变得越来越依赖网络，这不仅仅是计算机网络，还包括物联网、移动通信网络等。
这些网络的基本要素之一就是“连通性”。
什么是连通性呢？简单来讲，连通性就是指网络中各个节点之间能够互相传输数据的能力。
在本文中，我们将探讨连通性的概念以及它在现实生活中的应用。
连通性概述首先，我们来了解一下连通性的概念。
以互联网为例，它由无数个设备和计算机组成，这些设备和计算机都可以相互传递数据。
但是，在这些设备和计算机没有相互连接时，它们之间是没有连通性的。
为了实现互联网中的连通性，计算机科学家们设计了一些协议和算法，如IP协议、TCP协议、路由算法等。
这些技术保证了网络中各个节点之间能够建立连接，并实现数据的传输。
除了计算机网络，连通性在其他领域也有许多应用。
比如说，在城市规划中，人们会关注城市中各个区域之间的连通性，以便更好地规划交通和公共设施。
在电力系统中，电网的连通性直接关系到能源的稳定供应。
在生态系统中，物种之间的连通性对于生态平衡和生态系统的可持续发展有着重要意义。
连通性的优势那么，连通性有哪些优势呢？首先，连通性提高了信息和资源的共享效率。
比如说，在一个企业内部，如果各个部门之间没有实现连通，那么员工们的工作效率就会受到影响。
而如果各个部门都能够实现连通，员工们就可以更方便地共享信息和资源，进而提升整个企业的效率。
其次，连通性使得网络的灵活性更高。
如果网络中各个节点之间都没有建立连接，那么在需要修改或扩展网络时，就会变得非常困难。
相反，如果各个节点之间已经建立了连接，那么我们可以通过修改连接来扩展网络，而不需要对每个节点都进行修改。
最后，连通性提高了网络的可靠性。
在一个完全孤立的网络中，如果有节点出现故障，那么整个网络就会瘫痪。
而如果网络中各个节点都能够互相传递数据，那么即使某个节点出现故障，网络仍然能够继续工作，只是需要通过其他节点来传递数据而已。
连通性的应用连通性的应用非常广泛，我们在生活和工作中都可以看到它的影子。
数据结构 C语言版(严蔚敏版)第7章 图
1
2
4
1
e6 2 4
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29
7.3 图的遍历
从已给的连通图中某一顶点出发，沿着一 些边访遍图中所有的顶点，且使每个顶点 仅被访问一次，就叫做图的遍历 ( Graph Traversal )。 图中可能存在回路，且图的任一顶点都可 能与其它顶点相通，在访问完某个顶点之 后可能会沿着某些边又回到了曾经访问过 的顶点。 为了避免重复访问，可设置一个标志顶点 是否被访问过的辅助数组 visited [ ]。
2
1 2
V2
V4
17
结论：
无向图的邻接矩阵是对称的; 有向图的邻接矩阵可能是不对称的。 在有向图中, 统计第 i 行 1 的个数可得顶点 i 的出度，统计第 j 行 1 的个数可得顶点 j 的入度。 在无向图中, 统计第 i 行 (列) 1 的个数可得 顶点i 的度。
2016/11/7
18
2
邻接表 (出度表)
adjvex nextarc
data firstarc
0 A 1 B 2 C
2016/11/7
1 0 1
逆邻接表 (入度表)
21
网络 (带权图) 的邻接表
6 9 0 2 1 C 2 8 3 D
data firstarc Adjvex info nextarc
2016/11/7
9
路径长度 非带权图的路径长度是指此路径 上边的条数。带权图的路径长度是指路径 上各边的权之和。 简单路径 若路径上各顶点 v1,v2,...,vm 均不 互相重复, 则称这样的路径为简单路径。 回路 若路径上第一个顶点 v1 与最后一个 顶点vm 重合, 则称这样的路径为回路或环。
数据结构——图的连通性
稀疏图、稠密8.4 图的连通性判定一个图的连通性是图的一个应用问题，我们可以利用图的遍历算法来求解这一问题。
本节将重点讨论无向图的连通性、有向图的连通性、由图得到其生成树或生成森林以及连通图中是否有关节点等几个有关图的连通性的问题。
8.4.1 无向图的连通性在对无向图进行遍历时，对于连通图，仅需从图中任一顶点出发，进行深度优先搜索或广度优先搜索，便可访问到图中所有顶点。
对非连通图，则需从多个顶点出发进行搜索，而每一次从一个新的起始点出发进行搜索过程中得到的顶点访问序列恰为其各个连通分量中的顶点集。
