数学系常微分方程试卷C及答案

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12-13-2学期期末考试

《常微分方程》C 参考答案及评分标准

制卷 赵志锟 审核 一、填空题（每小题3分，本题共15分）

1． ,2,1,0,±±==k k y π； 或 ,2,1,0,2

±±=π+π=k k x 2．x

x x e ,e

3．}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面） 4．充分 5．3

2C Cx y +=

二、单项选择题（每小题3分，本题共15分）

6．D 7．B 8．A 9．D 10．D

三、简答题（每小题6分，本题共30分）

11．解 当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得

C x y y y

+=⎰

⎰

d ln d （3分） 通积分为

x

C y e ln = （6分）

12．解 令xu y =，则x

u

x

u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x u

x

-= （3分） 分离变量，取不定积分，得

C x

x

u u ln d 1d 2

+=-⎰

⎰

（0≠C ） 通积分为： Cx x

y

ln arcsin

= （6分）

13．解 对应齐次方程

dy y dx x

=的通解为

Cx y = （2分）

令非齐次方程的特解为

x x C y )(= （3分）

代入原方程，确定出

/1

()c x x

=

（4分） 再求初等积分得

C x x C +=ln )( （5分）

因此原方程的通解为

Cx y =+x x ln （6分）

14．解： 积分因子为

21()2

()2ln 21

()x x e y x dx dx x

x y x

x

x e

e e

x

μ∂-∂---

-∂∂⎰

⎰

==== （3分） 取001,0x y ==，则原方程的通积分为 101

2d d )(e C y x x y

y x x

=+-⎰⎰

（5分）

即

1e e C x

y

x

+=+

（6分）

15．解： 原方程为恰当导数方程，可改写为 1)(-=''y y

则 1C x y y +-=' （2分） 分离变量，取积分21)d (d C x C x y y ++-=⎰

⎰ （4分） 得原方程的通积分为

2212)(2

1

21C C x y +--= （6分）

四、计算题（每小题10分，本题共20分）

16．解：对应的齐次方程为650y y y '''-+=。我们有

212650,1,5λλλλ-+===，通解为512x x

y C e C e =+，………………………….2分 又由迭加原理，分别求出二方程2

653655x

x y y y e

y y y e

'''⎧-+=-⎪⎨'''-+=⎪⎩的特解，

其中第一个为：13,4

x y Axe A ==

； 第二个为：2

21262

,1,,525

y Ax Bx C A B C =++===

，………………………….5分 则，21231262

4525x y y xe x x +=

+++

为原方程的一个特解，其通解为： 2

512312624525

x x x y xe x x C e C e =+++++。……………………………..10分

17．解： 方程组的特征方程为 043

21=----=

-λ

λλE A

即 0232

=+-λλ （1分） 特征根为

11=λ，22=λ （2分）

11=λ对应的解为 t

b a y x e 1111⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥

⎦⎤⎢

⎣⎡ （3分） 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡----0014321111b a （4分）

可解得1,111-==b a ． （5分） 同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ． （8分） 所以，原方程组的通解为

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡t t t t C C y x 2221e 32e e e （10分）

五、综合能力与创新能力测试题（每小题10分，共20分）

18．解：由物理知识得：)F (为质点受到的合外力为质点的加速度，其中合合a m

F a =

1分

根据题意：v k t k F 21-=合 2分

故：)0(221>-=k v k t k dt

dv

m

数学系常微分方程试卷C 及答案

11 / 11

即：

(*))(12t m

k v m k dt dv

+-= 5分

(*)式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有

)(2

21c dt e t m

k e

V dt m

k

dt m

k

+⎰⋅⎰=⎰- )(22222

121c e k mk e t k k e

t m k

t m

k t m

k +-⋅=-

7分 又当t =0时，V =0，故c =

2

21

k mk 9分 因此，此质点的速度与时间的关系为：)(22122

12k m

t k k e k mk V t m k

-+=- 10分

19．证明 设)(x y y =是方程任一解，满足00)(y x y =，该解的表达式为

00

e d e )(e )()(0x x x x x s x x s s

f y x y ---⎰+

= （4分）

取极限

00

e

d e )(lim

e

lim

)(lim )(0

x x x x x s x x x x x s s f y x y --+∞

→-+∞

→+∞

→⎰

+=

=⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧∞==∞

<+⎰⎰∞---+∞→∞

-000000d e )(,0e e )(lim d e )(,00)()

()(x x s x x x x x x x s s s f x f s s f 若若 （10分）