华中科技大学《高等代数》2015年期末考试题及答案
高等代数考试题库及答案
高等代数考试题库及答案一、单项选择题（每题2分，共10题，共20分）1. 以下哪个选项是矩阵的秩？A. 矩阵中非零行的数量B. 矩阵中非零列的数量C. 矩阵中最大的线性无关行（或列）的数量D. 矩阵的行列式值答案：C2. 线性方程组有解的充分必要条件是什么？A. 系数矩阵的行列式非零B. 增广矩阵的行列式非零C. 系数矩阵与增广矩阵的秩相等D. 系数矩阵与增广矩阵的秩不相等答案：C3. 对于一个n阶方阵A，下列哪个选项是正确的？A. A的行列式为0，则A可逆B. A的行列式不为0，则A可逆C. A的行列式为0，则A不可逆D. A的行列式不为0，则A不可逆答案：C4. 矩阵A和B相乘，下列哪个选项是正确的？A. AB=BAB. AB=0当且仅当A=0或B=0C. AB=0当且仅当A和B中至少有一个为零矩阵D. AB=0当且仅当A和B的行列式都为0答案：C5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是？A. 由这些向量构成的矩阵的行列式非零B. 由这些向量构成的矩阵的秩等于向量的个数C. 由这些向量构成的矩阵的行列式为0D. 由这些向量构成的矩阵的秩小于向量的个数答案：B6. 向量组α1，α2，…，αn线性相关的充分必要条件是？A. 由这些向量构成的矩阵的行列式非零B. 由这些向量构成的矩阵的秩小于向量的个数C. 由这些向量构成的矩阵的行列式为0D. 由这些向量构成的矩阵的秩等于向量的个数答案：B7. 矩阵A的特征值是指？A. 满足|A-λI|=0的λB. 满足|A+λI|=0的λC. 满足|A-λE|=0的λD. 满足|A+λE|=0的λ答案：A8. 矩阵A的特征向量是指？A. 满足Ax=0的非零向量xB. 满足Ax=λx的非零向量xC. 满足Ax=0的向量xD. 满足Ax=λx的向量x答案：B9. 矩阵A和B相似的充分必要条件是？A. A和B的行列式相等B. A和B的秩相等C. 存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=BD. A和B的迹相等答案：C10. 矩阵A和B合同的充分必要条件是？A. A和B的行列式相等B. A和B的秩相等C. 存在一个可逆矩阵P，使得P^TAP=BD. A和B的迹相等答案：C二、填空题（每题2分，共5题，共10分）1. 若矩阵A的行列式为3，则矩阵A的逆矩阵的行列式为______。
《高等代数与解析几何(下) 》期末考试试卷(A 卷)
6．(10 分) 用非退化线性替换将二次型
化为标准型．
q(x1, x2 , x3 ) = x12 − 2x1x3 + x22 + 2x2 x3 − x32
7．（13 分）设V1 与V2 分别是齐次线性方程组 x1 + x2 + + xn = 0 与 x1 = x2 = = xn
的解空间,证明 K n = V1 ⊕V2 .
5 5 λ+7 5 5 λ+7故特征向量为 Nhomakorabea2 和 3.
………………5 分
⎛ −1⎞ ⎛ −1⎞
当 λ1
=
−2 时，特征向量η1
=
⎜ ⎜
1
⎟ ⎟
,η2
=
⎜ ⎜
0
⎟ ⎟
.
⎜⎝ 0 ⎟⎠
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
⎛ −1⎞
当 λ2
=
3 时，特征向量η3
=
⎜ ⎜
−1⎟⎟ .
⎜⎝ 1 ⎟⎠
………………2 分
命题共 2 页第 1 页
三．解答题：（共 80 分）
⎛3 5 5⎞
1．(15 分)
设
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎝
5 −5
3 −5
5
⎟ ⎟
，问矩阵
A 是否可以相似于一个对角矩阵,若可
−7 ⎟⎠
以,求一个可逆矩阵T ,使T −1AT 为对角形矩阵.
