自动控制系统的数学描述
第2章 自动控制系统的数学模型
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
自动控制原理公式
自动控制原理公式自动控制系统最常用的数学描述是利用控制工程中的数学模型。
数学模型是通过分析和建立系统的动态行为方程、传输函数或状态空间方程来描述系统的数学形式。
以下是一些常用的控制原理公式：1.闭环系统传递函数公式闭环系统传递函数是表示控制器输出信号C(s)与参考输入信号R(s)之间的关系的函数。
通常表示为T(s)或G(s)。
2.开环传递函数公式开环传递函数是表示控制器输出信号和系统输入信号之间的关系的函数。
通常表示为G(s)。
3.比例控制器公式比例控制器是最简单的控制器之一，其输出信号与误差信号之间的关系为：C(t)=Kp*e(t)，其中Kp为比例增益，e(t)为误差信号。
4.积分控制器公式积分控制器输出信号与误差信号的时间积分之间的关系为：C(t) = Ki * ∫e(t)dt，其中Ki为积分增益。
5.微分控制器公式微分控制器输出信号与误差信号的时间微分之间的关系为：C(t) = Kd * de(t)/dt，其中Kd为微分增益。
6.传递函数的极点和零点公式传递函数的极点和零点是指传递函数的分母和分子中令传递函数等于零的根。
传递函数的极点和零点对系统的稳定性、阻尼比、过渡特性等有重要影响。
7.控制系统稳定性判据公式控制系统稳定性判据是通过判断传递函数的极点位置来评估系统的稳定性。
例如，对于一阶系统，系统稳定的条件是极点实部小于零；对于二阶系统，系统稳定的条件是极点实部均小于零。
8.级联控制系统公式级联控制系统是由两个或多个控制回路组成的系统。
级联控制系统的传递函数可以通过将各个回路的传递函数相乘来获得。
9.PID控制器公式PID控制器是包含了比例控制器、积分控制器和微分控制器的三个组成部分的控制器。
PID控制器的输出信号与误差信号的线性组合关系为：C(t) = Kp*e(t) + Ki∫e(t)dt + Kd *de(t)/dt。
以上是一些常见的自动控制原理公式，用于描述和分析控制系统的特性和行为。
自动控制系统的数学模型
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料 的消耗而变化）。
[非线性系统]：如果不能应用叠加原理，则系统是非线性的。
下面是非线性系统的一些例子：
d2x dt 2
( dx)2 dt
x
Asin t,
d2x dt 2
(x2
1)
dx dt
x
0,
d2x dt 2
dx dt
x
x3
0
古典控制理论中（我们所正在学习的），采用的是单输入单输出描述方 法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统，解决问题的能 力是极其有限的。
Tm
Ra J CeCm
分别称为电磁时间常数和机电时间常数
Ku
1 Ce
和
Km
Ra CeCm
分别是转速与电压传递系数和转速与负载
传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。
3.线性系统微分方程的编写步骤：
⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。
⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素， 对非线性元部件进行线性化等。
4、线性方程的求解：
研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化 情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。 在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。
[拉氏变换求微分方程解的步骤]： ①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 ②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。
M c 上的负载转矩Mc，输出是转速
自动控制原理与系统第三章 自动控制系统的数学模型
④将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的 各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在 方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的 系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常
二、微分方程建立举例
[例3-1]直流电动机的微分方程。
1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的 关系。
②在各环节功能框的基础上，首先确定系统的 给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由
左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节， 直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量 间的关系。
