用数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式
例4、已知x> 1，且x0，nN，n2． 求证：(1+x)n>1+nx.
证明： （1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立 （2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx 当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x． 因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x． 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 2° 假设 n＝k 时命题成立，即 1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ 2 3 k k 1 1 1 1 当 n＝k＋1 时，1＋22＋32＋„＋k2＋ 2< (k＋1) 1 1 1 1 1 1 1 2－ ＋ <2－ ＋ ＝2－ ＋ － k (k＋1)2 k k(k＋1) k k k＋1 1 ＝2－ 命题成立． k＋1 由 1° 、2° 知原不等式在 n≥2 时均成立．
2.数学归纳法适用范围,主要用于研究与正整数有关 的数学问题。 3. 数学归纳法的关键与难点： 在 “归纳递推 ” 中 , “证明当 n =k+1 时 命题也成立 ”, 必须利用归纳假设 ：“当 n= k (k ≥n 0, k ∈ N *时命题成立 ” 否则便不是 , 数学归纳法。
数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，它基于数学归纳的思想，通过证明一个命题在一些特定条件下成立，并且在此条件下该命题的下一步也具有同样的性质，从而证明该命题对于一切满足该条件的情况都成立。
在这里，我们将使用数学归纳法来证明一个不等式。
不等式是数学中常见的一种关系式，它描述了两个数或者更多数之间大小关系的性质。
在这里，我们将使用数学归纳法来证明一个形如：$2^n>n^2$的不等式，其中$n$是一个正整数。
首先，我们需要证明当$n=1$时，不等式$2^n>n^2$成立。
当$n=1$时，不等式变为$2^1>1^2$，显然成立。
其次，我们需要证明对于任意一个正整数$k$，如果当$n=k$时不等式$2^k>k^2$成立，那么当$n=k+1$时，不等式$2^{k+1}>(k+1)^2$也成立。
也就是说，我们需要证明如果$2^k>k^2$，那么$2^{k+1}>(k+1)^2$。
根据我们的假设，我们知道$2^k>k^2$。
将不等式两边都乘以2，我们得到$2^{k+1}>2k^2$。
由于$k$是一个正整数，所以$k^2>k$。
将这个不等式代入前面的结果中，我们得到$2^{k+1}>2k^2>k^2+k^2>k^2+k>(k+1)^2$。
也就是说，如果$2^k>k^2$，那么$2^{k+1}>(k+1)^2$。
通过对$n=1$和$n=k+1$的情况都进行证明，我们完成了对于任意正整数$n$的证明。
根据数学归纳法的原理，这意味着不等式$2^n>n^2$对于一切$n$都成立。
综上所述，我们使用数学归纳法成功地证明了不等式$2^n>n^2$，其中$n$是一个正整数。
4.2 用数学归纳法证明不等式 课件(人教A选修4-5)
考查学生推理论证的能力．
[解]
(1)用数学归纳法证明：2≤xn＜xn＋1＜3.
①当 n＝1 时，x1＝2，直线 PQ1 的方程为 f2－5 y－5＝ (x－4)， 2－4 11 令 y＝0，解得 x2＝ ，所以 2≤x1＜x2＜3. 4 ②假设当 n＝k 时，结论成立，即 2≤xk＜xk＋1＜3. 直线 PQk＋1 的方程为 fxk＋1－5 y－5＝ (x－4)， xk＋1－4 3＋4xk＋1 令 y＝0，解得 xk＋2＝ . 2＋xk＋1
则当 n＝k＋1 时，有 1 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ ＋ ＋ k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1 3k＋2 3k＋3 1 3k＋1＋1 1 1 1 1 1 1 ＝( ＋ ＋„＋ )＋( ＋ ＋ － k＋1 k＋2 3k＋1 3k＋2 3k＋3 3k＋4 1 25 1 1 2 )> ＋[ ＋ － ]． k＋1 24 3k＋2 3k＋4 3k＋1 6k＋1 1 1 2 ∵ ＋ ＝ 2 > ， 3k＋2 3k＋4 9k ＋18k＋8 3k＋1
lg3 lg3 ＝k(k＋1)· ＋2(k＋1)· 4 4 1 k＋1 >lg(1· 3· k)＋ lg3 2· „· 2 1 >lg(1· 3· k)＋ lg(k＋1)2 2· „· 2 ＝lg[1· 3· k· 2· …· (k＋1)]．命题成立． 由上可知，对一切正整数 n，命题成立．
本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考 查数学归纳法的应用.2012年全国卷将数列、数学归纳法 与直线方程相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
(1)当n＝1时，由f(x)为增函数，且f(1)<1，得
a1＝f(b1)＝f(1)<1， b2＝f(a1)<f(1)<1， a2＝f(b2)<f(1)＝a1， 即a2<a1，结论成立． (2)假设n＝k时结论成立，即ak＋1<ak. 由f(x)为增函数，得f(ak＋1)<f(ak)即bk＋2<bk＋1，
数学归纳法证明不等式的两个技巧
数学归纳法证明不等式的两个技巧数学归纳法是一种数学证明方法，常用于证明自然数的性质。
它的基本思想是：首先证明当n为一些特定的自然数时，不等式成立；然后假设当n为一些自然数时，不等式也成立；最后利用这个假设证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
下面将介绍两种常用的数学归纳法证明不等式的技巧。
技巧一：基础情况的证明在使用数学归纳法证明不等式时，首先需要证明基础情况，即当n为一些特定的自然数时，不等式是否成立。
例如，我们想要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n≤n²。
基础情况是n=1时，不等式左边为1，右边为1²=1，不等式成立。
技巧二：归纳假设的运用假设当n为一些自然数时，不等式也成立，即假设1+2+3+...+n≤n²成立。
然后我们要利用这个假设来证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
例如，我们要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n+(n+1)≤(n+1)²。
根据归纳假设，我们可以得到1+2+3+...+n≤n²，所以我们可以将不等式右边的(n+1)²展开为n²+2n+1现在，我们需要证明1+2+3+...+n+(n+1)≤n²+2n+1、我们可以逐步将左边拆分成两部分，即(1+2+3+...+n)+(n+1)。
根据归纳假设，我们知道前一部分不大于n²，所以该不等式可以进一步简化为n²+(n+1)≤n²+2n+1最后，可以发现左边的n²+(n+1)小于等于右边的n²+2n+1，因为(n+1)小于等于2n+1、所以，我们得到了当n为n+1时，不等式仍然成立。
综上所述，通过基础情况的证明和归纳假设的运用，可以使用数学归纳法证明不等式。
这两个技巧可以帮助我们在证明过程中合理利用已有的条件和假设，从而简化证明的过程。
第3章 3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式
3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；理解贝努利不等式的应用条件.[根底·初探]教材整理1用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k＋1〞成立时其他的方法如比拟法、分析法、综合法、放缩法等常被灵敏地运用.教材整理2贝努利不等式1.定理1(贝努利不等式)设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，那么(1＋x)n＞1＋nx.2.定理2(选学)设α为有理数，x>－1，(1)假如0<α<1，那么(1＋x)α≤1＋αx；(2)假如α<0或者α>1，那么(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当x＝0时等号成立.事实上，当α是实数时，也是成立的.，那么2n与n的大小关系是()设n∈N＋A.2n>nB.2n<nC.2n＝nD.不确定【解析】2n＝(1＋1)n，根据贝努利不等式有(1＋1)n≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍去1，得(1＋1)n>n，即2n>n.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们〞讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]数学归纳法证明不等式S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N ＋)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N ＋). 【精彩点拨】 求S n 再证明比拟困难，可运用数学归纳法直接证明，注意S n 表示前n 项的和(n >1)，首先验证n ＝2，然后证明归纳递推.【自主解答】 (1)当n ＝2时，S 22＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立.(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2. 当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12.故当n ＝k ＋1时，命题也成立.由(1)(2)知，对n ∈N ＋，n ≥2，S 2n >1＋n2都成立.此题容易犯两个错误，一是由n ＝k 到n ＝k ＋1项数变化弄错，认为12k 的后一项为12k ＋1，实际上应为12k ＋1；二是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1共有多少项之和，实际上 2k ＋1到2k ＋1是自然数递增，项数为2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k .[再练一题]1.假设在本例中，条件变为“设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，由f (1)＝1>12，f (3)>1，f (7)>32，f (15)>2，…〞 .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明.