第八章 组合变形
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第八章 组合变形
例题
[ 已知： 例8.1 已知： = 15kN , e = 300mm, 许用拉应力σ 1 ] = 32 MPa, P
试设计立柱直径d 试设计立柱直径d。
解： 将力P向立柱轴线简化，立柱 向立柱轴线简化， 将力 向立柱轴线简化 承受拉伸和弯曲两种基本变 形 任意横截面上的轴力和弯矩 为：
FN = P = 15kN
cos ϕ sin ϕ + I I z y
2 2
ω= ω
2
y
+ω
2
z
Fl 3 = 3E
ωz I z tanψ = = tan ϕ ωy I y
I 一般情况下， z ≠ I y ， 故 ϕ ≠ ψ ，这表明挠度所在 一般情况下， 的平面与外力作用平面并不重合。 的平面与外力作用平面并不重合。
以矩形截面的悬臂梁为例，在端部C点受力F 以矩形截面的悬臂梁为例，在端部C点受力F，F通过截面 ϕ 形心，与y轴夹角为 形心， 建立坐标系， 建立坐标系，将F分解 分解 成沿y和 的分量 成沿 和z的分量
Fy = F cosϕ
Fz = F sin ϕ
图6.4
梁的斜弯曲可看成由Fy、Fz分别产生的两个平面弯 Fy、 曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。 曲叠加而成。且危险截面均为固定端处截面。其上弯矩 值为： 值为：
σ1
σw
4×15×103 32×15×103 ×300 + ≤ 32 2 3 πd πd
d = 114mm
所示起重机的最大吊重F=12kN，许用应 例8.2 图a所示起重机的最大吊重 所示起重机的最大吊重 ， 试为横梁AB选择合适的工字钢 选择合适的工字钢。 力 [σ ] = 100MPa ，试为横梁 选择合适的工字钢。 的受力图， 解：根据横梁AB的受力图，由 根据横梁 的受力图 平衡方程可得： 平衡方程可得：
第8章 组合变形(土木)
F F
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
350
F
350
M
FN
y1
A 15000 mm 2 z0 75mm z1 125 mm
I y 5.31 10 7 mm 4
y
z0
z1
150 50 150
（2）立柱横截面的内力 50 FN F M F 350 75 10 3
425 F 10 3 N.m
危险点在1，2点。
max
b 9cm
h 2b 18cm
屋 顶 桁 架 结 构 的 简 化
例: 图示悬臂梁由25b工字钢制成，弹性模量 E=200GPa。荷载和几何尺寸如图所示，试求： (1) 求梁上C点的应力；
(2) 求梁内最大拉应力和最大压应力。 q q=5kN/m
C C P=2kN y
t .max 667 F t
t 30 106 F
667 667
45000 N
c.max 934F c
t .max
c.max
c 120 106 F
934 934
128500 N
许可压力为 45000N 45kN F
FN
c. max
Mz1 FN Iy A
t .max
c.max
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
F
350
t .max 667 F c.max 934 F
M
FN
（4）求压力F
说明:
1. 必须是线弹性材料,加载在弹性范围内,服从虎克定律;
2. 必须是小变形,保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠 加计算,且能保证与加载次序无关. 图示纵横弯曲问题,横截面上内 力为
《材料力学》课程讲解课件第八章组合变形
强度条件（简单应力状态）——
max
对有棱角的截面，最大的正应力发生在棱角点处，且处于单向应力状态。
max
N A
M zmax Wz
M ymax Wy
x
对于无棱角的截面如何进行强度计算——
1、确定中性轴的位置；
y
F z
M z F ey M y F ez
ez F ey z
y
zk yk z
y
x
1、荷载的分解
F
Fy F cos
Fz F sin
z
2、任意横截面任意点的“σ”
x
F
y
（1）内力： M z (x) Fy x F cos x
M y (x) Fz x F sin x
（2）应力：
Mz k
M z yk Iz
My k
M y zk Iy
（应力的 “＋”、“－” 由变形判断）
F
1， 首先将斜弯曲分解
为两个平面弯曲的叠加 Fy F cos
