弦长公式(高二版椭圆)

3
（7）三点共线，长度之比尽量使用相似三角形 转化为坐标之比，利用韦达定理。
例 1．（2007 山东卷）已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组 成的四边形为正方形，两准线(注：左右准线方
程为 x a2 )间的距离为 4 c (Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与
，证明：
x02 3
y02 2
1 ；（Ⅱ）求四边
5
形 ABCD的面积的最小值． 例 2：解：（Ⅰ）椭圆的半焦距c 3 2 1，由 AC⊥BD 知点 P 在以线段 F1F2 为直径的圆上，故 x02 y02 1，所 以 (处理方法一) ． x22 y02 ≤ x02 y02 1 1
3 2 2 22
弦长公式(高二版椭圆)
圆锥曲线综合问题
1. 直线方程的处理：若直线方程未给出，应先 假设。
（1）若已知直线过点 (x0, y0) ，则假设方程为 ； y y0 k(x x0 )
（2）若已知直线的斜率 k ，则假设方程为 y kx m ；
（3）若仅仅知道是直线，则假设方程为 y kx m 【注】以上三种假设方式都要注意
2
,
x1
x2
6 1 2k2
解法 1： = S
AOB
1 2
| OD | |
y1
y2
|
1 2
|
2 k
| | kx1 2 kx2
2|
| x1 x2 |
法一.
. 下 同 解
(x2 x2 )2 4x1x2
16k 2 24 2 2 2k 2 3
1 2k 2
1 2k 2
解法 2： = 。 S
此时 .所求 Smax
2 2
k 14 2
直线为 14 2y 4 0 解法二：由题意知直线 l 的斜
率存在且不为零.设直线 l 的方程为
y
kx 2, A(x1, y1), B(x2,
y2 )
，则直线
l
与
x
轴的交点 D( 2 ,0) ， k
由解法一知 且 ， k2 3 2
x1
x2
1
8k 2k
x1 x2
C, A
又 P,Q 两 点 在 直 线 l 上 ， 故 y1 kx1 m, y2 kx2 m ， 则 ，从而 y2 y1 k(x2 x1)
| PQ | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (x2 x1)2 k 2 (x2 x1)2 (1 k 2 )(x2 x1)2
向量的平行四边形法则或者对角线中点重合）
（2）直径（圆周角为直角，向量垂直或斜率乘 积等于 1），其次考虑是否需要求圆的方程。 （3）锐角和钝角使用数量积正负求解；涉及到 其它角的问题使用正切值，转化为斜率求解；
（4）三角形内切圆的半径与三角形面积的关系：
； S rp,(这里p a b c) 2
（5）圆的弦长用垂径定理；（6）涉及到焦点要 联想到定义；
2k
2
)
x
2
8kx
6
0
由直线l 与椭圆相交于 A、B 两点，
解得 64k 2 24(1 2k 2 ) 8(2k 2 3) 0
k2 3
2
又 由 韦 达 定 理 得 , x1
x2
8k 1 2k 2
,
x1
x2
6 1 2k2
| AB |
(1 k 2 ) 8(2k 2 3) (1 2k 2 )2
P(x1, y1),Q(x2, y2) ，联立方程组（将直线方程代入椭 圆方程）：
y kx b2 x2
m, a2 y2
a2b2 ,
消去
y
整理成关于
x
的一元二次方程：
， Ax2 Bx C 0
2
则 x1, x2 是上式的两个根， B2 4AC 0 ；由韦达定理
得： x1
x2
B, A
设 ， ，则 ， B(x1，y1) D(x2，y2 )
x1
x2
6k 2 3k 2
2
x1x2
3k 2 3k 2
6 2
；因为 与 相交于点 ， BD
(k 2
1)
48(k (3k 2
2 1) 2)2
4
3(k 2 1) 3k 2 2
AC BC
AOB
S
POB
S
POA
1 2
2
||
x2
||
x1 ||
| x2
x1 |
2 2 2k 2 3 1 2k 2
例
2：已知椭圆
x2 3
y2 2
1的左、右焦点分别为
F1
，
F2 ．过 F1 的直线交椭圆于 B，D两点，过 F2 的直线交 椭圆于 A，C 两点，且 AC BD，垂足为 P ．
（Ⅰ）设 P
(x0，y0 )
(1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
(1
k
2
)
A2
【注意：如果联立方程组消去 x 整理成关于 y 的一
元二次方程： Ay2 By C 0 ，则
| PQ |
(1
1 k2
)(
y2
y1 ) 2
(1 1 ) k 2 A2
反斜截式
】 (1 m2 ) A2
3、其他常见问题处理
（1）等腰（使用垂直平分）,平行四边形（使用
椭圆相交于 A、B 两点，当ΔAOB 面积取得最 大值时，求直线 l 的方程.
例 1.解：(1) x2 y2 1. 2
（Ⅱ）由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方
程为 y kx 2, A(x1, y1), B(x2, y2 )
由
y kx x2 2y2ຫໍສະໝຸດ 2 2，消去
y
得关于
x
的方程：(1
点 O 到 直 线 l 的 距 离 d 2 ， 1 k2
4
. 1
8(2k2 3) 2 2 2k2 3
S AOB 2 | AB | d 1 2k 2 1 2k 2
令 ， m 2k2 3(m 0)
则 ， 2k2 m2 3
S
2 2m m2 4
22 m 4
2 2
m
当且仅当 m 4 即 m 2 时， m
斜率是否存在的讨论；
（4）若已知直线恒过 x 轴上一点(t,0) ，且水平 线不满足条件（斜率为 0），可以假设
直线为 x my t 。【反斜截式， m 1 】不含 k
垂直于 y 轴的情况（水平线）
2.弦长公式：若直线
l
:
y
kx
m
与椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
相 交 于 P,Q 两 点 ， 求 弦 长 | PQ | 的 步 骤 ： 设
（处理方法二） x22 3
y02 2
x02 3
1 x02 2
1 2
1 6
x02
1
（Ⅱ）（ⅰ）当 BD的斜率 k 存在且 k 0时， BD的方
程为 y k(x 1) ，代入椭圆方程 x2 y2 1 ，并化简得 32
． (3k 2 2)x2 6k 2x 3k 2 6 0 48(k 2 1) 0