微积分下册主要知识点
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换元积分法一、第一换元积分法（凑微分法）
g[ (x)] (x)dx g(u)du F(u) C F[ (x)] C.
积分类型
1. f
(ax
b )dx 1 f (ax b)d(ax b) (a
a
2. f(x )x 1dx
1
f(x )d(x )( 0)
3. f (ln x) —dx
f (In
x)d(ln x)
x
4.
.
f(e x)' e x dx f (e x)de x
5. f(a x)a x dx 1 f(a x)da x
In a
6. f
(sin
x) cos xdx f (sin x)d
sin
x
7. f
(cos
i
x)
sin xdx f (cos x )d cos x
0)
f
(ta
n
f (ta n x)d ta
n x
8
.
2
sec xdx
换元公式
二、常用凑
9
.
f
(cot
x)
2
x) csc xdx
f (cot x)d cot
x
ax b
In
x
e x
a x
sin x
cos
x
tan x
cot x
微分公式
三、第二
换元法
1
10. f (arctan x) -
1
dx f (arcta n x )d(arcta
n x
1
11. f (arcsin x) =dx
x) arcta
n
f (arcsin
x)d(arcs
in
x)
arcs
in
f(x)d
x
f[ (t)] (t)dt F(t) C F[ (x)] C,
以上几例所使用的均为三角代换，三角代换的目的是化掉根式,其一般规律如下:当被积函数中含有
a)■J a2x2, 可令x a si nt;
b)J x2a2,可令x ata nt;
c
)
T x2,可令x a sect.
当有理分式函数中分母的阶较高时，常采用倒代换x 1
四、积分表续
5.1定积分的概念 5.2定积分的性质
b
f(x)dx 0; (b)
a
4.3分部积分法
分部积分公式:
udv uv vdu
(3.1
)
uv dx uv u vdx (3.2
)
分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数 (或微分)的逆运算.一般地，下列
类型的被积函数常考虑应用分部积分法 (其中m
n 都是正整
数).
b
a
f (x)dx f (x)dx .
两点补充规定: 性质 b g(x)］dx f (x)dx a
b
g(x)dx .
性质 性质 性质 性质
推论 b ［f(x) a b I
a b
c
b
f(x)dx f(x)dx f(x)dx .
a a
c
b b
1 dx dx b a.
a
a
若在区间［a,b ］上有 f(x) g(x),贝J
bf(x)dx
kf(x)dx k bf(x)dx, ( k 为常数).
b
g(x)dx, (a
a
(a b).
b).
推论
b f(x)d x b
| f(x) |dx (a b).
性质 6 (估值定理)设M 及 m 分别是函数f(x)在区间［a,b ］上的最大值及最小值，则 性质 7 (定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间［a,b ］上连续，则在［a,b ］上至少存 在一个点
5.3微积分的基本公式 、引例
二、积分上限的函数及其导数：(x) x
f(t)dt
a
定理2若函数f(x)在区间［a,b ］上连续，则函数
就是f (x)在［a,b ］上的一个原函数.
三、牛顿—莱布尼兹公式
定理3若函数F(x)是连续函数f(x)在区间［a,b ］上的一个原函数，则
b
f(x)dx F(b) F(a). a
公式 (3.4) 称为 牛顿—莱布尼茨公式 . 5.4 定积分的换元法积分法和分部积分法 、 定积分换元积分法
定理1设函数f(x)在闭区间［a,b ］上连续，函数X (t)满足条件:
(1) ( ) a, ( ) b, 且 a (t) b ；
(2)
(t)在［,］(或［,］)上具有连续导数，则有
b
a f (x)dx f[ (t)] (t)dt .
a
公式(4.1) 称为定积分的 换元公式 .
定积分的换元公式与不定积分的换元公式很类似 . 但是, 在应用定积分的换元 公式时应注意以下两点：
(1)用X (t)把变量X 换成新变量t 时，积分限也要换成相应于新变量t 的积分
限, 且上限对应于上限 ,下限对应于下限；
(2)求出f ［ (t)］ (t)的一个原函数(t)后,不必象计算不定积分那样再把
(t)变换
成原变量X 的函数，而只要把新变量t 的上、下限分别代入 ⑴然后相减就行了 . 二、 定积分的分部积分法
b
b
b b
b
b
udv [uv]b
a vdu
或 uv dx
[uv]b
a vu dx
a
a
a
a
5.5 广义积分
、 无穷限的广义积分
二、 无界函数的广义积分 5.6 定积分的几何应用 一、 微元法
(3.6)
(4.1)