动态电路的输入输出方程
第3章3.2动态电路的方程及其解
§3.2
动态电路的方程及其解
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第 1页
§3.2 动态电路的方程及其解
描述动态电路的方程是微分方程。 描述动态电路的方程是微分方程。用一阶微分 微分方程 方程描述的电路常称为一阶电路 一般而言， 一阶电路。 方程描述的电路常称为一阶电路。一般而言，如果 电路中含有n个独立的动态元件 个独立的动态元件， 电路中含有 个独立的动态元件，则描述它的将是 n阶微分方程，该电路可称为 阶电路。 阶微分方程， 阶电路。 阶微分方程 该电路可称为n阶电路
• 动态电路方程的建立 • 微分方程的经典解法
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第 2页
一、动态电路方程的建立
1、依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； 依据：元件VAR，KCL和KVL列写方程； VAR 列写方程 uR 一阶电路举例： 2、一阶电路举例： R i S RC电路 t=0时开关 电路， 时开关S 例1：图RC电路，t=0时开关S闭 uC uS 讨论t>0时的电容电压u 。 t>0时的电容电压 合，讨论t>0时的电容电压 C(t)。 C t>0时 根据KVL KVL方程列出回 t>0时，根据KVL方程列出回 RC串联电路 uR + uC – uS = 0 路电压方程为 d uC d uC , uR = R i = RC 根据元件的VAR VAR， 根据元件的VAR，有 i = C 代入上式， 代入上式，整 理得
− 1 t RC +U S
uC (t) = (U0 −US ) e
,t ≥ 0
▲ ■ 第 11 页
3、结果分析
固有响应和强迫响应 暂态响应和稳态响应
− 1 t RC +U
uC (t) = (U0 −US ) e
3-5 动态电路的输入-输出方程
2
§35 动态电路的输入-输出方程
d 2uc (t ) R duc (t ) 1 1 u ( t ) us (t ) c 2 dt L dt LC LC
d 2 i (t ) R di (t ) 1 1 dus (t ) i (t ) 2 dt L dt LC L dt
§35 动态电路的输入-输出方程 输入
作为输入激励的电压或者电流简称输入。 —— f(t) 如：电压源、电流源
输出
作为待求响应的电压或者电流简称输出。 —— r(t) 如：待求响应，任意电压或电流
输入－输出方程
联系输入变量和输出变量之间关系的单一变量的微 分方程。
电路原理
§35 动态电路的输入-输出方程 列写输入-输出方程的依据 拓扑约束
电路原理
§35 动态电路的输入-输出方程
us(t)为输入，i(t)为输出
di(t ) Ri(t ) L uc (t ) us (t ) dt 2 dit d it duc t dus t R L 2 dt dt dt dt
d i(t ) R di(t ) 1 1 dus (t ) i(t ) 2 dt L dt LC L dt
电路中含有两个独立的储能元件，所列方程
为二阶常系数线性微分方程。
电路原理
§35 动态电路的输入-输出方程
两个独立的储能元件 二阶常系数线性微分方程
n个独立的储能元件 n阶微分方程
输入-输出方程的一般形式
d n r (t ) d n1r (t ) dr (t ) an1 a1 a0 r (t ) n n 1 dt dt dt d m f (t ) d m1 f (t ) df (t ) bm bm1 b1 b0 f (t ) m m1 dt dt dt
电路理论习题库+参考答案
电路理论习题库+参考答案一、判断题（共100题，每题1分，共100分）1.欧姆定律可表示成U=RI,也可表示成U=-RI,这与采用的参考方向有关。
()A、正确B、错误正确答案：A2.非正弦周期信号分解后的傅里叶级数不一定是一个收敛的无穷三角级数()A、正确B、错误正确答案：B3.由于假定各节点电压的参考极性总是由独立节点指向参考节点，所以，各节点电压在相连电阻中引起的电流总是流出该节点的。
