最新高中立体几何证明平行的专题

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立体几何——平行的证明

四棱锥 P －ABCD 的底面是平行四边形，点 E 、F 分 别为棱 AB 、 PD AF ∥平面 PCE ；

折叠，使得 DE ⊥ EC 。 （Ⅰ）求证：

BC ⊥面 CDE ；

【例 3】已知直三棱柱 ABC －A 1B 1C 1中， D, E, F 分别为 AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为 BE 的中点 , AC ⊥ BE. 求证： （Ⅰ） C 1D ⊥BC ； （Ⅱ） C 1D ∥平面 B 1FM.

分析：连 EA ，易证 C 1EAD 是平行四边形，于是 MF//EA

分析：取 PC 的中点 G ，连 EG.， FG ， 则易证 AEGF 是平行四边形

D

第 1 题

图）

例 2】如图，已知直角梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2， CD ＝1

＋ 3 ，过 A 作 AE ⊥ CD ，垂足为

E ， G 、

F 分别为 AD 、CE 的中点，现将△ ADE 沿 AE

分析：取 DB 的中点 H ，连 GH,HC 则易证 FGHC 是平行四边形

【例 1】如图， 的中点．求证： Ⅱ）求证： FG ∥面 BCD ；

D

A

A

1

例 4】如图所示 , 四棱锥 P ABCD 底面是直角梯形 , BA AD,CD AD , CD=2AB, E 为 PC 的中点 , 证明 : EB// 平面 PAD ;

分析:：取 PD 的中点 F，连 EF,AF 则易证 ABEF 是

平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质

【例 5】如图，已知E、F 、G、M 分别是四面体的

棱求证：AM ∥平面EFG 。

分析：连 MD 交 GF 于 H，易证 EH 是△ AMD 的中

位线

AD 、

例 6 】如图， ABCD 是正方形，

O 是正方形的中心，

是 PC 的中点。求证： PA ∥平面 BDE

【例 7】如图，三棱柱 ABC—A1B1C1中， D 为 AC 的

中点.

求证： AB 1//面 BDC1；

分析：连 B1C 交 BC1 于点 E，易证 ED 是

△ B

1AC 的中位线

【例 11】在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形，∠ ACB= 90 ，ＥＡ⊥平

面ＡＢＣＤ， EF ∥ＡＢ， ＦＧ∥ＢＣ， ＥＧ∥ＡＣ .ＡＢ =２ＥＦ。 若Ｍ是线段ＡＤ的中点， 求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ ;

例 8】如图，平面 ABEF 平面 ABCD ，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直角梯形，

1 1 BAD FAB 900

,BC //

AD ， BE //

AF ， 22

（Ⅰ）证明：四边形 BCHG 是平行四边形； （Ⅱ） C,D,F,E 四点是否共面？为什么？

G,H 分别为 FA,FD 的中点

.3）

利用平行四边形的性质

(I) 证法一：

因为 EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ， ACB 90 ，

所以

EGF 90 , ABC ∽ EFG.

由于 AB=2EF ，因此， BC=2FC ，

1

连接 AF ，由于 FG//BC ， FG BC

2

在 ABCD 中， M 是线段 AD 的中点，则 AM//BC ，且

1 AM BC

2

因此 FG//AM 且 FG=AM ，所以四边形 AFGM 为平行四边形，因此 GM//FA 。 又 FA 平面 ABFE ， GM

平面 ABFE ，所以 GM// 平面 AB 。

(4)利用对应线段成比例

分析：过 M 作 ME//AD ，过 N 作 NF//AD 利用相似比易证 MNFE 是平行四边形

【例 13】如图正方形 ABCD 与 ABEF 交于 AB ， 求证： MN ∥平面 BEC

分析：过 M 作 MG//AB ，过 N 作 NH/AB 利分别是 SA 、 BD 上的点，且

AM SM BN =

ND

求证： MN ∥平面 SDC

例 12】如图： S 是平行四边形 ABCD 平面外一点， M 、N M ，N 分别为 AC 和 BF 上的点且 AM=FN

用相似比易证 MNHG 是平行四边形

M 是 BD

的中点，侧 (左)视图是直角梯形，俯视图是等腰直 角三角形，有关数据如图所示．

(1)求出该几何体的体积；

(2) 若 N 是 BC 的中点，求证： AN ∥平面 CME ； (3) 求证：平面 BDE ⊥平面 BCD.

【例 15】直四棱柱 ABCD － A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是等腰梯形， AB ∥DC ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2，E 为 BD1 的中点， F 为 AB 中点．

例 14 】如图是某直三棱柱 (侧棱与底面垂直 ) 被削去上底后的直观图与三视图中的侧 （左）

视图、俯视图，在直观图中，

(1) 求证 EF ∥平面 ADD1A1 ； (2)求几何体 DD 1AA 1EF 的体积。