【解】 数列1,3,7,15，…，通项公式为a n ＝2n －1，数列12，1，32，2，…，通项公式为a n ＝n2，∴猜测：f (2n －1)>n2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1>12，不等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即f (2k －1)>k2， 那么f (2k ＋1－1)＝f (2k－1)＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1>f (2k－1)＋＝f (2k－1)＋12>k 2＋12＝k ＋12.∴当n ＝k ＋1时不等式也成立.据①②知对任何n ∈N ＋原不等式均成立.利用数学归纳法比拟大小设P n ＝(1＋x )n ，Q n ＝1＋nx ＋n (n －1)2x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比拟P n 与Q n 的大小，并加以证明.【导学号：38000059】【精彩点拨】 此题考察数学归纳法的应用，解答此题需要先对n 取特殊值，猜测P n 与Q n 的大小关系，然后利用数学归纳法证明.【自主解答】 (1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n .(2)当n ≥3时，(以下再对x 进展分类). ①假设x ∈(0，＋∞)，显然有P n ＞Q n . ②假设x ＝0，那么P n ＝Q n . ③假设x ∈(－1,0)，那么P 3－Q 3＝x 3＜0，所以P 3＜Q 3.P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )＜0，所以P 4＜Q 4. 假设P k ＜Q k (k ≥3)，那么P k ＋1＝(1＋x )P k ＜(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k ＝1＋kx ＋k (k －1)x 22＋x ＋kx 2＋k (k －1)x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k (k ＋1)2x 2＋k (k －1)2x 3 ＝Q k ＋1＋k (k －1)2x 3＜Q k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式成立. 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n ＜Q n .1.利用数学归纳法比拟大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立.2.此题除对n 的不同取值会有P n 与Q n 之间的大小变化，变量x 也影响P n 与Q n 的大小关系，这就要求我们在探究大小关系时，不能只顾“n 〞，而无视其他变量(参数)的作用.[再练一题]2.数列{a n }，{b n }与函数f (x )，g (x )，x ∈R ，满足条件：b 1＝b ，a n ＝f (b n )＝g (b n＋1)(n ∈N ＋)，假设函数y ＝f (x )为R 上的增函数，g (x )＝f －1(x )，b ＝1，f (1)＜1，证明：对任意x ∈N ＋，a n ＋1＜a n .【证明】 因为g (x )＝f －1(x )，所以a n ＝g (b n ＋1)＝f －1(b n ＋1)，即b n ＋1＝f (a n ).下面用数学归纳法证明a n ＋1＜a n (n ∈N ＋). (1)当n ＝1时，由f (x )为增函数，且f (1)＜1，得 a 1＝f (b 1)＝f (1)＜1， b 2＝f (a 1)＜f (1)＜1， a 2＝f (b 2)＜f (1)＝a 1， 即a 2＜a 1，结论成立.(2)假设n ＝k 时结论成立，即a k ＋1＜a k .由f (x )为增函数，得f (a k ＋1)＜f (a k )，即b k ＋2＜b k ＋1. 进而得f (b k ＋2)＜f (b k ＋1)，即a k ＋2＜a k ＋1. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立. 根据(1)和(2)可知，对任意的n ∈N ＋，a n ＋1＜a n .利用贝努利不等式证明不等式设n 为正整数，记a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n +1，n ＝1,2,3，….求证：a n ＋1<a n .【精彩点拨】 用求商比拟法证明a n ＋1<a n ，其中要用贝努利不等式. 【自主解答】 由a n 的意义知对一切n ＝1,2,3，…都成立. ∴只需证明a na n ＋1>1，n ＝1,2,3，….由于a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋1n 1＋1n ＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(n ＋1)(n ＋1)n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋n (n ＋2)n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2，因此，根据贝努利不等式， 有a na n ＋1>⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(n ＋1)×1n (n ＋2)×n ＋1n ＋2>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋n ＋1n 2＋2n ＋1×n ＋1n ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1×n ＋1n ＋2＝1. ∴a n >a n ＋1对于一切正整数n 都成立.此题在证明的过程中，综合运用了求商比拟法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立.[再练一题]3.设a 为有理数，x >－1.假如0<a <1，证明：(1＋x )a ≤1＋ax ，当且仅当x ＝0时等号成立.【证明】 0<a <1，令a ＝mn ，1≤m <n ，其中m ，n 为正整数，那么由平均值不等式，得(1＋x )a＝(1＋x )mn≤m (1＋x )＋(n －m )n ＝mx ＋n n ＝1＋m n x ＝1＋ax ，当且仅当1＋x ＝1，即x ＝0时，等号成立.[探究共研型]放缩法在数学归纳法证明不等式中的应用探究【提示】 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目的.而且要恰到好处，目的往往要从证明的结论考虑.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用不等式、利用函数的性质进展放缩等.比方：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；将分子或分母放大(缩小)：1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等.证明：2n ＋2>n 2(n ∈N ＋). 【精彩点拨】验证n ＝1，2，3时不等式成立⇒假设n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1⇒n ＝k ＋1成立，结论得证【自主解答】 (1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边； 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， 所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边. 因此当n ＝1,2,3时，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2(k ∈N ＋). 当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2 ＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2 ＝k 2＋2k ＋1＋k 2－2k －3＝(k 2＋2k ＋1)＋(k ＋1)(k －3)≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.(因为k ≥3，那么k －3≥0，k ＋1>0)所以2k＋1＋2>(k＋1)2，故当n＝k＋1时，原不等式也成立.根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立.1.本例中，针对目的k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小.因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，到达目的.2.利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形.为满足题目的要求，常常要采用“放〞与“缩〞等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目构造，二是要靠经历积累.[再练一题]4.设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1＋x)n＞1＋nx.【证明】(1)当n＝2时，由x≠0，知(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，因此n＝2时命题成立.(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，即(1＋x)k＞1＋kx，那么当n＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x.即n＝k＋1时，命题也成立.由(1)(2)及数学归纳法知原命题成立.不等式中的探究、猜测、证明探究2【提示】 利用数学归纳法解决探究型不等式的思路是先通过观察、判断，猜测出结论，然后用数学归纳法证明.这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探究型问题时.假设不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论.【导学号：38000060】【精彩点拨】 先通过n 取值计算，求出a 的最大值，再用数学归纳法进展证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便.【自主解答】 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a 24，那么2624>a24，∴a <26. 又a ∈N ＋，∴取a ＝25. 下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)n ＝1时，已证.