例如，图8.5 (a)是一个非连通图G3，按照图8.18 所示G3 的邻接表进行深度优先搜索遍历，需由算法8.5调用两次DFS（即分别从顶点A 和D出发），得到的顶点访问序列分别为：A B F E C E这两个顶点集分别加上所有依附于这些顶点的边，便构成了非连通图G3的两个连通分量，如图8.5(b) 所示。
因此，要想判定一个无向图是否为连通图，或有几个连通分量，就可设一个计数变量count，初始时取值为0，在算法8.5的第二个for循环中，每调用一次DFS，就给count增1。
这样，当整个算法结束时，依据count的值，就可确定图的连通性了。
序号图8.18 G3的邻接表8.4.3 生成树和生成森林在这一小节里，我们将给出通过对图的遍历，得到图的生成树或生成森林的算法。
设E(G)为连通图G中所有边的集合，则从图中任一顶点出发遍历图时，必定将E(G)分成两个集合T(G)和B(G)，其中T(G)是遍历图过程中历经的边的集合；B(G)是剩余的边的集合。
显然，T(G)和图G 中所有顶点一起构成连通图G 的极小连通子图。
按照8.1.2节的定义，它是连通图的一棵生成树，并且由深度优先搜索得到的为深度优先生成树；由广度优先搜索得到的为广度优先生成树。
例如，图8.17(a)和(b)所示分别为连通图G5的深度优先生成树和广度优先生成树。
《数据结构》课程标准
《数据结构》课程标准一、概述(一) 课程的性质本课程为计算机专业技术人员提供必要的专业基础知识和技能训练，同时也是计算机应用相关学科所必须掌握的课程。
通过本课程的学习，使学生熟练掌握计算机程序设计中常见的各种数据的逻辑结构、存储结构及相应的运算，初步掌握算法的时间分析和空间分析的技术，并能根据计算机加工的数据特性运用数据结构的知识和技巧设计出更好的算法和程序，并进一步培养基本的良好的程序设计能力。
（二）课程基本理念以培养学生如何合理地组织数据、有效地存储和处理数据，正确地设计算法以及对算法进行的分析和评价的能力，学会数据的组织方法和实现方法，并进一步培养基本的良好的程序设计能力。
（三）课程设计思路本课程标准从计算机软件技术及应用技术专业的视角出发，以满足本专业就业岗位所必须具备的计算机软件技术基础知识为基础，教学内容设计通过岗位工作目标与任务分析，分解完成工作任务所必备的知识和能力，采用并列和流程相结合的教学结构，构建教学内容的任务和达到工作任务要求而组建的各项目，以及教学要求和参考教学课时数。
通过实践操作、案例分析，培养学生的综合职业能力，基本达到程序员级职业技能鉴定标准。
本课程建议课时为64学时，理论课时为20，实训课时为44，在具体教学过程中可进行进行调整。
二、课程目标（一）总目标本课程以培养学生的数据抽象能力和复杂程序设计的能力为总目标。
通过本课程的学习，学生可以学会分析研究计算机加工的数据结构的特性，以便为应用涉及的数据选择适当的逻辑结构、存储结构及其相应的运算，并初步掌握算法的时间分析和空间分析的技术；另一方面，本课程的学习过程也是复杂程序设计的训练过程，要求学生编写的程序结构清楚和正确易读，符合软件工程的规范。
（二）具体目标掌握各种主要数据结构的特点、计算机内的表示方法，以及处理数据的算法实现。
使学生学会分析研究计算机加工的数据结构的特性，以便为应用涉及的数据选择适当的逻辑结构、存储结构及相应的算法，并初步了解对算法的时间分析和空间分析技术。
数据结构中的常见问题与解决方案
数据结构中的常见问题与解决方案数据结构是计算机科学中非常重要的基础知识，它是用来组织和存储数据的一种特殊方式。
在实际的编程过程中，我们经常会遇到各种关于数据结构的问题，如何选择合适的数据结构、如何高效地操作数据结构等等。
本文将介绍数据结构中的一些常见问题，并给出相应的解决方案。
一、数组越界访问数组是一种最基本的数据结构，它由一组连续的内存空间组成，可以存储相同类型的数据。
在使用数组时，经常会出现数组越界访问的问题，即访问数组中不存在的索引位置。
这种错误通常会导致程序崩溃或产生不可预测的结果。
解决方案：1. 在编程过程中，要时刻注意数组的索引范围，避免越界访问。
2. 使用边界检查来确保数组访问的合法性，可以在访问数组元素之前进行索引范围的检查。