③然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标 明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。
④这样就可以得到整个控制系统的框图。
①列出直流电动机各个环节的微分方程［参见 式3-1～式3-4］，然后由微分方程→拉氏变换式→ 传递函数→功能框。今将直流电动机的各功能框列 于表3-1中。
②如今以电动机电枢电压作为输入量，以电动 机的角位移θ 为输出量。于是可由开始，按照电动 机的工作原理，由依次组合各环节的功能框，然后 再加上电势反馈功能框，如图3-15所示。
(或环节)的固有特性。它是系统的复数域模型，也 是自动控制系统最常用的数学模型。
3．对同一个系统，若选取不同的输出量或不同 的输入量，则其对应的微分方程表达式和传递函数 也不相同。
4．典型环节的传递函数有
对一般的自动控制系统，应尽可能将它分解为 若干个典型的环节，以利于理解系统的构成和系统 的分析。
它还清楚地表明了各环节间的相互联系，因此它是 理解和分析系统的重要方法。
①全面了解系统的工作原理、结构组成和支配系统 工作的物理规律，并确定系统的输入量(给定量)和 输出量(被控量) ②将系统分解成若干个单元(或环节或部件)，然后 从被控量出发，由控制对象→执行环节→功率。
自动控制系统的数学模型
注：通常将微分方程写成标准形式，即将与输 入量有关的各项写在方程的右边，与输出量有 关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项 均按降阶顺序排列。
2.1.1 机械系统
• 机械系统指的是存在机械运动的装置，它们遵循物理学的力 学定律。机械运动包括直线运动（相应的位移称为线位移） 和转动（相应的位移称为角位移）两种。
2.为什么要建立数学模型：对于控制系统的性能，只 是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不 够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分 析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模 型。它是分析和设计系统的依据。
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之 处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以 用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研 究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变 量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的 任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。
黑盒
输出
但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰盒， 可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立 系统的数学模型。
实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况 下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化，但这就出现 了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型 变得不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过 于复杂。一般应在精度许可的前提下，尽量简化其数学模型。
TmddtKuuaKmM c
TmddtKuuaKmM c
如 果 取 电 动 机 的 转 角 θ （ rad ） 作 为 输 出 ， 电 枢 电 压 ua
md2xFf dxkx
dt2
自动控制系统的数学模型
1)
T
2s2
1
2Ts
1
其系数、 由 p1、p2 或 T1、T2 求得；
若有零值极点，则传递函数的通式可以写成：
G(s)
Kg s
m1
(s
zi
)
m2
(
s
2
2kk s
2 k
)
i1
k 1
n1
(s
p
j
)
n2
(
s
2
2ll
2 l
)
j 1
[例1]求电枢控制式直流电动机的传递函数。
[解]已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：
TaTm
d 2
dt2
Tm
d
dt
Kuua
Km (Ta
dmc dt
mc )
方程两边求拉氏变换为：
(TaTms2 Tms 1)(s) KuUa (s) Km(Tas 1)Mc (s)
令 Mc (s) ，0得转速对电枢电压的传递函数：
M c
Mc
)
见例2-4
⑸消去中间变量：推出 ~ ug(Mc) 之间的关系：
TaTm 1 K0
T m 1
K0
K0
K 1 K0
(ug
ug
)
Km (TaM C
Mc
)
显然，转速 既与输入量ug有关，也与干扰 M 有c 关。
[增量式分析] (上式等号两端取增量)：
⑴对于恒值调速系统，ug =常量，则ug 0, ug 0 。
， i
1 zi
,
Tj
1 pj
,
( is 1)
i 1 n