2．(10 分) 求单叶双曲面 x2 + y2 − z2 = 1上过点（-3，-2，4）的直母线的方程． 9 4 16
矩
阵.
4. n 维线性空间V 的线性变换 A 在某个基下的矩阵为对角矩阵的充要条件是 A
高代下试卷期末
2014-2015学年第二学期《几何与高等代数（下）》期末试卷(2014级数学类专业)班级 学号 姓名 得分一、判断题（每小题3分，满分15分）1．线性变换A )(V End K ∈可对角化，当且仅当V 是A 的特征子空间的 直和。
（ ）2．n 阶多项式矩阵)(λA 可逆的充分必要条件是)(λA 满秩。
（ ）3．设A 为欧氏空间V 上的对称变换，则A 的特征值都为实数，且属于A 的不同特征值的特征向量必正交。
（ ）4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000003B ，则A 与B 相合且相似。
（ ） 5．设n 阶矩阵B A 、相似，则B A 、具有相同的不变因子组，但反之 不成立。
（ ）二、填空题（每小题3分，满分15分）1．以原点为顶点，准线为⎩⎨⎧0102=--=--z y z y x 的锥面方程是 。
2．设()()3213213,,,,,,y y y x x x R V ===βα，则V 上双线性函数3323322111322),(y x y x y x y x y x f +-+-=βα关于自然基321,,εεε的度量矩阵为 。
3．设3阶方阵A 的三个特征值为1，3，31， 则=+*||E A ____ 。
4．设1)(23-+-=x x x x f ，1)(4-=x x g ，则它们的最大公因式 ()=)(),(x g x f 。
5． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=32)1(0000001)(λλλλA 的初等因子组为。
三、计算题（每小题10分，共40分）1. 化简二次曲线方程：012241254222=+--++y x y xy x ， 并写出对应的坐标变换公式。
2．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010111tt A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000020001B 相似，（1）求t 的值；（2）求正交矩阵T，使得BT=AT-1。
3．设对称多项式：322232321221231221321),,(x x x x x x x x x x x x x x x f +++++=（1）将),,(321x x x f 按字典序重新排列；（2）用初等对称多项式表示),,(321x x x f 。
高等代数期末考试试卷
一、填空题（每小题2分，共10分）1．多项式22009320101()(2)()2f x x x =+-的常数项为 。
2．设,,a b c 是方程30x px q ++=的三个根，则a bcb c a c a b = 。
3．线性方程组m n A x b ⨯=有无穷多解的充要条件是______________________。
4．设矩阵123012001A ---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭＝，则1A -的秩为 。
5．设实二次型123(,,)f x x x 的矩阵是111t ⎛⎫⎪⎝⎭，则123(,,)f x x x 是正定二次型的充要条件是 。
二、单选题（每小题2分，共10分）1．实数域上次数大于1的多项式()f x 有一实根是()f x 在实数域上可约的（ ）。
a) 必要非充分条件 b) 充分必要条件 c) 充分非必要条件 d) 既非充分又非必要条件2．行列式111213212223313233a a a a a a d a a a =，则332313322212312111a a a a a a a a a =（ ）。
a) d - b) d c) 0 d) 不确定3．λ=（ ），非齐次线性方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--+-⎩有无穷多解。
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 4．若矩阵A 满足20A A E ++=，则9A =（ ）。
a) A b) A - c) E d) 05．矩阵（ ）合同与200010005-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ 。
a) 4000100010⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭b) 300020005⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭c) 100010001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭d) 200020001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭三、判断题（每小题2分，共10分）1．若()()()h x f x g x ，则()()h x f x 或()()h x g x 。
高等代数期末考试试卷及答案
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
大学高等代数试题及答案
