上海交通大学复变函数习题

复变函数习题 一：选择题：

1. 1

2

z =-

的辐角为：（A ） A

．(21)0,1,2)k arctg k π-+=±±

B.(21)0,1,2)k k π-+=±±

C. 20,1,2)k arctg k π+=±±

D. 20,1,2)k k π+=±±

2. 221

1

c z z dz z -+-⎰,其中(:2)c z =(B) A ．2i π B. 4i π C. 6i π D.0 3.

2

1

(1)

z z z +-在1z <<+∞洛朗级数为（B ） C A. 210112n n z z ∞+=+∑ B. 10112n n z z ∞+=+∑ C. 230112n n z z

∞+=+∑ D. 23011n n z z ∞

+=+∑

4.

1

sin z

在(0,1,)z n n π==± 留数（A ） A ．(1)n - B.1 C.0 D. 1-

5. 将上半z 平面Im 0z >共形映射成单位圆1w <分式线性变换()w L z =符合

'

()0,L()0L i i =>为（B ）

A ．()z i L z z i -=

+ B. ()z i L z i z i -=+ C. 1()z L z i z i -=+ D. ()1

z i

L z i z -=+ 6.复数2

3

(cos5sin 5)(cos3sin 3)

i i ϕϕϕϕ+-化为指数形式：(A) A ．19i

e

ϕ B. 17i

e

ϕ C. 20i

e

ϕ D. 16i

e

ϕ

7.已知()cos cosh sin sinh f z x y i x y =∙-∙，则/

()f z =(C) D

A ．cos z B. sin z C. cos z - D. sin z - 8.

2

()c

x y ix dz -+⎰=。

。。。。（积分路径C 是连接0到1i +的直线段）B A. 13

i +-

B. 13i --

C. 12i --

D. 12i

-

9.幂级数

1

n n

n n z

∞

=∑收敛半径(C)

A ．2 B.1 C.0 D.

12

10.函数

22

1

(4)z z z -+的奇点（B ）

A.0，2

B.0, 2±, ∞

C. 2±

D. ∞

11. (),()f z g z 分别以z a =为m 阶极点及n 阶极点。()m n >试问z a =为()

()

f z

g z 的(A) B A. m n -级零点 B. m n -级极点 C. n m -级零点 D. 级极点 12.

1

sin z

在(0,1,)z n n π==± 的留数为（C ） A ．1± B. 0 C. (1)n - D. 1

13.

2

2121zt

z e dz i z π=+⎰=(A) A. sin t B. cos t C. tan t D. 2t

14. 满足三对对应点(1,2,3)i i z w i ↔=的线性变换(1,,,)(1,0,1,)i i z w -=-为(A) A.

(1)()13(1)i z i z i z +-++- B. (1)()13(1)i z i z i z --++- C. (1)()13(1)i z i z i z --+++ D. (1)()

13(1)

i z i z i z --+-+

15. 满足三对对应点(1,2,3)i i z w i ↔=的线性变换1,,1,)(,1,0,)i z w -=∞-为（B ） A ．1w z =

B. 1w z =-

C. 2w z

= D. 21

w z = 二：填空题：

1.

已知1z

e =，则z =------ln 2(

2).(0,1,)3

i k k π

π++=±

2. 幂级数00,2

n n

n n n z nz n ∞

∞==∑∑收敛半径为----1，---2.

3. 求出1

()1z

f z e =

+的奇点----(21),(0,1,)k i k π+=+ .奇点类型为----一级极点.其中∞点类型为----非孤立奇点 4. 已知11

()e z f z -=，则Re ()z s f z =∞

=-----1-

5. 变换i w z =

把半带形Re 0,0Im 1z z ><<区域-------11

Re 0,,Im 022

w w w >->> 6. 若复数z 满足(12)(12)30z z i z i z +-+++=， 2z +的取值范围…

.

2z ≤+≤

7. 设z x iy =+，函数2222

()x y f z i x y x y

=

-++，当0,z ≠/

()f z =….. 21z - 8.

(sin )z

c

z e

z dz -⎰=……22a π (其中C 为圆周0.z a =>)

9. 将函

数

225

z

z z -+在收敛域按

1

z -得幂展

开 (22)

20

11111

[(1)1][(1)1](1)1(1)4441()

2

n n n z z z z z z ∞

=-+=-+=-+---++∑ 10. 函数1sin cos z z +奇点……. (0.1...),4

k k π

π-=∞,类型为…..一级极点，非孤立奇点

11. 函数1cos z

e z

奇点……0,∞.,类型为…..本性奇点

12.

2

22

(1)(4)

x dx x x +∞

++⎰

=……. 6π. 13.

2

222

(0)

()x dx a x a +∞

-∞

>+⎰

=….. 2a π 14. 满足使1变成∞，点i 二重不动点分式线性变换……. (21)1

()1

i z L z z -+=

-

15. 2

w z =在z i =处伸缩率，旋转角分别为…………2,

2

π 三：计算题：

1. 设z x iy =+，试求 （1）2i z

e

-，（2）2

z e

，（3）1

Re()z

e

2.将下列函数展出z 的 幂级数，并指出展式成立的范围

（1）1az b +（,a b 为复数，且0b ≠）； （2）0

sin z

z

dz z ⎰

3.计算下列积分值 （1）

22(1)(1)

C dz z z -+⎰，22

:2()C x y x y +=+； （2）20(1)cos d a a πθθ>+⎰ 4. 求积分

220

(281)dz a

z z π++⎰

之值，其中积分路径是连接0到2a π的摆线：

(sin ),(1cos )x a y a θθθ=-=-。

5. 求下列函数()f z 在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数（m 是正整数）