5.6 波的叠加原理及应用

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5.6 波的叠加原理及应用
例2 如图所示，A、B 两点为同一介质中两相干 波源.其振幅皆为5 cm，频率皆为100 Hz，但当点 A 为波峰时，点B 恰为波谷.设波速为 m s 1 ， 10 试写出由A、B发出的两列波传到点P 时干涉的结 果. P
15 m
A
20 m
B
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点P 合振幅
A A1 A2 0
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三 驻波 1 驻波的产生 现象
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条件 两列振幅相同的相干波相向传播
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Leabharlann Baidu
驻波的形成
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2
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二
波的干涉 频率相同、振动方 向平行、相位相同或相 位差恒定的两列波相遇 时，使某些地方振动始 终加强，而使另一些地 方振动始终减弱的现象， 称为波的干涉现象.
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1 干涉条件
波频率相同，振动方向相同，位相差恒定
满足干涉条件的波称相干波. 2 干涉现象 某些点振动始终加强，另一些点振动始终减弱 或完全抵消. 例 水波干涉 光波干涉
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（2）在A点左侧
B A
30 x ( x ) 14 2
4
干涉 相长
在B点右侧
B A
x－30 x 16 2
4
干涉 相长
所以在AB两点之外没有因干涉而静止的点 .
12
2π
, ), cos x0 4 4
y (2 A cos
2π

x) cos t
结论 相邻两波节间各点振动相位相同
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x ( , ), cos x0 4 4
3
2π
2π 2π y (2 A cos x) cos t (2 A cos x) cos(t π)
讨论
驻波方程 (1)振幅
y 2 A cos 2π
x
2 A cos 2π
1
x

cos 2π t
x cos 2 π 0 2 π x (k 1 ) π k 0,1,2, 2
2π
x
随 x 而异,与时间无关
k π
k 0,1,2,
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点的振动方程为
y反B
t l A cos[2 ( ) ] T
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在反射波行进方向上任取一点P，其坐标为x，P
点的振动比B点的振动相位落后2π*(l-x)/λ，由此
可得反射波的表达式为
y反
t l (l－x) A cos[ 2 ( ) ] T
将l=5λ代入上式得
t x y 反 A cos(2 10－10 2 ) T t x A cos 2 ( ＋ ) T
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（2）驻波的表达式为
t x t x y y入 y反 A cos 2 ( ) A cos 2 ( ＋ ) T T 2 2 (2 A sin x) sin t T
波密介质 波疏介质
当波从波密介质垂直入射到波疏介质，被反射 到波密介质时形成波腹. 入射波与反射波在此处的 相位时时相同，即反射波在分界处不产生相位跃变
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四 振动的简正模式
两端固定的弦线形成驻波时，波长 n 和弦线 长 l 应满足
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3 干涉现象的定量讨论 波源振动
y1 A1 cos(t 1 )
y2 A2 cos(t 2 )
点P 的两个分振动
r2 y2 P A2 cos(t 2 2 π )
y1P A1 cos(t 1 2 π )
r2 r1 2 1 2π
s1
1
*
P
定值
s2
r2
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讨 论
A A1 A2 2 A1 A2 cos
2 2
位相差
决定了合振幅的大小.
干涉的位相差条件 当 2kπ时k 0,1,2,3... 合振幅最大 当
根据干涉相消条件，可知
x 14＝2k 1
x 15 2k， 0 x 30
所以AB上因干涉而静止的点为
k 7,6,－5,－4,－3,－2,－1， 1， 3， 5， 7 0， 2， 4， 6， x 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29m
(1)反射波的表达式； (2)驻波的表达式； (3)在原点O到反射点B之间各个波节和波腹的坐标。
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解 (1) 首先要写出反射波在B的振动方程。依照题
意，入射波在B点的振动方程为
t l y入B A cos 2 ( ) T 由于在B点反射时有半波损失，所有反射波在B
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解
BP 15 20 25
2 2
P
15 m 10 0.10 (m) 100
u
设 A 的相位较 B 超前
A
20 m
B
A B π
BP AP 25 15 B A 2 π π 2 π 201 π 0.1
ln
n
2
u n n 2l
n 1,2,
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两端固定的弦振动的简正模式
ln
n
2
n 1,2,
l
1
2 2 2 l 2
33 l 2
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一端固定一端自由的弦振动的简正模式
1 n l (n ) 2 2
结论 一波节两侧各点振动相位相反 y