大学高等代数试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3×3矩阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵|adj(A)|的值为：A. 4B. 8C. 16D. 32答案：C2. 若向量组α1=(1, 2, 3)，α2=(2, 3, 4)，α3=(3, 4, 5)，则向量组α1，α2，α3是否线性相关？A. 是B. 否答案：A3. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 已知方程组\begin{cases}x+y=1 \\2x+3y=4\end{cases}的解为：A. x=1, y=0B. x=0, y=1C. x=2, y=-1D. x=1, y=-2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设矩阵B为2×2矩阵，且B=\begin{bmatrix}1 & 2\\3 &4\end{bmatrix}，则B的逆矩阵为\begin{bmatrix} \_\_\_\_\_ &\_\_\_\_\_ \\ \_\_\_\_\_ & \_\_\_\_\_ \end{bmatrix}。
答案：\begin{bmatrix}-2 & 1\\ 3/2 & -1/2\end{bmatrix}6. 向量β=(1, 2, 3)与向量γ=(4, 5, 6)的点积为\_\_\_\_\_。
答案：327. 设函数g(x)=x^3-3x^2+4，求g'(x)。
答案：3x^2-6x8. 已知方程组\begin{cases}x-2y+z=1 \\3x+4y-2z=2 \\2x+y-z=3\end{cases}的解为：x=\_\_\_\_\_，y=\_\_\_\_\_，z=\_\_\_\_\_。
答案：x=1，y=1，z=1三、解答题（每题15分，共40分）9. 设矩阵C为3×3矩阵，且C=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 &6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}，求矩阵C的行列式。
高代下试卷期末
2014-2015学年第二学期《几何与高等代数（下）》期末试卷(2014级数学类专业)班级 学号 姓名 得分一、判断题（每小题3分，满分15分）1．线性变换A )(V End K ∈可对角化，当且仅当V 是A 的特征子空间的 直和。
（ ）2．n 阶多项式矩阵)(λA 可逆的充分必要条件是)(λA 满秩。
（ ）3．设A 为欧氏空间V 上的对称变换，则A 的特征值都为实数，且属于A 的不同特征值的特征向量必正交。
（ ）4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111111A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000000003B ，则A 与B 相合且相似。
（ ） 5．设n 阶矩阵B A 、相似，则B A 、具有相同的不变因子组，但反之 不成立。
（ ）二、填空题（每小题3分，满分15分）1．以原点为顶点，准线为的锥面方程是 。
2．设()()3213213,,,,,,y y y x x x R V ===βα，则V 上双线性函数 关于自然基321,,εεε的度量矩阵为 。
3．设3阶方阵A 的三个特征值为1，3，31， 则=+*||E A ____ 。
4．设1)(23-+-=x x x x f ，1)(4-=x x g ，则它们的最大公因式 ()=)(),(x g x f 。
5． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=32)1(0000001)(λλλλA 的初等因子组为 。
三、计算题（每小题10分，共40分）1. 化简二次曲线方程：012241254222=+--++y x y xy x ，并写出对应的坐标变换公式。
2．设实对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010111t t A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000020001B 相似，（1）求t 的值；（2）求正交矩阵T ，使得B AT T =-1。
3．设对称多项式：（1）将),,(321x x x f 按字典序重新排列；（2）用初等对称多项式表示),,(321x x x f 。
4．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=212044010A ，（1）求A E -λ的正规形；（2）求A 的不变因子、初等因子、极小多项式以及若尔当典范形。
《高等代数2》期末试卷(B)
教育科学系14级小学教育（科学与数学）专业2014—2015学年度春学期期末考试《高等代数Ⅱ》试卷(B )试卷说明：1.本试卷共2页，4个大题，满分100分，120分钟完卷； 2.试题解答全部书写在本试卷上。
班号： 学号 姓名一、选择题：（每题3分，共15分）1．当λ=（ ）时，方程组1231231222x x x x x x λ++=⎧⎨++=⎩，有无穷多解。
A 1B 2C 3D 42．若向量组中含有零向量，则此向量组（ ）。
A 线性相关B 线性无关C 线性相关或线性无关D 不一定3．设α是n 阶可逆矩阵A 的属于特征值λ的特征向量，在下列矩阵中，α不是（ ） 的特征向量。
A 2()A E + B -3A C *A D TA4．若A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则1P A P -为（ ）。
A 实对称阵B 正交阵C 非奇异阵D 奇异阵 5．设矩阵A ，B ，C 均为n 阶矩阵，则矩阵A B 的充分条件是（ ）。
A A 与B 有相同的特征值 B A 与B 有相同的特征向量 C A 与B 与同一矩阵相似D A 一定有n 个不同的特征值1．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(4=α，则向量=+-+4321αααα 。
2．若120s ααα+++=，则向量组12,,,s ααα必线性 。
3．设向量空间1212{(,,)|0,}n n i V x x x x x x x R =+++=∈，则V 是 维空间。