(2)假设当n ＝k 时(k ≥1，k ∈N ＋)，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， ∴当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛ 13k ＋2＋13k ＋3＋⎭⎪⎫13k ＋4－1k ＋1 >2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1). ∵13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>23(k ＋1)，∴13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0，∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋， 都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，∴a 的最大值为25.1.不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明.2.此题中从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边添加项是13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1，这一点必须清楚.[再练一题]5.设a n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，是否存在n 的整式g (n )，使得等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)对大于1的一切正整数n 都成立？证明你的结论.【解】 假设g (n )存在，那么当n ＝2时， 由a 1＝g (2)(a 2－1)，即1＝g (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1，∴g (2)＝2； 当n ＝3时，由a 1＋a 2＝g (3)(a 3－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝g (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1，∴g (3)＝3，当n ＝4时，由a 1＋a 2＋a 3＝g (4)(a 4－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝g (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14－1，∴g (4)＝4，由此猜测g (n )＝n (n ≥2，n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n (a n －1)成立.(1)当n ＝2时，a 1＝1，g (2)(a 2－1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1， 结论成立.(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时结论成立，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＝k (a k －1)成立，那么当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k＝k (a k －1)＋a k ＝(k ＋1)a k －k＝(k ＋1)a k －(k ＋1)＋1＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1k ＋1－1＝(k ＋1)(a k ＋1－1)， 说明当n ＝k ＋1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n ，存在g (n )＝n 使等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)成立.[构建·体系]1.用数学归纳法证不等式：1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立，起始值至少取( )A.7B.8C.9D.10【解析】 左边等比数列求和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞12764， 即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞127128，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜1128，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫127，∴n ＞7， ∴n 取8，选B.【答案】 B2.用数学归纳法证明2n ≥n 2(n ≥5，n ∈N ＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )A.假设n ＝k 时命题成立B.假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立C.假设n ＝k (k ≥5)时命题成立D.假设n ＝k (k >5)时命题成立【解析】 由题意知n ≥5，n ∈N ＋，故应假设n ＝k (k ≥5)时命题成立.【答案】 C3.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )【导学号：38000061】A.增加了一项12(k ＋1)B.增加了两项12k ＋1，12k ＋2 C.增加了两项12k ＋1，12k ＋2，但减少了一项1k ＋1D.以上各种情况均不对【解析】 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1，12k ＋2，少了一项1k ＋1.【答案】 C4.用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)〞时，第一步的验证为________.【解析】 当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立.【答案】 21＋1≥12＋1＋25.试证明：1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N ＋). 【证明】 (1)当n ＝1时，不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k . 那么n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 <2k ＋1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1< k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2k ＋1. 这就是说，n ＝k ＋1时，不等式也成立.根据(1)(2)可知，不等式对n ∈N ＋成立.我还有这些缺乏：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
数学归纳法证明不等式
二.用数学归纳法证明几何问题
例2.平面上有n( n N , n 3)个点, 其中任何三点都不在 同一条直线上, 过这些点中任意两点作 直线, 这样的直线 共有多少条? 证明你的结论.
特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清 楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般 地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上, 再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利 用假设.
例2.证明不等式sin n n sin ( n N )
例3.证明贝努利不等式: 如果x是实数, 且x 1, x 0, n为大于1的自然数, 那么有 (1 x ) 1 nx
n
注： 事实上， 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立 . 当 是实数,且 或 0 时 ,有 (1 x ) ≥ 1 x ( x 1) 当 是实数,且 0 1 时 ,有 (1 x ) ≤ 1 x ( x 1)
若 k 1 个正数 a1 , a2 , , ak , ak 1 都相等 ,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个正数 a1 , a2 , , ak , ak 1 不全相等 , 则其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 „„
一.用数学归纳法证明等式问题
通过计算下面的式子, 猜想出 1 3 5 ( 1)n ( 2n 1) 的结果, 并加以证明. 1 3 _____;1 3 5 ______ 1 3 5 7 ______;1 3 5 7 9 _______
用数学归纳法证明不等式举例
6k＋1 1 1 2 ∵ ＋ ＝ 2 > ， 3k＋2 3k＋4 9k ＋18k＋8 3k＋1 1 1 2 ∴ ＋ － >0， 3k＋2 3k＋4 3k＋1 1 1 1 25 ∴ ＋ ＋…＋ > 也成立． k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1＋1 24
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数学[新课标· 选修4-5]
1 设0<a<1，定义a1＝1＋a，an＋1＝ ＋a， an 1 求证：对一切正整数n∈N ，有1<an< . 1－a 【证明】 (1)当n＝1时，a1＝1＋a，且0<a<1，
*
∴a1>1. 1 又a1＝1＋a< ， 1－a 因此当n＝1时， 1 不等式1<an< 成立． 1－a
k
∴当n＝k＋1时不等式也成立． 据①、②知对任何n∈N*原不等式均成立．
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数学[新课标· 选修4-5]
证明：2n＋2>n2(n∈N*)．
【思路探究】 验证n＝1,2,3时不等式成立⇒假设n＝k成
立，推证n＝k＋1⇒n＝k＋1成立，结论得证
【自主解答】 左边>右边；
【思路探究】 先通过n取值计算，求出a的最大值，再用
数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步， 运用比差法较方便．
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数学[新课标· 选修4-5]
【自主解答】 26 a 则24>24， ∴a<26. 又a∈N*， ∴取a＝25.