z
L2
L2
Fz F sin
z
2， 确定两个平面弯曲的最大弯矩
y
Mz
Fy L 4
M
y
Fz L 4
3， 计算最大正应力并校核强度
max
My Wy
Mz Wz
217.8MPa
查表： Wy 692.2cm3
4， 讨论 0
y
Wz 70.758cm3
的直径为d3，用第四强度理论设计的直径为d4，则d3 ___＝__ d4。
（填“＞”、“＜”或“＝”）
因受拉弯组合变形的杆件，危险点上只有正应力，而无切应力，
r3 1 3 2 4 2
r4
材料力学 第八章 组合变形
度理论校核此杆的强度。 解：①外力分析
y ZC
Mx z P2z
P2y 400N YA 457N Z A 20.1N
P2Z 70.5N YC 257N Z C 90.6N
YA A 150
T M x 120Nm
B 200
C YC D 100
P2y
x
y
M Z (Nm) M (Nm)
建立图示杆件的强度条件
解：①外力向形心
x A 150 P1 T A 150 B 200 C T B 200 C 100 D 简化并分解
z
z P2z D P2y x 弯扭组合变形 y
100
M Z (Nm) M (Nm)
y
②每个外力分量对应 x 的内力方程和内力图 X
(Nm) My (Nm) Mz
x X
125 37.8 162.8MPa
孔移至板中间时
N 100 103 2 A 631.9mm 10(100 x) x 36.8mm 6 σ max 162.8 10
偏心拉伸或压缩：
CL11TU11
任意横截面上的内力： N P,M y Pa,M z Pb
第八章 组合变形
§8–1 组合变形和叠加原理
§8–2 拉(压)弯组合 §8–4 偏心压缩 截面核心 §8-4 弯曲与扭转
§8–1组合变形和叠加原理
一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。 P P
弯曲与扭转
P1
80ºP2 z
x A 150 B 200 C 100 D
y
第八章 组合变形
(cm)
max 22 100MPa [ c ]
木柱不安全。
讨论：木柱是否可用 ？怎样用 ？ 作业 ：8－7，－9，－11
第8章 复杂内力时杆件应力计算
8-3 弯扭组合变形
l
y
F
危险点处的主应力
x
z
M
'
D
32
3
mห้องสมุดไป่ตู้
M Z Fl W W Z Z T m Wt Wt
y
My
z
（a y 0）
iz2 z0 0, y0 a y yF
y0 0, z0 az
2 iy
( yF z F ) y
中性轴
（0 az）
zF
第8章 复杂内力时杆件应力计算
8-2 偏心压缩
F
x
z
（三）中性轴 zF yF 1 2 z0 2 y0 0 中性轴方程 iy iz
( yF z F ) y
z
中性轴4
3 4 5
中性轴3
1 2
y
iz2 ay yF
az i
2 y
中性轴1 中性轴2
zF
第8章 复杂内力时杆件应力计算
8-2 偏心压缩
F
x
z
iz2 ( yF z F ) a y yF
（三）中性轴 （四）截面核心
对于钢筋混凝土偏心受压柱，为避免出 现拉应力须控制荷载作用点位置，使中 性轴离开截面或仅与截面相切。这些点 位于截面的一区域内，这个区域称为截 面核心。
第8章 复杂内力时杆件应力计算
一、组合变形
在复杂外载作用下，构件的变形可以看成几种
材料力学课件第8章组合变形zym
§8—4 扭转与弯曲的组合 一、圆截面杆弯扭组合 实例： （一）实例： 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶Me。 已知：塑性材料轴尺寸，传动力偶 。 试建立轴的强度条件。 试建立轴的强度条件。 解： 1、确定危险点： 、确定危险点： （1）外力分析 ） F 计算简图： ①计算简图： Fτ 由 ∑ M x = 0 得： FD = Me 2 可确定F 由F可确定 τ。 可确定 外力分解： ②外力分解： 变形判断： ③变形判断： AB段扭转变形，BE段弯扭组合变 段扭转变形， 段弯扭组合变 段扭转变形 形，EC段弯曲变形。 段弯曲变形。 段弯曲变形
解： 、确定各边为中性轴时的压力作用点： 1、确定各边为中性轴时的压力作用点： b2 h2 2 iy = , iz2 = 12 12 h az = ∞ AB截距： a y = − , 截距： 截距 2 h2 iz2 12 = h , zF = 0 F作用点 坐标： yF = − = − 作用点a坐标 作用点 坐标： h 6 ay − 2 同样确定b,c,d点。 同样确定 点 2、连线 确定截面核心。 、连线a,b,c,d确定截面核心。 确定截面核心 解：