4．A ，B 均为3阶方阵，A 的特征值为1，2，3，1B =-，则*A B B += 。
5．设矩阵A 满足条件2560A A E -+=，则矩阵A 的特征值是 。
6.二次型yz xz xy z y x z y x f 222),,(222---++=的矩阵是____________。
7. A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20000001k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。
高等代数考试题库及答案
高等代数考试题库及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C2. 行列式的性质中，以下哪个描述是错误的？A. 交换两行，行列式的值不变。
B. 将一行乘以一个常数，行列式的值也乘以该常数。
C. 将一行加到另一行，行列式的值不变。
D. 将两行交换，行列式的值取反。
答案：A3. 以下哪个矩阵的特征值是1？A. \(\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C4. 向量\(\alpha = (1, 2, 3)\)和\(\beta = (4, 5, 6)\)是否线性相关？A. 是B. 否答案：A5. 以下哪个不是初等矩阵？A. 单位矩阵B. 将一行乘以非零常数得到的矩阵C. 将一行加到另一行得到的矩阵D. 将两行交换得到的矩阵答案：A6. 矩阵\(A\)和\(B\)的乘积\(AB\)等于\(BA\)的条件是什么？A. \(A\)和\(B\)都是方阵B. \(A\)和\(B\)都是对角矩阵C. \(A\)和\(B\)都是对称矩阵D. \(A\)和\(B\)都是正交矩阵答案：D7. 以下哪个矩阵是正交矩阵？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：A8. 矩阵的秩是指什么？A. 矩阵中非零元素的个数B. 矩阵中最大的非零子式C. 矩阵中线性无关的行或列的最大个数D. 矩阵的行列式值答案：C9. 以下哪个矩阵是对称矩阵？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C10. 矩阵\(A\)的特征多项式是\(\lambda^2 - 2\lambda + 1\)，则\(A\)的特征值是什么？A. 1, 1B. 1, 2C. 1, 3D. 2, 2答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 矩阵\(A\)的行列式为0，则矩阵\(A\)是不可逆的。
高等代数(II)期末考试试卷及问题详解(A卷)
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间P x 的两个子空间的交11L xL x2、设12,,...,n 与12,,...,n是n 维线性空间V 的两个基，由12,,...,n 到12,,...,n的过渡矩阵是C ，列向量X 是V中向量在基12,,...,n 下的坐标，则在基12,,...,n下的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：21,,1,则其特征矩阵EA 的标准形是5、线性方程组AX B 的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、（）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（）设是非零线性空间V 的线性变换，则下列命题正确的是：（A ）的核是零子空间的充要条件是是满射；（B ）的核是V 的充要条件是是满射；（C ）的值域是零子空间的充要条件是是满射；（D ）的值域是V 的充要条件是是满射。
3、（）矩阵A可逆的充要条件是：0;A AB A是一个非零常数；C A是满秩的；D A是方阵。
4、（）设实二次型fX AX （A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...nnyyy ，则其中的12,,...n是：1;AB全是正数；C是A 的所有特征值；D不确定。
5、（）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2”，则A 的若当标准形是：200200200020;120;120;02212ABCD 以上各情形皆有可能。
三、是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“”）1、（）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且12V V 则12V V V 。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
(完整word版)高等代数期末复习试题
数学系《高等代数》期末考试试卷年级 专业 学号 姓名注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