(Tj s 1)
j 1
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第二章 自动控制系统的数学描述
第二章 自动控制系统的数学描述一、控制系统的数学模型控制系统的数学模型是描述自动控制系统输入、输出以及内部各变量的静态和动态关系的数学表达式。
控制系统的数学模型有多种形式：代数方程、微分方程、传递函数、差分方程、脉冲传递函数、状态方程、方框图、结构图、信号流图和静态/动态关系表等。
控制系统的数学模型的求取，可采用解析法或实验法。
系统的数学模型关系到整个系统地分析和研究，建立合理的数学模型是分析和研究自动控制系统最重要的基础。
1．微分方程用解析法建立系统的微分方程的步骤：1) 确定系统的输入、输出变量； 2) 根据系统的物理、化学等机理，依据列出各元件的输入、输出运动规律的动态方程； 3) 消去中间变量，写出输入、输出变量的关系的微分方程。
2．传递函数 1) 定义：传递函数是在零初始条件下，系统（或环节）输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。
2) 性质：a) 传递函数是线性系统在复频域里的数学模型；b) 传递函数只与系统本身的结构与参数有关，与输入量的大小和性质无关； c) 传递函数与微分方程有相通性，两者可以相互转换。
3） 表达形式设系统的动态方程为一个n 阶微分方程)......'1)1(1)(0'1)1(1)(0m n r b r b r b r b y a y a y a y a m m m m n n n n >++++=++++----其中：（则系统的传递函数为:nn n mm m a s a s a b s b s b s R s Y s G ++++++==--......)()()(110110 传递函数也可写成分子、分母多项式因式分解的形式，即)()()())(()())(()()()(112121jn j i mi n m p s z s k p s p s p s z s z s z s k s R s Y s G +∏+∏=++++++====图1.2—1)式中：为系统的极点分母多项式的根，又称为系统的零点分子多项式的根，又称称为传递系数，------=--j i p z a b k k 04） 典型环节的传递函数一个自动控制系统，可以认为是由一些典型环节（一些元件和部件）所组成。
自动控制系统的数学模型
i1 nN
• K为系统增益或开环S N 放j1 (大S 倍Pj ) 数，
第二章 自动控制系统的数学模型
• 分子多项式根，系统零点（开环）， • 分母多项式根，系统极点（开环）。
m
K Ti
Kg
i1 nN
Tj
j1
第二章 自动控制系统的数学模型
• 三、关于传递函数，有如下几点说明： • ⑴ 传递函数表征了系统对输入信号的传递
第二章 自动控制系统的数学模型
• 2.3 典型环节传函分析 • 自动控制系统是由不同功能的元器件构成
的。从物理结构上看，控制系统的类型很 多，相互差别很大，似乎没有共同之处。 在对控制系统进行分析研究时，我们更强 调系统的动态特性。具有相同动态特性或 者说具有相同传递函数的所有不同物理结 构，不同工作原理的元器件，我们都认为 是同一环节。
dt t0
Tc
T t0
c
• 可从图上求出 Tc
第二章 自动控制系统的数学模型
• 过渡过程时间，根据定义，为输出到达稳 定值的95％（98％）所需的时间。 Ts=3T(Ts=5T)
• 一个流出水箱的水流量由阀门控制的蓄水 箱就是一个惯性环节的实例。无源RC网络、 单溶液槽、盲室压力系统和无套管热电偶 系统等也都是典型的惯性环节。
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建立数学模型的目的有如下几点: • 1.可以定量分析系统动静态性能,看是否能
满足生产工艺要求。 • 2.可以用于定量的控制计算,对系统行为进
行预测,并加以控制。控制精度与模型精度 有关。 • 3.利用模型可以进行有关参数的寻优
第二章 自动控制系统的数学模型
• 建模的方法大概有三种: • 1.机理分析法(适用于机理已知的系统)，也
《自动控制原理》系统数学描述的两种基本类型
线性定常系统 在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系 统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间 表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法 在状态空间中以状态向量或状态变量描述系 统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描 述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状 态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多 变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控 制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可 能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。 本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所 示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示 ，它们均为系统的外部变量。描述系统内部 每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一 种数学模型。