3. 在编程语言中，一些工具和库提供了数组越界检查的功能，可以利用这些工具来避免越界访问的问题。
二、链表中的循环引用链表是一种常见的数据结构，它由一系列节点组成，每个节点包含数据和指向下一个节点的指针。
在使用链表时，可能会出现循环引用的问题，即链表中的某个节点指向了链表中的前面节点，导致链表形成了一个环。
解决方案：1. 使用快慢指针来检测链表中是否存在循环引用，快指针每次移动两步，慢指针每次移动一步，如果两个指针相遇，则说明链表中存在循环引用。
2. 在插入和删除节点时，要注意更新节点之间的指针关系，避免出现循环引用的情况。
3. 可以使用哈希表来存储已经访问过的节点，当遍历链表时，检查当前节点是否已经存在于哈希表中，如果存在则说明存在循环引用。
三、栈和队列的应用栈和队列是两种常见的数据结构，它们分别具有后进先出和先进先出的特性，在实际编程中有着广泛的应用。
在使用栈和队列时，可能会遇到一些问题，如如何实现栈和队列、如何高效地进行操作等。
解决方案：1. 对于栈的实现，可以使用数组或链表来存储数据，通过压栈和出栈操作来实现栈的功能。
在使用数组实现栈时，要注意栈的扩容和缩容操作，以提高效率。
数据结构与算法图的遍历与连通性
-2 -1 -2 2 -1 0 -1 (2,3,12) 5
6
2
-2 -2 -2 2 -1 0 1 (1,6,14) 25 24
18 12
-2 -4 1 2 -1 0 1 (1,2,16)
4 22 3
-2 -5 1 2 1 0 1 (3,4,22) 1 -7 1 2 1 0 1 (4,5,25)
原图
并查集
I
8 前进 9
深度优先搜索过程
6F H
I
回退
89
深度优先生成树
3
DFS 在访问图中某一起始顶点 v 后, 由 v 出发, 访问它的任一邻接顶点 w1; 再从 w1 出发, 访问 与 w1邻接但还没有访问过的顶点 w2; 然后再从 w2 出发, 进行类似的访问, … 如此进行下去, 直 至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为 止。接着, 退回一步, 退到前一次刚访问过的 顶点, 看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。 如果有, 则访问此顶点, 之后再从此顶点出发, 进行与前述类似的访问; 如果没有, 就再退回一 步进行搜索。重复上述过程, 直到连通图中所 有顶点都被访问过为止。
16
北京 天津
31
7
34
西安
24
19 成都
22 39
武汉 19 25
南京 6
31 昆明
50 22 44
38 41
58
广州
上海
构造最小生成树的准则
❖ 必须使用且仅使用该网络中的 n-1 条边
来联结网络中的 n 个顶点；
❖ 不能使用产生回路的边；
❖ 各边上的权值的总和达到最小。
17
北京 天津
31
7
26
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7.2 图的存储结构
7.3 图的遍历
7.4 图的连通性问题 7.5 有向无环图及其应用 7.6 最短路径
￡7.4 图的连通性问题
￡7.4.1 无向图的连通分量和生成树
（1）连通图 在对无向图进行遍历时，对于连通图，仅需从图中任一顶点出发， 进行深度优先搜索或广度优先搜索，便可访问到图中所有结点。 深度优先生成树：在连通图中，由深度优先搜索得到的生成树。 广度优先生成树：在连通图中，由广度优先搜索得到的生成树。 （2）非连通图 在对无向图进行遍历时，对于非连通图，需从多个顶点出发进行 搜索，而每一次从一个新的起始点出发进行搜索过程中得到的顶点访 问序列恰为其各个连通分量中的顶点集。 生成森林：在非连通图中，每个连通分量中的顶点集和遍历时走 过的边一起构成若干棵生成树，这些连通分量的生成树组成非连通图 的生成森林。 深度优先生成森林：在非连通图中，由深度优先搜索得到的生成 森林。 广度优先生成森林：在非连通图中，由广度优先搜索得到的生成 森林。
0
1
2
3
4
5
6
Adjvex Lowcost
d a e c 19 12 7 5
d
e
a
3
8
14
a e 21 18 16 d
