四面体外接球的球心半径求法

四面体外接球得球心、半径求法

在立体几何中,几何体外接球就是一个常考得知识点,对于学生来说这就是一个难点,一方面图形不会画,另一方面在画出图形得情况下无从下手,不知道球心在什么位置,半径就是多少而无法解题。

本文章在给出图形得情况下解决球心位置、半径大小得问题、

一、出现“墙角”结构利用补形知识,联系长方体。

【原理】:长方体中从一个顶点出发得三条棱长分别为,则体对角线长为,几何体得外接球直径为体对角线长 即

【例题】:在四面体中,共顶点得三条棱两两垂直,其长度分别为,若该四面体得四个顶点在一个球面上,求这个球得表面积。

解:

因为:长方体外接球得直径为长方体得体对角线长

所以:四面体外接球得直径为得长

即:

所以

球得表面积为

二、出现两个垂直关系,利用直角三角形结论。 【原理】:直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形斜边中点。

【例题】:已知三棱锥得四个顶点都在球得球面上,且,,,,求球得体积。

解:且,,,,

因为 所以知

所以 所以可得图形为:

在中斜边为

在中斜边为

取斜边得中点,

在中

在中 所以在几何体中,即为该四面体得外接球得球心

A C

所以该外接球得体积为

【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外得两个点连线、

三、出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系,利用向量知识求解ﻩ

【例题】:已知在三棱锥中,,,,求该棱锥得外接球半径、

解:由已知建立空间直角坐标系

解得

所以半径为

【结论】:空间两点间距离公式:

四、四面体就是正四面体

处理球得“内切”“外接"问题

与球有关得组合体问题,一种就是内切,一种就是外接。作为这种特殊得位置关系在高

考中也就是考查得重点,但同学们又因缺乏较强得空间想象能力而感到模糊。解决这类题目

时要认真分析图形,明确切点与接点得位置及球心得位置,画好截面图就是关键,可使这类问

题迎刃而解。

一、棱锥得内切、外接球问题

例1.正四面体得外接球与内切球得半径就是多少？

分析:运用正四面体得二心合一性质,作出截面图,通过点、线、面关系解之。

解:如图1所示,设点就是内切球得球心,正四面体棱长为.由图形得对称性

知,点也就是外接球得球心.设内切球半径为,外接球半径为.

正四面体得表面积、

正四面体得体积

,

在中,,即,得,得

【点评】由于正四面体本身得对称性可知,内切球与外接球得两个球心就是

重合得,为正四面体高得四等分点,即内切球得半径为 ( 为正四面体得高),且

外接球得半径,从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间得关系。

例２。设棱锥得底面就是正方形,且,,如果得面积为1,试求能够放入这个

图1 棱锥得最大球得半径.

解:平面,

图2

由此,面面、记就是得中点,

从而、平面,

设球就是与平面、平面、平面都相切得球、如图2,得截面图及内切圆

不妨设平面,于就是就是得内心.

设球得半径为,则,设,。

,

当且仅当,即时,等号成立。

∴当时,满足条件得球最大半径为.

练习:一个正四面体内切球得表面积为,求正四面体得棱长。(答案为:)

【点评】根据棱锥得对称性确定内切球与各面得切点位置,作出截面图就是解题得关键、

二、球与棱柱得组合体问题

1． 正方体得内切球:

球与正方体得每个面都相

切,切点为每个面得中心,显然

球心为正方体得中心、设正方体

得棱长为,球半径为。 如图3,截面图为正方形得内切

圆,得;

2． 与正方体各棱相切得球:球与正方体得各棱相切,切点为各棱得中点,如图4作截面图,圆为正方形得外接圆,易得。

3． 正方体得外接球:正方体得八个顶点都在球面上,如图５,以对角面作截面图得,圆为矩形得外接圆,易得。

例３、在球面上有四个点、、、、如果、、两两互相垂直,且,那么这个球得表面积就是____＿_。

解:由已知可得、、实际上就就是球内接正方体中交于一点得三条棱,正方体得对角线长就就是球得直径,连结过点得一条对角线,则过球心,对角线

练习:一棱长为得框架型正方体,内放一能充气吹胀得气球,求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时得球得体积。(答案为)

4、构造直三角形,巧解正棱柱与球得组合问题

正棱柱得外接球,其球心定在上下底面中心连线得中点处,由球心、底面中心及底面一顶点构成得直角三角形便可得球半径。

例 4.已知三棱柱得六个顶点在球上,又知球与此正三棱柱得５个面都相切,求球与球得体积之比与表面积之比。

分析:先画出过球心得截面图,再来探求半径之间

得关系、

解:如图６,由题意得两球心、就是重合得,过正三

图3 图4

图

5 图6

棱柱得一条侧棱与它们得球心作截面,设正三棱柱底面边长为,则,正三棱柱得高为,由中,得, ,

练习:正四棱柱得各顶点都在半径为得球面上,求正四棱柱得侧面积得最大值。(答案为:)

【点评】“内切”与“外接”等有关问题,首先要弄清几何体之间得相互关系,主要就是指特殊得点、线、面之间关系,然后把相关得元素放到这些关系中解决问题,作出合适得截面图来确定有关元素间得数量关系,就是解决这类问题得最佳途径、

勾股定理知,假设正四面体得边长为时,它得外接球半径为。