自动控制任务的数学表达式
自动控制任务的数学表达式
自动控制的任务通常可以由一个传递函数来表示。
传递函数是描述线性时不变系统动态特性的数学模型，其定义如下：
传递函数：对于线性时不变系统，其输出变量与输入变量之比，即y(s)/r(s)，称为传递函数。
其中s为复数频率，y(s)和r(s)分别为输出和输入的拉普拉
斯变换。
在控制工程中，自动控制的任务通常可以描述为以下几种形式：
1. 跟踪任务：系统需要跟踪一个参考信号，使得系统的输出尽可能接近参考信号。
这可以通过设计系统的传递函数，使得系统的输出与参考信号之间的误差最小化来实现。
2. 调节任务：系统需要将某个参数调节到指定的值或者在某个范围内波动。
这可以通过设计系统的传递函数，使得系统具有合适的动态特性和静态特性来实现。
3. 抗干扰任务：系统需要具有抗干扰能力，即当系统受到干扰时，能够保持稳定并尽可能减小干扰对系统输出的影响。
这可以通过设计系统的传递函数，使得系统具有足够的稳定性和鲁棒性来实现。
需要注意的是，自动控制的任务不仅仅局限于以上几种形式，具体的任务需要根据实际应用场景来确定。
同时，为了实现自动控制任务，还需要进行系统分析和设计，包括系统的稳定性分析、动态特性分析、静态特性分析等，以及系统的综合和优化等。
自动控制原理控制系统的数学模型
自动控制原理控制系统的数学模型自动控制原理是现代控制工程学的基础，在控制系统的设计中起着至关重要的作用。
控制系统的数学模型是指通过数学方法对控制系统进行建模和描述，以便分析和设计控制系统的性能和稳定性。
控制系统的数学模型可以分为时域模型和频域模型两种形式。
一、时域模型时域模型是描述控制系统在时间域上动态行为的数学表达式。
时域模型是基于系统的差分方程或微分方程的。
1.线性时不变系统的时域模型对于线性时不变系统，可以通过系统的微分方程或差分方程来建立时域模型。
常见的时域模型包括：-一阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*u(t)-二阶系统的时域模型：y(t)=K*(1-e^(-t/T))*(1+t/Td)*u(t)2.非线性系统的时域模型对于非线性系统，时域模型可以通过系统的状态空间方程来建立。
常见的非线性系统时域模型包括：- Van der Pol方程： d^2x/dt^2 - μ(1 - x^2) * dx/dt + x = 0 - Lorenz方程：dx/dt = σ * (y - x), dy/dt = rx - y - xz, dz/dt = xy - βz二、频域模型频域模型是描述控制系统在频域上动态行为的数学表达式。
频域模型是基于系统的传递函数或频率响应函数的。
1.传递函数模型传递函数是系统的输入和输出之间的关系，是频域模型的核心。
传递函数可以通过系统的拉普拉斯变换或Z变换得到。
常见的传递函数模型包括：-一阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T*s+1)-二阶系统的传递函数模型：G(s)=K/(T^2*s^2+2ξ*T*s+1)2.频率响应模型频率响应函数是系统在不同频率下的输出和输入之间的关系。
频率响应函数可以通过系统的传递函数模型进行计算。
常见的频率响应模型包括：-幅频特性：描述系统在不同频率下的增益变化-相频特性：描述系统在不同频率下的相位变化控制系统的数学模型是对系统动态行为的数学描述，通过对控制系统进行数学建模和分析，可以有效地设计和优化控制系统，提高系统的性能和稳定性。
第二章自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型本章要点系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。
本章主要介绍从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。
内容包括系统微分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。
为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静态性能指标。
而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。
这种描述系统各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。
系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。
解析法是从系统元件所遵循的一些基本规律出发去推导系统的数学模型。
如果不了解系统的结构和运动规律，则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出的输出响应信号建立其数学模型。
系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结构图(几何模型)。
第一节系统的微分方程微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。