因此，节点电压方程的等式左边是各节点电压引起的流出相应节点的电流，而右边则是电流源和等效电流源注入节点的电流。
()A、正确B、错误正确答案：A4.电阻混联是指电阻连接中，既有串联又有并联()A、正确B、错误正确答案：A5.理想变压器反映阻抗的性质与负载阻抗的性质相反。
()A、正确B、错误正确答案：B6.三相电路是一种特殊类型的复杂电路，因而仍可采用一般复杂电路的分析方法对其进行分析和计算。
()A、正确B、错误正确答案：A7.支路分析法适用于分析支路数较少的电路()A、正确B、错误正确答案：A8.正弦电路中，若串联电路的总电压超前电流(电压、电流取关联参考方向),则此电路一定呈感性。
()A、正确B、错误正确答案：A9.造成系统误差的原因主要是操作者粗心大意。
（）A、正确B、错误正确答案：B10.一个线性含源二端网络和其外部负载所构成的电路无唯一解时，此二端网络就可能无等效电源电路()A、正确B、错误正确答案：A11.电工指示仪表准确度的数字越小，表示仪表的准确度越低。
（A、正确B、错误正确答案：B12.对称三相电路Y-Y系统中不管是否含有高次谐波分量，U1=√3U()A、正确B、错误正确答案：B13.工程上将同向耦合状态下的一对施感电流的入端或出端定义为耦合电感的同名端()A、正确B、错误正确答案：A14.三相电路中，对称负载Y接无中线时，发生一相断路故障后，非断开相的相电压降低到电源线电压的一半。
()A、正确B、错误正确答案：A15.RLC串联电路的谐振，电源提供的无功功率为0,电路中无能量交换。
动态电路的方程及其初始条件
t=0
i
换路在 t=0 时刻进行 ，
Us
K
R
+
uC
C
–
－∞
0-
0
0+
+∞
原稳态 原稳态 换路 换路后初
终值
瞬间
始值
过渡 过程
新稳态
链接
RC电路
初始条件：为 t = 0+ 时 u ， i 的值
动画
如在 t = t0 合上，则 t = t0+
二、换路定理
Switch Theorem
1. 电容 (cap acitor)
–
i
I 0e
R L
t
I 0e
L
t /
R
t 0
uL
L
di dt
t
RI 0e L / R
t 0
特征根 p = 由初始值
R L
i(0+)= I0
得：
A= i(0+)= I0
i(t)
I0e pt
I
0e
R L
t
令 = L/R , 一阶 RL 电路时间常数
[
]
+
- 10V
40kΩ
k iC
uCt = 0 时断开开关 k , 求
-
解： (1) 由 0- 电路求 uC(0-) (2) 由换路定律
+ 10kΩ
+
40kΩ
- 10V
iC
uC
-
+ i 10kΩ
- 10V
iC
iC(0+) ？
动态电路的电路方程
解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程
uS (t) uR (t) uC (t) Ri(t) uC (t)
在上式中代入: 得到
i(t) C duC (t) dt
RC
duC (t) dt
uC
(t)＝uS (t)
(7－21)
这是常系数非齐次一阶微分方程，图(a)是一阶电路。
uS
经过整理得到以下微分方程
LC
d 2 uC dt 2
L ( R1
R2C)
duC dt
(R1 R2 ) R1
uC
uS
(7 26)
这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。
必作习题：第266~267页 习题七：7 – 9 、 7 – 13 2002年春节摄于成都人民公园
R1C
duC dt
uS
(1)
R1iL
R1C
duC dt
uC
0
( 2)
从式(2)得到
iL
C
duC dt
1 R1
uC
将iL(t)代入式(1)中
LC
d 2 uC dt 2
L R1
duC dt
(R1
R2 )C
duC dt
(
R1
R1
R2
)
uC
R1C
duC dt
R1R2 R1 R2
uoc
R2 R1 R2
uS
由图(b)电路得到与式7－25相同的微分方程。
例7-11 电路如图7-21所示，以uC(t)为变量列出电路的微分 方程。
3-5动态电路的输入-输出方程.