3 由： W ≥ M max = 12 ×10 N ⋅ m 6
[σ ]
100 × 10 Pa
= 12 × 10−5 m3 = 120cm3
查表选定16号工字钢。 查表选定 号工字钢。 号工字钢 （2）组合变形校核计算： ）组合变形校核计算： 16号工字钢：W=141cm3,A=26.1cm3 号工字钢： 号工字钢
2、应力状态分析 、 均为单向应力状态 单向应力状态。 均为单向应力状态。
'' σ A = σ ′ +σ A =
F (0.425m) F × (0.075m) + −3 2 15 ×10 m 5310 ×10−8 m 4
第八章组合变形时的强度计算
Iy
IY
由 mz 产生的正应力
s"' MZ .y Fyp y
IZ
IZ
假设C 点在第一象限内,根据杆件的变形可知, s ',s '',s ''' 均为拉应
力，由叠加原理，即得 C点处的正应力为：
σ σ' σ'' σ'''
任意横截面 n-n上的 C点的正应力为
c
σ F F zP z F yP y
与y轴的夹角θ为：
tgθ z0 Mz Iy Iy tgφ y0 My Iz Iz
公式中角度 是横截面上合成弯矩 M 的矢量与 y 轴的夹角 . 横截面上合成弯矩 M 为：
M
M
2 y
M
2 z
tgθ Iy tgφ Iz
讨论：
（1） 一般情况下，截面的 IzIy ,故中性轴与合成弯矩 M 所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。导致挠曲线与外 力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变பைடு நூலகம்特征。
s s ' s '' My z - Mz y
Iy
Iz
式中，Iy和Iz分别为横截面对于两对称轴y和z的惯性矩； M y和Mz分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且 其力矩矢量分别与y轴和z轴的正向相一致。在具体计算中，
也可以先不考虑弯矩M y、Mz和坐标y、z的正负号，以它们的 绝对值代入，然后根据梁在P1和P2分别作用下的变形情况， 来判断上式右边两项的正负号。
FN A
Mz Wz
158 MPa
s
所以强度是安全
【例8-4】矩形截面柱如图所示。P1的作用线与杆轴线重合， P2作用在 y 轴上。已知， P1= P2=80kN，b=24cm , h=30cm。 如要使柱的m—m截面只出现压应力，求P2的偏心距e。
《材料力学》第八章组合变形
解 (1)外力分析，确定变形类型—拉弯组合；
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
（2）内力分析，确定危险截面—整个轴；
M=600(kN·cm) FN=15(kN)
(3)应力计算，确定危险点—ａ、b点；
P产生拉伸正应力： t
FN AFNd 2源自4FNd 24
M拉产弯生组弯合曲：的正应力：wmax
M Wy
M
d3
32
32M
d3
P M= a Pe
补例8.1 已知： P=2kN,L求=：1mσm,Iazx=628×104mm4,Iy=64×1040mm2740 2844
解:1.分解P力。 Py Pcos φ Pz Psin φ 2．画弯矩图，确定危险截面--固定端截面。 3．画应力分布图，确定危险点—A、 B点
σ” σ’
A
x
y
Pyl
M
z
践中，在计算中，往往忽略轴力的影响。
4.大家考虑扭转、斜弯曲与拉（压）的组合怎么处理？
例8.5 图8.14a是某滚齿机传动轴AB的示意图。轴的直径为35 mm，材料为45钢， [σ]=85 MPa。轴是由P=2.2kW的电动机通过
带轮C带动的，转速为n=966r／min。带轮的直径为D=132 mm，
Mz Py l - x Pcosφ l - x Mcosφ My Pz l - x Psinφ l - x Msinφ
式中的总弯矩为：M Pl- x
3.计算两个平面弯曲的正应力。在x截面上任取一点A(z 、y)，
与弯矩Mz、My对应的正应力分别为σ’和σ”，故
- Mz y , - M yz
第八章 组合变形
基本要求: 掌握弯曲与拉伸（或压缩）的组合、扭转与弯曲的组合 的强度计算。
重点： 弯曲与拉伸（或压缩）的组合，扭转与弯曲的组合。
材料力学第8章组合变形
MB
M
2 yB
M
2 zB
(364 N m)2 (1000N m)2 1064N m