当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。
一、系统微分方程的建立步骤1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。
2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。
联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。
3．将方程整理成标准形式。
即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。
二、举例说明例2-1求图2-1所示RC网络的微分方程。
解：由图可知，输入量为u i(t) , 输出量为u o(t) ，根据电路遵循的基尔霍夫电压定律，有dtt du Ct i t u R t i t u o o i )()()()()(=+=消去上式中的中间变量i(t) ，得)()()(t u dtt du RCt u o o i += 整理得 ()()()o o i du t RCu t u t dt+= 例2-2 求直流电动机的微分方程。
控制系统的数学模型
控制系统的数学模型
控制系统是一种能够自动实现某种规律性动态过程的机电设备，具有广泛的应用和重要的意义。
为了更好地理解和设计控制系统，我们需要学习控制系统的数学模型。
控制系统的数学模型是对系统动态行为的精确描述，通常用微分方程或差分方程来表示。
这个模型是由系统的结构和性质所决定的，因此在设计控制系统时需要考虑到不同方面的因素。
在实际应用中，通常采用系统的状态空间描述法来建立数学模型，其基本形式是：x(t+1) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
其中，x(t)为系统的状态向量，表示系统各输出量之间的关系；u(t)为输入量向量，表示系统受控的变量；y(t)为输出量向量，表示系统运行时的响应状态；A、B、C、D是系统常数矩阵，分别表示状态转移矩阵、输入特性矩阵、输出矩阵和直流通道矩阵。
这个模型允许我们对控制系统的状态、输入、输出之间的关系进行全面的分析和掌握。
控制系统的数学模型建立好之后，我们需要对其进行仿真和实验验证。
通过模拟相应的输入和输出，可以检验数学模型的可靠性和精度，并找出有误差的地方进行调整和改进。
同时，也能够为控制系统的设计和优化提供有力的指导和参考。
综上所述，控制系统的数学模型是其设计和优化的基础和关键，
建立好数学模型能够更全面地分析和预测系统的运行状态，并为进一
步进行仿真和实验提供必要的基础。
因此，在学习和设计控制系统时，需要注重数学模型的学习和应用，以提高系统的可靠性和实用性。
自动控制系统的数学模型
F(s) = L[ f (t)] = ∫ f (t)e dt
∞ −st 0
其中，原来的实变量函数f(t)——原函数 变换后的复变量函数F(s)——象函数 二、拉氏变换的运算定理 1、叠加定理： 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即 L[f1(t)±f2(t)]=L[f1(t)±L[f2(t)]=F1(s)±F2(s)
C(s) 100 G(s) = = 2 R(s) s +10s +100
可见，只要将微分方程中的微分式d(i)/dt(i)换成 相应的s(i) ，即可求得传递函数。
第二章自动控制系统数学模型
2、 电路复阻抗法 在电工基础中，对于电阻、电感、电容，有 电阻 u=iR 拉氏变换式为 U(s)=I(s)R 拉氏变换式为 U(s)=LsI(s) 拉氏变换式为 I(s)=CsU(s)
当初始条件为零时，对方程两边取拉氏变换，有
ans C(s) + an−1s C(s) +L+ a1sC(s) + a0C(s)
n
n−1
= bmsmR(s) + bm−1sm−1R(s) +L+ b1sR(s) + b0R(s)
第二章自动控制系统数学模型
根据传递函数的定义，得传递函数的一般表达式为：
u
a
= ia R
T
a
+ L
a
di a + e dt
Te = K Td − T e = K
L
Φ ia = J
G
dn dt
e
Φ n
第二章自动控制系统数学模型
（3）消去中间变量并予以标准化后得
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
《自动控制原理》第2章自动控制系统的数学模型
dt
t 0
[
d
nf dt
(t
n
)
]
snF(s)
sn1
f
(0)
sn2
f
(1) (0)...
f
(n1) (0)
定理4 积分定理
2021年2月
t
[
f ( )d ] F (s)
0
s
自动控制原理
定理6 初值定理
设F(s)为f(t)的拉氏变换，且
lim
s
sF
(s)
存在
lim f (t) lim sF(s)
实验求取
2021年2月
自动控制原理
例2－1试列写图2-1所示电路
输入量 u r (t) 与输出量 u c (t) 的微分方程。
1. 确定输入、输出量 2. 列写与输入、输出有
关的微分方程
L
di(t) dt
Ri(t)
u
c
(t)
u
r
(t)
i(t) C du c (t)
dt
3. 消去中间变量
LC
d
2u c (t) dt 2
G(s) Ks1 Ks2 ... Ksn
s s1 s s2
s sn
且
Ks1 [(s
….