1 1 1 a 当n＝1时， ＋ ＋ > ， 1＋1 1＋2 3×1＋1 24
如何应用数学归纳法证明不等式
如何应用数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种常见的数学证明方法，通过证明初始情况成立和任意情况都成立，来证明一般情况成立。
在不等式证明中，也可以应用数学归纳法。
本文将介绍如何应用数学归纳法证明不等式。
第一步，证明初始情况成立。
通常，需要选取一个最小的自然数来作为初始情况，然后证明不等式在该自然数下成立。
以证明$a^n-1$能够被$(a-1)$整除为例。
当$n=1$时，$a^1-1=a-1$，由于$a-1$显然能够整除$a-1$，因此初始情况成立。
第二步，假设任意情况成立。
即假设当$n=k(k \in N^*)$时，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除。
第三步，证明一般情况也成立。
即证明当$n=k+1$时，$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。
由于$a^{k+1}-1 = a^k \cdot a - 1 = (a^k-1) \cdot a + (a-1)$，而根据假设，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除，因此$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。
通过上述三步，我们得到了$a^n-1$能够被$(a-1)$整除。
类似的，可以应用数学归纳法证明其他的不等式。
例如证明$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$，我们可以选取$1$作为初始情况；假设当$n=k(k \in N^*)$时，$1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$；然后证明当$n=k+1$时，$1+2+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$。
当然，在进行数学归纳法证明时，选择初始情况和需要证明的语句都需要谨慎选择。
总结一下，数学归纳法是一种常见的数学证明方法，可以应用在不等式证明当中。
通过证明初始情况成立、假设任意情况成立、证明一般情况也成立这三步，可以有效地证明不等式。
5.3数学归纳法证明不等式 课件(人教A版选修4-5)
因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x．
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 k ( k 1) k ( k 1)2
2.当 n≥ 2 时,求证: 1
1 2
1
1 3
1 n
n
2 . 证明： （1） 当n 2 时，左式 1 1 17 2 右式 2 2
若 k 1 个正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 都相等,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个 正数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 不全 相等,则 其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 .
证明:⑴当 n 1 时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数 a1 , a2 ,, ak 的乘积 a1a2 ak 1,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 ,, ak , ak 1 满 足 a1a2 ak ak 1 1 .
数学归纳法证明不等式
01
02
03
例子一：n=5时的情况
假设n=10时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}$。
02
CHAPTER
数学归纳法证明不等式的步骤
验证基础情况
首先验证n=1时，不等式是否成立。
基础情况成立
如果基础情况成立，则可以继续进行归纳步骤。
初始步骤
归纳步骤
归纳假设
假设当n=k时，不等式成立，即$P(k)$成立。
归纳推理
基于归纳假设，推导当n=k+1时，不等式也成立，即$P(k+1)$成立。
应用归纳假设
在归纳推理过程中，需要利用归纳假设$P(k)$来推导$P(k+1)$。
要点一
要点二
完成归纳
当归纳步骤完成后，可以得出结论，对于任意正整数n，不等式都成立。
归纳假设的应用
03
CHAPTER
应用数学归纳法证明不等式的例子
假设n=5时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5$。
确定数列的通项公式
通过数学归纳法，可以证明数列的通项公式，进而研究数列的性质和规律。
用数学归纳法证明不等式课件 选修4-5
2k＋1 2k＋3 357 ··· „· · 246 2k 2k＋1 2k＋3 ＞ k＋1· ＝ 2k＋1 ＝ k＋2 2k＋32 4k＋1
4k2＋12k＋9 ＞ k＋2. 4k2＋12k＋8
2n＋1 357 因此不等式2··· 2n ＞ n＋1 4 6 „· 对于一切 n∈N*都成立．
n＋1(n∈N*)．
[思维启迪] 由条件第一问可通过数列的有关知识来证明进而 求出an通项公式，然后求bn的通项公式，最后用数学归纳法 证明要证的结论即可．
解 (1)由an＋1＝an＋2n＋1得 (an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝1， 因此{an－2n}成等差数列．
(2)an－2n＝(a1－2)＋(n－1)＝n－1，即an＝2n＋n－1，
任意n都成立．n＝1、2时也成立即可解得第一问，并归纳出
通项公式，然后用数学归纳法证明之．第二问列出式子发现 用裂相法与放缩法即可证明．比用数字归纳法简便．
(1)解 由条件得 2bn＝an＋an＋1，a2＋1＝bnbn＋1. n 由此可得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立． ②假设当 n＝k 时，结论成立， 即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当 n＝k＋1 时，
自学导引 1．贝努利不等式：设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数， 则 (1＋x)n>1＋nx . 2．贝努利不等式的更一般形式： 当α为实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋ αx(x＞－1)；
当α为实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞
－1)．
基础自测 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证 ( )．
3.2用数学归纳法证明不等式贝努利不等式课件人教新课标B版
1
3
1
+…+
+…+
1
3
+
1−
3
1
1
利用 ③,得 11
1
3 1- 3
1
1-3
1
3
D典例透析 S随堂演练
IANLITOUXI
UITANGLIANXI
+1 +
3
= 1−
1
32
1
2
1
+1
3
1
1
1
+ 2+…+
3 3
3
1
1
1
· + 2+…+
3 3
3
1-
1
3+1
≥1−
.
3+1
1-
≥ 1-
3+1
1
即当 n=k+1 时,③式也成立.
故对一切 n∈N*,③式都成立.
=1 −
HONGNANJUJIAO
题型三
则当 n=k+1 时,
1-
Z 知识梳理 Z 重难聚焦
目标导航
… 11-
1
3
1
3
≥1 −
=
1
1
+ 2
3 3
1 1 1
+
2 2 3
>
+…+
1
3
1
, 即②式成立.
2
故原不等式成立.
3.了解贝努利不等式的应用条件.
-2-
3.2
用数学归纳法证明不等式,
贝努利不等式
(高中数学4-4)二 用数学归纳法证明不等式
例2.证明不等式sin n n sin (n N )
证明: (1)当n 1时,上式左边 sin 右边,不等式成立.
(2)假设当n k(k 1)时,命题成立,即有sin k k sin .