联接形式所确定的约束关系（KVL,KCL） 元件性质所确定的约束关系(VCR)(有微分关系) 所以输入-输出方程为微分方程,方程阶数等于电路 独立动态元件个数。
3 建立输入-输出方程的方法： 第二章的方法
例1 建立以uS(t)为输入,uC(t)为输出的
输入—输出方程 解：由KCL
un2
iS
1
11
LD
un1
( LD
R2 )un2
0
D 常量 0
CD 1 1 R1 LD
11ຫໍສະໝຸດ CD 1 11
LD 1
un2
R1 LD 1
iS 0
LD
LD R2
LD
LCD 2un2
( L R1
R2C )Du n2
(1
R2 R1
)un 2
R2iS
LC
动态电路在换路时使电路从一个稳定工作状态 转变为另一个稳定工作状态，这种转变需要时 间，要经过一个过程。
§3-5 动态电路的输入—输出方程
三、动态电路方程
输入f(t)：电压源的uS(t);电流源的iS(t) 输出r(t)：待求响应(response) (任意电压或电流)
1 输入-输出方程——联系f(t)、r(t)的方程
§3-5 动态电路的输入—输出方程
一、换路 换路不需要时间，一般以换路发生时刻作 为计时时刻，即 t=0 时换路
t=0- 表示换路前瞬间,与t=0的间隔→0 t=0+ 表示换路后瞬间,与t=0的间隔→0 二、动态电路 1．动态电路定义 (a) 具有动态元件(L、C、M)
(b) 具有换路 2．动态电路阶数 = 等于独立储能元件个数
状态方程和输出方程
状态方程和输出方程状态方程和输出方程是系统理论中的重要概念，用于描述动态系统的行为。
状态方程描述了系统的状态如何随时间变化，而输出方程则描述了系统的输出如何由状态决定。
在这篇文章中，我们将详细介绍状态方程和输出方程的概念、推导方法和应用。
一、状态方程状态方程又称为状态空间方程或系统方程，用数学表示为：x(t)=A·x(t-1)+B·u(t)其中，x(t)为系统的状态向量，表示系统在其中一时刻的状态；A为状态转移矩阵，描述了系统的状态如何随时间变化；x(t-1)为系统在上一时刻的状态；B为输入矩阵，描述了外部输入信号如何影响系统的状态；u(t)为外部输入信号，表示系统在其中一时刻的输入。
状态方程的物理意义是描述系统的动态行为。
通过状态方程，我们可以了解系统的状态如何由前一时刻的状态和当前的输入决定。
状态方程是描述系统动态行为的基础，可以用于系统的建模、分析和控制。
推导状态方程的方法有两种：物理建模和数学建模。
物理建模是通过系统的物理原理和方程来推导状态方程；数学建模是通过对系统的输入输出进行数学分析，从而推导出状态方程。
物理建模适用于具有物理背景的系统，如机械系统、电路系统等；数学建模适用于所有类型的系统。
二、输出方程输出方程又称为观测方程或测量方程，用数学表示为：y(t)=C·x(t)其中，y(t)为系统的输出向量，表示系统在其中一时刻的输出；C为观测矩阵，描述了系统的输出如何由状态决定；x(t)为系统在其中一时刻的状态。
输出方程的物理意义是描述系统的输出如何由状态决定。
通过输出方程，我们可以了解系统的输出如何与系统的状态相关。
输出方程是描述系统的输出特性的关键，可以帮助我们理解系统的性能和行为。
推导输出方程的方法有直接测量和模型匹配。
直接测量是通过对系统的输出进行实际测量，从而得到输出方程；模型匹配是通过对系统进行数学建模，从而推导出输出方程。
直接测量适用于系统的输出直接可测量的情况；模型匹配适用于系统的输出无法直接测量或想要通过模型进行预测的情况。
《电路原理》(第2版) 周守昌 目录
第九章 拉普拉斯变换
§9-1 拉普拉斯变换 §9-2 拉普拉斯变换的基本性质 §9-3 进行拉普拉斯反变换的部分分式展开法 §9-4 线性动态电路方程的拉普拉斯变换解法
第十章 电路的复频域分析
§10-1 基尔霍夫定律的复复频域导纳 §10-3 用复频域模型分析线路动态电路 §10-4 网络函数
绪论
第一章 基尔霍夫定律和电阻元件
§1-1 电路和电路模型 §1-2 电流和电压的参考方向 §1-3 基尔霍夫定律 §1-4 电阻元件 §1-5 独立源 §1-6 受控源 §1-7 运算放大器 §1-8 支路分析法
第二章 电阻电路的分析
§2-1 线性电路的性质·叠加定理 §2-2 替代定理 §2-3 戴维宁定理 §2-4 诺顿定理 §2-5 有伴电源的等效变换 §2-6 星形电阻网络与三角形电阻网络的等效变换 §2-7 特勒根定理 §2-8 互易定理 §2-9 节点分析法 §2-10 回路分析法 §2-11 电源的转移
第三章 动态元件和动态电路导论
