高一下学期期末数学考试试卷第13套真题
2021年浙江省杭州市第十三高中高一数学理下学期期末试卷含解析
2021年浙江省杭州市第十三高中高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．6 B．9 C．12 D．18参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，分别计算底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的锥体，其底面面积S=，高h=3，故该几何体的体积V==9，故选：B【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A． B． C． D．参考答案：A3. 已知，则下列不等式成立的是A. B. C. D.参考答案：C4. 将-885°化为的形式是（）A. B.C. D.参考答案：B将-885°化为的形式是。
5. 下列图形中不一定是平面图形的是（）A. 三角形B. 四边相等的四边形C. 梯形D.平行四边形参考答案：B略6. 如图，已知B、C是以原点O为圆心，半径为1的圆与x 轴的交点，点A在劣弧（包含端点）上运动，其中，，作于H．若记，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）参考答案：C略7. 如图，在直角坐标系中，射线交单位圆于点，若，则点的坐标是（）A． B．C． D．参考答案：A略8. 若cosθ=（﹣＜θ＜0），则cos（θ﹣）的值是（）A．B．C．D．参考答案：C 【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由同角三角函数基本关系可得sinθ，代入两角差的余弦公式计算可得．【解答】解：∵﹣＜θ＜0且cosθ=，∴sinθ=﹣=﹣，∴cos（θ﹣）=cosθ+sinθ=+=．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的三角函数，涉及同角三角函数基本关系，属基础题．9. 圆上的点到直线的距离的最大值是（）A. B. C． D.参考答案：B10. 设，，，则它们的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球若从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是，则从中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率为______．参考答案：因为袋中装有大小相同的总数为5个的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，共有10种，没有得到白球的概率为，设白球个数为x,黑球个数为5-x,那么可知白球共有3个，黑球有2个，因此可知填写为12. 某人按如下方法做一次旅行(都在同一个平面上)：第一天向东行千米，第二天向南行千米，第三天向西行千米，第四天向北行千米，第五天再向东行千米，第六天再向南行千米，…，如此继续下去，到第四十天结束时，他距第一天出发点的直线距离为千米．1160参考答案：1160解：根据题意，第一个四天结束，向西走32-12=4×2米，向北走42-22=6×2米；第二个四天结束，向西走32-12+72-52=（4+12）×2米，向北走42-22+82-62=（6+14）×2米；依次规律，到第四十天结束时，向西走（4+12+…+76）×2=800米，向北走（6+14+…+78）×2=840米；∴到第四十天结束时，他距第一天出发点的直线距离为=1160千米。
2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题含解析
2024届北京市西城区普通中学数学高一下期末考试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．圆221:1O x y +=与圆222:30O x y +--+=的位置关系是（ ）A ．外离B ．相交C ．内切D ．外切2．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510315S S ==，，则20S =（ ） A ．255B ．375C ．250D ．2003．若角α的终边过点(1,2)-，则sin2α=( ) A ．45B ．2-5C ．25D ．45-4．已知直线l 经过点(1,2)P -，且倾斜角为45，则直线l 的方程为（ ） A ．30x y --= B ．10x y --= C ．30x y -+=D ．30x y +-=5．已知正实数x y 、满足224x y +=，则的最大值为（ ）A ．2B ．52C ．3D ．946．在某次测量中得到A 样本数据如下：43,50,45,55,60，若B 样本数据恰好是A 样本每个数都增加5得到，则A 、B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．中位数C ．方差D ．平均数7．执行如图所示的程序框图，若输出的S ＝88，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．8．函数cos tan y x x =⋅（302x π≤<且2x π≠）的图像是下列图像中的（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，其图象向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数.有下列结论： ①函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的图象关于直线512x π=对称；③函数()f x 在52,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④函数()f x 在7,312ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．某次运动会甲、乙两名射击运动员成绩如右图所示，甲、乙的平均数分别为为x 甲、x 乙，方差分别为2s 甲，2s 乙，则（ ）A ．22x x s s >>甲乙甲乙，B ．22x x s s ><甲乙甲乙，C ．22x x s s 甲乙甲乙，D ．22x x s s <<甲乙甲乙，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
高一(下学期)期末考试数学试卷
高一（下学期）期末考试数学试卷（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、多选题1．下列抽样方法是简单随机抽样的是（ ）A ．某工厂从老年、中年、青年职工中按2∶5∶3的比例选取职工代表B ．用抽签的方法产生随机数C ．福利彩票用摇奖机摇奖D ．规定凡买到明信片最后四位号码是“6637”的人获三等奖 2．若直线a 平行于平面α，则下列结论正确的是（ ） A ．a 平行于α内的有限条直线 B ．α内有无数条直线与a 平行 C ．直线a 上的点到平面α的距离相等 D ．α内存在无数条直线与a 成90°角3．设a ，b ，l 为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，下列四个命题中错误的是（ ） A ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ B ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，则l γ⊥C ．若a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβD ．若αβ⊥，l αβ=，A α∈，AB l ⊥，则AB β⊥4．小王于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小王选择了10年期每月还款数额相同的还贷方式，且截止2021年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2021年小王的家庭收入用于各项支出的比例分配图：根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ） A ．小王一家2021年用于饮食的支出费用跟2018年相同 B ．小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍 C ．小王一家2021年的家庭收人比2018年增加了1倍 D ．小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点F 是棱1BB 的中点，点P 在四边形11BCC B 内(包括边界)运动，则下列说法正确的是（ ）A ．若P 在线段1BC 上，则三棱锥1P AD F -的体积为定值B ．若P 在线段1BC 上，则DP 与1AD 所成角的取值范围为,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．若//PD 平面1AD F ，则点PD ．若AP PC ⊥，则1A P 与平面11BCC B二、单选题6．已知a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，⋂=c αβ，a α⊂，b β⊂，则“a ，b 相交“是“a ，c 相交”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件7．某校有男生3000人，女生2000人，学校将通过分层随机抽样的方法抽取100人的身高数据，若按男女比例进行分层随机抽样，抽取到的学生平均身高为165cm ，其中被抽取的男生平均身高为172cm ，则被抽取的女生平均身高为（ ） A ．154.5cmB ．158cmC ．160.5cmD ．159cm8．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ） A ．互为余角B ．相等C ．其和为周角D ．互为补角9．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图,估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3，75，72B ．72，75，73.3C ．75，72，73.3D ．75，73.3，7210．对于数据：2、6、8、3、3、4、6、8，四位同学得出了下列结论：甲：平均数为5；乙：没有众数；丙：中位数是3；丁：第75百分位数是7，正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．为了贯彻落实《中共中央国务院全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校结合自身实际，推出了《植物栽培》《手工编织》《实用木工》《实用电工》《烹饪技术》五门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选三门进行学习，学生经考核合格后方能获得该学校荣誉毕业证，则甲､乙两人的选课中仅有一门课程相同的概率为（ ） A ．325B ．15C ．310 D ．3512．已知正四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A．2BCD ．1三、填空题13．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 、G 分别为棱11B C 、1CC 、11D C 的中点，P 是底面ABCD 上的一点，若1A P ∥平面GEF ，则下面的4个判断∶点P∶线段1A P ；∶11A P AC ⊥；∶1A P 与1B C 一定异面．其中正确判断的序号为__________．14．甲、乙两同学参加“建党一百周年”知识竞赛，甲、乙获得一等奖的概率分别为14、15，获得二等奖的概率分别为12、35，甲、乙两同学是否获奖相互独立，则甲、乙两人至少有1人获奖的概率为___________.15．数据1x ，2x ，…，8x 平均数为6，标准差为2，则数据126x -，226x -，…，826x -的方差为________. 16．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，直线AB 与CD 所成的角为__________.四、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,AB BC AA AB ⊥=，G 是棱11A C 的中点．(1)证明：1BC AB ⊥；(2)证明：平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲：0,0,1,2,0,0,3,0,4,0；乙：2,0,2,0,2,0,2,0,2,0． （1）分别求两组数据的众数、中位数；（2）根据两组数据平均数和标准差的计算结果比较两台机床性能．19．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[)2030，，[)3040，，，[]8090，，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[)4050，内的人数； （3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.20．某学校招聘在职教师，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率依次为113224，，，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为311422，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为2132，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为4354，，若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该学校的在职教师．甲、乙两人通过各个环节相互独立． (1)求甲未能参与面试的概率；(2)记乙本次应聘通过的环节数为X ，求(3)P X =的值；(3)记甲、乙两人应聘成功的人数为Y ，求Y 的的分布列和数学期望21．如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面,ABC AB AC =，,M N 分别为,BC AB 的中点，(1)求证：MN //平面P AC (2)求证：平面PBC ⊥平面P AM22．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，其对角线AC 与BD 相交于点O ，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=，13AA =，2AB =.(1)证明：1A O ⊥平面ABCD ； (2)求三棱锥11C A BD -的体积.参考答案：1．BC【分析】由题意，根据简单随机抽样的定义，可得答案.【详解】对于A ，此为分层抽样；对于B ，此为随机数表法；对于C ，此为简单随机抽样；对于D ，此为系统抽样. 故选：BC. 2．BCD【分析】根据直线与平面平行的性质即可判断.【详解】因为直线a 平行于平面α，所以a 与平面α内的直线平行或异面，选项A 错误；选项B ，C ，D 正确.故选：BCD. 3．ACD【分析】选项ACD ，可借助正方体构造反例；选项B ，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥，可证明l m ⊥，l n ⊥，即得证.【详解】A 选项：取11//A C 平面ABCD ，1111AC B D ⊥，但是11B D 不垂直于平面ABCD ，命题A 错误． B 选项：设a αγ⋂=，b βγ=，在平面γ分别取直线m 满足m a ⊥，直线n 满足n b ⊥．因为αγ⊥，βγ⊥，所以m α⊥，n β⊥，又l α⊆，l β⊆，所以l m ⊥，l n ⊥，所以l γ⊥．命题B 正确． C 选项：11//A B 平面ABCD ，//CD 平面11ABB A ，但平面ABCD 与平面11ABB A 不平行，命题C 错误． D 选项：平面ABCD ⊥平面11ABB A ，交线为AB ，1B ∈平面11ABB A ，1B C AB ⊥，但1B C 与平面ABCD 不垂直，命题D 错误． 故选：ACD4．BD【分析】由题意，根据扇形统计图的性质，可得答案.【详解】对于A ，小王一家2021年用于饮食的支出比例与跟2018年相同，但是由于2021年比2018年家庭收入多，∶小王一家2021年用于饮食的支出费用比2018年多，故A 错误；对于B ，设2018年收入为a ，∶相同的还款数额在2018年占各项支出的60%，在2021年占各项支出的40%，∶2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用为1.512%0.18a a ⨯=，小王一家2018年用于其他方面的支出费用为0.06a ，∶小王一家2021年用于其他方面的支出费用是2018年的3倍，故B 正确；对于C ，设2018年收入为a ，则2021年收入为：0.6 1.50.4aa =，故C 错误； 对于D ，小王一家2021年用于房贷的支出费用与2018年相同，故D 正确． 故选：BD ． 5．ACD【分析】A. 如图，当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，分析得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN =D. 点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB 1,所以1A P 与平面11BCC B=所以该选项正确. 【详解】A. 如图，因为11//,BC AD AD ⊂平面1,AFD 1BC ⊄平面1,AFD 所以1//BC 平面1,AFD 所以当P 在线段1BC 上时，当P 到平面1AFD 的距离不变，又底面1AFD △的面积是定值，所以三棱锥1P AD F -的体积为定值，所以该选项正确；B. 如图，因为11//,BC AD 所以DP 与1AD 所成角就是DP 与1BC 所成的角（锐角或直角），当点P 在1,B C 时，由于∶1BDC 是等边三角形，所以这个角为3π，当1DP BC 时，这个角为2π，由图得DP 与1AD 所成角的取值范围为[,]32ππ，所以该命题错误；C.如图，,M N 分别是1,CC CB 中点，点P 的轨迹是线段MN ,由于//DM AF ,AF ⊂平面1AFD ,DM ⊄平面1AFD ,所以//DM 平面1AFD ，同理可得//MN 平面1AFD ，又,DM MN ⊂平面DMN ,DMMN M =,所以平面//DMN 平面1AFD ，所以//DP 平面1AFD ，MN ==P 选项正确；D.