•由Mz图和My图可知， B截面上的总弯矩最大， 并且由扭矩图可见B截 面上的扭矩与CD段其 它横截面上相同，TB ＝-1000 N·m，于是判 定横截面B为危险截面。
3. 根据MB和TB按第四强度理论建立的强度条件为
Wp
r4
M 2 0.75T 2
W
300N.m 1400N
300N.m
1500N 200
150
300N.m
128.6N.m
120N.m
（2）作内力图
危险截面E 左处
T 300N.m
M
M
2 y
M
2 z
176N.m
（3）由强度条件设计d
r3
M2 T2 W
W d 3
32
32 M 2 T 2
第8章 组合变形
8.1 组合变形和叠加原理 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 8.3 偏心压缩和截面核心 8.4 扭转与弯曲的组合 8.5 组合变形的普遍情况
8.1 组合变形和叠加原理
组合变形——实际构件由外力所引起的变形包含两种或两 种以上的基本变形。如压力框架、烟囱、传动轴、有吊车 的立柱。 叠加原理——如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力， 应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情 况下相应力学响应的叠加，且与各单独受力的加载次序无 关。 前提条件：
即 亦即 于是得
r4
M 2 0.75T 2 [ ]
W
•请同学们按
照第三强度理 (1064 N m)2 0.75(1000 N m)2 100106 Pa W
建筑力学第8章组合变形
• ■一、内力计算
• 根据前面所学的力的平移定理，可将偏心力P向截面形心简化，得到 一个轴向压力P和一个力偶矩M＝P·e的力偶［图８-７（ｂ）］。
• 在承受偏心压力的直杆中，各横截面上的内力相等，由截面法可求得 内力
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• FＮ＝P • M＝P·e • 可见，偏心压缩是轴向压缩和平面弯曲的组合。
• 将两种荷载作用下的横截面正应力进行叠加得 • σ＝FＮ/A±M·y/Iｚ • 强度条件为σｍａｘｍｉｎ＝FA±Mｍａｘ/Wｚ≤［σ］ｍａｘｍｉｎ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• 作用在直杆上的外力作用线与杆轴平行而不重合，有一偏心距，此时 杆件就受到偏心压缩（拉伸）。如图８-７（ａ）中柱子受到上部结 构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，柱子就产生了偏 心压缩变形。此处的P叫作偏心力，e叫作偏心距。
• ■二、应力计算和强度条件
• 在横截面上任取一点 • K，其应力是轴向压缩应力σＮ和弯曲应力σＭｚ的叠加。 • σＮ＝－P/A • σＭｚ＝±Mｚ·y/Iｚ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• K点的总应力为 • σＫ＝σＮ＋σＭｚ＝－P/A±Mｚ·y/Iｚ（８-３） • 式中，σＭｚ的正负号可由K点所在的变形区域判定：当K点处于受拉
第八章 组合变形
• 第一节 组合变形的概念 • 第二节 斜弯曲 • 第三节 轴向拉（压）和弯曲 • 第四节 偏心压缩（拉伸）
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第一节 组合变形的概念
• 前面各章已经讨论了杆件在各种基本变形时的强度和刚度问题。实际 工程中杆件的受力情况较复杂，所引起的变形不是单一的基本变形， 而是几种基本变形的组合。如图８-１（ａ）所示的烟囱，在承受自 身重力发生轴向压缩变形的同时，又因承受风荷载而引起弯曲变形； 如图８-１（ｂ）所示的厂房牛腿柱，所受吊车梁的压力与柱的轴线 不重合，即受到偏心压力作用，使支柱产生压缩和弯曲两种基本变形 。
• 根据前面所学的力的平移定理，可将偏心力P向截面形心简化，得到 一个轴向压力P和一个力偶矩M＝P·e的力偶［图８-７（ｂ）］。
• 在承受偏心压力的直杆中，各横截面上的内力相等，由截面法可求得 内力
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• FＮ＝P • M＝P·e • 可见，偏心压缩是轴向压缩和平面弯曲的组合。