当是实数,并且满足 1或者 0时,并且满足0 1时,有 (1 x) 1 x( x 1)
第四讲 数学归纳法证明不等式
二.用数学归纳法证明不等式问题
例1观察下面两个数列,从第几项起an始终小于bn ? 证明你的结论.
an n2 :1,4,9,16,25,36,49,64,81,; bn 2n : 2,4,8,16,32,64,128,256,512,.
由数列的前几项猜想,从第5项起, an bn ,
(1 x)k 1 kx. 当n k 1时,
当x是实数,且x 1, x 0时,由贝努利不等式可得
(1 x )n 1 nx , 对一切不小于2的正整数n成立
1 x
1 x
把 贝 努 利 不 等 式 中 的 正整 数n改 为 实 数时, 仍 有
类似不等式成立.
当n k 1时,
例3.证明贝努利不等式:
如果x是实数,且x 1, x 0, n为大于1的自然数,
那么有
(1 x)n 1 nx
证明: (1)当n 2时,由x 0得(1 x)2 1 2x x2 1 2x, 不等式成立. (2)假设当n k(k 2)时不等式成立,即有
5.3数学归纳法证明不等式1 课件(人教A版选修4-5)
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
证明:⑴当 n 1 时,上式左边 sin 右边,不等式成立.
⑵设当 n k (k ≥ 1) 时,不等式成立,即有 sin k ≤ k sin . 那么,当 n k 1 时, sin( k 1) =
课外训练:
能被 8 整除.
作业:课本 P 6 题 54 明天开始复习不等式(使用发的资料).
答案
1.求证:
1 3 1 5 证:(1)当n=1时,左边= 1 2 ,右边= 2 ,由于 2 2 2 4 5 3 ,故不等式成立. 4 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( n N , n ≥ 2). 2 3 n n
证明:⑴当 n 1 时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数 a1 , a2 , , ak 的乘积 a1a2 ak 1 ,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 , , ak , ak 1 满 足 a1a2 ak ak 1 1 .
(2)假设n=k( k N , k ≥ 2)时命题成立,即
1 1 1 1 1 2 2 2 2 . 2 3 k k
则当n=k+1时,
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( ) 2 . 2 k ( k 1) k k (k 1) k k k 1 k 1 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 n N , n ≥ 2都成立.
用数学归纳法证明不等式-高中数学知识点讲解
用数学归纳法证明不等式1．用数学归纳法证明不等式【知识点的认识】1．数学归纳法一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的所有正整数n 都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当n＝n0 时命题成立；（2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1 时命题也成立．在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0 的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法．2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可．（1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性．在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立．（2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确．在第二步中，n＝k 命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1 时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明．完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论．3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n0 并验证真假．（必不可少）②“假设n＝k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n＝k+1 时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．1/ 2【解题方法点拨】1、观察、归纳、猜想、证明的方法：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索性问题，结论如何？命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况下入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论．例如证明n2＞2n 只观察前 3 项：a1＝1，b1＝2⇒a1＜b1；a2＝4，b2＝4⇒a2＝b2，a3＝9，b3＝8⇒a3＞b3，就此归纳出n2＞2n（n∈N+，n≥3）就是错误的，前n 项的关系可能只是特殊情况，不具有一般性，因而，要从多个特殊事例上探索一般结论．2．从“n＝k”到“n＝k+1”的方法与技巧：在用数学归纳法证明不等式问题中，从“n＝k”到“n＝k+1”的过渡中，利用归纳假设是比较困难的一步，它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样，只需拼凑出所需要的结构来，而证明不等式的第二步中，从“n＝k”到“n＝k+1”，只用拼凑的方法，有时也行不通，因为对不等式来说，它还涉及“放缩”的问题，它可能需通过“放大”或“缩小”的过程，才能利用上归纳假设，因此，我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分析从“n＝k”到“n＝k+1”的变化，从中找到“放缩尺度”，准确地拼凑出所需要的结构．2/ 2。
人教数学选修4-5全册精品课件：第四讲二用数学归纳法证明不等式
【思路点拨】
本题由递推公式先计算前几项，然
后再进行猜想，最后用数学归纳法进行证明；对于 (2)中的第①题，要利用数学归纳法进行证明；②利 用放缩法证明．
【解】 (1)由 a1＝2，得 a2＝a2－a1＋1＝3；由 a2＝ 1 3，得 a3＝a2－2a2＋1＝4；由 a3＝4，得 a4＝a2－3a3 2 3 ＋1＝5. 由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)． (2)①用数学归纳法证明： 当 n＝1 时，a1≥3＝1＋2，不等式成立； 假设当 n＝k(k≥1)时，不等式成立，即 ak≥k＋2. 那么当 n＝k＋1 时，ak＋1＝a2－kak＋1＝ak(ak－k)＋ k 1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1≥k＋3＝(k＋1) ＋2，也就是说，当 n＝k＋1 时，ak＋1≥(k＋1)＋2. 综上可得，对于所有 n≥1，有 an≥n＋2.