§3-1 电容元件 §3-2 电感元件 §3-3 耦合电感元件 §3-4 单位阶跃函数和单位冲激函数 §3-5 动态电路的输入— 输出方程 §3-6 初始状态与初始条件 §3-7 零输入响应 §3-8 零状态响应 §3-9 全响应
第四章 一阶电路与二阶电路
§4-1 一阶电路的零输入响应 §4-2 一阶电路的阶跃响应 §4-3 一阶电路的冲激响应 §4-4 一阶电路对阶跃激励的全响应 §4-5 二阶电路的冲激响应 §4-6 卷积积分及零状态响应的卷积计算法
第一章基尔霍夫定律和电阻元件11电路和电路模型12电流和电压的参考方向13基尔霍夫定律14电阻元件15独立源16受控源17运算放大器18支路分析法第二章电阻电路的分析21线性电路的性质叠加定理22替代定理23戴维宁定理24诺顿定理25有伴电源的等效变换26星形电阻网络与三角形电阻网络的等效变换27特勒根定理28互易定理29节点分析法210回路分析法211电源的转移第三章动态元件和动态电路导论31电容元件32电感元件33耦合电感元件34单位阶跃函数和单位冲激函数35动态电路的输入输出方程36初始状态与初始条件37零输入响应38零状态响应39全响应第四章一阶电路与二阶电路41一阶电路的零输入响应42一阶电路的阶跃响应43一阶电路的冲激响应44一阶电路对阶跃激励的全响应45二阶电路的冲激响应46卷积积分及零状态响应的卷积计算法第五章正弦电流电路导论51正弦电压和电流的基本概念52线性电路对正弦激励的响应正弦稳态响应53正弦量的相量表示法54基尔霍夫定律的相量形式55电路元件方程的相量形式56阻抗和导纳57阻抗的串联与并联第六章正弦电流电路的分析61正弦电流电路的相量分析62正弦电流电路中的功率63谐振电路64含有耦合电感元件的正弦电流电路65理想变量器第七章三相电路71对称三相电压72三相制的联接法73对称三相电路的计算74不对称三相电路的计算75三相电路中的功率第八章非正弦周期电流电路的分析81周期函数的傅里叶级数展开式82线性电路对周期性激励的稳态响应83非正弦周期电流和电压的有效值平均功率84傅里叶级数的指数形式85周期信号的频谱简介86对称三相电路中的高次谐波第九章拉普拉斯变换91拉普拉斯变换92拉普拉斯变换的基本性质93进行拉普拉斯反变换的部分分式展开法94线性动态电路方程的拉普拉斯变换解法第十章电路的复频域分析101基尔霍夫定律的复频域形式102电路元件的复频域模型复频域阻抗和复频域导纳103用复频域模型分析线路动态电路104网络函数附录非线性电路1非线性电阻元件及其约束关系2非线性电阻元件的串联和并联3非线性电阻电路的图解分析法4小信号分析法绪论返回
电路理论试题(含参考答案)
电路理论试题（含参考答案）一、判断题（共100题，每题1分，共100分）1.在同一供电系统中，三相负载接成Y形和接成△所吸收的功率是相等的。
( )A、正确B、错误正确答案：B2.串联谐振在L和C两端可能出现过电压现象，因此串联谐振称为电压谐振。
( )A、正确B、错误正确答案：A3.在应用谐波分析法分析非正弦周期信号时，不同频率的谐波分量，电容元件和电感元件上所呈现的容抗和感抗各不相同( )A、正确B、错误正确答案：A4.三相电路中，考虑输电线路阻抗时，负载的线电压等于电源的线电压。
( )A、正确B、错误正确答案：B5.H参数在晶体管电路中应用较广泛（）A、正确B、错误正确答案：A6.等效电源定理要求外电路性质必须是线性的。
()A、正确B、错误正确答案：B7.非正弦波所包含的高次谐波的幅度是否显著，取决于波形的平滑性( )A、正确B、错误正确答案：A8.三相电源星形连接并引出中性线时可以提供两种对称三相电压( )A、正确B、错误正确答案：A9.信号频谱通常指相位频谱( )A、正确正确答案：A10.一阶RC电路的零状态响应中电容电压和电流都是由稳态分量和暂态分量两部分构成。
( )A、正确B、错误正确答案：B11.求有源网络的输入电阻，需先把独立源置零。
( )A、正确B、错误正确答案：A12.通过假想的回路电流自动满足KCL方程，回路电流法成功实现了省略KCL方程的目的。
列写回路电流方程实质上是在列写KVL方程。
( )A、正确B、错误正确答案：A13.与电流源串联的电阻(电导)不影响结点电压方程，用短路线代替。
( )A、正确B、错误正确答案：A14.电工指示仪表准确度的数字越小，表示仪表的准确度越低。
（A、正确B、错误正确答案：B15.工程上常用有功功率衡量电气设备在额定电压电流下最大的负荷能力。
( )A、正确B、错误正确答案：B16.谐波分析法可用于非线性电路( )A、正确B、错误正确答案：B17.支路数较多时，支路分析法的方程个数较多，求解不方便( )A、正确B、错误正确答案：A18.1nm=10-6m( )A、正确正确答案：B19.二端口的Y参数中的Y22的单位是欧姆（）A、正确B、错误正确答案：B20.证明戴维南定理的过程会使用叠加定理()A、正确B、错误正确答案：A21.三相对称负载在线电压为380V时星形连接，所消耗的功率与负载在线电压为220V时，三角形连接消耗的功率相同。
