数学物理方法课件：第四章 留数定理及其应用

z0
z0 z 2i 2i 2
z0 0 是f（z）的三阶极点
Re
s
f（0）
lim
z0
1 2！
d2 dz 2
z3 f（z）
1 d2
lim
z0
2！
dz
2
1
z
2i
12
lim
z0
2！（z
2i）3
1 i
8i 8
[例2] [解1]
求
f（z）
1 zn 1
f（z）（z 1）（z
在z0=1的留数
k！
Re s
f（z0）
a1
bm 1 （m
1
d m1
1）！dzm1
（z）
z z0
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[推论]
若
f（z）
P（z），其中
Q（z）
P（z）和
Q（z）都在
[z则证0点：明解] 析R，Pe（s且zf0）（Pz（00），z0）QQ（P0（（，z0）zzQ00））（0z0） 0，Q（z0） 0
对
R
z
k
环 域中一个正向
（顺时针）回路l’，另作一
l
个围绕 点半径r很大的圆
形环路C。根据柯西定理：
C
f（z）dz f（z）dz ak zkdz
l
C（）
k C
zkdz （rei）kd（rei）
C
C
ir
k
1
2
e
i（k
1）
d
0
2i
k 1 k 1
0
f（z）dz 2ia1 2i Re s f（） l
的极点及留数
[解]
f（z）
z z（3 z2
2i
4）
1 z（3 z
2i）
lim（z
z2i
2i）f（z）
lim
z2i
1 z3
1 8i
i 8
z0 2i 是f（z）的单极点
Re s f（2i） i
8
f（z）
z 2i z（3 z2 4）
1 z（3 z 2i）
lim z3 f（z） lim 1 1 i
[推论] 函数f（z）在全平面上所有各点 （有限远和无限远）的留数和为零。
n
Re s f（）
Re s
f（b
）
j
j 1
三、留数的计算
1、一般方法：根据定义，设 f（z）在以孤
立奇点
z0
为中心的环域
0
z
z0
R 内解析，
将f（z）展成洛朗级数：f（z） a（k z z0）k
Re s f（z0） a1
a1
1
2i
C
f（z）dz
称为f（z）在z0点的留数
记作：Re s f（z0） a1
（2）设 f（z）在无限远点 邻域 R z
内解析，将f（z）展成洛朗级数：
f（z） ak zk R z
k
ak
1
2i
C（
f（）
z0）k1
d
积分路径C是位于环域 内按顺时针方向绕z0点 一周的任一闭合曲线
k0
a（k z
z0）k
1
（z z0）m
（z）
am
am（1 z
z0） am（2 z
（z）
z0）2
（z z0）m
在z=z0点解析，且 （z0） 0
（z z0）m
b0 am
f（z） （z） b（k z z0）k
k0
b1 am1 （ m···k···1） bm1
bk a1
（k z0）
根据柯西定理
l ·b1 l1 ·bnln
f（z）dz f（z）dz
l
l（1 ） f（z）dz f（z）dz
l2（）
l
（） n
2iRe s f（b1） Re s f（b2） Re s f（bn）
n
2i Re s
f（b
）
j
j 1
（3）对 点，若f（z）在 R z 环域上解析 f（z） ak zk （R z ）
j 1
（1）若l只包围一个孤立奇点z0：
在z0邻域将f（z）展成洛朗级数
f（z） a（k z z0）k （0 z z0 R）
r·z0 l0
k
l
在R内作包围z0的小圆形回路l0
f（z）dz f（z）dz a（k z z0）kdz
l
l0（）
l0（）k
逐项积分： 当k 1时
（z z0）kdz 0
a1
1
2 i
C
（f z）dz
称为f（z）在 点的留数
记作：Re s f（） a1
二、留数定理
[定理] 设函数f（z）在闭合回路l所围区域B
上除有限个孤立奇点b1，b2，···，bn外解析；
在闭区域B上除b1，b2，···，bn外连续，则：
n
f（z）dz
2i Re s
f（b
）
j
[证明] l
第四章 留数定理及其应用
§4·1 留数定理 一、留数定义
（1）设 f（z）在以孤立奇点 z0 为中心的环
域 0
数：
z
z0
R
内解析，将f（z）展成洛朗级
f（z） a（k z z0）k 0 z z0 R
k
ak
1
2i
C（
f（）
z0）k1
d
积分路径C是位于环域 内按逆时针方向绕z0点 一周的任一闭合曲线
a
m
对单极点（m=1）：
lim（ z
zz0
z0）f（z）
a1
Re
s
f（z0）
对m阶极点：
[定理]设 z0 是f（z）的m阶极点，则
Re s
f（z0）（m
1 1）！zlimz0
ddzmm11（z
z0）m
f（z）
[证明] z0 是f（z）的m阶极点
f（z）（z
am z0）m
（z
am1 z0）m1
l（0 ）
当k 1时
（z
l0（）
z0）k dz
l0（）
z
dz z0
2i
r·z0 l0
l
f（z）dz 2i a1 2i Re s f（z0）
l
（2）若l包围b1，b2，···，bnn个孤立奇点
作包围各孤立奇点的小圆形回 路l1、 l2 、l3 、···、ln
·b2l2 ·b3 l3
k
※对本性奇点一般只能用此法
0 z z0 R
2、极点留数的计算：设 z0 是f（z）的m阶极点
f（z）（z
am z0）m
（z
am1 z0）m1
k0
a（k z
z0）k
（z
1 z0）m
am am（1 z z0） am（2 z z0）2
lim（z
zz0
z0）m
f（z）
Re
s
z0是f（z）的单极点
f（z0）
lim（z
zz0
z0）f（z）ຫໍສະໝຸດ zlimz0（ zz0）QP（（zz））
lim z z0
Q（zP）（ Qz）（z0）
z z0
P（z0） Q（z0）
3·无限远点留数的计算
n
Re s f（） Re s
f（b
）
j
j 1
[例1]
求
f（z）
z 2i z5 4z3
1 n1 zn2 z
1）
z0 1 是f（z）的单极点
Re s f（1） lim（ z 1）f（z） 1
z1
n
[解2]
Re
s
f（1）
lzim1（ z
n
1
1）
lzim1
1 nz n1
1 n
[例3] 求 f（z） 1 的极点及其留数