如图，由题得1A P 与平面11BCC B 所成角为11A PB ∠,1112tan A PB PB ∠=,即求1PB 的最小值，因为,PC AP PC AB ⊥⊥,,,AP AB A AP AB ⋂=⊂平面ABP ,所以PC ⊥平面ABP ,所以PC BP ⊥,所以点P 的轨迹为以BC 中点O 为圆心，以1为半径的半圆，1BO 所以1PB1,所以1A P 与平面11BCC B 所=所以该选项正确.故选：ACD 6．C【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.【详解】解：∶若a ，b 相交，a α⊂，b β⊂，则其交点在交线c 上，故a ，c 相交， ∶若a ，c 相交，可能a ，b 为相交直线或异面直线．综上所述：a ，b 相交是a ，c 相交的充分不必要条件． 故选：C ． 7．A【分析】由分层抽样求出100人中的男女生数，再利用平均数公式计算作答. 【详解】根据分层随机抽样原理，被抽取到的男生为60人，女生为40人， 设被抽取到的女生平均身高为cm x ，则6017240165100x⨯+=，解得154.5cm x =，所以被抽取的女生平均身高为154.5cm . 故选：A 8．D【分析】做出图像数形结合即可判断.【详解】如图，A 为二面角--l αβ内任意一点，AB α⊥，AC β⊥，过B 作BD l ⊥于D ， 连接CD ，因为AB α⊥，l α⊂，所以AB l ⊥因为AC β⊥，l β⊂，所以AC l ⊥，且AB AC A ⋂=， 所以l ⊥平面ABCD ，且CD ⊂面ABCD ，所以⊥l CD 则BDC ∠为二面角l αβ--的平面角，90ABD ACD ∠∠︒＝＝，BAC ∠为两条垂线AB 与AC 所成角，所以180A BDC ∠∠︒＋＝， 所以两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角. 故选：D. 9．B【解析】根据频率分布直方图,结合平均数、众数、中位数的求法,即可得解. 【详解】由频率分布直方图可知,平均数为450.00510450.00510550.01510650.02010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯750.03010850.02510950.0051072+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=众数为最高矩形底边的中点,即75中为数为:0.005100.015100.02010100.5x ⨯+⨯+⨯+⨯= 可得0.010x = 所以中为数为0.010701073.30.030+⨯≈ 综上可知,B 为正确选项 故选:B【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,平均数、众数、中位数的计算,属于基础题. 10．B【分析】分别求出平均数，中位数，众数，第75百分位数即可得解. 【详解】解：平均数为2683346858+++++++=，故甲正确；众数为：3，6，8，故乙错误；将这组数据按照从小到大的顺序排列：2,3,3,4,6,6,8,8， 则中位数为4652+=，故丙错误； 875%6⨯=，则第75百分位数为6872+=，故丁正确， 所以正确的个数为2个. 故选：B. 11．C【分析】先分析总的选课情况数，然后再分析甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的情况数，然后两者相除即可求解出对应概率.【详解】甲、乙总的选课方法有：3355C C ⋅种，甲、乙两人的选课中仅有一门课程相同的选法有：5412C C ⋅种，（先选一门相同的课程有15C 种选法，若要保证仅有一门课程相同只需要其中一人从剩余4门课程中选取2门，另一人选取剩余的2门课程即可，故有24C 种选法）所以概率为12543355310C C P C C ==，故选：C.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析两人的选课仅有1门相同的选法数，可通过先确定相同的选课，然后再分析四门课程中如何做到两人的选课不同，根据古典概型的概率计算方法完成求解. 12．D【详解】试题分析：因为线面平行，所求求线面距可以转化为求点到面的距离，选用等体积法．1//AC 平面BDE ，1AC ∴到平面BDE 的距离等于A 到平面BDE 的距离，由题计算得11111223232E ABD ABD V S CC -=⨯=⨯⨯⨯在BDE 中，BE DE BD ===BD边上的高2==，所以122BDE S =⨯=所以1133A BDE BDE V S h -==⨯，利用等体积法A BDE E ABD V V --=，得: 13⨯=解得: 1h = 考点：利用等体积法求距离 13．∶∶【分析】先证明平面1A BD ∥平面GEF ，可判断P 的轨迹是线段BD ，结合选项和几何性质一一判断即可． 【详解】分别连接11,,BD A B A D ，所以11BD B D ∥，又因为11B D ∥EG ，则BD EG ∥， 同理1A D EF ∥，1,BDA D D EGEF E ==，故平面1A BD ∥平面GEF ，又因为1A P ∥平面GEF ，且P 是底面ABCD 上的一点，所以点P 在BD 上．所以点P 的轨迹是一段长度为BD =，故∶正确；当P 为BD 中点时1A P BD ⊥，线段1A P ，故∶错； 因为在正方体1111ABCD A B C D -中，1AC ⊥平面1A BD ，又1A P ⊂平面1A BD ， 则11A P AC ⊥，故∶正确；当P 与D 重合时，1A P 与1B C 平行，则∶错． 故答案为：∶∶14．1920【分析】利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由题意可知，甲不中奖的概率为1111424--=，乙不中奖的概率为1311555--=，因此，甲、乙两人至少有1人获奖的概率为111914520-⨯=.故答案为：1920. 15．16【详解】试题分析：由题意知12868x x x x +++==，(862s x +-=，则12848x x x +++=，24s =，而()()()12826262624886688x x x y -+-++-⨯-⨯===，所以所求方差为()()()2222212812122122124168s x x x s ⎡⎤=-+-++-=⨯=⎣⎦'．故正确答案为16．考点：两组线性数据间的特征数的运算．【方法点晴】此题主要考查两组俱有线性关系的数据的特征数关系，当数据{}12,,,n x x x 与{}12,,,n y y y 中若有i i y ax b =+时，那么它们之间的平均数与方差（标准差）之间的关系是：y x =，222y x s a s =或是y x s as =，掌握此关系会给我们计算带来很大方便． 16．60°【分析】将所求异面直线平移到同一个三角形中，即可求得异面直线所成的角. 【详解】如图，取AC ，BD ，AD 的中点，分别为O ，M ，N ，则11,22ON CD MN AB ∥∥，所以ONM ∠或其补角即为所求的角.因为平面ABC ⊥平面ACD ，BO AC ⊥，平面ABC平面ACD AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面ACD ，又因为OD ⊂平面ACD ，所以BO OD ⊥. 设正方形边长为2，OB OD ==2BD =，则112OM BD ==. 所以=1ON MN OM ==.所以OMN 是等边三角形，60ONM ∠=︒. 所以直线AB 与CD 所成的角为60︒． 故答案为： 60° 17．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由线面垂直得到1AA BC ⊥，从而求出BC ⊥平面11ABB A ，得到1BC AB ⊥；（2）根据正方形得到11BA AB ⊥，结合第一问求出的1BC AB ⊥，得到1AB ⊥平面1A BC ，从而证明面面垂直. （1）∶1AA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ， ∶1AA BC ⊥． 又因为1,BC AB AA AB A ⊥=，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以BC ⊥平面11ABB A ． ∶1AB ⊂平面11ABB A ， ∶1BC AB ⊥． （2）∶1AA AB =，易知矩形11ABB A 为正方形， ∶11BA AB ⊥．由（1）知1BC AB ⊥，又由于11,,A B BC B A B BC =⊂平面1A BC ，∶1AB ⊥平面1A BC ． 又∶1AB ⊂平面1AB G ， ∶平面1AB G ⊥平面1A BC ．18．（1）甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1；（2）甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定.【分析】（1）根据众数和中位数的公式直接计算，众数是指数据中出现次数最多的数据，中位数是按从小到大排列，若是奇数个，则正中间的数是中位数，若是偶数个数，则正中间两个数的平均数是中位数；（2）平均数指数据的平均水平，标准差指数据的稳定程度，离散水平.【详解】解：（1）由题知：甲的众数等于0；乙的众数等于0和2；甲的中位数等于0；乙的中位数等于1 （2）甲的平均数等于0012003040110+++++++++=乙的平均数等于2020202020110+++++++++=甲的方差等于2222222222(01)(01)(11)(21)(01)(01)(31)(01)(41)(01)210-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=乙的方差等于2222222222(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)(21)(01)110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=1 因此，甲乙的平均水平相当，但是乙更稳定！【点睛】本题考查样本的众数，中位数，标准差，重点考查定义和计算能力，属于基础题型. 19．（1）0.4；（2）20；（3）3:2.【分析】（1）根据频率=组距⨯高，可得分数小于70的概率为：1(0.040.02)10-+⨯；（2）先计算样本中分数小于40的频率，进而计算分数在区间[40，50)内的频率，可估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，分别求出男生、女生的人数，进而得到答案．【详解】解：（1）由频率分布直方图知：分数小于70的频率为：1(0.040.02)100.4-+⨯= 故从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率为0.4； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人， 故样本中分数小于40的频率为：0.05，则分数在区间[40，50)内的频率为：1(0.040.020.020.01)100.050.05-+++⨯-=， 估计总体中分数在区间[40，50)内的人数为4000.0520⨯=人， （3）样本中分数不小于70的频率为：0.6， 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等． 故分数不小于70的男生的频率为：0.3， 由样本中有一半男生的分数不小于70，故男生的频率为：0.6，则男生人数为0.610060⨯=， 即女生的频率为：0.4，则女生人数为0.410040⨯=， 所以总体中男生和女生人数的比例约为：3:2． 20．(1)38；(2)13(3)80P X ==；(3)分布列见解析；期望为712． 【分析】(1)甲未能参与面试，则甲笔试最多通过一个环节，结合已知条件计算即可；(2)分析3X =时，分析乙笔试和面试分别通过的环节即可求解；(3)首先分别求出甲乙应聘的概率，然后利用独立事件的性质求解即可.【详解】(1)设事件A =“甲未能参与面试”，即甲笔试最多通过一个环节， 故1131131133()(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)2242242248P A =---+⨯--⨯+--⨯=；(2)当3X =时，可知乙笔试通过两个环节且面试通过1个环节，或者乙笔试通过三个环节且面试都未通过， 3113114343(3)[(1)(1)2][(1)(1)]4224225454P X ==-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-+-⨯3114313(1)(1)4225480+⨯⨯⨯--=；(3)甲应聘成功的概率为1113113113215[(1)2(1)]2242242243224P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=， 乙应聘成功的概率为2113113113433[(1)2(1)]224224224548P =-⨯⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯=，由题意可知，Y 的取值可能为0，1，2， 5395(0)(1)(1)248192P Y ==--=， 535341(1)(1)(1)24824896P Y ==⨯-+-⨯=535(2)24864P Y ==⨯=， 所以Y 的分布列如下表：所以数学期望7()12E Y =. 21．(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）由题意证得//MN AC ,结合线面平行的判定定理，即可证得//MN 平面PAC ；（2）由PA ⊥平面ABC ，证得PA BC ⊥，再由AB AC =，证得AM BC ⊥，根据线面垂直的判定定理证得BC ⊥平面PAM ，进而得到平面PBC ⊥平面PAM . （1）证明：在ABC 中，因为,M N 分别为,BC AB 中点，可得//MN AC , 又因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以//MN 平面PAC . （2）证明：因为PA ⊥平面ABC ，且BC ⊂平面ABC ，可得PA BC ⊥， 又因为AB AC =，且M 为BC 中点，可得AM BC ⊥，又由PA AM A =且,PA AM ⊂平面PAM ，所以BC ⊥平面PAM ， 因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAM . 22．(1)证明见解析 (2)【分析】（1）连接1A B ，1A D ，可证明1AO BD ⊥，再证明1A O OA ⊥，从而可证明结论. （2）由线面垂直的判断定理得AC ⊥平面1A BD ，由11//AC A C 得11A C ⊥平面1A BD ，再由棱锥的体积可得答案. （1）连接11,A D A B ，111,,AD AB A AB A AD A A =∠=∠为公共边，1111,∴≅∴=A AB A AD A D A B ，又O 为BD 的中点，1A O BD ∴⊥，在1A AB 中，由余弦定理可知1A B在1Rt AOB 中1AO =13,A A AO = 满足22211A O AO A A +=1A O OA ∴⊥，又AO BD O ⋂=，1A O ∴⊥平面ABCD .（2）由（1）知1A O ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 1A O AC ∴⊥且1BD AC BD AO O ⊥⋂=，， AC ∴⊥平面1A BD ，且11//AC A C ， 11A C ∴⊥平面1A BD ，1111232C A BD V -=⨯⨯。
2024届河北省衡水市十三中数学高一下期末联考试题含解析
2024届河北省衡水市十三中数学高一下期末联考试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．直线l 是圆224x y +=在(1,3)-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．22．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．为了得到函数2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数2sin 2y x =的图像（ ） A ．向右平移3π个长度单位 B ．向左平移3π个长度单位 C ．向右平移6π个长度单位 D ．向左平移6π个长度单位 4．设ABC ∆的内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且3 cos 4a C csin A =，已知ABC ∆的面积等于10，4b =，则a 的值为（ ） A ．233B ．283C ．263D ．2535．利用随机模拟方法可估计无理数的数值，为此设计右图所示的程序框图，其中rand()表示产生区间(0,1)上的随机数, 是与的比值，执行此程序框图，输出结果的值趋近于 ( )A ．B ．C ．D ．6．已知直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且23AB =则PA PB +的最小值是（ ）A ．2B ．42C ．222D ．4227．化简sin 2013o 的结果是 A ．sin 33oB ．cos33oC ．-sin 33oD ．-cos33o8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．99．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数是（ ）A ．91B ．91.5C ．92D ．92.510．若a b >，则下列正确的是（ ） A ．22a b > B ．ac bc > C ．22ac bc >D ．a c b c ->-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
精品解析：北京市西城区高一下学期期末数学试题(含答案)