雷剑梅4-动态电路的暂态过程
状态变量： 状态变量：独立的电容电压和独立的电感电流 非状态变量 ：除去独立的电容电压和独立的电感 电流以外的其他的电压和电流（包括电容电流、 电流以外的其他的电压和电流（包括电容电流、 电感电压、电阻电压、电阻电流等） 电感电压、电阻电压、电阻电流等）
4-4 输入 输入——输出方程的 输出方程的 建立和初始条件的确定
4-2 单位阶跃函数和 单位冲激函数
一、单位阶跃函数
单位阶跃函数的定义： 单位阶跃函数的定义：
ε (t )
0 ε(t ) = 1
t ≤ 0− t ≥ 0+
1
O
t
移位的单位阶跃函数： 移位的单位阶跃函数：
ε (t − t 0 ) 1
0 ε (t − t0 ) = 1
t ≤ t 0− t ≥ t 0+
∫
∫
0−
iC (ξ ) d ξ
0+
q (0 + ) = q (0 − ) +
∫
0+ 0−
iC ( ξ ) d ξ
0+ 0−
1 i L (0 + ) = i L (0 − ) + L
u L (ξ ) d ξ
ψ (0 + ) = ψ (0 − ) +
∫
0+ 0−
u L (ξ ) d ξ
若换路瞬间ic (t)和uL(t)为有限值，则因为0-到0+的∆t无穷小， 若换路瞬间 和 为有限值，则因为 无穷小， 为有限值 无穷小 积分项应为 应为0，于是： 积分项应为 ，于是：
线性常系数微分方程的求解
1. 先求对应的齐次方程的通解
df (t ) A + Bf (t ) = C dt
电模第三章(动态电路分析)
?
前一个稳定状态
过渡状态
返 回
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+ uL –
+ Us -
(t →∞) R i + k uL –
k未动作前，电路处于稳定状态： uL= 0, 未动作前，电路处于稳定状态： 未动作前 k断开瞬间 断开瞬间
i=Us /R
i = 0 , uL = ∞
q
斜率为C 斜率为
u + u(t) 线性时不变电容的特性
线性电容——特性曲线是通过坐标原 特性曲线是通过坐标原 线性电容 点一条直线，否则为非线性电容。 点一条直线，否则为非线性电容。时 不变——特性曲线不随时间变化，否 特性曲线不随时间变化， 不变 特性曲线不随时间变化 则为时变电容元件。 则为时变电容元件。
dq d (C u ) du i (t ) = = =C dt dt dt
1. 电容是动态元件 电容的电流与其电压对时间的变化率 成正比。假如电容的电压保持不变， 成正比。假如电容的电压保持不变， 则电容的电流为零。 则电容的电流为零。电容元件相当于 开路( ) 开路(i=0)。
4 .电容是储能元件 电容是储能 电容是储能元件 电压电流参考方向关联时， 电压电流参考方向关联时，电容吸收功率 du p ( t ) = u ( t ) i ( t ) = u ( t )C dt 可正可负。 p 可正可负。当 p > 0 时，电容 吸收功率（ ），储存电场能量增加 储存电场能量增加； 吸收功率（吞），储存电场能量增加； 0时 电容发出功率（ ），电 当p < 0时，电容发出功率（吐），电 容放出存储的能量。 容放出存储的能量。
电压电流参考方向关联时， 电压电流参考方向关联时，电感吸收功率
动态电路的零状态响应
动态电路的零状态响应当动态电路中所有储能元件都没有原始储能( 处于零状态) 时，换路后仅由输入激励（独立源）产生的响应称为零状态响应。
此时，电路的输入- 输出方程为n 阶非齐次微分方程( 1 )因此，零状态响应即非齐次微分方程的解。
根据高等数学知识，非其次微分方程的解为两部分之和：( 2 )其中，为齐次微分方程的通解；为( 1 ) 式非其次微分方程的一个特解。
齐次微分方程的通解取决于特征根的取值情况，如果特征方程无重根，则( 3 )其中，为特征根，为待定常数，需要根据初始条件确定特解的函数形式与输入函数的形式有关，一般可凭观察先假设一个含有待定系数的与非齐次微分方程右端的函数式相似的特解，然后代人非齐次微分方程，用比较系数法( 比较方程两端各对应项的系数) 确定。