4

4
3 4
5 4
x
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边界条件
驻波一般由入射、反射波叠加而成，反射发生 在两介质交界面上，在交界面处出现波节还是波腹， 取决于介质的性质.
介质分类
波疏介质,波密介质
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波疏介质
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第5章 机械波
大学物理电子教案
机械波(3)
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5.7 多普勒效应
1
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一
波的叠加原理
波传播的独立性：两列波在某区域相遇后再 分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰. 波的叠加性：在相遇区，任一质点的振动为 二波单独在该点引起的振动的合成. 例子：人耳能够分辨出每种乐器所演奏的声音； 水面上的水波相遇后又分开等。
Amax A1 A2 时（半波长奇数倍） (2)当 r1 r2 (2k 1) 2 合振幅最小 Amin A1 A2
合振幅最大
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例1 波源位于同一介质中的A、B两点，其振幅相等，频率 皆为100Hz，B的相位比A超前 ，若A、B相距30m，波速为 400m· s-1。求AB连线因干涉而静止的各点的位置。
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(3) 由
sin
2
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k k 0,1,2, 10 得波节坐标为 x 2 3 5 7 9 x 0, , , ,2 , ,3 , ,4 , ,5 . 2 2 2 2 2

x＝0
由
x
sin
2

,
x ＝1 得波腹坐标为：x
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结论 有些点始终不振动,有些点始终振幅最大. 相邻波腹（节）间距 相邻波腹和波节间距
2
4
波腹
3 4

2
y


4
振幅包络图
波节

4
5 4
x
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(2) 相位分布
y (2 A cos
x (
2π


x) cos t A cos t
, , , , ,
2k 1) （
, , .

4
3 5 7 9 11 13 15 17 19
4 , 4 4 4 4 4 4 4 4 4
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本章目录
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5.0 教学基本要求
5.1 机械波的产生与传播
5.2 描述波的物理量
5.3 平面简谐波 5.4 平面简谐波的能量 5.5 惠更斯原理及应用
2π 当 cos x 0 时 A 0 x (2k 1) ( 的奇数倍) 4 4
为波节
(k 0,1,2， )
当 cos
2π
x 2k 4

x 1 时
A 2 A 为波腹
( 的偶数倍)

4
(k 0,1,2， )
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波密介质
u
波 疏 介 质
波 密 介 质
u
较 小
较 大
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四 相位跃变（半波损失）
当波从波疏介质垂直入射到波密介质,被反射 到波疏介质时形成波节. 入射波与反射波在此处的
相位时时相反, 即反射波在分界处产生 π 的相位 跃变，相当出现了半个波长的波程差，称半波损失.
r1
s1 s2
r1
r2
*
P
5
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yP y1P y2 P A cos(t ) 2 π r1 2 π r2 A1 sin( 1 ) A2 sin( 2 ) tan 2 π r1 2 π r1 A1 cos(1 ) A2 cos( 2 ) 2 2 A A1 A2 2 A1 A2 cos r
解
取A点为坐标原点，AB连线的方向为x轴正方向
(1)AB中的点P，令AP=x，则BP=30-x。 由题意知，
B－ A＝
B A
30 x x x 14 2
4
400 ＝ 4m 100
u
10
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n 1,2,
l
1
4
32 l 4 53 l 4
30
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例3 如图所示，有一平面简谐波
t x y A A cos 2 ( ) T
向右传播，在距坐标原点O为L = 5λ 的B点被垂直界面反
射，设反射处有半波损失，反射波的振幅近似等于入射 波振幅。试求：
2
驻波方程
正向 负向
) x y2 A cos 2π (t )
y1 A cos 2π (t
x
y y1 y2
A cos 2π (t x

x 2 A cos 2π cos 2π t
) A cos 2π (t
x

)
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5.7 多普勒效应
第4章 机械振动
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Amax A1 A2
2k 1π
合振幅最小
Amin A1 A2
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位相差 如果 2 则
( 2
2πr2
1 即相干波源S1、S2同位相
2π

) (1
2πr1

)

r1 r2
2π


r1 r2 称为波程差（波走过的路程之差）
加强 2kπ 2π 2π r1 r2 (2k 1) π 减弱
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5.6 波的叠加原理及应用
将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉的波程 差条件，则有
干涉的波程差条件 (1)当 r r k 时（半波长偶数倍） 1 2