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！高一第二学期期末数学试卷一､选择题1. 下列各角中，与27°角终边相同的是（ ）A. 63° B. 153°C. 207°D. 387°【答案】D 【解析】【分析】写出与27°终边相同角的集合，取k 值得答案.【详解】与27°角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z a a =°+×°Î，取1k =，可得387a =°.∴与27°角终边相同的是387°.故选：D【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.2. 圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为（ ）A. 220cm p B. 210cm p C. 228cm p D. 214cm p 【答案】A 【解析】【分析】根据圆柱的侧面积公式计算即可.【详解】圆柱的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，则圆柱的侧面积为()222520cm S p p =´´=侧.故选：A【点睛】本小题主要考查圆柱的侧面积公式，属于基础题.3. sin 2p a æö+=ç÷èø（ ）A. sin a B. cos aC. sin a- D. cos a-【答案】B 【解析】【分析】直接利用诱导公式得答案.【详解】依题意sin cos 2p a a æö+=ç÷èø.故选：B【点睛】本小题主要考查诱导公式，属于基础题.4. 设(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则a =（ ）A. 23p -或23p B. 3p-或3pC. 3p-或23pD. 23p -或3p 【答案】A 【解析】【分析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数值即可求解.【详解】因为(),a p p Î-，且1cos 2a =-，则23p a =-或23p.故选：A【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，属于基础题.5. 设a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则2a b +=r r （ ）A. 3 C. 6D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】a r ，b r均为单位向量，且14a b ×=r r ，则a +==r 故选：B【点睛】本小题主要考查向量模的运算，属于基础题.6. 下列四个函数中，以p 为最小正周期，且在区间0,2p æöç÷èø上为增函数的是（ ）A. sin 2y x =B. cos 2y x =C. tan y x= D. sin2x y =【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.【详解】解：在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，sin 2y x =没有单调性，故排除A .在区间0,2p æöç÷èø上，()20,x p Î，cos 2y x =单调递减，故排除B .在区间0,2p æöç÷èø上，tan y x =单调递增，且其最小正周期为p ，故C 正确；根据函数以p 为最小正周期，sin 2x y =的周期为2412pp=，可排除D .故选：C .【点睛】本题考查了三角函数的性质，掌握三角函数的基本性质是解题的关键，属于基础题.7. 已知向量a v ，b v 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量a v ，b v的夹角为（ ）A. 45°B. 60°C. 90°D. 135°【答案】A 【解析】【分析】根据向量的坐标表示，求得,a b r r的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】由题意，可得()3,1a =r，()1,2b =r ，设向量a r ，b r的夹角为q，则cos q =，又因为0180q °££°，所以45q =°．故选：A .【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示，以及向量夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示，利用向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8. 设a ，()0,b p Î，且a b >，则下列不等关系中一定成立的是（ ）A. sin sin a b < B. sin sin a b> C. cos cos a b< D. cos cos a b>【答案】C 【解析】【分析】根据正弦函数以及余弦函数在()0,p 上的单调性求解即可.【详解】因a ，()0,b p Î，且a b >，而sin y x =在()0,p 上有增有减；故sin a 与sin b 大小关系不确定，cos y x =在()0,p 上单调递减；若a b >，则cos cos a b <成立；故选：C【点睛】本题主要考查了利用正余弦函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题.9.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移j (02pj <£)个单位，得到函数()g x 的图象.在同一坐标系中，这两个函数的部分图象如图所示，则j =（ ）A.6p B.4p C.3pD.2p【答案】C 【解析】【分析】由图可知，17248g f p p æöæö==ç÷ç÷èøèø()()sin 2x g x j =-，于是推出为1717sin 22424g p p j æöæö=-=ç÷ç÷èøèø1722124k p p j p -=+或324k p p +，k Z Î，再结合02p j <£，解之即可得j 的值.【详解】由图可知，17sin 22488g f pp p æöæöæö==´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，因为()f x 的图象向右平移j 个单位，得到函数()g x 的图象，所以()()sin 2x g x j =-，所以171717sin 2sin 2242412g pp p j j æöæöæö=-=-=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，所以1722124k p p j p -=+或17322124k p pj p -=+，k Z Î，解得712k p j p =-或3k pj p =-，k Z Î，因02p j <£，所以3pj =.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，属于中档题.10.棱锥被平行于底面的平面所截，得到一个小棱锥和一个棱台.小棱锥的体积记为y ，棱台的体积记为x ，则y 与x 的函数图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】设棱锥的体积为V ，则y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故而得解.为【详解】设棱锥的体积为V ，则V 为定值，所以y V x =-，即y 是关于x 的一次函数，且单调递减，故选：A【点睛】本小题主要考查函数图象，属于基础题.二､填空题11. 已知圆的半径为2，则5p的圆心角所对的弧长为______.【答案】25p 【解析】【分析】由已知结合弧长公式即可直接求解.【详解】由弧长公式可得2255l r pp a ==´=.故答案为：25p 【点睛】本小题主要考查弧长公式，属于基础题.12. 在平面直角坐标系xOy 中，角a 和角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称.若1sin 3a =，则sin b =______.【答案】13-【解析】【分析】由题意可得()sin sin b a =-，由此能求出结果.【详解】∵在平面直角坐标系xOy 中，角a 与角b 均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，∴()1sin sin sin 3b a a =-=-=-，故答案为：13-【点睛】本小题主要考查三角函数的对称性，属于基础题.13. 向量a r ，b r满足1b =r ，1a b ×=r r .若()a b b l -^r r r ，则实数l =______.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则，可列出关于λ的方程，解之即可.【详解】解：∵()a b b l -^r r r ，∴()20a b b a b b l l -×=×-=r r r r r r ，即10l -=，解得1l =.故答案为：1.【点睛】本题考查了向量垂直求参数，考查了向量数量积的定义，属于基础题.14.已知正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，则球的直径是______；球的表面积是______.【答案】(1). 12p 【解析】【分析】首先求出外接球的半径，进一步求出球的表面积.【详解】解：正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点在同一个球面上，若正方体的棱长是2，设外接球的半径为r ，则()2222222212r =++=，解得r =，故球直径为.球的表面积为2412S p p =´´=.故答案为：12p .【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.15. 已知函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î给出下列三个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 有且仅有3个零点；③()f x 的值域是[]1,1-.其中，正确结论的序号是______.的【答案】②③【解析】【分析】判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.【详解】函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p -£<ì=í££î，①由于()()1,sin 0f fp p p -=-==，所以()f x 是非奇非偶函数，所以①不正确；②()0f x =，可得2x p=-，0x =，x p =，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；③函数()cos ,0sin ,0x x f x x x p p-£<ì=í££î，()f x 的值域是[]1,1-，正确；正确结论的序号是：②③.故答案为：②③.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.16.设函数()()sin 06f x x p w w æö=+>ç÷èø，若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，则w 的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k p p p w p -+=-，k Z Î，解方程可得w 的最小值.【详解】解：若()3f x f p æö³-ç÷èø对任意的实数x 都成立，可得()f x 的最小值为3f p æö-ç÷èø，可得2362k pppw p -+=-，k Z Î，即有26k w =-，k Z Î，由0>w ，可得w 的最小值为2，此时0k =.故答案为：2.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.三､解答题17. 已知0,2p a æöÎç÷èø，且4cos 5a =.（1）求tan a 的值；（2）求2sinsin 22aa +的值.【答案】（1）34；（2）5350.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式求得sin a ，再由商的关系求得tan a ；（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.【详解】（1）∵0,2a p æöÎç÷èø，且4cos 5a =，∴3sin 5a ==，则sin 3tan cos 4a a a ==；（2）∵3sin 5a =，4cos 5a =，∴21cos sinsin 22sin cos 22a a a a a -+=+4134535225550-=+´´=.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式.18. 如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积；（2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）；（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，利用勾股定理求得PD ，可得三角形PBC 的面积，进一步可得正三棱锥P ABC -的侧面积，再求出底面积，则正三棱锥P ABC -的表面积可求；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .求解PO ，再由棱锥体积公式求解.【详解】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt PBD △中，可得PD ==∴12PBC S BC PD =×=△.∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，∴正三棱锥P ABC -的侧面积是3PBC S =△.∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 602ABC S =´´´°=△则正三棱锥P ABC -的表面积为；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则PO ^底面ABC .且13OD AD ==.在Rt POD V 中，PO ==.∴正三棱锥P ABC -的体积为13ABC S PO ×=△【点睛】本小题主要考查锥体的表面积和体积的求法，属于中档题.19. 在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且34C p =，sin A =.（1）求sin B 的值；（2）若5c a -=，求ABC V 的面积.【答案】（12）52.【解析】【分析】（1）先根据sin A =cos A 的值，再由4B A p =-得到sin sin 4B A p æö=-ç÷èø，根据两角和与差的公式可求得sin B 即可；（2）由34C p =可求得sin C 的值，进而根据正弦定理可求得a ，c 的关系，再由5c a -=-可求出a ，c 的值，最后利用三角形的面积公式即得结果.【详解】解：（1）因为34C p =，sin A =，所以cos A ==由已知得4B A p=-.所以sin sin sin cos cos sin 444B A A A p p p æö=-=-==ç÷èø（2）由（1）知34C p =，所以sin C =且sin B =由正弦定理得sin sin a A c C ==.又因为5c a -=-，所以5c =，a =.所以15sin 522ABC S ac B ===△.【点睛】本题考查了三角形的正弦定理和面积公式，考查了同角三角关系和两角和与差的正弦公式，属于中档题.20. 已知函数()cos2sin cos x f x x x=+.（1）求()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间02p éùêúëû，上的最大值；（3）求()f x 的单调递减区间.【答案】（1）|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ；（2）1；（3）()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.【解析】【分析】（1）由分母不为零得到sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø求解.（2）利用二倍角公式和辅助角法，将函数转化为()4f x x p æö=+ç÷èø，再利用余弦函数的性质求解. （3）由（2）知()4f x x p æö=+ç÷èø，利用余弦函数的性质，令 224k x k p p p p £+£+求解.【详解】（1）因sin cos 0x x +¹04x p æö+¹ç÷èø，解得4x k pp +¹，所以()f x 的定义域是|,4x x k k Z p p ìü¹-Îíýîþ为（2）因为()22cos2cos sin sin cos sin cos x x x f x x x x x-==++，cos sin x x =-，4x p æö=+ç÷èø又0,2x p éùÎêúëû，所以3,444x p p p éù+Îêúëû，cos 4x p éæö+Îêç÷èøë，所以()f x 区间02p éùêúëû，上的最大值是1；（3）令 224k x k p p p p £+£+，解得 32244k x k p p p p -££+， 所以()f x 的单调递减区间.是()32,244k k k Z p p p p éù-+Îêúëû【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，二倍角公式，辅助角法以及三角函数的性质，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.21. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1CC 的中点.（1）在图中作出平面1AD E 和底面ABCD 的交线，并说明理由；（2）平面1AD E 将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比.【答案】（1）答案见解析；（2）7:17.【解析】【分析】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，可证F Î平面ABCD 且F Î平面1AD E ，得到平面1AD E Ç平面ABCD AF =；（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，证明1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.求出棱台1CGE DAD -的体积，由正方体体积减去棱台体积可得另一部分几何体的体积作比得答案.