；错误的在题后的括号内打“×”.每小题2分，共18分） 1．向量空间一定含有无穷多个向量. ( )2．若向量空间V 的维数2dim ≤V ,则V 没有真子空间. ( )3. n 维向量空间中由一个基到另一个基的过渡矩阵必为可逆矩阵. ( )4．线性变换把线性无关的向量组映成线性无关的向量组. ( )5．每一个线性变换都有本征值. ( )6．若向量ξ是线性变换σ的属于本征值λ的本征向量，则由ξ生成的子空间 为σ的不变子空间. ( )7．保持向量间夹角不变的线性变换是正交变换. ( )8．两个复二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩. ( )9. 若两个n 阶实对称矩阵B A ,均正定,则它们的和B A +也正定. ( )号码填在题目的括号内.每小题2分，共10分）1. 下列命题不正确的是 ( ).A. 若向量组},,,{21r ααα 线性无关，则它的任意一部分向量所成的向量组也线性无关；B. 若向量组},,,{21r ααα 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合；C.若向量组},,,{21r ααα 线性无关，且每一i α可由向量},,,{21s βββ 线装订线性表示，则s r ≤；D. )0(>n n 维向量空间的任意两个基彼此等价.2. 下列关于同构的命题中，错误的是( ).A ．向量空间V 的可逆线性变换是V 到V 的同构映射；B ．数域F 上的n 维向量空间的全体线性变换所成向量空间与数域F 上的所有n 阶矩阵所成向量空间同构；C ．若σ是数域F 上向量空间V 到W 的同构映射，则1-σ是W 到V 的同构映射；D ．向量空间不能与它的某一个非平凡子空间同构.3．n 阶矩阵A 有n 个不同的特征根是A 与对角矩阵相似的 ( ).A ．充分而非必要条件；B ．必要而非充分条件；C ．充分必要条件； D. 既非充分也非必要条件．4．二次型⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21213211312),(),,(x x x x x x x q 的矩阵是( ). A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1312； B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1112；C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000013013；D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000110125.实二次型Ax x x x x q '=),,(321正定的充分且必要条件是 ( ).A ．0>A ；B ．秩为3；C ．A 合同于三阶单位矩阵；D ．对某一,0),,(321≠'=x x x x 有0>'Ax x .1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，它的一个基是________.2. 设},,2,1,),,,{(21n i F x x x x F i n n =∈=是数域F 上n 元行空间，对任意n n F x x x ∈),,,(21 ，定义),,,,0,0()),,,((22121-=n n x x x x x x σ，则σ是一个线性变换，且σ的核)(σKer 的维数等于______.3. 若A 是一个正交矩阵，则2A 的行列式2A =________.4. 在欧氏空间3R 中向量)0,0,1(1=α与)0,1,0(2=α的夹角θ=______.5. 实数域Ｒ上5元二次型可分为_______类，属于同一类的二次型彼此等价，属于不同类的二次型互不等价.42分）1．求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++=+++033450220230432143243214321x x x x x x x x x x x x x x x 的解空间的一个基，再进一步实施正交化，求出规范正交基．2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=230120001A ,求A 的特征根及对应的特征向量.问A 是否可以对角化？若可以，则求一可逆矩阵T ，使AT T 1-为对角形.3． 写出3元二次型32213214),,(x x x x x x x q +=的矩阵．试用非奇异的线性变换，将此二次型变为只含变量的平方项.五．证明题（每小题10分，共20分）1．设21,λλ为n 阶矩阵A 的属于不同特征根，21,ξξ分别是A 的属于21,λλ的特征向量，证明21ξξ+不是A 的特征向量.2．设σ是n 维欧氏空间V 的正交变换，且ισ=2为单位变换，A 是σ关于V 的某一规范正交基的矩阵，证明A 为对称矩阵．数学系《高等代数》期末考试试卷（A 卷）年级 专业 学号 姓名 注：考试时间120分钟，试卷满分100分 。
(完整word版)高等代数第二学期试题
第二学期期末考试《高等代数》试题一、填空：（每空2分，共30分）1、n 元二次型正定的充分必要条件是它的正惯性指数______________。
2、A 为正定矩阵，则A _______。
3、),(21s L αααΛ的维数__________向量组s αααΛ21,的秩。
4、1V ，2V 都是线性空间V 的子空间，则维1V +维2V =______________。
5、和1V +2V 是直和的充要条件为=⋂21V V ___________。
6、数域P 上两个有限维线性空间同构的充要条件是______________。
7、A ，B 是两个线性变换，它们在基n εεεΛ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则A+B 在基n εεεΛ,,21下的矩阵为______________。
8、A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度=______________。
9、在欧几里德空间中，α=_______。
><βα,=_______。
10、欧几里德空间的一组标准正交基的度量矩阵为_______。
11、A 为正交矩阵，则A =_______，1-A =_______。
二、判断（每题2分，共10分）1、A 的值域是A 的不变子空间，但A 的核不是A 的不变子空间（ ）。
２、两个子空间的交还是线性空间V 的子空间（ ）。
3、线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的（ ）。
4、线性变换把线性无关的向量变为线性无关的向量（ ）。