＝k＋1成立时没有进行推证，而是直接写出结论, 这样是不符合数学归纳法要求的．
【自我校正】 (1)同上． (2)假设当 n＝k(k≥1)时，结论成立． kk＋1 k＋12 即 <ak< . 2 2 当 n＝k＋1 时，ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2 kk＋1 kk＋1 > ＋ k＋1k＋2> ＋(k＋1) 2 2 k＋1[k＋1＋1] ＝ . 2
当 n＝k＋1 时， k＋1k＋2 ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2> . 2 k＋2 2 又 ak＋1＝ak＋ k＋1k＋2<( )， 2 ∴当 n＝k＋1 时，结论也成立． 由(1)、(2)知，对一切 n∈N＋，不等式成立．
【错因】
错误出在(2)中，从n＝k成立，证明n
假设当n＝k时, 起始自然数)不等式成立 ______________________；第二步是_____________
数列不等式的证明方法
数列不等式的证明方法一、数学归纳法：数学归纳法是一种证明数学命题的方法，常用于证明数列不等式的成立。
1.基本思路：数学归纳法证明数列不等式的基本思路如下：（1）首先，证明当n=1时命题成立；（2）然后，假设当n=k时命题成立，即假设P(k)成立；（3）最后，证明当n=k+1时命题也成立，即证明P(k+1)成立。
2.具体操作步骤：（1）证明当n=1时命题成立；（2）假设当n=k时命题成立，即假设P(k)成立；（3）证明当n=k+1时命题也成立，即证明P(k+1)成立。
3.举例说明：以证明斐波那契数列F(n)的递推形式F(n)=F(n-1)+F(n-2)为例。
（1）首先，证明当n=1时命题成立。
易知F(1)=1，F(0)=0，F(1)=F(0)+F(-1)成立。
（2）假设当n=k时命题成立，即假设F(k)=F(k-1)+F(k-2)成立。
（3）证明当n=k+1时命题也成立，即证明F(k+1)=F(k)+F(k-1)成立。
根据假设，F(k+1)=F(k)+F(k-1)成立，所以命题成立。
二、递推法：递推法的证明思路是通过已知条件和递推关系来逐步推导出结论。
1.基本思路：递推法证明数列不等式的基本思路如下：（1）首先，根据数列的递推关系列出递推式；（2）然后，推导出递推式的通项公式；（3）最后，利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立。
2.具体操作步骤：（1）根据数列的递推关系列出递推式；（2）推导出递推式的通项公式；（3）利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立。
3.举例说明：以证明斐波那契数列F(n)的递推式F(n)=F(n-1)+F(n-2)为例。
（1）根据递推关系列出递推式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)；（2）推导出递推式的通项公式：解这个递推方程得到F(n)=A*φ^n+B*λ^n，其中A、B为常数，φ和λ为一元二次方程x^2-x-1=0的两个根，φ≈1.618，λ≈-0.618；（3）利用递推式的通项公式证明数列不等式的成立：证明F(n)>n，通过证明A*φ^n+B*λ^n>n，根据递推式的通项公式可得证。
人教版数学高二A版选修4-5素材4.2用数学归纳法证明不等式
庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法证明不等式的基本步骤（1）证明当n取第一个值n0（如n0=1或n0=2等等）时，命题正确；（2）证明如下事实：假设当n=k（k∈N且k≥n0）时，命题正确，由此推出当n=k+1时命题也正确.完成了以上两步后，就可断定命题对于从n0开始的所有自然数都正确.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的.但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变，先比较n=k与n=k+1这两个不等式间的差异，以决定n=k时不等式做何种变形.一般地,只能变出n=k+1等式的一边，然后再利用比较、分析、综合、放缩及不等式的传递性来完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的证明.辨析比较数学归纳法与其他证明不等式的方法数学归纳法证明不等式有它的局限性，它只能用来证明与自然数有关的不等式.而其他证明不等式的方法运用比较广泛.但具体运用时，各自都有自己的具体要求，比如数学归纳法就有严格的两个步骤，反证法就有严格的格式（必须先假设结论的否命题，再推出矛盾，最后否定假设，肯定原命题），分析法也有自己的格式（综合法的逆过程），综合法是广泛运用已知的定理、性质、推论等来证明.但是与自然数有关的不等式其他方法不如数学归纳法来得简洁，在数学归纳法的第二步中，也经常使用反证法、分析法、综合法、放缩法等作为辅助手段.二、数学归纳法证明不等式的重点和难点1.重点：巩固对数学归纳法意义和有效性的理解，并能正确表达解题过程，以及掌握利用数学归纳法证明不等式的基本思路.2.难点：在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的难点.要注意分离出该命题中，可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），即假设f(k)>g(k)成立，证明f(k+1)>g(k+1)成立.对这个条件不等式的证明，除了灵活运用作差比较法、作商比较法、综合法、分析法等常用的不等式证明方法外；放缩法作为证明不等式的特有技巧，在用数学归纳法证明不等式时，更被经常使用.误区警示数学归纳法证明不等式，不能简单套用两个基本步骤，一定要用到归纳假设，对于n=k+1时的证明注意以下几点：（1）在从n=k到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换.三、数学归纳法证明不等式的运用范围数学归纳法是用来证明与自然数有关命题的一种有效方法，在我们高中数学中，经常会以数列和函数为知识载体，构造一些与自然数有关的命题，数学归纳法是证明它们的有效手段，但不是唯一手段.联想发散在上一节中，我们还学习了归纳猜想证明的方法，在数学归纳法证明不等式的运用中，可不可以也先根据题目的条件归纳出一般规律，大胆猜想出一个不等式的命题，然后运用数学归纳法来证明呢？ 典题·热题知识点一： 命题的结构特征例1 求证：6531312111>+++++++n n n n ,n≥2,n ∈N . 思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，k31不是第k 项，应是第2k 项，数列各项分母是连续的自然数，最后一项是以3k 收尾.根据此分母的特点，在3k 后面还有3k+1、3k+2,最后才为3k+3，即3（k+1）.不等式左端增加了131+k ,231+k ,331+k 共三项，而不是只增加)1(31+k 一项.证明：（Ⅰ）当n=2时，右边=31+41+51+61>65，不等式成立. （Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k ∈N )时命题成立，即65312111>+++++k k k .则当n=k+1时，)1(31231131312)1(11)1(1+++++++++++++k k k k k k=)11331231131(312111+-+++++++++++k k k k k k k >)11331231131(65+-++++++k k k k >65)113313(65)11331331331(65=+-+⨯+=+-++++++k k k k k k . 所以当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n ∈N *均成立. 误区警示错误的思维定式认为从n=k 到n=k+1时，只增加一项，求和式中最后一项即为第几项的通项，所以一定要认清不等式的结构特征.