【详解】（1）在正方形11DCC D 中，直线1D E 与直线DC 相交，设1D E DC F Ç=，连接AF ，∵F DC Î，DC Ì平面ABCD ，则F Î平面ABCD ，∵1F D E Î，1D E Ì平面1AD E ，∴F Î平面1AD E .∴平面1AD E Ç平面ABCD AF =.（2）设BC AF G Ç=，连接GE ，由E 为1CC 的中点，得G 为BC 的中点，∴1//EG AD ，则平面1AD E 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台1CGE DAD -.设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.1111-77178833F DAD F CGE F DAD DAD CGE DAD V V V S FD ---=-==´´=△棱台.∴另一部分几何体的体积为3717233-=.∴两部分的体积比为7:17【点睛】本小题主要考查面与面位置关系，考查几何体体积的求法.22. 如图，在扇形OAB 中，120AOB Ð=°，半径2OA OB ==，P 为弧AB 上一点.（1）若OA OP ^，求PA PB ×uuu r uuu r 的值；（2）求PA PB ×uuu r uuu r 的最小值.【答案】（1）2-；（2）2-.【解析】【分析】（1）先通过倒角运算得出30POB Ð=°，120APB Ð=°，再在POB V中，由余弦定理可求得PB =uuu r cos PA PB PA PB APB ×=×Ðuuu r uuu r uuu r uuu r ，代入数据进行运算即可得解；（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，结合平面向量数量积的坐标运算，用含有a 的式子表示出PA PB ×uuu r uuu r，再利用三角恒等变换公式和正弦函数的图象即可得解.【详解】（1）当OA OP ^时，如图所示，的∵120AOB Ð=°，∴1209030POB Ð=°-°=°，18030752OPB °-°Ð==°，∴7545120APB Ð=°+°=°，在POB V中，由余弦定理，得222222cos 22222cos308PB OB OP OB OP POB =+-×Ð=+-´´´°=-∴PB ==uuu r ，又PA OA ==uuu r ，∴1cos 22PA PB PA PB APB æö×=×Ð=´-=-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r （2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()2,0A ，∵120AOB Ð=°，2OB =，∴(B -，设()2cos ,2sin P a a ，其中20,3p a éùÎêúëû，则()()22cos ,2sin 12cos 2sin PA PB a a a a ×=--×---uuu r uuur 2222cos 4cos 4sin a a a a=--+-+2cos 24sin 26p a a a æö=--+=-++ç÷èø.∵20,3p a éùÎêúëû，∴5,666p p p a éù+Îêúëû，1sin ,162p a æöéù+Îç÷êúèøëû，∴当62ppa +=，即3pa =时，PA PB ×uuu r uuu r取得最小值为2-.【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，考查平面向量的数量积，考查余弦定理，考查三角函数的图象与性质，属于中档题．。
高一下学期数学期末考试试卷第13套真题
高一下学期数学期末考试试卷一、单选题1. 已知点，向量＝A .B .C .D .2. 若a＜b＜c，则下列结论中正确的是（）A . a|c|＜b|c|B . ab＜bcC . a﹣c＜b﹣cD .3. 在等差数列{an}中，a5=33，公差d=3，则201是该数列的第（）项．A . 60B . 61C . 62D . 634. 已知中，，，则角等于（）A .B . 或C .D .5. 等比数列中，那么为A .B .C .D .6. 已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A . 1B . 2C . 3D . 47. 已知一个圆锥底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内切球的表面积为（）A . πB .C . 2πD . 3π8. 已知，为单位向量，设与的夹角为，则与的夹角为A .B .C .D .9. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为A . 8B .C .D . 410. 已知△ABC中，三内角A、B、C的度数成依次等差数列，边a、b、c依次成等比数列．则△ABC是（）A . 直角三角形B . 等边三角形C . 锐角三角形D . 钝角三角形11. 用篱笆围一个面积为的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是（）A . 30B . 36C . 40D . 5012. 在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，点P是△ABC内一点（含边界），若，则| |的取值范围为（）A . [2，]B . [2，]C . [0，]D . [2，]二、填空题13. 若向量与的夹角为钝角或平角，则的取值范围是________．14. 设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是________．15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度________ m.16. 已知分别为三个内角的对边，，，则面积的最大值为________．三、解答题17. 已知:（1）若，求的坐标；（2）若与的夹角为120°，求 .18. 关于的不等式的解集为.（1）求的值；（2）求关于的不等式的解集．19. 已知是等差数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）为何值时，取得最大值并求其最大值．20. 如图，在直三棱柱中，，.（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且，求三棱锥的体积．21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .（1）求角A的大小；（2）若D为BC边上一点，且CD＝2DB，b＝3，AD＝，求a.22. 数列满足：，且，其前n项和.（1）求证：为等比数列；（2）记为数列的前n项和.（i）当时，求；（ii）当时，是否存在正整数，使得对于任意正整数，都有？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.。
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市六校联考高一(下)期末数学试卷+答案解析
2023-2024学年新疆乌鲁木齐市六校联考高一（下）期末数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，则复数z的虚部为()A.5iB.C.5D.2.每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检54家，则粮食加工品店需要被抽检() A.30家 B.35家 C.40家 D.45家3.向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.4.一组数据从小到大排列为：3，4，5，6，7，9，12，14，则该组数据的分位数为()A. B.7 C.9 D.125.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则()A. B. C. D.6.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A.若，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则7.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项错误的是()A.B.C.D.8.如图，已知正四棱锥的所有棱长均为2，E为棱PA的中点，则异面直线BE与PC所成角的余弦值为()A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知角A，B，C是三角形ABC的三个内角，下列结论一定成立的有()A. B.C.若，则D.若，则10.人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平.下图为年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则()A.年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增B.年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增C.年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大D.年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元11.如图，正方体的棱长为1，动点E 在线段上，分别是的中点，则下列结论中正确的是()A. B.当E 为中点时，C.三棱锥的体积为定值D.直线BE 到平面的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高一下数学试题13解析版
高一下数学试题13解析版一．单选题1．命题“x ∀∈R ，230x -≥”的否定是（）A ．0x ∃∉R ，2030x -<B ．x ∀∈R ，230x -<C ．0x ∃∈R ，2030x -<D ．0x ∃∉R ，2030x -≥2．一个四边形的斜二测画法的直观图是一个正方形，则这个四边形是（）A.矩形B.梯形C.直角梯形D.平行四边形3．已知复数()()1i 12i z =+-，则z =（）AB ．2C D ．104．已知圆锥SO 的母线长为2，AB 是圆O 的直径，点M 是SA 的中点．若侧面展开图中，ABM 为直角三角形，则该圆锥的侧面积为（）A ．π3B ．2π3C ．4π3D ．8π35．若非零向量a ，b 夹角为2π3，则3a b b+ 的最小值为（）A B ．4C ．2D ．26．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，E 是棱AB 上一点，若平面11A C E 把三棱柱111ABC A B C -分成体积比为3:1的两部分，则BE =（）A ．1B1-C 1D 17．在非直角ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则tan C 等于（）AB ．C ．18D ．138．已知点G 为三角形ABC 的重心，且GA GB GA GB +=-，当C ∠取最大值时，cos C =（）A ．45B ．35C ．25D ．15二.多选题9．,R a b ∈,则下列命题中，正确的有（）A ．若a b >，则22a b c c >B ．若4ab =，则228a b +≥C ．若a b >，则2ab a <D ．若,a b c d >>，则a d b c->-10．下列说法正确的是（）A.空间任意三点可以确定一个平面B.两个平面互相垂直,则一个平面内的任意一条直线可以与另一个平面内的无数条直线垂直C.过一点有且只有一条直线与已知平面垂直D.过空间任意一点均可以做一个平面与两条异面直线平行11．定义在R 上的函数()f x 满足()()116f x f x ++-=，()()222f x f x x +=-+，则（）A ．()1f x +的图象关于()0,3对称B ．4是()f x 的一个周期C ．()13f =D ．13)11(=f 12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱111,A D AA 的中点，G 为线段1B C 上一个动点，则（）A ．存在点G ，使直线1CB ⊥平面EFGB ．存在点G ，使平面EFG ∥平面1BDC C ．三棱锥1A EFG -的体积为定值D ．平面EFG 三.填空题13．已知()2311a a --=，则a 的取值可能是__________．14．已知正数,x y 满足42x y xy +=，则2x y +的最小值为___________.15．表面积为100π的球面上有四点S ､A ､B ､C ，△ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若面SAB ⊥面ABC ，则棱锥S ABC -体积的最大值为___________.16．ABC 中，1AB =，4AC =，60A ∠=︒，AD 是BC 边上的中线，E ，F 分别为线段AB ，AC 上的动点，EF 交AD 于点G .若AEF △面积为ABC 面积的一半，则AG EF ⋅的最小值为______四.解答题17．已知复数z 是方程26130x x ++=的一个复数根，且z 的虚部大于零．(1)求z ；(2)若i az b =-（a ，R b ∈，i 为虚数单位），求ab ．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，//AD BC ，AB BC ⊥，4PA AD ==，1BC =，AB =CD =.(1)证明：DC ⊥平面PAC ；(2)求AD 与平面PCD 所成角的余弦值.19.值最大？的距离与山庄的长度），才能使喷泉花园（即如何设计规划更好的观景视野，如何点处修建喷泉，为获取）该山庄准备在（的关系式表示出来用含有将设，且记弓形花园的顶点为，弦长，且落在小路上，要求的弦长为凉爽感，已知弓形花园淋”般的园，使之有类似“冰淇，小路之间修建一处花已知OM O M OB OA M OB OA OBA MBA MAB M AB AB AOB ,2,)1(,3266θθππ=∠=∠=∠==∠20．设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积为2，且cos cos 2B bC a c=-.(1)求角B ;(2)若2AM MC =，求BM 的最小值.21．如图①，在等腰梯形ABCD 中，,3,5,60,(01)AD BC AD BC BCD BE BC λλ==∠==<<，现将CDE 沿DE 翻折到PDE △的位置，且平面PDE ⊥平面ADEB ，如图②.(1)当35λ=时，求AP ；(2)当三棱锥P ABD -λ的值.22．已知函数()y f x =的定义域为D ，区间M D ⊆，若存在非零实数t 使得任意x M ∈都有x t D +∈，且()()f x t f x +>，则称()y f x =为M 上的t -增长函数．(1)已知()f x x =，判断函数()y f x =是否为区间[]1,0-上的32-增长函数，并说明理由；(2)已知0n >，设()2g x x =，且函数()y g x =是区间[]4,2--上的n -增长函数，求实数n 的取值范围；(3)如果函数()y h x =是定义域为R 的奇函数，当0x ≥时，()22h x x a a =--，且函数()y h x =为R 上的4-增长函数，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据全称量词命题的否定形式直接判断即可.【详解】根据全称量词命题的否定形式可知，命题“x ∀∈R ，230x -≥”的否定为0x ∃∈R ，2030x -<.故选：C 2．D 3．C【分析】由复数的乘法公式和模的计算公式即可求解.【详解】因为()()21i 12i 12i i 2i 3i z =+-=-+-=-，所以z =故选：C.4．C【分析】根据题意分析可得π3ASB ∠=，进而可求侧面积.【详解】因为SB SA =，且ABM 为直角三角形，则SA BM ⊥，又因为M 为SA 的中点，则SB AB =，可得SAB △为等边三角形，即π3ASB ∠=，则侧面展开图的圆心角为2π3所以该圆锥的侧面积212π4π2233S =⨯⨯=侧.故选：C.5．C【分析】首先根据向量数量积的定义有1||||2a b a b ⋅=- ，根据向量数量的运算律结合二次函数的性质即可得到3a bb + 的最值.【详解】由向量,a b 夹角为2π3,得21||||cos||||32a b a b a b π⋅==-,所以22222222|3|693||9||a b a a b b a a b b b b b++⋅+-+== ‖223272739244a a a b b b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-+=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,当||32||a b = 时取等号.所以|3|||a b b +故选：C.6．D【分析】先画出平面11A C E 与三棱锥的截面，分析清楚两部分是什么几何体，由等体积求解即可.【详解】如图：延长1A E 与1B B 交于P ，连接1C P 交BC 于F ，则平面11A C E 与三棱锥的截面是11A EFC ，将三棱锥分成两部分，三棱台111-BEF A B C ，多面体11A C CEFA ，设(0)BE x x =>，2BE xAB =，24BEF ABC S x S = ，11111111(3A B C BEF BEF A B C V V h S S -==++ 棱台，1111112A B C ABC A B C V V hS -== 棱柱，设111A B C S S = ，则1234V V =，213()3424Sx Sx S S ++=，则291424x x ++=，2250x x +-=，解得：1x =-±0x >所以1x =-故选：D.7．B【分析】利用正弦定理的角边化及余弦定理的推论，利用等面积法及三角形的面积公式，结合正余弦的二倍角公式及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解.【详解】由sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=及正弦定理，得22224cos a b c b C +-=.