5、度量矩阵是正定矩阵（ ）。
三、t 取什么值时，二次型3231212322214225x x x x x tx x x x +-+++正定？（10分）四、在4P 中，求向量ξ在基4321,,,εεεε下的坐标，其中=1ε（1，1，1，1），=2ε(1，1，-1，-1)，=3ε（1，-1，1，-1）=4ε（1，-1，-1，1），ξ=（1，2，1，1）（10分）五、3P 中，令),4,2(),,(213131321a a a a a a a a a -+-=σ，求σ在基},,{321εεε下的矩阵。
2015-2016高数(一.二)期末试卷A参考答案
课程名称:高等数学(一、二）（期末考试A ）第 3 页 （共 4 页）学 院: 专 业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――提示：请将答案写在答题纸上，写在试卷页或草稿纸上的无效。
交卷时请将答题纸（1-2页）和试卷页、草稿纸分开上交。
写在背面或写错位置的一定要注明。
一、 填空题（3分*5=15分）1. 设曲线L 是正方形区域{}(,)|01,01x y x y ≤≤≤≤的边界，则曲线积分4Lds =⎰16.2. 若级数∑∞=-1)1(n nu收敛，则=∞→n n u lim 1.3. 设0>p ，当p 满足1p >时，级数∑∞=--11)1(n pn n 绝对收敛. 4. 微分方程y x y y '=''-'''2)(的通解中含有 3 个相互独立的任意常数. 5. 微分方程212y x ''=满足初始条件00x y ==，01x y ='=的特解为4y x x =+. 二、单项选择题（3分*5=15分）1. 设∑是球面2221x y z ++=，而1∑是∑位于第一卦限部分，则曲面积分d z S ∑=⎰⎰（ A ）．（A ）0； （B ）12d z S ∑⎰⎰； （C ）18d z S ∑⎰⎰； （D ）⎰⎰∑1d 4S z ．2．若级数∑∞=1n nu绝对收敛，则下列级数中发散的是（ C ）.（A ）1n n u ∞=∑； （B ）1n n u ∞=∑； （C ）11()n n u n ∞=+∑； （D ）11()3n n n u ∞=+∑.3．设2lim1=+∞→nn n a a ，则幂级数20n n n a x ∞=∑的收敛半径=R （ A ）. （A ）21； （B ）1； （C ）2； （D ）2.4． 函数221ec x c y +=(21,c c 为任意常数)是微分方程02=-'-''y y y 的（C ）（A ）通解. (B)特解. (C)解但不是通解、特解. (D)不是解.5．已知二阶常系数线性齐次微分方程0=+'+''qy y p y 对应的特征方程有根2，3，则该微分方程通解为（ D ）.(A)12cos 2sin 3y C x C x =+. (B) 212()x y C C x e =+. (C)32x x y e e =+. (D)3212x x y C e C e =+.三、曲线积分与曲面积分（8分*2=16分）1. 沿曲线L 从点)01(，A 到点)10(，B 计算对坐标的曲线积分⎰++Ly x x xy 1)d (d 22，其中L 为折线AOB （O 是原点）．解：法（1）2P Qx y x∂∂==∂∂，所以积分与路径无关，（2分） 选择路径：L x y -=1，则（4分）⎰⎰-++-=++0122d )]1)(1()1(2[1)d (d 2x x x x y x x xy L （6分）=+-=+-=⎰111d )123(12x x x 1． （8分）法（2）OB AO L +=，其中：AO 0=y ； ：OB 0=x ，则⎰⎰⎰+++++=++OBAOLy x x xy y x x xy y x x xy 1)d (d 21)d (d 21)d (d 2222（2分）012120d 00(01)d x x x =⋅++++⎰⎰（6分）1=．（8分） 2. 计算曲面积分()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰，其中∑是z =在0,1z z ==部分下侧.解：补面1221:1z x y =⎧∑⎨+≤⎩方向向上，（2分）记22:1xy D x y +≤，100I I dv Ω+==⎰⎰⎰，（5分） 所以1()0xyD I I x y dxdy =-=--=⎰⎰.（8分）课程名称:高等数学(一、二）（期末考试A ）第 3 页 （共 4 页）学 院: 专 业: 学号: 姓名:―――――――――――――装――――――――――――订――――――――――――线――――――――――――――四、级数（8分*3=24分） 1. 证明级数∑∞=+-121)1(n n n 条件收敛.解：由n nn n n n 2131111)1(2222=+≥+=+- ，及级数∑∞=121n n 发散， 得级数∑∞=+-121)1(n n n 发散（3分）；又112+=n u n ，有nn u n n u =+≤++=+111)1(1221，及011limlim 2=+=∞→∞→n u n n n ，由莱布尼茨判别法，得∑∞=+-121)1(n n n 收敛．（6分）因此级数∑∞=+-121)1(n n n 条件收敛。
2015下高等代数A参考答案