可见，零状态响应有如下形式：( 4 )在具体求解零状态响应时，一般步骤可归纳如下：#8226; 根据换路后动态电路得到输入- 输出方程( n 阶非齐次微分方程)#8226; 根据对应的n 阶齐次微分方程列出特征方程，求得特征根#8226; 写出包含待定常数的齐次微分方程的通解：#8226; 根据输入- 输出方程右边输入激励的函数形式写出含待定系数的特解#8226; 将特解代入输入输出方程，利用比较系数法确定特解#8226; 写出零状态响应#8226; 根据原始状态( 零状态) 和输入激励确定初始条件：.#8226; 根据初始条件确定常数#8226; 最终得到动态电路的零状态响应零状态响应由两部分组成，其中特解部分的函数形式完全取决于输入激励的函数形式，因此称为强制分量或强迫响应；通解部分的函数形式仅取决于电路的拓扑结构和元件参数，与输入激励的函数形式无关，输入激励仅影响其常数取值，因此称为自由分量或自然响应。
与之相比，零输入响应仅包含自由分量，且常数取值由原始状态决定。
【例1 】在例图1 中，，，，电压源电压；开关在时刻闭合。
求的零状态响应。
动态电路方程
4.2.1 方程的建立
图 4.2 – 1 RC串联电路
电路中开关的接通、断开或者电路参数的突然变化等 统称为“换路”。 根据KVL列出电路的回路电压方程为
u R (t ) uC (t ) u s (t )
由于
iC
du C dt
du C dt
, u R Ri RC
uC (0 ) uC (0 ) iL ( 0 ) iL ( 0 )
根据置换定理，在t=t0+ 时，用电压等于u(t0+)的电压
源替代电容元件，用电流等于iL(t0+)的电流源替代电感元件， 独立电源均取t=t0+时的值。
例 4.2-1 电路如图4.2-4(a)所示。已知 t＜0时电路已处 于稳定。在 t=0时，开关S开启，求初始值 uC(0+)、 i1(0+)、
di L dt
将它们代入上式， 整理后可得
di L dt
R L
iL
R L
is
（4.2-2）
图 4.2 – 3 RLC串联电路
图4.2-3所示RLC串联电路，若仍以电容电压uC(t)作为电 路响应，根据KVL可得
u L (t ) u R (t ) uC (t ) u s (t )
(3) 计算非独立初始值。用电压等于 uC(0+)=12 V的电压源
代替电容元件，用电流等于iL(0+)=4A的电流源代替电感元件， 并注意换路后开关S处于位置2，画出0+时刻等效电路如图(c)所
示。 由图(c)电路， 求得非独立初始值为
iR (0 ) u C (0 ) 4 12 4 3A
(精选)动态电路的方程及其解
du c ， 将它代入上式， 并 dt
dduct+R1Cuc =R1CUs
令τ=RC（称为时间常数）， 则
duc dt
+1uc
=1Us
11
(2) 求齐次解uCh。
duc dt
+1uc
=1Us
的特征方程为
s+1 =0
其特征根s= -1/τ， 故uC的齐次解为
uCh =Ke st
-t/
=Ke
(3) 求特解uCp。由于激励US为常数，故特解也是常数。
换路： 电路中开关的闭合、断开 或电路参数突然变化统称 为换路。
使电路由原来的工作
状态转变到另一个工 作状态（稳态） 5
3、 换路时刻：闭合时刻在t=0进行
U∴s 换路tK经=a历0b的R时间u–+C为i t=C0_到tt==t00=_+0，，+ 开开关关U合未ab 上合= 但上U0刚但s 刚将合合tt≥≤上上00+_的的瞬瞬间间
16
1、独立初始值——换路定律 电容电压和电感电流反映了电路储能的状况， 它们都具
有连续的性质。
设换路时刻为t=t0， 电容电流iC和电感电压uL 在t=t0时 为有限值，则换路前后瞬间电容电压uC和电感电流iL;是连续 的，即有
uC(t0+)= uC(t0-) iL(t0+)= iL (t0-)
闭合时刻在t0进行t0开关未合上但将合上的瞬间三固有响应和强迫响应暂态响应和稳态响应如果将独立源u作为激励用ft表示把电路变量u或i作为响应用yt表示则描述一阶和二阶动态电路的方程的一般形式可分别写为有时等号右端还有ft的导数对于线性时不变动态电路满足非齐次方程的特解对于tkestk为待定常数由初始条件确定而特解与激励有相似的形式
电路原理拉普拉斯变换
U0 s 1
RC
t
uc (t ) U0e RC
验证初值定理和终值定理
UC
(s)Βιβλιοθήκη sU0 1RC
t
uc (t ) U0e RC
uC
(0
)
limsUC
s
(s)=lim s
s
sU0 1
U0
RC
uC
()
limsUC
s0
(s)=lim s0
s
sU0 1
0
RC
6. 时域卷积定理 (timedomain convolution theorem)
根据延迟性质 F (s) 1 1 esT ss
例6 求三角波旳象函数
f(t) T
解 f (t) t[ (t) (t T )]
F (s) 1 esT s2 s2
f (t) t (t) (t T ) (t T ) T (t T )
