2018年七年级升八年级数学 暑期衔接班讲义 第十五讲 等腰直角三角形(无答案) 新人教版

D

A

C

B

D A M E

C B D

A 第十五讲：等腰直角三角形

如图，在等腰Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D. 基本性质：1．边：AB=AC ，DA=DB=DC=

1

2

BC ； 2．角：∠BAC=∠ADB=∠ADC=90°； ∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°；

3．形：等腰Rt △ABC ，等腰Rt △ABD ，等腰Rt △ACD.

第一部分【能力提高】

一、如图，M 为等腰Rt △ABC 斜边BC 的中点，D 为AB 上一点，ME ⊥MD 交直线AC 于点E.

（1）求证：MD=ME ；

其它结论：①AD+AE=AB ；②BD+CE=AB ；③△MDE 为等腰直角三角形；④1

2

ABC ADME S S

V 四. （2）如图，若D 为AB 反向延长线上一点，其它条件不变， 请完成图形并探究（1）中

的结论.

二、如图，已知点D 为等腰直角△ABC 内一点，∠CAD =∠CBD =15°，E 为AD 延长线上的一点，

且CE=CA ．

（1）求证：DE 平分∠BDC；

（2）若点M 在DE 上，且DC=DM ，求证：ME=BD ．

D

A

E C B A N

M P E C

B D E A

C B

图1三、如图，M 为等腰Rt △ABC 直角边AC 的中点，AE ⊥BD 交BC 于点E ，连结DE. （1）求证：①∠ADB=∠CDE ；②AE+DE=BD ；

（2）如图2，若AM=CN ，AE ⊥BM 交BC 于点E ，BM 、EN 交于点P.

求证：①∠AMB=∠CNE ；②AE+PE=BP.

四、如图1，在等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，过点D 作AD 的垂线DE ，过点B 作AB

的垂线BE.

（1）求证：AD=DE ；

E B D A C C A D B E

图2图3

A D

B E

E

B

D

A C

C

A

D

B

E 图4

图5

图6

（2）拓展变化一：图形的演变（纵深演变）

如图2和图3中，当D 分别在BC 的延长线或反向延长线上时，求证：AD=DE ；

（3）拓展变化二：条件的演变（横向演变）

如图4，图5，图6中，等腰Rt △ABC 中，D 为直线BC 上一点，以AD 为腰作等腰Rt △ADE ，连接BE ，求证AB ⊥BE.

A C

P

A C

P

A C

P

第二部分【综合运用】

五、（1）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APB=90°，

求证：∠APC=∠BPC=45°；

（2）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，∠APC=45°，

求证：∠APB=90°；

（3）如图，等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，P 为△ABC 形外一点，CP 平分∠APB ，

求证：∠APB=90°（∠APC=∠BPC=45°）；

A

C

P A

C

P

A

C

H

P B

（4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P为△ABC形外的一点，∠APC=∠BPC=45°，求证：AC=BC；

（5）如图，在等腰△ABC中，AC=BC，P为△ABC形外的任一点，且∠APC=∠BPC=45°，求证：∠ACB=90°；

（6）如图，在（1）～（5）的条件下，过C作CH⊥AP于点H.

求证：①PA+PB=2PH；②PA-PB=2AH；

A

C

H

P

D

A

C

B

E

O

D

A

C

B

M E

N

（7）如图，当P点、C点在直线AB的同侧，类同（1）～（6）的条件、结论，进行探究.

六、如图，以任意△ABC的两边AB、AC为腰作两个等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，连接BE、

CD交于点O.

（1）求证：BE=CD；

（2）求∠BOC的度数；

（3）连接AO，求证：AO平分∠DOE；

（4）M、N分别为CD、BE的中点，判断△AMN的形状，并证明你的结论.