第八章第9讲圆锥曲线的综合问题

第9讲 圆锥曲线的综合问题

定点、定值问题[学生用书P168]

[典例引领]

(2016·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1过A (2，0)，B (0，1)两点．

(1)求椭圆C 的方程及离心率；

(2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：四边形ABNM 的面积为定值．

【解】 (1)由题意得，a ＝2，b ＝1.

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

＝1.

又c ＝a 2－b 2＝3， 所以离心率e ＝c a ＝3

2

.

(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0<0，y 0<0)，则x 20＋4y 2

0＝4. 又A (2，0)，B (0，1)，

所以，直线P A 的方程为y ＝

y 0

x 0－2

(x －2)． 令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0

x 0－2.

直线PB 的方程为y ＝y 0－1

x 0x ＋1.

令y ＝0，得x N ＝－x 0

y 0－1，

从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0

y 0－1.

所以四边形ABNM 的面积 S ＝1

2

|AN |·|BM | ＝1

2⎝⎛⎭⎫2＋x 0y 0－1⎝⎛⎭⎫1＋2y 0x 0

－2 ＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42（x 0y 0－x 0－2y 0＋2）

＝

2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4

x 0y 0－x 0－2y 0＋2

＝2.

从而四边形ABNM 的面积为定值．

定点、定值问题的求解策略

(1)定点问题多为两类，一是证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率k

或截距b 的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，利用向量转化相应条件，从而找出相应参数满足的条件，确定定点．

(2)定值问题，涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到．

(3)无论定点或定值问题，都可先用特殊值法求出，然后再验证即可，这样可确定代数式的整理方向和目标．

已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1，0)，O 为坐标原点，A ，B

是抛物线C 上异于O 的两点．

(1)求抛物线C 的方程；

(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－1

2，求证：直线AB 过x 轴上一定点．

[解] (1)因为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1，0)，所以p

2＝1，所以p ＝2.

所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .

(2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时， 设A ⎝⎛⎭⎫t 2

4，t ，B ⎝⎛⎭

⎫t

2

4，－t . 因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，

所以t t 24·－t t 24

＝－1

2，化简得t 2＝32.

所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8.

②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，联立得⎩

⎪⎨⎪

⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋b ，

化简得ky 2－4y ＋4b ＝0.

根据根与系数的关系得y A y B ＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y A x A ·y B

x B

＝－1

2

，即x A x B ＋2y A y B ＝0. 即y 2A 4·y 2B

4

＋2y A y B ＝0， 解得y A y B ＝0(舍去)或y A y B ＝－32.

所以y A y B ＝4b

k ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ，

即y ＝k (x －8)．

综上所述，直线AB 过x 轴上一定点(8，0)．

最值、范围问题[学生用书P169]

[典例引领]

(2017·石家庄模拟)已知以A 为圆心的圆(x －2)2＋y 2＝64上有一个动点M ，B (－2，

0)，线段BM 的垂直平分线交AM 于点P ，点P 的轨迹为Z .

(1)求轨迹Z 的方程；

(2)过A 点作两条相互垂直的直线l 1，l 2分别交曲线Z 于D ，E ，F ，G 四个点，求|DE |＋|FG |的取值范围．

【解】 (1)连接PB ，依题意得|PB |＝|PM |，所以|PB |＋|P A |＝|AM |＝8， 所以点P 的轨迹Z 是以A ，B 为焦点，4为长半轴长的椭圆，

所以a ＝4，c ＝2，则b ＝2 3. 所以轨迹Z 的方程是x 216＋y 2

12

＝1.

(2)当直线l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在时，|DE |＋|FG |＝6＋8＝14；

当直线l 1的斜率存在且不为0时，设直线l 1的方程为y ＝k (x －2)，D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 216＋y

212＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－16k 2x ＋16k 2－48＝0， 所以x 1＋x 2＝16k 2

3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，

所以|DE |＝（1＋k 2）（x 1－x 2）2 ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝24（1＋k 2）3＋4k 2，

同理可得|FG |＝24（1＋k 2）

4＋3k 2

，

所以|DE |＋|FG |＝168（k 2＋1）2

（4＋3k 2）（3＋4k 2），

设t ＝k 2＋1，则t >1， 所以|DE |＋|FG |＝168

12＋t －1t

2

，

当t >1时，易证y ＝t －1t 2在(1，2)上递增，在(2，＋∞)上递减，所以0

4，

所以|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎡⎭⎫967，14. 综上，|DE |＋|FG |的取值范围是⎣⎡⎦

⎤96

7，14.

最值、范围问题的求解策略

(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决．

(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等