si )G(s)]ss1
(s2
Q( s1 ) s1)(s3 s1)...(sn
s1)
2021年2月
自动控制原理
例：已知函数
1 设因式展开为 G(s) s(s 1)3 (s 2)
G(s) K1 K2 K3 K4 K5 s s 2 s 1 (s 1)2 (s 1)3
u(c’t)
+
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移
定 其中，当t<0时，f(t)=0；
理
f(t-a)表示f(t)延迟时间a。
复
数
若 f(t) 的 拉 氏 变 换 为 F(s), 对 于 任
域 一常数a,有
的
位 移
L[eat f (t)] F (s a)
定
理
微 设f(t)的拉氏变换为F(s),则
分
定 理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0 ) dt
值 定
示为：
理
lim f (t) lim sF(s)
t
s0
卷 设f(t)的拉氏变换为F(s), g(t)的拉氏变换为
积 定
G(s)，
理
则有
L
0t
f(t
-
l)g(l)dl
=
F(s)G(s)
式中，
t
f(t - λ)g(λ)dλ =
f(t)* g(t)
0
称为f(t)与g(t)的卷积。
▪ 拉氏反变换的数学方法
qo (t) H (t )
H（t）
qo(t) 节流阀
A dH
dt
H (t ) = qi (t)
➢数学模型的线性化
▪ 线性化问题
A dH
dt
H (t ) = qi (t)
非线性系统在数学上处理困难；
信号或变量变化范围不大或非线性不太严重时都可 以近似用线性化模型来替代。
▪ 线性化
输入： x(t)，输出： y(t),y=f(x)
y(t)
则：y0=f(x0)
y0
y y x tan
y
f (x)
f
( x0
)
df ( x) dx
x x0
(x
x0
)
O
Aα
x
y y
x0
x(t)
A dH
dt
H (t) = qi (t) 方程的线性化
dH
1
H
H0 dH
H
H H0
H0 2
H H0
A d(H0 H ) (
dt
1 H0 2 H0 )H = qi0 qi
n 重积分:
L[ .n.
f
(t)dt]
F(s) sn
n1 i0
1 sni
f
(i1) (0)
初 设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的
值 定
初值定理表示为：
理
f (0 ) lim f (t ) lim sF (s)
t 0
s
证明技巧：可利用微分定理来进行证
明
终 若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表
R ＋
RLC无源网络微分方程
ur(t)
－
di(t) 1
ur (t) Ri(t) L dt C i(t)dt
uc
(t
)
1 C
i(t)dt i(t ) C duc (t ) dt
L ＋
i
uc(t)
－
LC
d
2uc (t ) dt 2
RC
duc (t ) dt
uc
(t)
ur
(t)
i2(t)
其中f(0+)由正向使 t 时0的f(t)值。
n 阶微分:
df n(t)
L[ dt n ]
snF(s)
n i 1
sni
f
i 1 (0)
积 设f(t)的拉氏变换为F(s),则
分
定
理
L[ t f (t )dt] F (s) 1 f (1) (0 )
0
ss
其中 t f (t)dt是在时t的值0。 0
第二章 自动控制系统的数学描述
1、数学模型 ( 微分方程 ) 2、拉氏变换 ( 积分变换 ) 3、传递函数（动态特性） 4、信号流图（梅逊公式）
数学模型
▪ 描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系 的数学表达式，它揭示了系统结构与性能之间的 内在关系。
▪ 描述形式：时间域：微分方程 复数域：传递函数 频率域：频率特性 状态空间：微分方程组
= k1s + k2 + k3 + L + kn
(s - p1 )(s - p2 ) (s - p3 )
(s - pn )
(k1s + k2 ) s= p1 = F(s)(s - p1 )(s - p2 ) s= p1
ors= p2
ors= p2
*复数方程，因实部和虚部分别相等,所以可以解得两
个未知数k1、k2
k1s + k2
(s - p1 )(s - p2 )