2015年秋季学期《高等代数 》课程期末考试试卷（A 卷）参考答案注意：1、本试卷共 3 页； 2、考试时间120分钟一、单项选择题（共5小题，每小题4分，共20分）1、下列命题为真的是( A ).A. 最大公因式不唯一；B. 有理数域不是最小的数域；C. 若3()()p x f x , 则()p x 是()f x 三重因式；D.若()f x 有重因式, 则()f x有重根.2、已知432()341f x x x x x =+---，32()1g x x x x =+--， 则((),())f x g x =（C ）(A) 21x + ； (B) 1x - ； (C) 1x + ； (D) 以上答案都不对.3、在6级行列式中, 132132465465324314516625;a a a a a a a a a a a a 这两项应带有什么符号 (A ).A. 正，正；B. 正，负；C. 负，正；D. 负，负.4. 设向量组s ααα,,,21Λ的秩为r ，则下列命题为假的是（ C ）.A. 向量组s ααα,,,21Λ中如果存在1r +个不同的向量构成的向量组的话，则必线性相关；B. .r s ≤C. 如果向量组t βββ,,,21Λ的秩为r ，则t βββ,,,21Λ一定与s ααα,,,21Λ等价D. 如果r ααα,,,21Λ为s ααα,,,21Λ的一个极大线性无关组， 则必与s ααα,,,21Λ等价.5、设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++sn sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212*********,, （1），下列结论为假的是（D ）A. 若0,1,2...i b i s ==，则方程组（1）的任意两个解之和还是（1）的解 ；B. 若0,1,2...i b i s ==，则方程组（1）的任意解的倍数还是（1）的解；C. 若存在某个0,i b ≠，则方程组（1）的任意两个解之和不是（1）的解;D. 若存在某个0,i b ≠，则方程组（1）的任意解之差是（1）的解.二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1、已知矩阵方程2122212111X ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 则X =111000⎛⎫⎪⎝⎭．． 2. 一个齐次线性方程组中共有s 个线性方程、t 个未知量，其系数矩阵的秩为p ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数等于t p -．3、排列(1)321n n -L 的逆序数为(1)2n n - 4、1827641491612341111= 12 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华中科技大学高等代数2015年期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+=2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：二、 单项选择题（每小题3分，共15分）1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()D 以上各情形皆有可能。
三、 是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =则12VV V =⊕。
2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下的矩阵是一对角矩阵。
3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。
4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
四、 解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间4P 中，定义线性变换：()()()()4,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P '''=++∀∈（1）求该线性变换 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。
2、（1）求线性空间[]Px 中从基()()()2:1,1,1I x x --到基()()()2:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；（2）求线性空间[]3Px 中向量()2123f x x x =-+在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标。
3、在R 2中，()()1212,,,a a b b αβ∀==，规定二元函数：()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+（1） 证明：这是R 2的一个内积。
（2） 求R 2的一个标准正交基。
五、 证明题（每小题10分，共30分）1、 设P 3的两个子空间分别为：(){}(){}11231232123123,,0,,,0W x x x x xx W x x x x xx =++==--= 证明：（1）312P W W =+；（2）12W W +不是直和。
2、设 是数域P 上线性空间V 的线性变换，证明()12,,...,r W L ααα= 是 的不变子空间的兖要条件是()1,2,...,i Wi r α∈=3、已知A E -是n 级正定矩阵，证明： （1）A 是正定矩阵； （2）23n A E +>参考答案一、 填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间[]Px 的两个子空间的交()()11L x L x -+={}2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是1C X-3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 相似关系4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵E A λ-的标准形是()10000001λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是：A AX A B''=二、 单项选择题（每小题3分，共15分）2、 （ A ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。