• 将两种荷载作用下的横截面正应力进行叠加得 • σ＝FＮ/A±M·y/Iｚ • 强度条件为σｍａｘｍｉｎ＝FA±Mｍａｘ/Wｚ≤［σ］ｍａｘｍｉｎ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• 作用在直杆上的外力作用线与杆轴平行而不重合，有一偏心距，此时 杆件就受到偏心压缩（拉伸）。如图８-７（ａ）中柱子受到上部结 构传来的荷载P，其作用线与柱轴线间的距离为e，柱子就产生了偏 心压缩变形。此处的P叫作偏心力，e叫作偏心距。
• ■二、应力计算和强度条件
• 在横截面上任取一点 • K，其应力是轴向压缩应力σＮ和弯曲应力σＭｚ的叠加。 • σＮ＝－P/A • σＭｚ＝±Mｚ·y/Iｚ
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第四节 偏心压缩（拉伸）
• K点的总应力为 • σＫ＝σＮ＋σＭｚ＝－P/A±Mｚ·y/Iｚ（８-３） • 式中，σＭｚ的正负号可由K点所在的变形区域判定：当K点处于受拉
第八章 组合变形
• 第一节 组合变形的概念 • 第二节 斜弯曲 • 第三节 轴向拉（压）和弯曲 • 第四节 偏心压缩（拉伸）
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第一节 组合变形的概念
• 前面各章已经讨论了杆件在各种基本变形时的强度和刚度问题。实际 工程中杆件的受力情况较复杂，所引起的变形不是单一的基本变形， 而是几种基本变形的组合。如图８-１（ａ）所示的烟囱，在承受自 身重力发生轴向压缩变形的同时，又因承受风荷载而引起弯曲变形； 如图８-１（ｂ）所示的厂房牛腿柱，所受吊车梁的压力与柱的轴线 不重合，即受到偏心压力作用，使支柱产生压缩和弯曲两种基本变形 。
《组合变形》PPT课件
0.266q (12 ) 237 106
(21.5103) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5 106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02 103) q
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
z
MyA
y
z
MzA
y
D1 z D2
y
32
l 几何参数
A 15103 m2 , zo 7.5 cm, I y 5310 cm4
l 求内力(作用于截面形心)
取研究对象如图
FN P kN,
M y 42.5 102 P kN.m
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
350
FN
33
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
l FN引起的应力
FN P MPa
u 拉伸、压缩
l 组合变形 有两种或两种以上的 基本变形同时发生。
u 剪切
l 求解组合变形的方法
将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
u 扭转
u 弯曲
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
'' My z Mz y
Iy
Iz
中性轴的方程：
My F1l
F2 (l a)
Mz
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
5
中性轴的方程：
第八章组合变形及连接部分的计算
P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m
z x
My
m
y
P1 在 m—m 面内产生的弯矩为 My = P1 x （使梁在 XZ 平面内弯曲，y 为中性轴）
P2 a
m
z
x
P1
m
x
y
m
MZ z x
My
m
y
P2 在 m—m 面内产生的弯矩为 MZ = P2 (x-a) （使梁在 XY 平面内弯曲，z 为中性轴）
二 、 梁横截面上的应力分析 （任意点 C(y, z) 的正应力）
z
tg Iy tg
Iz
M
y
梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的扰曲线方程仍应分别 按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。
四、 强度分析
中性轴
Байду номын сангаас
作平行于中性轴的两直线分别与
D1 z
o