F (s) 1 1 esT T esT
s2 s2
拉普拉斯变换旳基本概念
拉普拉斯 变换
拉普拉斯变换旳基本性质
拉普拉斯反变换
反变换公式 拉普拉斯变换表 部分分式展开
§91 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其关键是把时 间函数f(t)与复变函数F(s)联络起来，把时域问题经过数学 变换为复频域问题，把时间域旳高阶微分方程变换为复频 域旳代数方程以便求解。
t
[f(t)]
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
微分定理能够推广至求原函数旳二阶及二阶以上导数旳 拉普拉斯变换，即
d2
dt
2
f (t) s{s
第14讲 动态元件和动态电路导论-动态电路
q (0
i i
) qi ( 0 )
i
qi C i ui
(2)在开关闭合前后任一回路中所有电感的总磁链 相等—磁链守恒定律，即
(0
i i
) i (0 )
i
i Li ii
§4-5 初始状态与初始条件
2.非常态电路(续)
U
(a)
C1 C2
U c1
p
dWC dt
例: 开关S在t=0时闭合，求电路各参数在t= 0+时刻的值
i1 R 1=1k S t =0 i2 uc 12V ic C R2=2k
i1(0-) R1=1k
12V uc(0-) ic C
解: t = 0- 时，uC(0-) = 12V
t = 0 时，S闭合 uc(0+) = uc(0-) = 12V i1(0+) = 0A i2(0+) = 12/R2 = 6mA
§4-6 动态电路的输入—输出方程
2.RL串联电路接通到直流电压源
开关合上前，t < 0，iL(0-) = 0 合上开关，即t >= 0 时
US uL S R iL
uL Ri L U S
diL L Ri L U S dt
R p L
非齐次线性方程的解= 特解+ 齐次方程的通解 特解：iLS = US/R(开关闭合后的稳定电路） 通解： iLt = Aept p为特征方程Lp+R=0的根
t 0 时, 1 0 uC (0 ) uC (0 ) idt C 0
R US i
1
S (t=0)
2
uR
uC
第九章拉普拉斯变换
第九章 拉普拉斯变换主要内容：掌握拉普拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换； 利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换；利用拉普拉斯正反变换求解线性动态电路的常微分方程。
引 言经典法分析线性电路过渡过程的优点是物理概念清楚，层次分明，特别是把电路的稳态解和暂态解同线性电路的稳定状态与过渡过程联系起来，对于人原来的稳定状态过渡到新的稳定状态比较直观形象，但是，对于较复杂的电路的过渡过程求稳态分量就不那么容易了，况且复杂电路的微分方程的阶次较高，积分常数的个数也较多，必须用多个初始条件才能确定，比较麻烦，有的甚至解不出来，为此引入了复频域分析。
所谓复频域分析，是指线性动态电路的一种分析方法，这种方法不是在时间域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内的一个代数方程来求解，这样低了求解电路的难度。
所使用的教学工具就是拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种积分变换，是解线性常微分方程，研究线性系统的一个重要工具。
下面回顾“变换”的概念。
1、对数与指数的变换为求乘积ab可先取对数 ln(ab)= lna+lnb 再取指数运算 lnab (lna lnb )e e ab +==2、相量与正弦量的变换为了计算正弦稳态响应，可将激励源变为相量，然后在频率域里求相量（即相量法），然后再变回时域得到正弦时间函数响应。
j t m m u(t )U s i n(t )Im U e ωωϕ⎡⎤=+=⎣⎦其中：j m m mU U e U ϕϕ==∠ ，此复数的模m U 就是正弦量u(t)的振幅值，幅角就是u(t)的初相角。
这种对应关系就是一种变换。
§9-1 拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换设有一时间函数f(t) 定义于区间[0,∞），或 0≤t≤∞单边函数st 0f (t )e d t F (s )-∞-=⎰其中，s=σ+jω 是复参变量，称为复频率。