例2 已知，S n =1+21+31+…+n1,n ∈N ， 用数学归纳法证明：n S 2>1+2n,n≥2,n ∈N .思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，不等式左端增加了2k 项，而不是只增加了121+k 这一项，否则证题思路必然受阻.证明：（Ⅰ）当n=2时，22S =1+21+31+41=1+>12131+22， ∴命题成立.（Ⅱ）假设当n=k(k≥2,k ∈N )时命题成立，即k S 2=1+21+31+…+2121k k +>. 则当n=k+1时，12+k S =1+21+31+…+12122112121+++++++k k k k >1+111121212121212211212++++++++>++++++k k k k k k k k2112121212211++=++=⨯++=+k k k k k 所以当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，原不等式对一切n≥2,n ∈N 均成立. 方法归纳本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n=k 到n=k+1时不等式左端项数的增减情况. 知识点二： 比较法 例3 求证：1+21+31+…+n 1≥12+n n . 思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，关键的是证明1)1()1(2112+++>++k k k k ，为证此，我们采用了不等式证明方法中的比较法.证明：（Ⅰ）当n=1时，左式=1，右式=1112+⨯，左式=右式; 当n=2时，左式=1+21=23,右式=1222+⨯=34;23>34,左式>右式. ∴当n=1或n=2时，不等式成立.(Ⅱ)假设当n=k(k≥1)时，不等式成立，即 1+21+31+…+121+≥k k k . 则当n=k+1时， 左式=1+21+31+…+1121112111++=+++≥++k k k k k k k . ∵)2)(1(1)1()1(2112++=+++-++k k k k k k k >0, ∴1)1()1(2112+++>++k k k k =右式. 由不等式的传递性，可得左式>右式， ∴当n=k+1时，不等式也成立.由（Ⅰ）（Ⅱ）可得，对一切n ∈N ,不等式都成立. 误区警示在用数学归纳法证明不等式的过程中，我们经常因思维定式认为只能做代数变形，比较法是一种综合证明法，不能在数学归纳法中使用，这是一种错误的认识.证明不等式的基本方法在数学归纳法的第二步中都可以使用，究竟选择哪种方法要因具体题目而定. 知识点三： 放缩法 例4 证明：n n21312111<++++，n≥2,n ∈N .思路分析：本题在由n=k 到n=k+1时的推证过程中，在证明12112+<++k k k 时，使用了均值定理进行放缩. 证明：(Ⅰ)当n=2时，左边=223212211=+<+，右边=22. ∴左边<右边，∴n=2时，原不等式成立.(Ⅱ)假设当n=k 时，不等式成立，即k k21312111<++++. 当n=k+1时，112111312111++<++++++k k k k1211)]1([1112112+=++++<+++•=+=<k k k k k k k k k ∴n=k+1时，原不等式成立.由(Ⅰ)(Ⅱ)知对n≥2的任何自然数，原不等式成立.知识点四： 转化等价命题例5 数列{a n }的通项公式为a n =3n+2，将数列{a n }中的第2,4,8,…,2n 项依次取出，按原来的顺序组成一个新数列{b n }，记其前n 项和为S n ,T n =n(9+a n )，当n ≥4时，证明S n >T n . 思路分析：要证S n >T n ，只需证3×2n+1+2n-6>3n 2+11n ，即证2n+1>n 2+3n+2.这就证明了原不等式的等价不等式，从而将命题简化. 证明：∵a n =3n+2， ∴n a 2=3×2n +2，∴S n =a 2+a 4+a 8+…+a n a 2=3(2+4+8+…+2n )+2n=3×2n+1+2n-6. 而T n =n(9+a n )=3n 2+11n. 要证S n >T n ，只需证3×2n+1+2n-6>3n 2+11n ， 即证2n+1>n 2+3n+2. 用数学归纳法来证明：(Ⅰ)当n=4时，S 4=98,T 4=92,S 4>T 4成立.(Ⅱ)假设当n=k(k≥4)时，结论成立，就是2k+1>k 2+3k+2，那么 2k+2-［(k+1)2+3(k+1)+2］>2(k 2+3k+2)-(k 2+5k+6) =k 2+k-2=(k+2)(k-1).∵k≥4,∴(k+2)(k-1)>0.∴2k+2>(k+1)2+3(k+1)+2.这就是说，当n=k+1时，S n >T n 也成立. 由(Ⅰ)(Ⅱ)知，对n≥4,S n >T n 都成立. 方法归纳本题用数学归纳法证明2n+1>n 2+3n+2，第二步采用的是作差比较法：作差——利用归纳假设——变形（因式分解）——定号.这比通常的“作差——变形——定号”多了利用归纳假设这一步，这是因为归纳假设是用数学归纳法证明命题时所必需的. 巧解提示也可不用数学归纳法来证明2n+1>n 2+3n+2(n≥4)，而是利用二项展开式和放缩法直接证得.当n≥4时， 2n+1=2·2n =2(1+1)n=2(11210n n n n n n C C C C C +++++- ) ≥2(11210n n n n n n C C C C C ++++-)=n 2+3n+4 >n 2+3n+2.知识点五： 单调性例6 已知数列{a n }中，所有项都是正数，且a n+1≤a n -a 2n ，求证：a n <n1. 思路分析：（Ⅰ）当n=1时，由a 2≤a 1-a 12=a 1(1-a 1)，且a 1>0,a 2>0，可得a 1<1，命题成立. （Ⅱ）假设当n=k(k≥1)时命题成立，即a k <k1. 则当n=k+1时，a k+1≤a k -a 2k =a k (1-a k )，∵a k <k1， ∴1-a k >1-k 1=kk 1-.由于以上二式不是同向不等式，所以无法完成由k 到(k+1)的证明.所以我们可以利用函数f(x)=-x 2+x 的单调性进行证明：函数f(x)=-x 2+x 的最大值为f(21)=41，且在(-∞,21］上为增函数.证明：（Ⅰ）当n=1时，由a 2≤a 1-a 12=a 1(1-a 1)，且a 1>0,a 2>0，可得a 1<1，命题成立.而a 2≤a 1-a 12=f(a 1)≤41<21，故n=2时命题也成立. （Ⅱ）假设n=k(k≥2)时，命题成立，即a k <k1，因为函数f(x)=-x 2+x 在(-∞,21］上为增函数，所以由a k <k 1≤21及a k+1≤a k -a 2k 得a k+1≤f(a k )<f(k 1)=21k -+k 1=21k k -<11112+=--k k k ,即a k+1<11+k ， 所以当n=k+1时，命题也成立.根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n ∈N *，a n <n1. 知识点六： 活用起点的位置 例7 已知函数f(x)=ax-23x 2的最大值不大于61，又当x ∈［41,21］时，f(x)≥81. （1）求a 的值； （2）设0<a 1<21,a n+1=f(a n ),n ∈N *,证明:a n <11+n . 思路分析：在用数学归纳法证明不等式的过程中，充分利用了数列递推关系式a n+1=f(a n )=23-a 2n +a n 的函数单调性，需注意命题的递推关系式中起点位置的推移. (1)解：由于f(x)=ax 23-x 2的最大值不大于61,所以f(3a )=62a ≤61,即a 2≤1.又x ∈［41,21］时f(x)≥81, 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥.813234,81832,81)41(,81)21(a a f f 即解得a≥1. ∴a=1.