由余弦定理，得22224cos 2cos cos 22a b c b C b C C ab ab a+-===，因为ABC 为非直角三角形，所以cos 0C ≠，所以2a b =，因为CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，所以由三角形的面积公式得ABC ACD BCD S S S =+△△△，所以1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ⋅=⋅+⋅，即2sin 4sin cos 3sin 222C C C C ==，因为()0,πC ∈，所以π0,,sin 0222C C⎛⎫∈≠ ⎪⎝⎭，所以3cos24C =,所以291cos 2cos1212168C C =-=⨯-=，sin 8C ===,sin 8tan s c 1o 8CC C===故选：B.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用正弦定理的角化边和余弦定理的推论，再利用等面积法及正余弦的二倍角公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可.8．A【分析】由题设可得0AG BG ⋅=，结合1()3AG AC AB =+ ，1()3BG BA BC =+ 及余弦定理可得2cos (5a bC b a=+，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意GA GB GA GB +=- ，所以22()()GA GB GA GB +=-，即222222GA GB GA GB GA GB GA GB ++⋅=+-⋅，所以0GA GB ⋅=uu r uu u r ，所以AG BG ⊥，又211())323AG AC AB AC AB =⨯+=+，211()()323BG BA BC BA BC =⨯+=+ ，则11()()()099AG BG AC AB BA BC AC BA AC BC AB BA AB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=，所以2CA CB AC AB BA BC AB ⋅=⋅+⋅+ ，即2cos cos cos ab C bc A ac B c =++，由222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，所以2225a b c +=，所以22224cos ()255a b c a b C ab b a +-==+≥=，当且仅当a b =时等号成立，又cos y x =在()0,π上单调递减，()0,πC ∈，所以当C ∠取最大值时，cos C =45.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得2225a b c +=，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.9．BD【分析】根据不等式的性质判断A 、C 、D 的正误，利用基本不等式判断B 的正误.【详解】对于A ：若0c =，则22,a bc c无意义，故A 错误；对于B ：若4ab =，则2228a b ab +≥=，当且仅当2a b ==±时，等号成立，故B 正确；对于C ：由于不确定a 的符号，故无法判断，例如0,1a b ==-，则20ab a ==，故C 错误；对于D ：若,a b c d >>，则d c ->-，所以a d b c ->-，故D 正确；故选：BD.10.BC11．ACD【分析】对于A ，令1t x =+可得()()26f t f t +-=，即可得到()f x 的对称性，对于B ，令()()g x f x x =-，即可得到4为()g x 的一个周期，从而得到(4)()4f x f x +=+，对于C ，令0x =，对于D ，结合前面的结论，求出函数值即可.【详解】因为()()116f x f x ++-=，即()()1216f x f x ++-+=⎡⎤⎣⎦，令1t x =+，则()()26f t f t +-=，所以()f x 关于()1,3对称，则()1f x +的图象关于()0,3对称，故A 正确；因为()()222f x f x x +=-+，则()()()()2222f x x f x x +-+=---，令()()g x f x x =-，则()()22g x g x +=-，则()g x 的图象于2x =对称，因为()()116f x f x ++-=，所以()()()()11118f x x f x x +-++---=，即()()118g x g x ++-=，则()g x 的图象关于(1,4)对称.所以()(2)8g x g x +-=，又(2)(2)g x g x +=-，所以()(2)8g x g x ++=，所以(2)(4)8g x g x +++=，所以(4)()g x g x +=，所以4为()g x 的一个周期，即(4)(4)()f x x f x x +-+=-，则(4)()4f x f x +=+，故B 不正确；对于C ：因为()()116f x f x ++-=，令0x =可得()13f =，故C 正确；对于D ：因为()()116f x f x ++-=，则()()206f f +=，()()316f f +-=，()()426f f +-=，又()()404f f =+，()()314f f =-+，()()224f f =-+，所以()35f =，()()4210f f +=，()()5147f f =+=，()()7349f f =+=，()()()()8642818f f f f +=++=，()()95411f f =+=，()()117413f f =+=，故D 正确；故选：ACD【点睛】关键点点睛：令()()g x f x x =-是解题的关键，通过研究()g x 的对称性，周期性得到()f x 的性质.12．ACD【分析】对于A 项，可以通过取111B C B B 、的中点H 、I ，连接HI 交1B C 于G 点，判定即可；对于B 项，通过反证，利用面A 1DCB 1与面EFG 和面1BDC 的交线PG 、DH 是否能平行来判定；对于C 项，通过等体积法转化即可判定；对于D 项，讨论截面的形状并计算各交线长来判定即可.【详解】对于A 项，如图所示，取111B C B B 、的中点H 、I ，连接HI 交1B C 于G 点，此时EH ∥11A B ，由正方体的性质可得1EH B C ⊥，1HI B C ⊥，所以1B C ⊥平面EFG ，故A 正确；对于B 项，如图所示，连接1A D EF P = ，H 为侧面CB 1的中心，则面A 1DCB 1与面EFG 和面1BDC 分别交于线PG 、DH ，若存在G 点使平面EFG ∥平面1BDC ，则PG ∥DH ，又A 1D ∥CB 1，则四边形PGHD 为平行四边形，即PD =GH ，而PD 12B H =，此时G 应在CB 1延长线上，故B 错误；对于C 项，随着G 移动但G 到面1A EF 的距离始终不变即11A B ，故1111111324A EFG G A EF A EF V V AB S --==⨯⨯= 是定值，即C 正确；对于D 项，若G 点靠C 远，如图一所示，过G 作QR ∥EF ，即截面为四边形EFQR ，显然该截面在G 为侧面CB 1的中心时取得最大，最大值为98，若G 靠C 近时，如图二所示，G 作KJ ∥EF ，延长EF 交DD 1、DA 延长线于M 、H ，连接MK 、HJ 交D 1C 1、AB 于L 、I ，则截面为六边形EFIJKL ，当KG 为中点时取得最大值，最大值为4，948>，即D 正确；故选：ACD13．2或23或0【分析】讨论指数式的底数，结合指数运算性质求a 的取值.【详解】因为()2311a a --=，当311a -=，即23a =时，()4233111a a ---==，满足要求，当311a -=-，即0a =时，()()223111a a ---=-=，满足要求，当311a -≠且311a -≠-时，由()2311a a --=可得20a -=，所以2a =，所以a 的取值可能是2或23或0，故答案为：2或23或0.14．18【分析】对等式进行变形，再根据基本不等式进行求解即可.【详解】因为42x y xy +=，则42421+=+=x y xy y x，又x ，y 是正数，所以()()424422*********⎛⎫+=+⨯=++=++≥+ ⎪⎝⎭x y x y x y x y y x y x ，当44x y y x=取得等号，即6x =且6y =时取等号，所以2x y +的最小值为18，故答案为：18.15．【分析】求出球半径及球心到平面ABC 的距离，进而求出ABC 外接圆半径，利用面面垂直结合球的截面小圆性质，求出SAB △的外接圆半径，确定点S 到平面ABC 的最大距离即可作答.【详解】依题意，球O 的半径5R =，令正ABC 的中心为O '，则3OO '=，且OO '⊥平面ABC ，ABC外接圆半径4r CO ==='，连接'CO 并延长交AB 于D ，则D 为AB 的中点，且122O D r '==，显然CD AB ⊥，而平面SAB ⊥平面ABC ，平面SAB 平面ABC AB =，有CD ⊥平面SAB ，令SAB △的外接圆圆心为E ，则OE ⊥平面SAB ，有//OE O D '，又OO '⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以OO AB '⊥，由OO CD O ''⋂=,所以AB ⊥平面OO DE '，所以ED AB ⊥，而平面SAB ⊥平面ABC ，平面SAB 平面ABC AB =，ED ⊂平面SAB ，则ED ⊥平面ABC ，即有//ED OO '，因此四边形OO DE '为平行四边形，则3ED OO '==，2OE O D '==，SAB △的外接圆半径r '=SAB △的外接圆上点S 到直线AB 距离最大值为3r ED '+=，而点S 在平面ABC 上的射影在直线AB 上，于是点S 到平面ABC 距离的最大值3h =，又正ABC 的面积2233444ABC S r ==⨯⨯=所以棱锥S ABC -的体积最大值13)133ABC S ABC V S h -⨯⋅=== .故答案为：【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.16．2【分析】利用平面向量的共线定理结合基底表示数量积，转化为函数求最值即可.【详解】设AG AD AE mAB AF nAC λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，由向量共线的充要条件不妨设()1AG x AE y AF x y =++= ，则()22AG xAE y AF AD AB AC xmAB ynAC xm yn λλλ=+==+=+⇒== ，即122m nλλ+=，又AEF △面积为ABC 面积的一半可得：1sin 60112122sin 602AE AF mn AB AC ⨯⋅⋅=⇒=⨯⋅⋅ ，所以221221m m m m λλλ+=⇒=+.()()23321922242m AB AC AG E nAC mAB F n m λλλ⋅+-=-=-++= ，易知(][]210,1,1423,62n m m ⎡⎤∈∴∈⇒+∈⎢⎥⎣⎦当1m =时，即,E B 重合时取得最小值321226-+=.故答案为：2【点睛】关键点点睛：由点共线及向量间的关系，设AG AD AE mAB AF nAC λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩、()1AG x AE y AF x y =++= 、()2AG AD AB AC λλ==+ 得到122m n λλ+=，面积关系得12mn =，最后应用数量积运算律转化数量积AG EF ⋅ 为关键.17．(1)32iz =-+(2)34ab =-【分析】（1）根据复数根的求解即可得32i x +=±，进而可求，（2）利用复数的乘法运算以及复数相等的充要条件即可列方程求解.【详解】（1）由22613(3)40x x x ++=++=，即2(3)4x +=-，可得32i x +=±，解得32i x =-±，因为z 的虚部大于零，所以32iz =-+（2）由（1）知32i z =-+，因为i az b =-，所以(32i)32i i az a a a b =-+=-+=-则321a b a -=⎧⎨=-⎩解得12a =-，32b =，所以34ab =-．18．(1)证明见解析；【分析】（1）通过勾股定理，证明出DC AC ⊥可证得DC ⊥平面PAC .（2）作AH PC ⊥，垂足为H ，连结DH ，证得ADH ∠为AD 与平面PCD 所成的角，在AHD 中求sin ADH ∠即可.【详解】（1）∵AB BC ⊥，1BC =，AB =由勾股定理得：2AC =，π3ACB ∠=ACD 中，CD =，∵22241216AC CD AD +=+==，∴DC AC ⊥，又因为PA ⊥底面ABCD ，DC ⊂底面ABCD ，所以PA DC ⊥，又因为AC PA A ⋂=且,AC PA ⊂平面PAC ，∴DC ⊥平面PAC ，（2）作AH PC ⊥，垂足为H ，连结DH ，因为DC ⊥平面PAC ，AH ⊂平面PAC ，所以AH CD ⊥，又因为CD PC C ＝且,CD PC ⊂平面PAC ，所以AH ⊥平面PCD ，所以ADH ∠为AD 与平面PCD 所成的角，PAC △中，PA AC AH PC ⋅===1sin45AH ADH DA ∠===，所以直线AD 与平面PCD .19.20．(1)π3(2)2【分析】（1）根据已知条件及正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理，结合三角函数的诱导公式及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式，利用向量的线性运算及向量的模公式，结合向量数量积的定义及基本不等式即可求解.【详解】（1）由cos cos 2B b C a c=-及正弦定理，得()2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，即2sin cos cos sin sin cos A B B C B C =+，所以()2sin cos sin A B B C =+，因为πA B C ++=，所以()sin sin ,B C A +=即2sin cos sin A B A =,因为0πA <<，所以sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =.（2）由（1）知，π3B =，所以1sin 2ABC S ac B ===△,解得6ac =.因为2AM MC = ，所以23AM AC = ,所以()212333BM BA AM BA BC BA BA BC =+=+-=+ ,所以BM === 1623≥=⨯=，当且仅当2c a =且6ac =即a c ==.所以当a c ==时，BM 的最小值为2.21．(2)25【分析】（1）取DE 的中点M ，连接,PM AM 可得DEP 为等边三角形，再根据面面垂直的性质结合余弦定理可得AP ；（2）过D 作DH BC ⊥，根据条件结合余弦定理与三角形的面积公式可得)1CDE S λ=- ，再根据等面积法可得点C 到DE 的距离，进而结合锥体体积公式求解即可.【详解】（1）取DE 的中点M ，连接,PM AM ，当35λ=时，3,BE BE AD ==，又BE AD ∥，故四边形ABED 为平行四边形，故DE DP =，又60EPD ∠= ，所以DEP 为等边三角形，所以PM ED ⊥.因为平面PDE ⊥平面ABED ，平面PDE 平面ABED ED =，PM ⊂平面PDE ，所以PM ⊥平面ABED ，故,PM AM PM ⊥在ADM △中，因为2222cos607AM AD DM AD DM =+-⋅⋅= ，所以22210AP AM PM =+=，故AP =（2）5,55BE EC λλ==-，在图①中，过D 作,1,60DH BC HC BCD ∠⊥== ，所以2,DC DH ==.因为DE ==且()1sin60122CDE S CD EC λ=⋅⋅=- ，所以点C 到DE 的距离d λ-又122ABD S =⨯= ，故13214P ABD V λ--=⨯=三校隹，整理得225520λλ--=，解得2=5λ或15λ=-（舍去），所以λ的值为25.22．【详解】（1）数()y f x =为区间[]1,0-上的32-增长函数，理由如下：由题意可知：()f x x =在R 上单调递增，对[]1,0x ∀∈-，则32x x +>，可得()32f x f x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，故函数()y f x =为区间[]1,0-上的32-增长函数.（2）若函数()2g x x =是区间[]4,2--上的n -增长函数，可得对[]4,2x ∀∈--，则()()g x n g x +>，即()22x n x +>，可得220nx n +>对[]4,2x ∀∈--恒成立，则2280400n n n n n ⎧-+>⎪-+>⎨⎪>⎩，解得8n >，故实数n 的取值范围为()8,+∞.（3）由题意可得：()22222,02,x x a h x x a a x a x a ⎧-≤<=--=⎨-≥⎩，∵函数()y h x =是定义域为R 的奇函数，当0x <时，则()()()2222222,02,x a x h x h x x a a x a a x a x a ⎧--<<=--=----=++=⎨+≤-⎩，故()2222222,,2,x a x a h x x a x a x a x a ⎧+≤-⎪=--<<⎨⎪-≥⎩，可得()h x 在()22,,,a a ⎤⎡-∞-+∞⎦⎣上单调递增，在()22,a a -上单调递减，注意到()()2223h a h a a -==，故当(2,3x a ⎤∈-∞⎦时，()()2h x h a ≤-，当()23,x a ∈+∞时，()()2h x h a >-，若函数()y h x =为R 上的4-增长函数，则对x ∀∈R ，均有()()4h x h x +>，取2x a =-，即()()224h a h a -+>-，故2243a a -+>，则21a <，即11a -<<，若21a <，即11a -<<时，则有：①当(2,4x a ⎤∈-∞--⎦时，则(24,x a ⎤+∈-∞-⎦，且()h x 在(2,a ⎤-∞-⎦上单调递增，故()()4h x h x +>；②当()224,3x a a ∈---时，则()224,34x a a +∈--+，且2234a a -+>，∵()h x 在()22,a a -上单调递减，在)22,34a a ⎡-+⎣上单调递增，则()()()2243h x h a h a +≥=-，且()h x 在()224,3a a ---上单调递增，则()()23h x h a <-，故()()4h x h x +>；③当)223,x a a ⎡∈--⎣时，则2244x x a a +>+≥，可得()()()22222424h x x a x a a h x a =+=+-=+，注意到()h x 在)2,a ⎡+∞⎣上单调递增，故()()()244h x h x a h x =+<+；④当)22,x a a ⎡∈-⎣时，则22443x a a +≥-+>，注意到()h x 在)22,a a ⎡-⎣上单调递减，在()2,a +∞上单调递增，可得()()()()2234h x h a h a h x ≤-=<+；⑤当)2,x a ⎡∈+∞⎣时，则24x x a +>≥，且()h x 在)2,a ⎡+∞⎣上单调递增，可得()()4h x h x <+；综上所述：当()1,1a ∈-时，对x ∀∈R ，均有()()4h x h x <+.故实数a 的取值范围为()1,1-.【点睛】关键点点睛：根据()h x 的单调性，取特值2x a =-，先求出实数a 的取值范围，再证明其充分性.。