左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；右端的F(s)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S 为自变量的复频域函数F(s)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。
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du C 1 + uC dt R1
将代入式(1)中，消去变量iL(t)得到仅以uC(t)为变量的微 分方程
LC d 2uC dt 2 + du du ( R + R2 ) L du C u C − R1C C = uS + ( R1 + R2 )C C + 1 dt dt R1 R1 dt
代入电容的VCR方程：
∴ RC
duC ( t ) + uC ( t ) = uS ( t ) dt
(a)电路的输入—输出方程
∴ GL
di L ( t ) + i L (t ) = i S (t ) dt
4
(b)电路的输入—输出方程
2009-10-21
2009-10-21
都是一个常系数非齐次一阶微分方程—一阶电路
（2）二阶电路 根据KVL和元件方程： uS(t) = uR(t) + uL(t) + uC(t) uR(t) =i ⋅R iC(t) = C⋅duC(t) /dt uL(t) = L⋅diL(t) /dt
d u ( t ) R duC ( t ) 1 1 得： C2 + + uC ( t ) = u S (t ) L dt LC LC dt
常系数非齐次二阶微分方程—二阶电路 （3）N阶电路—— 输入—输出方程是n阶微分方程的电路 方程的一般形式如书p109式（3-5-8）
2009-10-21 5 2009-10-21
6
1
§3.5 -§3.9
§3.5 -§3.9
§3.5 -§3.9
例：以uC(t)为变量列出电路的微分方程。
从式(2)得到iL(t)的表达式
iL = C
以iL(t)和iC(t)为网孔电流，列出网孔方程
d iL + ( R 1 + R 2 ) iL − R 1iC = u S dt − R 1iL + R 1iC + u C = 0 L
§3.5 -§3.9
一、几个概念 输入—作为激励的电压或电流称为输入（能量输 入）。 输出—作为待求响应的电压或电流称为输出。 单输入、单输出电路—只含有一个激励源和一个 输出变量的电路 。 输入-输出方程—电路的输入uS(t)（或iS(t)）与 输出uC(t) （或iC(t)）之间的单一变量的方程， 称为该电路的输入—输出方程。 二、动态电路的输入——输出方程 1 动态电路—含有动态元件(C,L)的电路
3
(a)所示RC电路，由KVL和元 件特性方程可写出以下方程： uS(t) = uR(t) + uC(t) = Ri(t) + uC(t) i(t) = C⋅duC(t) /dt
(b)所示RL电路，根据KVL和 元件特性可写出以下方程： iS(t) = iR(t) + iL(t) = Gu(t) + iL(t) u(t) = L⋅diL(t) /dt
常系数非齐次二阶微分方程
2009-10-21 8
2009-10-21
§3.5 -§3.9
作业：p109 p125
3-5-2 3-22
-21
9
2
§3.5 -§3.9
§3.5 -§3.9
如何评价？ 激励 一个 系统 响应 输出
§3.5 -§3.9
§3.5 动态电路的输入—输出方程
主要内容： 什么是输入输出方程 动态电路输入—输出方程的 形式 敲击
输入
如何知道好坏？ 声音
2009-10-21
1
2009-10-21
2
§3.5 -§3.9
2 动态电路的输入—输出方程 （1）一阶电路
iC = C
du C dt
(1) (2) 7
经过整理得到以下微分方程：
LC d 2uC dt 2 +( du ( R + R2 ) L + R2 C ) C + 1 u C = uS R1 dt R1 (7 − 26)
得到以iL(t)和uC(t)为变量的方程 ：
du C diL + ( R1 + R 2 )i L − R1 C = uS dt dt du C − R1 i L + R1 C + uC = 0 dt L
2
§3.5 -§3.9
§3.5 -§3.9
i(t)
R
L
uR(t) uS(t)
uL(t) uC(t) C
几点说明： 对线性动态电路，输入—输出方程是常系数线性 微分方程。 原因：动态元件的u-i关系呈导数和积分关系； 动态电路也服从KL定律。 求解动态电路问题就变成解常系数线形微分方程 的数学问题。 电路的阶数不一定和电路中动态元件的个数一样 （因为动态元件的联接方式也有影响）。