(2)证明：（Ⅰ）当n=1时，0<a 1<21，不等式0<a n <11+n 成立； 因f(x)>0,x ∈(0,32),所以0<a 2=f(a 1)≤61<31,故n=2时不等式也成立.（Ⅱ）假设n=k(k≥2)时，不等式0<a k <11+k 成立， 因为f(x)=x-32x 2的对称轴为x=31,知f(x)在［0,31］为增函数，所以由0<a k <11+k ≤31得0<f(a k )<f(11+k ),于是有0<a k+1<11+k -32·21)2()1(24212121)1(122+<+++-+=+-+++k k k k k k k k . 所以当n=k+1时，不等式也成立.根据（Ⅰ）（Ⅱ）可知，对任何n ∈N *，不等式a n <11+n 成立.方法归纳将起点的位置推移至2的目的，就是要将a k 和11+k 置于函数f(x)的单调区间［0,31］内，从而由0<a k <11+k ≤31得0<f(a k )<f(11+k ). 问题·探究交流讨论探究问题1 我们已经学习过贝努利不等式（1+x ）n ＞1+nx 的证明，如果我们加强条件，如：已知x ＞-1，且x≠0，n ∈N ，n≥2.如何来证明不等式（1+x ）n ＞1+nx.证明的方法有哪些呢？ 探究过程:老师：首先验证n=2时的情况.（1）当n=2时，左边=（1+x ）2=1+2x+x 2，右边=1+2x ，因x 2＞0，则原不等式成立. （2）假设n=k 时（k≥2），不等式成立，即（1+x ）k ＞1+kx. 现在要证的目标是（1+x ）k +1＞1+（k+1）x ，请同学们考虑.同学甲：因为应用数学归纳法，在证明n=k+1命题成立时，一定要运用归纳假设，所以当n=k+1时.应构造出归纳假设适应的条件.所以有（1+x ）k +1=（1+x ）k （1+x ）.因为x ＞-1（已知），所以1+x ＞0,于是（1+x ）k （1+x ）＞（1+kx ）（1+x ）.同学乙：现将命题转化成如何证明不等式（1+kx ）（1+x ）≥1+（k+1）x. 显然，上式中“=”不成立.故只需证：（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x. 老师：证明不等式的基本方法有哪些？同学丙：证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法.老师：在第二步证明中，合理运用归纳假设的同时，其本质是不等式证明，因此证明不等式的所有方法、技巧手段都适用.同学丁：证明不等式（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x ，可采用作差比较法.（1+kx ）（1+x ）-［1+（k+1）x ］=1+x+kx+kx 2-1-kx-x=kx 2＞0（因x≠0，则x 2＞0）. 所以，（1+kx ）（1+x ）＞1+（k+1）x. 同学甲：也可采用综合法的放缩技巧.（1+kx ）（1+x ）=1+kx+x+kx 2=1+（k+1）x+kx 2.因为kx 2＞0，所以1+（k+1）x+kx 2＞1+（k+1）x ，即（1+kx ）（1+x ）＞1+（1+k ）x 成立. 老师：这些方法，哪种更简便，更适合数学归纳法的书写格式？学生丙用放缩技巧证明显然更简便，利于书写.探究结论:在证明中，对于n=k+1时的证明是整个数学归纳法证明过程中的重点和难点.要注意分离出该命题中可以使用归纳假设的部分（没有使用归纳假设的证明不是数学归纳法的证明），并借助于其他数学方法（如分析法、比较法、综合法、反证法等）.问题2 我们在证明不等式的时候，常用放缩法的技巧来达成目的，可在具体的题目中究竟如何放缩还要视具体的题目而定，我们不妨来看看这样一个命题的证明，求证：2上标n+2＞n 2，n ∈N .探究过程:老师：（1）当n=1时，左边=21+2=4；右边=1，左边＞右边.所以原不等式成立. （2）假设n=k 时（k≥1且k ∈N ）时，不等式成立，即2k +2＞k 2. 现在，请同学们考虑n=k+1时，如何论证2k+1+2＞（k+1）2成立. 同学甲：利用归纳假设2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2＞2·k 2-2.老师：将不等式2k 2-2＞（k+1）2，右边展开后得k 2+2k+1.由于转化目的十分明确，所以只需将不等式的左边向k 2+2k+1方向进行转化，即2k 2-2=k 2+2k+1+k 2-2k-3.由此不难看出，只需证明k 2-2k-3≥0，不等式2k 2-2＞k 2+2k+1即成立.同学乙：因为k 2-2k-3=（k-3）（k+1），而k ∈N ，故k+1＞0，但k-3≥0成立的条件是k≥3，所以当k∈N时，k-3≥0未必成立.老师：不成立的条件是什么？同学乙：当k=1，2时，不等式k-3≥0不成立.老师：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用归纳法，将其逐一验证原命题成立，因此在证明第一步中，应补充验证n=2时原命题成立.那么，n=3时是否也需要论证？同学丙：n=3需要验证，这是因为数学归纳法中的第一步验证是第二步归纳假设的基础，而第二步中对于k是大于或等于3才成立，故在验证时，应验证n=3时，命题成立.老师：通过上例可知，在证明n=k+1时命题成立过程中，针对目标k2+2k+1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围（k≥1）太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤（把验证n=1扩大到验证n=1，2，3）的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标.探究结论:设S（n）表示原式左边，f（n）表示原式右边，则由上面的证法可知，从n=k到n=k+1命题的转化途径是：要注意：这里S′（k）不一定是一项，应根据题目情况确定.。
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例1用数学归纳法证明：
变式引申：设 ，证明：
。
例2证明
变式引申：已知 ，对 试比较 与 的大小，并说明理由。
例3已知 为正数，且 。试证：对每一个 。
【分级训练】：
A.基础训练
1.用数学归纳法证明：“
”时，由 不等式成立，推证 时，左边应增加的项数是
B.能力培养
2.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数 ，不等式 成立。
（1） ；
。
4.已知 ，不等式
的解集为A，其中
（1）求A。
（2）设 表示A中自然数个数，求和
；
（3）当 时，比较 与 的大小，并证明你的结论。
【备选练习】：
1.（2001.春季高考）在1与2之间插入 个正数 ，使这 个数成等比数列，又在1与2之间插入 个正数 ，2使这 个数成等差数列。记
，
（1）求数列 和 的通项公式；【来自级训练】：A.基础训练
1.用数学归纳法证明：“
”时，由 不等式成立，
推证 时，左边应增加的项数是
B.能力培养
2.用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数 ，不等式 成立。
C.综合提高
3.（2002.全国）设数列 满足
（Ⅰ）当 时，求 ，并由此猜想出 的一个通项公式；
（Ⅱ）当 时，证明对所有的 ，有
（2）当 时，比较 与 的大小，并证明你的结论。
2.（2004.重庆）设数列 满足
。
（1）证明 对一切正整数 成立；
（2）令 判断 与 的大小，并说明理由。
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☆ 蔡 老 师 高 考 与 中 考 数 学 研 究 中 心 （21216123）△
第□讲
用数学归纳法证明不等式
【知识要点】：
1.定理1 贝努利（Bernoulli）不等式设 ，且 为大于1的自然数，则。
2.设 为实数， ，便有贝努利不等式的更一般的形式：
（1）如果 ，则；
（2）如果 或者 ，则，
当且仅当时等号成立。