=
k1s + k2
(s + + jw)(s + - jw)
=
k1(s + ) (s + )2 + w2
+
(s
k2 - k1 + )2 + w 2
L1[ k1s k2 (s p1 )(s
] p2 )
k1e t
cos t
k2
k1
部分分式展开法 对于线性系统象函数 F(s),常可写成如下形式：
F(s) = B(s) = bm sm + bm-1sm-1 + L + b0 A(s) ansn + an-1sn-1 + L + a0
= (s - z1 )(s - z2 )L (s - zm ) (s - p1 )(s - p2 )L (s - pn )
微分方程标准形式
建立数学模型的一般步骤
1. 分析系统的工作原理和信号传递的过程，确定输 入与输出。
2. 按照信号传递过程，根据各变量所遵循的物理学 定律，从输入端依次列出各元件的动态微分方程。
3. 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出 变量之间关系的微分方程。
4. 写成标准化形式。
➢ 电器系统
B(s)
B(s)
F(s) = A(s) = (s - p1 )r (s - pr+1 )(s - pn )
=
k11 (s - p1 )r
+
(s
k12 - p1
)r -1
+L
+ k1r + kr+1 + L (s - p1 ) (s - pr+1 )
+ kn (s - pn )
k11 = F(s)(s - p1 )r s= p1
0
e stdt 1 e st
0
s
0
1 s
2、单位脉冲函数
f(t)
1/ε
0 t 0，or，t
t
1
lim0
0 t
ε
t
L[ (t)]
(t )estdt
1
0
3、单位斜坡函数
f(t)
f
t
0 t
t0 t0
Lt testdt 0
t
1 s
te
st
0
0
e
st
dt
1 s2
4、指数函数 e at
2 j s j s j
s2 2
6、余弦函数cos t
cost 1 (e jt e jt )
2
L[cos t]
=
s2
s
+2
7、衰减正弦函数和衰减余弦函数
L[e at
sin t ]
(s
a)2
2
L[e at
cos t ]
(s
s
a)2
2
▪ 拉氏变换的性质
线 性 性
若 有 常 数 k1 ， k2, 函 数 f1(t), f2(t),
k12
=
d ds
[F(s)(s -
p1 )r ]
s= p1
k13
=
1 d2 2! ds2
[F(s)(s -
p1 )r ]
s= p1
k1r
=
1
d r-1
(r - 1)! dsr -1
[F(s)(s - p1 )r ]
s= p1
例
求 F(s) = s2(s+的+21s拉)+3 氏3 反变换
解
F(s)
s2 2s (s 1)3
▪ 为什么要建立数学模型： 我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定
性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不 够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量 的分析和计算。
另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同 之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可 以用同一个运动方程来表示。这样我们可以建立 控制系统的通用数学模型
且 f1(t), f2(t) 的 拉 氏 变 换 为 F1(s), F2(s),
质 则有：
L[k1 f1(t ) k2 f2 (t )]
k1F1(s) k2F2 (s)
此式可由定义证明。
实 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实
数 数a有,
域
的 位
L[ f (t a)] easF (s)
式中，p1，p2…，pn称为F(s)的极点， z1，z2…，zm称为F(s)的零点。
1、F(s)无重极点的情况
F(s)总能展开成下面的部分分式之和
B( s ) k1 k2 L kn
A( s ) s p1 s p2
s pn
其中，分子ki(i=1,2,…n)为待定系数。
ki
B(s) A(s) (s pi )
22
22
k1 = -1,k2 = 0