2、（ D ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B ） 的核是V 的充要条件是 是满射； （C ） 的值域是零子空间的充要条件是 是满射； （D ） 的值域是V 的充要条件是 是满射。
3、（ B ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0;A AB A λλ≠是一个非零常数；()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。
4、（ C ）设实二次型f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为：2221122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是：()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。
5、（ A ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是：()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()D 以上各情形皆有可能。
三、 是非题（每小题2分，共10分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”） 1、（ × ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =则12VV V =⊕。
2、（ √ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。
3、（ √ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。
4、（ × ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。
5、（ √ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
四、 解答题（每小题10分，共30分）1、在线性空间4P 中，定义线性变换：()()()()4,,,,,,,,,a b c d a b a c b d a b c d P '''=++∀∈（1）求该线性变换 在自然基：()()121,0,0,0,0,1,0,0εε''==()()340,0,1,0,0,0,0,1εε''==下的矩阵A ；（2）求矩阵A 的所有特征值和特征向量。
解：（1）线性变换 在自然基下的矩阵是1000010010100101A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（5分）（2）因为()41E A λλ-=-所以矩阵A 的所有特征值是12341λλλλ====解齐次线性方程组()0E A X -=得矩阵A 的所有特征向量：()()120,0,1,00,0,0,1k k ''+，其中12,k k 不全为零。
（5分）2、（1）求线性空间[]3Px 中从基()()()2:1,1,1I x x --到基()()()2:1,1,1II x x ++的过渡矩阵；（2）求线性空间[]3P x 中向量()2123f x x x =-+在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标。
解：（1）因为()()()()221111,1,11,,012001x x x x -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()()()221111,1,11,,012001x x x x ⎛⎫ ⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭所以()()()()()()1221111111,1,11,1,1012012001001x x x x --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()21111111,1,1012012001001x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭即所求的过渡矩阵为124014001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（5分） ()()()21241,1,1014001x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭（2）因为()()()()221111,,1,1,1012001x x x x ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭故()()2211231,,23f x x x x x ⎛⎫ ⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭()()()()()2211111,1,10122241310013x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪⎪=---=+-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以()f x 在基()()()2:1,1,1I x x --下的坐标是：243⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（5分） 3、在R 2中，()()1212,,,a a b b αβ∀==，规定二元函数： ()11122122,4a b a b a b a b αβ=--+（3） 证明：这是R 2的一个内积。