江西省南昌市2013-2014学年高一下学期期末考试数学试题(扫描版)
2013—2014学年度第二学期南昌市期末终结性测试卷高一数学(甲卷)参考答案及评分意见11. [1,2)-； 12．16； 13. 536； 14. ⎣⎡⎦⎤2，52； 15．⎣⎡⎭⎫15，＋∞.三、解答题（本大题共5小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解： ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1，…………………………………………………2分 ∵a >2，b >2，∴a －1>1，b －1>1. …………………………………………………4分 ∴(a －1)(b －1)－1>0. …………………………………………………6分 ∴ab －(a ＋b )>0.∴ab >a ＋b . …………………………………………………8分 17．解：原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x ax当a =0时，原不等式等价于0)1)(2(<+-x x ……………………………………………1分解得21<<-x ，此时原不等式得解集为{x|21<<-x }；………………………………3分当0a >时, 原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x ax , …………………………………5分 当,21时=a 原不等式的解集为{}21|≠->x x x 且； ………………………………………6分 当0<,21时<a 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<->211|x a x x 或；…………………………………8分 当,21时>a 原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-211|x a x x 或. ………………………………… 10分18.解：（1）221()31121x xx f x xx x -⎧≥⎪=--≤<⎨⎪<-⎩…………………………………………………3分 （2）…………………………………6分NPM D C B A （3） 1.124 2.x x y x ≥==⇒=当时……………………………………………7分22.1134.x y x -≤<=-=⇒当时无解…………………………………………8分 3.124 2.x x y x -<-==⇒=-当时………………………………………………9分10分 1分 2分。
2020-2021学年北京市西城区高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京市西城区高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(−1,4)，则a⃗⋅b⃗ =()A. 11B. 9C. 7D. 52.sin330°=()A. 12B. −12C. √32D. −√323.在复平面内，复数z对应的点Z如图所示，则复数z−=()A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i4.某圆锥的母线长为5cm，底面半径长为3cm，则该圆锥的体积为()A. 12πcm3B. 15πcm3C. 36πcm3D. 45πcm35.函数f(x)=cos22x−sin22x的最小正周期是()A. π2B. πC. 2πD. 4π6.若sinα=0.4，α∈(−3π2,3π2)，则符合条件的角α有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<π)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是()A. f(x)=3sin(π4x+π2) B. f(x)=3sin(π4x+3π4)C. f(x)=3sin(π8x+π4) D. f(x)=3sin(π8x+3π4)8.向量a⃗=(cos50°,sin50°)与b⃗ =(cos10°,sin10°)的夹角为()A. 30°B. 40°C. 60°D. 90°9.在△ABC中，内角A和B所对的边分别为a和b，则a>b是sinA>sinB的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.已知单位向量e⃗1，e⃗2满足e⃗1⋅e⃗2=−12，若非零向量a⃗=x e⃗1+y e⃗2，其中x，y∈R，则|x||a⃗ |的最大值为()A. 43B. 23C. √22D. 2√33二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11.设复数z=1+2i3−i，则|z|=______．12.已知半径为r的球的表面积为36πcm2，那么半径为2r的球的表面积为______cm2．13.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asinB=12b，则A=______．14.已知向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=5，|b⃗ |=4，(a⃗+b⃗ )⊥b⃗ ，那么|a⃗−b⃗ |=______．15.设函数f(x)=sinπx，g(x)=x2−x+1，有以下四个结论．①函数y=f(x)+g(x)是周期函数；②函数y=f(x)−g(x)的图像是轴对称图形；③函数y=f(x)⋅g(x)的图像关于坐标原点对称；④函数y=f(x)g(x)存在最大值．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知tan(θ+π4)=−3．(Ⅰ)求tanθ的值；(Ⅱ)求sin2θ的值．17.如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AD//BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，且AB=AD=2，AA1=1．(Ⅰ)求三棱锥B1−ABD的体积；(Ⅱ)求证：BC//平面ADD 1A 1； (Ⅲ)求证：AC ⊥B 1D .18. 在△ABC 中，AB =4，AC =3，cosC =−14．(Ⅰ)求△ABC 的面积； (Ⅱ)求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．19. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx +m(ω>0)同时满足下列三个条件中的二个：①f(0)=2；②最大值为2；③最小正周期为π． (Ⅰ)求出所有可能的函数f(x)，并说明理由； (Ⅱ)从符合题意的函数中选择一个，求其单调增区间．20.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2，E为AA1的中点，O为BD1的中点．(Ⅰ)求证：平面A1BD1⊥平面ABB1A1；(Ⅱ)求证：EO//平面ABCD；(Ⅲ)设P为正方体ABCD−A1B1C1D1棱上一点，给出满足条件OP=√2的点P的个数，并说明理由．21.设函数f(x)的定义域为R.若存在常数T，A(T>0,A>0)，使得对于任意x∈R，f(x+T)=Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P．(Ⅰ)判断函数y=x和y=cosx具有性质P？(结论不要求证明)(Ⅱ)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T=π，A=2.已知当x∈(0,π]时，f(x)= sinx，求函数f(x)在区间[−π,0]上的最大值；(Ⅲ)若函数g(x)具有性质P，且直线x=m为其图像的一条对称轴，证明：g(x)为周期函数．答案和解析1.【答案】D【解析】解：向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(−1,4)，则a⃗⋅b⃗ =−3+8=5．故选：D．直接利用向量的数量积的运算公式求解即可．本题考查向量的数量积的求法，是基础题．2.【答案】B【解析】解：sin330°=sin(270°+60°)=−cos60°=−12．故选：B．由诱导公式知sin330°=sin(270°+60°)=−cos60°，由此能求出其结果．本题考查诱导公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的符号．3.【答案】B【解析】解：由图可知，点Z对应的复数z=2+i，则z−=2−i，故选：B．由图可得z，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．4.【答案】A【解析】解：圆锥的母线长l=5cm，底面半径长r=3cm，所以圆锥的高ℎ=√l2−r2=√52−32=4(cm)，所以该圆锥的体积为V=13πr2ℎ=13π×32×4=12π(cm)3．根据圆锥的母线长和底面半径求出圆锥的高，再计算圆锥的体积．本题考查了圆锥的结构特征与体积计算问题，是基础题．5.【答案】A【解析】解：因为f(x)=cos22x−sin22x=cos4x，所以f(x)的最小正周期T=2π4=π2，故选：A．利用二倍角的余弦公式化简f(x)，再求出f(x)的最小正周期即可．本题考查了二倍角的余弦公式，余弦函数的周期性，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：利用正弦函数y=sinx，x∈(−3π2,3π2)的图象，和函数y=0.4的图象，所以这两个函数的图象有3个交点，如图所示：故满足条件的角有3个．故选：C．直接利用正弦函数y=sinx，x∈(−3π2,3π2)的图象，和函数y=0.4的图象求出交点的个数．本题考查的知识要点：函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．【解析】解：由图象得函数f(x)的最小正周期为T =4(6−2)=16，所以ω=2πT=π8；由图象的最高点为(2,3)，得A =3，且f(2)=3， 即sin(π4+φ)=1，由0<φ<π，解得φ=π4． 故选：C ．利用相邻的对称轴x =2及对称中心(6,0)求周期，进而求ω的值；利用最高点(2,3)求A ，φ．本题考查由三角函数的图象求解析式，考查三角函数的性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：根据题意，设两个向量的夹角为θ， 向量a ⃗ =(cos50°,sin50°)与b ⃗ =(cos10°,sin10°)，则|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =cos50°cos10°+sin50°sin10°=cos40°， 则cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a ⃗ ||b⃗ |=cos40°，又由0°≤θ≤180°，故两个向量的夹角为40°， 故选：B ．根据题意，设两个向量的夹角为θ，由向量的坐标可得a ⃗ 、b ⃗ 的模以及a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量的夹角，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：在三角形中，若a >b ，由正弦定理asinA =bsinB ，得sinA >sinB ． 若sinA >sinB ，则正弦定理asinA =bsinB ，得a >b ， 所以，a >b 是sinA >sinB 的充要条件． 故选：C ．在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，是解决本题的关键．．10.【答案】D【解析】解：因为单位向量e ⃗ 1，e ⃗ 2满足e ⃗ 1⋅e ⃗ 2=−12， 所以<e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ >=2π3，设e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(−12,√32)，所以a ⃗ =x e 1⃗⃗⃗ +y e 2⃗⃗⃗ =x(1,0)+y(−12,√32=(x −y2,√32y)， 所以|a ⃗ |=y 2)(√32=√x 2−xy +y 2，所以|x||a ⃗ |=√x 2−xy+y 2=√x 2x 2−xy+y 2当x =0时，|x||a⃗ |=0， 当x ≠0时，|x||a ⃗ |=√11−y x +y 2x 2，令t =yx ，则1−t +t 2=(t −12)2+34≥34， 所以√11−t+t 2≤2√33， 所以|x||a ⃗ |的最大值为2√33． 故选：D ．由单位向量e ⃗ 1，e ⃗ 2满足e ⃗ 1⋅e ⃗ 2=−12，推出<e 1⃗⃗⃗ ，e 2⃗⃗⃗ >=2π3，设e 1⃗⃗⃗ =(1,0)，e 2⃗⃗⃗ =(−12,√32)，进而可得a ⃗ =(x −y 2,√32y)，则|x||a⃗ |=√x 2x 2−xy+y 2，分两种情况：当x =0时，当x ≠0时，求出|x||a ⃗ |的最大值． 本题考查向量的运算，最值，解题中需要理清思路，属于中档题．11.【答案】√22【解析】解：因为z =1+2i 3−i=(1+2i)(3+i)(3−i)(3+i)=3+5i−29+1=110+710i ，所以|z|=√(110)2+(710)2=√22，故答案为：√22．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数模的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】144π【解析】解：由题意，4πr 2=36π，解得r =3， 那么半径为2r 的球的表面积为4π×62=144πcm 2， 故答案为：144π．由已知球的表面积求得r ，进一步可得半径为2r 的球的表面积． 本题考查球的表面积公式的应用，是基础题．13.【答案】π6【解析】解：因为asinB =12b ， 所以由正弦定理可得sinAsinB =12sinB ， 因为sinB ≠0， 所以sinA =12， 又A 为锐角， 所以A =π6． 故答案为：π6．利用正弦定理化简已知的等式，根据sin B 不为0，两边同时除以sin B 后得到sin A 的值，由A 为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数．此题考查了正弦定理以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．14.【答案】√73【解析】解：∵向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=5，|b ⃗ |=4，(a ⃗ +b ⃗ )⊥b ⃗ ，∴(a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=a ⃗ ⋅b ⃗ +16=0，∴a⃗ ⋅b ⃗ =−16， ∴|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2=√a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=√25+32+16=√73， 故答案为：√73．由题意，求出a ⃗ ⋅b ⃗ 的值，再根据|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2，求出|a⃗ −b ⃗ |． 本题主要考查向量垂直的性质和向量的模，属于基础题．15.【答案】②④【解析】解：对于①：因为函数f(x)=sinπx 是周期函数，但是g(x)=x 2−x +1不是周期函数，所以y =f(x)+g(x)不是周期函数，故①不正确；对于②：因为函数f(x)=sinπx 对称轴为x =12+k ，k ∈Z ，所以x =12是f(x)的一条对称轴，因为g(x)=x 2−x +1=(x −12)2+34，对称轴为x =12，所以y =f(x)−g(x)的对称轴为x =12，故②正确；对于③：因为函数f(x)=sinπx 是关于原点对称，但是g(x)=x 2−x +1不关于原点对称，所以y =f(x)⋅g(x)不是关于原点对称，故③不正确；对于④：y =f(x)g(x)=sinπx x 2−x+1，f(x)=sinπx ，当x =12时，f(x)max =1，因为g(x)=x 2−x +1=(x −12)2+34，则g(x)min =g(12)=34，所以y =f(x)g(x)有最大值为43，故④正确．故答案为：②④．由函数的周期性，对称性，最值定义，逐个判断即可得出答案．本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)∵tan(θ+π4)=−3=tanθ+11−tanθ，∴tanθ=2．(Ⅱ)sin2θ=2sinθcosθsin2θ+cos2θ=2tanθtan2θ+1=44+1=45．【解析】(Ⅰ)由题意利用两角和的正切公式，计算tanθ的值即可．(Ⅱ)根据sin2θ=2tanθtan2θ+1，结合tanθ=2，求出sin2θ的值．本题考查两角和的正切公式、二倍角的正弦公式、同角三角函数的基本关系，属于基础题．17.【答案】(Ⅰ)V B1−ABD =13⋅S△ABD⋅BB1=13⋅(12⋅2⋅2)⋅1=23．(Ⅱ)证明：因为AD//BC，BC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以BC//平面ADD1A1．(Ⅲ)证明：因为BB1⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，所以BB1⊥AC.又因为AC⊥BD，BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BB1D.又因为B1D⊂平面BB1D，所以AC⊥B1D.【解析】(Ⅰ)根据三棱锥的体积公式求解即可；(Ⅱ)结合AD//BC可证明BC//平面ADD1A1；(Ⅲ)结合AC⊥平面BB1D可证明AC⊥B1D.