横截面周边相切于 D1 、D2两点
，D1 、D2 两点分别为横截面上
最大拉应力点和最大压应力点。
D2
A 截面： D 截面：
(max
)A
M zA Wz
M W
yA y
(21.5103)q
(max
)D
M zD Wz
M yD Wy
(16.02103)q
梁的危险点在 A 截面棱角处
max
(max )A
M zA Wz
M yA Wy
(21.5103)q
[]
160106
[q] 160103 7.44kN/m 21.5
§8-1 概述
一、 组合变形概念 : 构件在荷载作用下发生两种或两种 以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形。
材料力学第八章-组合变形
12 103 141106
94.3MPa 100MPa
故所选工字钢为合适。
材料力学
如果材料许用拉应力和许用压应力不 同，且截面部分 区域受拉，部分区域 受压，应分别计算出最大拉应力 和最 大压应力，并分别按拉伸、压缩进行 强度计算。
材料力学
=+
材料力学
t,max
=+
t,max
①外力分析：外力向形心简化并沿主惯性轴分解。
②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和 内力图，确定危险面。
③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立 危险点的强度条件。
一般不考虑剪切变形；含弯曲组合变形，一般以弯
曲为主，其危险截面主要依据Mmax，一般不考虑弯
曲切应力。
材料力学
四.叠加原理
构件在小变形和服从胡克定律的条件下， 力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用 下的内力、应力、应变等是各个单独载荷作 用下的值的代数和。
材料力学
F F
350
150
y
50 z
50 150 z0 z1
显然，立柱是拉伸和弯曲的 组合变形。
1、计算截面特性（详细计算略） 面积 A 15103 m2
z0 75mm I y 5310 cm4
材料力学
2、计算内力 取立柱的某个截面进行分析
FN F
M (35 7.5) 102 F 42.5102 F
组合变形
§8.1 组合变形和叠加原理 §8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合 §8.3 偏心压缩和截面核心 §8.4扭转与弯曲的组合
content
1、了解组合变形杆件强度计算的基本方法 2、掌握拉（压）弯组合变形和偏心拉压杆 件的应力和强度计算 3、掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算
材料力学第8章 组合变形
b.未通过轴线或形心主惯性轴，向其分解
注意：荷载分解、简化的前提是不改变研究段的内力。
（2）内力分析方法
用截面法计算任意截面的内力，通过内力确定变形的组成
z
Fsz My
Ty
Fsy
M z FN
FN
T
x M z , Fsy M y , Fsz
轴向拉、压 扭转 x,y面内的平面弯曲 x,z面内的平面弯曲
§8-2 两相互垂直平面内的弯曲
F sin
F cos F
（2）求B点的应力
MB FN
WA
12.32103 25103
0.1 0.22
0.1 0.2
6
B
17.23 MPa
（3）求B点30º斜截面上的正应力
300 cos2 30 17.23 cos2 30 12.99 MPa
（4）求B点的主应力
1 0 2 0 3 17.23 MPa
z
面梁，其横截面都有两个相互垂直的对称 轴，且截面的周边具有棱角，故横截面上
Mz
的最大正应力发生在截面的棱角处。于是
，可根据梁的变形情况，直接确定截面上
My
最大拉、压应力点的位置，而无需定出其
y
中性轴。
因危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力的影响）， 故，强度条件为：
max
M y max Wy
F sin
12.32kN m
F cos F
例： 如图示一矩形截面折杆，已知F＝50kN，尺寸如图所示， α＝30°。（1）求B点横截面上的应力；（2）求B点α＝30°截
面上的正应力；（3）求B点的主应力σ1、 σ2、 σ3。
FN
B
MB 100mm
材料力学-第八章组合变形
M z y M y sin
Iz
Iz
x
M y z M z cos
Iy
Iy
x
y
z
y
z
M
y sin
z
cos
