二次函数综合性问题——线段的最值 教学设计

二次函数综合性问题——线段的最值教学设计
重庆一中唐小力
一、教材分析
本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质和应用后，对二次函数综合性问题的中考专题复习课。

主要内容包括：利用二次函数的相关知识解决重庆中考压轴题26题的第二问双最值中的第一个最值——线段的最值，争取让学生逐个解决问题，从而得分。

本节课的设计是从求水平或者竖直的线段的最值入手，逐渐变化为求倾斜方向的线段最值，再转化为求三角形的最值，让学生体会在解决问题的过程中层层递进，获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。

按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：
1、知识与技能
通过对二次函数综合性问题——线段的最值问题的探究，让学生掌握利用设点的坐标的方法解决线段的最值问题以及将倾斜线段转化的方法。

2、过程与方法
通过层层递进，由浅入深的七个例子的学习，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生转化的思想。

3、情感态度价值观
（1）使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。

（2）通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。

本节课的教学重点是 “探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决线段最值的方法”，教学难点是“如何将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段，从而解决最值问题”。

四、教学过程
（一）利用例题，复习引入
例:如图，已知二次函数2
23y x x =--+的图象交x 轴于A 、B 两点（A 在B 左边）交y 轴 于点C .
（1）求A 、B 、C 三点的坐标和直线AC 的解析式.
设计意图：这是重庆中考26题的第一小问，利用二次函数解析式求解点的坐标， 主要是提醒学生注意书写格式，为中考得分打下坚实的基础.
（2）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合)过P 作PQ //y 轴交直线AC 于点Q ，求线段PQ 的最大值.
分析：因为PQ //y 轴，所以点P 与点Q 的横坐标相同，从而设出点P ，点Q 的坐标，PQ 的长度即为P ，Q 两点的纵坐标之差的绝对值，从而转化为求二次函数的最值问题.
（3）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合)过P 作PM //x 轴交直线
AC 于点M ，求线段PM 的最大值.
分析：由（2）问的竖直方向的线段转化为水平方向的线段，线段PM 的长度就转化为横坐标之差的绝对值.
总结：以上的线段是水平和竖直方向的线段，均可通过设点坐标的方法，找到两点间的联系，从而化为二次函数的最值问题.
问：如果是倾斜方向的线段呢？请看以下几个例题.
（4）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合),求点P 到直线AC 距离PM 的最大值.
分析：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，则△PQM 为等腰直角三角形，于是将求PM 最大值转化为求PQ 的最大值.
（5）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合), 过P 作PQ //y 轴交直线AC 于Q,
PH AC ⊥于H,求PQH ∆周长的最大值.
设计意图：第（5）问是第(4)问的延伸，主要是利用等腰直角三角形中 斜边与直角边的关系求解，通过讲解第（4）问，让学生独立完成第（5） 问，并邀请学生讲解.
（6）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合),连接BC ，过P 作PN //BC 交直线AC 于N ，求线段PN 长度的最大值.
分析：将（4）问中垂直于AC 的一条直线改为平行于BC 的直线，线段不同， 方法类似，即：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，经探索发现：︒
=∠45PQN ，
OCB QPN ∠=∠，所以：△PQN 是一个形状不变的三角形，当PQ 最大时，PN 最大
（7）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合), 过P 作PQ//y 轴交直线AC 于Q , 作
PN //BC 交直线AC 于N ，求PQN ∆周长的最大值.
设计意图：第（7）问是第(6)问的延伸，主要是利用△PQN 中︒
=∠45PQN ，
x
26题图1
3
1
tan =∠PQN ，从而找到三边的关系，通过讲解第（6）问，让学生独立完成第（7）问，
并邀请学生讲解.
总结：通过这7个例子的学习，我们发现对于倾斜方向的线段解决起来比较困难，但是我们可以通过转化的方法，将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段进行求解，也就是我们这节课最重要的解决线段最值的基本方法：化斜为直。

（二）课后作业，巩固提升：
1.（15年B 卷26题）如图，抛物线2
23y x x =-++与x 轴交与A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C. 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，直线AD 与y 轴相交于点E .
（1）求直线AD 的解析式；
（2）如图1，直线AD 上方的抛物线上有一点F ，过点F 作F G ⊥AD 于点G ，作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ，求△FGH 的周长的最大值；
2.（15年A 卷26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交轴于点W ，顶点为C ，抛物线的对称轴与轴的交点为D .
（1）求直线BC 的解析式.
（2）点E （m ，0），F （m+2，0）为轴上两点，其中，，分别垂直于轴，交抛物线与点，，交BC 于点M ，N ，求的最大值.
3.（16年A 卷26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线33
3
2312++-
=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点E. （1）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）经过B 、C 两点的直线交抛物线的对称轴于点D ，点P 为直线BC 上方抛物线上的一动点，当△PCD 的面积最大时，求P 点坐标；
2
3333y x x =++x y x x ()4m <<2EE 'EE 'x E 'F 'ME NF ''+
4.（16年B卷26题）如图，二次函数y=x2﹣2x+1的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A，B两点，点A的坐标为（0，1），点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S△ AMO：S
=1：48．
四边形AONB
（1）求直线AB和直线BC的解析式；
（2）点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD// x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F．当PF与PE的乘积最大时，求G点坐标．
设计意图：这4个习题都是近两年中考原题，保留了第（1）问和第（2）问的第一个最值，让学生在本堂课学完后，对所学内容的巩固提升，而第（2）问的第二个最值将在下一节课再进行讲解。