本题考查三棱锥体积的求法，考查线面平行和线线垂直的证明，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC中，由余弦定理可知：cosC=AC2+BC2−AB22AC⋅BC =9+BC2−162×3×BC=−14，解得：BC=2或BC=−72(舍)，又∵cosC=−14，0<C<π，∴sinC=√154，∴S△ABC=12×BC×AC×sinC=12×2×3×√154=3√154；(Ⅱ)在△ABC 中，由正弦定理可得：AC sinB =AB sinC ，则sinB =AC×sinC AB =3×√1544=3√1516， ∵BC <AC <AB ，∴∠B 为锐角，∴cosB >0，∴cosB =1116，∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cosB =4×3×1116=334．【解析】(Ⅰ)根据余弦定理求出BC 的值，求出sin C ，求出三角形的面积即可； (Ⅱ)根据正弦定理求出sin B ，从而求出cos B 的值，求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值即可．本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，考查向量的数量积，是中档题．19.【答案】解：(I)f(x)=2sin(ωx +π6)+m ；若选①②，则{1+m =22+m =2，无解，f(x)不存在； 若选①③，则{1+m =22πω=π，解得m =1，ω=2，f(x)=2sin(2x +π6)+1；若选②③，则{2+m =22πω=π，解得m =0，ω=2，f(x)=2sin(2x +π6)．(II)若f(x)=2sin(2x +π6)，令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ,k ∈Z ，所以增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z)． 若f(x)=2sin(2x +π6)+1，其增区间与f(x)=2sin(2x +π6)相同，为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z)．【解析】(I)分选①②、①③，②③三种情况讨论，利用三角函数的图象与性质列方程求解；(II)令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ,k ∈Z 得f(x)的增区间．本题考查正弦函数的图象与性质，属于基础题．20.【答案】(Ⅰ)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，∵A 1D 1⊥平面ABB 1A 1，A 1D 1⊂平面A 1BD 1，∴平面A 1BD 1⊥平面ABB 1A 1．(Ⅱ)证明：连接BD ，AC ，设BD ∩AC =G ，连接0G ．∵ABCD−A1B1C1D1为正方体，DD1，且G是BD的中点，∴AE//DD1，且AE=12又因为O是BD1的中点，DD1，∴OG//DD1，且OG=12∴OG//AE，且OG=AE，即四边形AGOE是平行四边形，所以OE//AG，又∵EO⊄平面ABCD，AG⊂平面ABCD，所以EO//平面ABCD．(Ⅲ)解：满足条件OP=√2的点P有12个．理由如下：因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，AA1=2，所以AC=2√2．AC=√2．所以OE=AG=12在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为AA1⊥平面ABCD，AG⊂平面ABCD，所以AA1⊥AG，又因为EO//AG，所以AA1⊥OE，则点O到棱AA1的距离为√2，所以在棱AA1上有且只有一个点(即中点E)到点O的距离等于√2，同理，正方体ABCD−A1B1C1D1每条棱的中点到点的距离都等于√2，所以在正方体ABCD−A1B1C1D1棱上使得OP=√2的点P有12个．【解析】(Ⅰ)在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1⊂平面A1BD1，利用面面垂直的性质推断出平面A1BD1⊥平面ABB1A1．(Ⅱ)连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G.因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，进而可知AE//DD1，且AE=12DD1，且G是BD的中点，又因为O是BD1的中点，所以OG//DD1，且OG=12DD1，所以OG//AE，且OG=AE，即四边形AGOE是平行四边形，所以OE//AG，又因为EO⊄平面ABCD，AG⊂平面ABCD.所以EO//平面ABCD．(Ⅲ)解：因根据ABCD−A1B1C1D1为正方体，AA1=2，所以求得AC=，所以求得OE= AG.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，因为AA1⊥平面ABCD，AG⊂平面ABCD，判断出AA1⊥AG，又因为EO//AG，所以AA1⊥OE，则点O到棱AA1的距离为，所以在棱AA1上有且只有一个点(即中点E)到点O的距离等于，同理，正方体ABCD−A1B1C1D1每条棱的中点到点的距离都等于，在正方体ABCD−A1B1C1D1棱上使得OP=√2的点P有12个．所以在正方体ABCD−A1B1C1D1棱上使得OP=√2的点P有12个．本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理．考查了学生分析推理的能力．21.【答案】解：(Ⅰ)函数y=x不具有性质P；函数y=cosx具有性质P．(Ⅱ)设x∈(−π,0]，则x+π∈(0,π]．由题意，得f(x+π)=2f(x)=sin(x+π)，所以当f(x)=−12sinx，x∈(−π,0]由f(−π+π)=2f(−π)，f(0+π)=2f(0)，得f(−π)=14f(π)=0．所以当x∈[−π,0]时，f(x)=−12sinx．故当x=−π2时，f(x)在区间[−π,0]上有最大值f(−π2)=12．(Ⅲ)证明：当g(x)=0，x∈R时，结论显然成立；下面考虑g(x)不恒等于0的情况，即存在x0，使得g(x0)≠0，由于直线x=m为函数g(x)图象的一条对称轴，所以g(2m−x0)=g(x0)≠0，由题意，存在T0，A0，(T0>0,A0>0)，使得g(x+T0)=A0g(x0)成立，所以g(2m−x0)=A0g(2m−x0−T0)，即g(2m−x0−T0)=1Ag(x0)，由直线x=m是函数g(x)图像的一条对称轴，得g(2m−x0−T0)=g(x0+T0)，又因为g(x0+T0)=A0g(x0)，g(x0)≠0，所以1A0g(x0)=A0g(x0)，即A0=1，故对于任意x∈R，g(x+T0)=g(x)成立，其中T0>0．综上，g(x)为周期函数．【解析】根据题中给出的性质p的定义，结合函数周期性进行判断解题．本题为函数创新型题目，考查函数周期性的应用，需要对知识有一定的运用能力，为中等题目．。
2020-2021年北京西城高一数学下学期期末试卷及答案
2020-2021年北京西城高一数学下学期期末试卷及答案1. 在复平面内，复数对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 设向量，，则( )A.B.C.D.3. 设m，n为两条直线，，为两个平面．若，，，则( )A.B.C.D. 以上答案都不对4. 若，则( )A.B.C.D.5. 函数，的最大值和最小值分别为( )A. 1，B.C. 1，D. 1，6. 在中，若，则实数k的取值范围是( )A.B.C.D.7. 已知向量，满足，，，那么向量，的夹角为( )A.B.C.D.8. 函数的图像( )A. 关于原点对称B. 关于y轴对称C. 关于直线对称D. 关于点对称9. 设，则“”是“”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，正方形ABCD的边长为2，P为正方形ABCD四条边上的一个动点，则的取值范围是( )A.B.C.D.11. 设复数z满足，则__________.12. 在中，，，，则__________.13. 已知长、宽、高分别为3，4，5的长方体的八个顶点均在一个球的表面上，那么该球的表面积等于__________.14. 在直角中，斜边，则__________.15. 已知a为常数，关于的方程有以下四个结论：①当时，方程有2个实数根；②存在实数a，使得方程有4个实数根；③使得方程有实数根的a的取值范围是；④如果方程共有n个实数根，记n的取值集合为M，那么，其中，所有正确结论的序号是__________.16. 在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点求的值；求的值.17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PD的中点．若，求四棱锥的体积；求证：平面PAB；求证：平面18. 在中，，，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件．求的值；求的面积．19. 已知函数求的最小正周期；设，若函数在区间上单调递增，求a的最大值．20. 如图，在正方体中，，O为上底面的中心．求证：；求点A到平面的距离；判断棱上是否存在一点E，使得？并说明理由．21. 设函数的定义域为，其中常数若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质当时，判断函数和是否具有性质P？结论不要求证明若，函数具有性质P，且当时，，求不等式的解集；已知函数具有性质P，，且的图像是轴对称图形．若在上有最大值，且存在使得，求证：其对应的答案1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】B【解析】4.【答案】B5.【答案】D6.【答案】A【解析】7.【答案】C8.【答案】A9.【答案】C10.【答案】D11.【答案】12.【答案】213.【答案】14.【答案】1615.【答案】①②④16.【答案】解：因为在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点，所以，所以；由题意可得，，所以17.【答案】解：由，，知四边形ABCD为直角梯形，又，，且平面ABCD，，故，四棱锥的体积为；由题设知：，而，故，又平面ABCD，平面ABCD，，，AB，面PAB，故平面PAB；证明：如图，取AD中点N，连结EN，CN，为PD的中点，，又面面，面PAB，，，，四边形ABCN是平行四边形，，又面PAB，面PAB，面PAB，，，平面平面PAB，平面ENC，平面18.【答案】解：由题知，三角形为钝角三角形，选①，由余弦定理得：，解得，，由正弦定理得：，所以；选②，因为，所以，所以；选③由正弦定理得：，，所以，所以；选①，因为，，，所以的面积选②，由正弦定理得：，，所以的面积选③，因为，，，所以的面积19.【答案】解：函数，故该函数的最小正周期为，函数在区间上单调递增，则，，求得，20.【答案】证明：连接，，，因为，O为的中点，所以，又因为，所以解：设点A到平面的距离为d，所以所以，则所以所以A到平面的距离为不存在，如下图，作一个相同的正方体，取为上底面的中心，连接，，易知是平行四边形，所以，而与BE相交，所以棱上不存在一点E，使得21.【答案】解：函数具有性质P，函数不具有性质P；若，函数具有性质P，则存在常数，对任意，使得，又当时，，故当时，有，即，所以所以当时，，，即时，，故当时，不等式为，无解；当时，不等式为，又故不等式解得：，即解集为：证明：已知函数具有性质P，则存在常数，使得对任意的，都有，所以，所以函数的图像端点为和，由的图像是轴对称图形，得其对称轴为直线：，①若，因为时，，所以对任意，有，由基本不等式得，有，所以对任意，有，根据图像的对称性，得对任意，有，这与存在矛盾．②若，由，得，又，由图像的对称性知，，且，所以这与在上有最大值矛盾．综上：。
河北省保定市保定中学1+3贯通实验班2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
保定中学1+3贯通实验班2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷考试范围必修一及必修二6.1-6.3 考试分值150分 考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效；3.考试结束后，将答题卡收回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则集合等于（ ）A. B. C. D. 2. 设是定义域为的函数，命题“，”，则命题的否定是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，3. “角为第一象限角”是“且”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. ，，，则（ ）A. B. C. D.5. 已知平面向量，则下列命题一定正确有（ ）①若，则②若，则存在实数，使得③若，则④A. 0个 B. 1个C. 2个D. 3个的{}2,1C =-{},,D z z x y x C y C ==+∈∈∣D {}1,2,1-{}2,1,4-{}1,2,4{}2,2,4-()f x R :p 0x ∃≥()0f x >p 0x ∀≥()0f x ≤0x ∃≤()0f x ≤0x ∃>()0f x ≤0x ∀≤()0f x ≤θtan 0θ>sin 0θ>sin1a =lg sin1b =sin110c =a b c<<b a c<<b<c<ac b a<<,,a b c,a b b c ==a c = //a bλa bλ=,a b b c∥∥//a c ()()a b c b c a⋅=⋅6. 在正方形中，点E 满足，点F 满足，若，则（ ）A. B.C.D. 7. 函数的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.8. 筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（ ）A.B.C.D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ）A 若，，则B.若，则C.的最小值是.ABCD 2DE EC =1122BF BA BC =+ EF xAD y AC =+ x y -=12-123216-()22111x f x x +=-+1O r 24s 2M 0P 0h 4s M 1P 1h 10h h -=0OP π12π6π4π3a b >0c <22a c b c>a b >22a b >2D. 的最大值是10. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为B. 函数的图象关于直线对称C. 函数在单调递减D.该图象向右平移个单位可得的图象11. 已知函数，若方程有四个不等的实根且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则__________．13. 已知平面向量，则向量在方向上投影向量为__________.14. 如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________．.的423(0)x x x-->2-()()πsin 002f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，()y f x =π()y f x =5π12x =-()y f x=2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦π62sin2y x =()12log ,04ππ4cos ,41463x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩()f x m =1234,,,x x x x 1234x x x x <<<02m <<1212x x =34(48,55)x x ∈13(0,5)x x ∈()f x R 0x >()221xf x x =+-()1f -=((,a b == a b + b ABCDEF 2,A B AF G »»,,AG BGAB四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15. （1）计算：（2）若，求的值．16. 已知函数．（1）若，求实数的值；（2）求的最大值．17. 在等腰梯形中，CD 的中点为O ，以O 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知．（1）求；（2）若点F 在线段CD 上，，求．18. 为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案：方案让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上．方案让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上．请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．62log 73862lg5(sin1)lg4(27+-++;()tan π2α-=-24sin 3sin cos ααα-()()22sin cos R f x x a x aa =+-∈13π134f ⎛⎫=⎪⎝⎭a ()f x ABCD ()()2,4,3,0,4A D BC BE --=CE DE ⋅u u r u u u r6FE CE ⋅=cos ,FE CE 〈〉 π3500OAB ()1:»AB OA OB 2:»AB OA OB19 对于函数.（1）若方程恰有一个实根，求实数a 的取值范围；（2）设，若对任意，当时，满足，求实数a 的取值范围．.2()ln f x a x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()ln[(6)28]f x a x a =-+-0a >1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦12,[,1]x x b b ∈+()()12ln 2f x f x -≤保定中学1+3贯通实验班2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷答案一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.【15题答案】【答案】（1）；（2）2.【16题答案】【答案】（1）或 （2）略【17题答案】【答案】（1）； （2.【18题答案】【答案】答案略【19题答案】【答案】（1）（2）2-103⎛⎝43π-7691a =12a =-8116{}(2,3]4,6⋃24,5∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭。