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横 截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示， 然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
A
C
B
D
2 kN 5 kN
300 500
2 kN (a)
500
解：
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
D
（1）分析载荷 如图b所示
5 kN
12 kN (b)
T 1.5 kN m
（2）作内力图 x
如图c、d、e、f 所示
(c)
MC MD
1.5 kN Am
7 kN
C
1.5 kN m
B
FN A
F (2a)2
1 4
F a2
（2）开槽后的正应力
My
FN F
My
Fa 2
FN
2
max
FN A
My Wy
F 2a2
Fa / 2 2a2 a2 /
6
2
F a2
2a
2a
z
a
所以：
2
1
8
y
§8.3 斜弯曲
F1
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Mz0 FN I yc A
F
350
M
FN
y1
z0
425 10 3 F 0. 667 F Pa
yc
z1
50
c.max
zc
150 50 150
Mz1 FN I yc A
425 10 3 F 0.125 F 5 5.31 10 15 10 3 934 F Pa
P1 P2
P1 +P2 M z=P2e
m
m
m
m
压弯组合变形； 黑板面内发生平面弯曲
轴向压力 弯矩
FN P1 P2
Mz P 2 e
2、分析横截面上的应力 _ _
z 轴力产生压应力 _
+ +
-
P P1 P 2 σ ' A A
弯矩产生的最大拉应力
- -
" M W
z z
F
350
150 50 150
50
F
（1）分析内力、判定基本变形
拉弯组合变形；
F
350
且弯曲发生在黑板面内；
M
FN
（2）计算横截面的形心位置、面积、形心主惯性矩
y1
z0
yc
z1
50
截面面积
A 15000 mm2
形心位置 zc
z0 75mm
z1 125mm
150 50 150
计算形心主惯性矩
§8-1
§8-2 §8-4
组合变形和叠加原理
拉（压）与弯曲的组合 扭转与弯曲组合
组合变形与叠加原理 组合变形：
构件在外载的作用下，同时发生两种或两种以上基本变形。
1、研究方法：
分解 将复杂变形分解成基本变形；
独立计算每一基本变形的各自的内力、应力、应变、位移。
叠加
形成构件在组合变形下的内力、应力、应变、位移。
（6）强度条件
t .max 667 F
t .max 667 F t
c .max 934 F c
c 160 10 6 F
934 934
c .max 934 F
t 30 10 6 F
667 667 45000N
4、矩形截面外伸梁受力如图，材料的弹性模量为E ＝200GPa，泊松比为u=0.3，现测得K处45度角的 线应变为ε＝4×10－4，已知P1＝100KN，求P2＝？
P2 K 100
P1
2m 1m 50
4、受力如图所示，求杆件内的最大拉应力与最 大压应力。
P
H
h L/2 L/2 b
5、灰铸铁的[σ]ｔ＝30MPａ，[σ]ｃ＝80MPａ， P=12KN，校核立柱的强度。
(3) 外力向轴线上简化
(4)、求内力方法
Fx Mx
z
Fz
Mz
P
x y
Fy
My
P
如何判断构件的变形类型？ 1 试分析下图杆件的变形类型。
2 试分析下图杆件的变形类型。
l F a
3 试分析下图所示杆件各段杆的变形类型
拉伸与压缩与弯组合变形
工程实例
观察立柱变形
摇臂钻
斜塔会不会坍塌？ 怎样坍塌？ 破坏将从哪里开始？
b
e
z y
h
（1） 外力 P 向轴向简化，判定基本变形
Mz
P 拉弯组合；
黑板面内弯曲； e
Mz
P 以z轴为中性轴的平面弯曲
P
b
z
y
h
（2） 求危险面上的内力 轴力 弯矩
Mz
P
FN P 2KN
M z P e 120Nm
Mz
e
P
（3）危险点的判定 z _ + _ +
+ + + +
N P P P 1 2 A A ( 2a ) 4a 2
开槽后 立柱危险截面为偏心压缩;
P
1
P
1
a a
a a
P
1
Pa/2
1
N M P Pa 2 2P 2 2 A W 2a a 1 2a 2 a a 6 2 2 P a 开槽后立柱的最大压应力 8 2 P 4a 未开槽前立柱的最大压应力