void MiniSpanTree_P(MGraph G, VertexType u) { //用普里姆算法从顶点u出发构造网G的最小生成树
k = LocateVex ( G, u ); for ( j=0; j<G.vexnum; ++j ) // 辅助数组初始化 if (j!=k) closedge[j] = { u, G.arcs[k][j].adj }; closedge[k].lowcost = 0; // 初始，U＝{u} for (i=0; i<G.vexnum; ++i) { 继续向生成树上添加顶点; }
A
C (a) 无向图G3 F I L A 1 2 L M J 4 3 B 5 (c)
G3 D G J E H K
B
M G 10
D 8
F 63
图7.3(a) G3的深度优先生成森林 图7.11 生成树和生成森林
(连通网的)最小生成树
问题：
假设要在 n 个城市之间建立通讯 联络网，则连通 n 个城市只需要修建
k = minimum(closedge);
// 求出加入生成树的下一个顶点(k) printf(closedge[k].adjvex, G.vexs[k]); // 输出生成树上一条边 closedge[k].lowcost = 0; // 第k顶点并入U集
for (j=0; j<G.vexnum; ++j) //修改其它顶点的最小边 if (G.arcs[k][j].adj < closedge[j].lowcost) closedge[j] = { G.vexs[k], G.arcs[k][j].adj };
例如:
19 m m 14 m 18 19 5 7 12 m m 19 5 a 14 b 12 m 5 3 m m m c 7 18 m 7 3 8 21 m 3 8 e 16 d 14 12 m 8 m 16 g 27 21 m m m 21 m 27 f 18 m m m 16 27
closedge
n-1条线路，如何在最节省经费的前
提下建立这个通讯网？
该问题等价于：
构造网的一棵最小生成树，即： 在 e 条带权的边中选取 n-1 条边（不构成 回路），使“权值之和”为最小。
算法一：（普里姆算法） 算法二：（克鲁斯卡尔算法）
普里姆算法的基本思想:
取图中任意一个顶点 v 作为生成树的根，
之后往生成树上添加新的顶点 w。在添加
一般情况下所添加的顶点应满足下列 条件: 在生成树的构造过程中，图中 n 个 顶点分属两个集合：已落在生成树上的 顶点集 U 和尚未落在生成树上的顶点集 V-U ，则应在所有连通U中顶点和V-U中 顶点的边中选取权值最小的边。
V-U
U
设置一个辅助数组，对当前V－U集 中的每个顶点，记录和顶点集U中顶点 相连接的代价最小的边： struct { VertexType adjvex; // U集中的顶点序号 VRType lowcost; // 边的权值 } closedge[MAX_VERTEX_NUM];
a
18 16 19 14 12 7
b
5
c
3
e
8
g
27
d f
21
算法描述:
构造非连通图 ST=( V,{ } ); k = i = 0; // k 计选中的边数 while (k<n-1) { ++i;
检查边集 E 中第 i 条权值最小的边(u,v); 若(u,v)加入ST后不使ST中产生回路， 则 输出边(u,v); 且 k++;
克鲁斯卡尔算法的基本思想：
考虑问题的出发点: 为使生成树上边的权
值之和达到最小，则应使生成树中每一条 边的权值尽可能地小。
具体做法: 先构造一个只含 n 个顶点的子图
SG，然后从权值最小的边开始，若它的添 加不使SG 中产生回路，则在 SG 上加上这 条边，如此重复，直至加上 n-1 条边为止。
例如:
的顶点 w 和已经在生成树上的顶点v 之间 必定存在一条边，并且该边的权值在所有 连通顶点 v 和 w 之间的边中取值最小。之 后继续往生成树上添加顶点，直至生成树 上含有 n-1 个顶点为止。
例如:
a
18 16
19 14
b
12 7
5
c
3
e
8
g
27
d f
21
所得生成树权值和 = 14+8+3+5+16+21 = 67
}
比较两种算法
算法名 时间复杂度 适应范围
普里姆算法 克鲁斯卡尔算法
O(n2) 稠密图
O(eloge) 稀疏图