2023北京西城区高一(下)期末数学试题及答案
2023北京西城高一（下）期末数学2023.7本试卷共6页，共150分，考试时长120分钟，考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数1i z =+，则在复平面内z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．tan y x=C ．cos 2y x=D ．sin 2y x =3．在ABC △中，2a b =，60C =︒，c =a =（）A ．12B ．1C ．D ．4．某城市—年中12个月的月平均气温y （单位℃）与月份()1,2,3,,12x x =⋅⋅⋅的关系可近似地用三角函数()()sin 306y a A x A π⎡⎤=+->⎢⎥⎣⎦来表示，已知月平均气温最高值为28℃，最低值为18℃，则A =（）A ．5B ．10C ．15D ．205．复数cos isin z αα=+，且2z 为纯虚数，则α可能的取值为（）A ．0B ．4πC ．3πD ．2π6．已知直线m ，直线n 和平面α，则下列四个命题中正确的是（）A ．若m α∥，n α⊂，则m n ∥B ．若m α∥，n α∥，则m n ∥C ．若m α⊥，n α∥，则m n⊥D ．若m n ⊥，n α∥，则m α⊥7．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,2P -，()3,4Q ，则cos POQ ∠=（）A ．53B ．55C ．53-D ．55-8．已知等边ABC △的边长为4，P 为ABC △边上的动点，且满足12AP AB ⋅≤，则点P 轨迹的长度是（）A ．7B ．9C ．10D ．119．已知函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则“()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知点A ，点B ，点P 都在单位圆上，且AB =，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]1,3-C ．[]2,3-D ．[]1,2-第二部分（选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()3,4-，则5z为______．12．设向量()1,2a = ，()4,b x =，若a b ⊥ ，则x =______．13．已知圆柱的底面半径为3，体积为323π的球与该圆柱的上、下底面相切，则球的半径为______，圆柱的体积为______．14．写出一个同时满足下列两个条件的函数()f x =______．①x ∀∈R ，()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭；②x ∀∈R ，()4f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立．15．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段AC 上的动点（包含端点），点E 在线段11B D 上，且11114D E B D =，给出下列四个结论：①存在点P ，使得平面11PB D ∥平面1C BD ；②存在点P ，使得11PB D △是等腰直角三角形；③若5PE ≤，则点P 轨迹的长度为④当13AP PC =时，则平面11PB D 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面图形的面积为18．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）已知2παπ<<，4sin 5α=．（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求cos 2cos 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．17．（本小题13分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1DD ，11C D 的中点．（Ⅰ）证明：1A B ⊥平面11ADC B ；（Ⅱ）证明：1B F ∥平面1A BE．18．（本小题14分）已知在ABC △中，cos cos 2cos a B b A c A +=．（Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若4c =，在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC △存在且唯一，求ABC △的周长．①ABC △的面积为；②a =AB 边上的高线CD 长为32．19．（本小题15分）已知函数()2sin 22cos 16f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．（Ⅰ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）若函数()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围．20．（本小题15分）如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ，2SA SD AD ===，四边形ABCD 为正方形，E 为AD 的中点，F 为SB 上一点，M 为BC 上一点，且平面EFM ∥平面SCD ．（Ⅰ）求证：CD SA ⊥；（Ⅱ）求证：M 为线段BC 中点，并直接写出M 到平面SCD 的距离；（Ⅲ）在棱SC 上是否存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ？若存在，求CNCS；若不存在，说明理由．21．（本小题15分）对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T ，若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数．（Ⅰ）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+．（Ⅱ）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（Ⅲ）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2TT ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-．若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅直接给出一个符合题意的a 的值，并证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 9．B 10．A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．112．-213．2，36π14．sin 2x （答案不唯一）15．①③④注：第13题第一问2分，第二问3分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分．三、解答题：本大题共6小题，共85分．其他正确解答过程，请参照评分标准给分．16．（本小题13分）解：（Ⅰ）因为22sin cos 1αα+=，4sin 5α=，所以29cos 25α=，3cos 5α=±．又因为2παπ<<，所以3cos 5α=-．所以sin 4tan cos 3ααα==-．（Ⅱ）)22cos 22cos sin 52cos 42αααπα==+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．（本小题13分）（Ⅰ）证明：1111ABCD A B C D -，所以11B C ⊥平面11ABBA ．因为1A B ⊂平面11ABB A ，所以111B C A B ⊥．因为11A ABB 为正方形，所以11A B AB ⊥，又因为1111B C AB B ⋂=，所以1A B ⊥平面11ADC B ．（Ⅱ）设11AB A B O ⋂=，连接OE ．因为1111ABCD A B C D -为正方体，所以11B A C D ∥，且11B A C D =，所以11B O C D ∥，且1112B OCD =．因为E ，F 分别1DD ，11C D 的中点，所以1EF C D ∥，且112EF C D =．所以1EF B O ∥，且1EF B O =．所以四边形1B OEF 为平行四边形．所以1B F OE ∥．又因为1B F ⊄平面1A BE ，OE ⊂平面1A BE ，所以1B F ∥平面1A BE ．18．（本小题14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=．所以()sin 2sin cos A B C A +=．因为A B C π++=，所以()sin sin A B C +=，所以sin 2sin cos C C A =．因为()0,C π∈，sin 0C ≠，所以2cos 1A =，即1cos 2A =．又因为()0,A π∈，所以3A π=．（Ⅱ）选择①因为ABC S =△1sin 2bc A =，即1422b ⨯⨯⨯=，所以5b =．又因为2222cos a b c bc A =+-，即2125162542a =+-⨯⨯⨯，所以a =，所以ABC △的周长为9．选择③因为AB 边上的高线CD 长为32，即3sin 2b A =，所以1b =．又因为2222cos a b c bc A =+-，即211162142a =+-⨯⨯⨯所以a =ABC △的周长为5+19．（本小题15分）解：（Ⅰ）2sin 2cos 11666f πππ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭．（Ⅱ）()231sin 22cos 1sin 22cos 2622f x x x x x x π⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭31sin 2cos 2sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k ∈Z ，得36k x k ππππ-+≤≤+．所以()f x 的单调递增区间是(),36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（Ⅲ）因为[]0,x m ∈，所以2,2666x m πππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦．依题意2236m πππ<+<，解得11171212m ππ<<．所以m 的取值范围为11171212ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．20．（本小题15分）解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥．因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面SAD ，又SA ⊂平面SAD ，所以CD SA ⊥．（Ⅱ）因为平面EFM ∥平面SCD ，平面EFM ⋂平面ABCD EM =，平面SCD ⋂平面ABCD CD =，所以CD EM ∥，又因为E 为AD 的中点，所以M 为线段BC 中点．M 到平面SCD 的距离为32．（Ⅲ）存在，N 为SC 中点，连接EC ，DM 交于点O ，连接SE ．因为ED CM ∥，并且ED CM =，所以四边形EMCD 为平行四边形，所以EO CO =．又因为N 为SC 中点，所以NO SE ∥．因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD ⋂平面ABCD AD =，又SE ⊂平面SAD ，由已知SE AD ⊥，所以SE ⊥平面ABCD ，所以NO ⊥平面ABCD ．又因为NO ⊂平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面ABCD ．所以存在点N ，使得平面DMN ⊥平面ABCD ，12CN CS =．21．（本小题15分）解：（Ⅰ）①否；②是．（Ⅱ）因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T +-=+++-+=+-+⎡⎤⎣⎦．所以，对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2T k π=，*k ∈N ．（Ⅲ）1a =．函数()()F x f x x b =--，则有：()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=．取3344TTb f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则有：3330444T T T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T TF F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有：()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T ．又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Z ，有：044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T TF kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34TmT +．综上所述，存在3344TTb f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点：14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，…，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452Tx x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=．。
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高一下学期期末数学考试试卷
一、选择题
1. 与﹣60°角的终边相同的角是（）
A . 300°
B . 240°
C . 120°
D . 60°
2. 不等式x﹣2y+4＞0表示的区域在直线x﹣2y+4=0的（）
A . 左上方
B . 左下方
C . 右上方
D . 右下方
3. 已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），则cosα的值是（）
A . ﹣
B .
C . ﹣
D .
4. 不等式x2﹣3x﹣10＞0的解集是（）
A . {x|﹣2≤x≤5}
B . {x|x≥5或x≤﹣2}
C . {x|﹣2＜x＜5}
D . {x|x＞5或x＜﹣2}
5. 若sinα=﹣，α是第四象限角，则cos（+α）的值是（）
A .
B .
C .
D .
6. 若a，b∈R，下列命题正确的是（）
A . 若a＞|b|，则a2＞b2
B . 若|a|＞b，则a2＞b2
C . 若a≠|b|，则a2≠b2
D . 若a＞b，则a﹣b＜0
7. 要得到函数y=3sin（2x+ ）图象，只需把函数y=3sin2x图象（）
A . 向左平移个单位
B . 向右平移个单位
C . 向左平移
个单位D . 向右平移个单位
8. 已知M是平行四边形ABCD的对角线的交点，P为平面ABCD内任意一点，则+ + + 等于（）
A . 4
B . 3
C . 2
D .
9. 若cos2α= ，则sin4α+cos4α的值是（）
A .
B .
C .
D .
10. 已知直角三角形的两条直角边的和等于4，则直角三角形的面积的最大值是（）
A . 4
B . 2
C . 2
D .
11. 已知点（n，an）在函数y=2x﹣13的图象上，则数列{an}的前n项和Sn的最小值为（）
A . 36
B . ﹣36
C . 6
D . ﹣6
12. 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）
A . （1，2）
B . （2，+∞）
C . [3，+∞）
D . （3，+∞）
二、填空题
13. 若向量=（4，2），=（8，x），∥ ，则x的值为________．
14. 若关于x的方程x2﹣mx+m=0没有实数根，则实数m的取值范围是________．
15. 已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为________．
16. 设f（x）=sinxcosx+ cos2x，则f（x）的单调递减区间是________．
三、解答题
17. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q（q≠1），证明：Sn=
．
18. 已知平面向量，满足| |=1，| |=2．
（1）若与的夹角θ=120°，求| + |的值；
（2）若（k + ）⊥（k ﹣），求实数k 的值．
19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=acosB+bsinA．
（1）求A；
（2）若a=2，b=c，求△ABC的面积．
20. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1= Sn（n=1，2，3，…）．
（1）证明：数列{ }是等比数列；
（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．
21. 某电力部门需在A、B两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A、B两地距离．现测量人员在相距km的C、D两地（假设A、B、C、D在同一平面上）测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为A、B距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？
22. 已知A，B，C为锐角△ABC的内角，=（sinA，sinBsinC），=（1，﹣2），⊥ ．
（1）tanB，tanBtanC，tanC能否构成等差数列？并证明你的结论；
（2）求tanAtanBtanC的最小值．。