e P bh 6
2 2
e 横截面上不产生拉应力的条件 σ t P1 P 2 P 2 0 2 A bh 6
e =10cm
例4：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面 面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的最 大压应力是原来不开槽的几倍。
P
P
1
1
a a
a a
未开槽前 立柱为轴向压缩
某年某月的某一天
简易吊车的立柱受力与变形分析
压弯组合变形
1、拉（压）弯组合变形杆件横截面上的内力
=
+
2、基本变形下横截面上的应力
F c A
y z
t , max c , max
t ,max
Fl Wy
c ,max
Fl Wy
3、组合变形下横截面上的应力
F c A
P 10
10
2、正方形截面的边长为ａ＝100毫米，P＝3KN， 求杆内的最大拉应力与最大压应力。
B L=2.5m A P 1m 1m 100 100
3、矩形截面简支梁长度为L＝2米，受均布载荷 q=30KN/m与拉力P＝500KN的联合作用。求梁内 最大正应力和跨度中央截面处中性轴的位置。
q 150 P 100
危险面位置
3、分析应力的分布规律，确定危险点
4、提取危险点处原始单元体
5、计算危险点处的主应力
T Wp
M W
max
x y 1 2 2 x y 4 xy 2 2
min
1 2 4 2 0 2 2 x y 1 2 2 x y 4 xy 2 2 1 2 4 2 0 2 2
一般情况下，发生拉(压)与双向弯曲时
中性轴方程为
FN M y z M z y 0 A Iy Iz
中性轴可能位于截面之内，也可能位于截面之外， 或与截面周边相切。 则取决于叠加后的正应力在横截面上的分布情况。
例1图 示一夹具。在夹紧零件时, 夹具 受到的P = 2KN的力作用 。已知： 外 力作用线与夹具竖杆轴线间的距离 e = 60 mm, 竖杆横截面的尺寸为b = 10 mm ，h = 22 mm,材料许用应力 [] = 170 MPa 。 试校核此夹具竖杆的强度。
即杆上同时有几种力作用时，一种力对杆的 作用效果（变形或应力），不影响另一种力对杆 的作用效果（或影响很小可以忽略）；
组合变形下杆件应力的计算，将以各种基本变形 的应力及叠加法为基础。
3、复杂变形
基本变形
（1）、分析外力法 ——观察法： 利用基本变形的受力特点判断杆件的变形；
(2)分解外力 Fx Fy F
B A
9、 斜杆AB的横截面为100×100mm2的正方形， 若P=3kN，试求其最大拉应力和最大压应力。
10、 图示一矩形截面杆，用应变片测得杆件上、下 表面的轴向应变分别为εa=1×10-3，εb=0.4×10-3,材料 的弹性模量E=210GPa。试绘制横截面的正应力分布 图；并求拉力P及其偏心距e的数值。
t , max
c , max
+
t , max
=
Fl F t ,max Wy A Fl F c ,max Wy A
c , max
3、拉（压）弯组合变形下的强度计算
拉弯组合变形下的危险点 处于单向应力状态
t ,max
c ,max
Fl F [ t ] Wy A
P
b
z y
h
竖杆的危险点在横截面的 内侧边缘处 ;
4、计算危险点处的正应力
_ + _ +
z
+ + + +
t max
FN M z 158MPa A Wz
tmax [ ]
立柱满足强度条件。
例2 铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示， 材料的许用拉应力[]t＝30MPa，许用压应力[]c＝ 160MPa。试按立柱的强度计算许可载荷F。
I yc 5.31 107 mm4
（3）求内力
F
350
M F 350 75 103
M
FN F
425F 10
3
N.m
FN
（4）立柱横截面的应力分布
y1
z0
yc
z1
50
150 50 150
zc
t . max
c . max
（5）立柱横截面的最大应力
t .max
1 2 1 4 2 2 2 2 0
3 1 2 4 2 2 2
讨论
第一组
下列三组公式的适用范围？
任何截面、任何变形、任何应力状态 第二组
σ x或σy等于零的任何截面、任何变形的二向应力状态
第三组
圆截面、弯扭组合变形
扭转+双向弯曲
皮带轮受力
Fl F [ c ] Wy A
4、中性轴位置
由中性轴上各点的正应力均为零;
FN M y | z | 0 A Iy
+ _ （-z y)
y
_ z
| z |
FN I y A M y