2-数形结合思想.学生版

第2讲

数形结合思想

高考要求

1．运用代数问题与几何问题的相互转化的观点来解决相关问题；

2．用图形的思想处理代数问题；

3．用代数的思想处理几何问题．

知识精讲

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性，形象性，使问题化难为易，化抽象为具体．1．数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略，它包括两个方面：“以形助数”和“以数助形”．“以形助数”即是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，它是以“形”为手段，以“数”为目的，如应用函数的图象来直观地说明函数的性质，应用数轴直观表达不等式组的解集．“以数助形”是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，它是以“数”为手段，以“形”为目的，如二分法确认方程根的分布，曲线方程可以精确地阐明曲线的几何性质．

2．数形结合，是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法，也是一种智慧的解题技巧，它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，繁琐的问题条理化，从而，便于找到简捷的解题思路，使问题得到解决．

3．在运用数形结合思想解题时，还必须关注以下几个方面：

① 由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础．

② 数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势．“形”有直观、形象的特点，但代替不上具体的

运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是其真正的主角，若忽

视这一点，很容易造成对数形结合的谬用．

4．数学前辈华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非．切莫忘几何代数统一体，永远联系，切莫分离”．可见，数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种智慧的数学方法，备考中要仔细体会，牢固掌握，熟练应用．

例题1. 已知01a <<，则方程log x

a a x =的实根个数为（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．1个或2个或3个

1

O

x

y

【变式】 若方程()

()2lg 3lg 3x x m x -+-=-在()03x ∈，

内有唯一解，求实数m 的取值范围．

【变式】 若关于x 的方程2230x kx k ++=的两个不相等的根都在1-和3之间，求k 的取值范围．

例题精讲

例题2.已知x，y满足

22

1

1625

x y

+=，求3

y x

-的最大值与最小值．

【变式】求函数u=的最值．

例题3.已知复数z满足|22|

z i

--=z的模的最大值、最小值的范围．

【变式】求函数

sin2

cos2

x

y

x

+

=

-

的值域．

例题4. 正数,,,,,a b c A B C 满足条件a A b B c C k +=+=+=．求证：2aB bC cA k ++<．

例题5. 已知,,a b c R +∈>．

例题6. 当x 为何实数时，21y x x =-+有最小值．最小值是多少？

【变式】 已知2

2

0(4)4x x y +-≥，≤，设w w 的取值范围是 ．

例题7.若曲线2y x

=上总存在两个对称于直线1

y ax a

=-+的不同的点，求a取值的范围．

【变式】已知23

y x

=-+上存在关于0

x y

+=对称的相异两点A、B，则AB=．

例题8.已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF．AOB BOC

∠=∠COD

=∠DOE

=∠EOF

=∠60

=︒．且

2 AD BE CF

===

．求证：

OAB OCD OEF

S S S

∆∆∆

++<

F

习题1. 若集合3cos ()(0π)3sin x M x y y θθθ⎧=⎧⎫⎪

=<<⎨⎨⎬=⎩⎭⎪⎩

，，集合{}()|N x y y x b ==+，且M

N ∅≠，则b 的取

值范围为______________．

习题2. 已知0,1a b <<，求证：()()()

()2

2

2

2

2222111122a b a b b a a b +++-++-+

-+-≥．

习题3. 已知椭圆C ：22

143

x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：4y x m =+，椭圆C 上有不

同的两点关于这条直线对称．

家庭作业

月测1. 设偶函数()log ||a f x x b =+在(0)+∞，上单调递减，则(2)f b -与(1)f a +的大小关系是（ ）

A ．)1()2(+=-a f b f

B ．)1()2(+>-a f b f

C ．)1()2(+<-a f b f

D ．不能确定

月测2. 函数sin 2cos x

y x

=

+的最大值为________，最小值为________．

月测3. （2009陕西卷文）

已知函数3()31,0f x x ax a =--≠ ⑴ 求()f x 的单调区间；

⑵ 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y m =与()y f x =的图象有三个不同的交点，求()0a ， 的取值范围．

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）

月测备选