人教A版高中数学选修2-2讲义第一章导数及其应用 (4)

1．3.2函数的极值与导数

1．极值点与极值

(1)极小值与极小值点

如图，若a为极小值点，f(a)为极小值，则必须满足：

①f(a)□01

②f′(a)＝□020；

③在x＝a附近的左侧，f′(x)□03<0，函数单调递□04减；

在x＝a附近的右侧，f′(x)□05>0，函数单调递□06增．

(2)极大值与极大值点

如图，若b为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足：

①f(b)□07>f(x0)，f(x0)表示f(x)在x＝b附近的函数值；

②f′(b)＝□080；

③在x＝b附近的左侧，f′(x)□09>0，函数单调递□10增；

在x＝b附近的右侧，f′(x)□11<0，函数单调递□12减．

2．求函数f(x)极值的方法与步骤

解方程f′(x)＝0，当f′(x)＝0时，

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)□13>0，右侧f′(x)□14<0，那么，f(x0)是极大值．

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)□15<0，右侧f′(x)□16>0，那么，f(x0)是极小值．

(3)如果f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0□17不是极值点．

函数极值点的两种情况

(1)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f′(x0)＝0，反过来不一定成立．

(2)函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：y＝|x|在x＝0处不可导，但x ＝0是函数的极小值点，因此，函数取极值点只可能为f′(x)＝0的根或不可导点两种情况．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()

(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()

(3)函数f(x)＝1

x有极值．()

答案(1)√(2)√(3)×

2．做一做

(1)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极大值点的个数为________．

(2)函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是________．

(3)已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是________．

答案(1)2(2)a<0(3)1

探究1求已知函数的极值

例1求下列函数的极值．

(1)f(x)＝3

x＋3ln x；

(2)f(x)＝x3－3x2－2在(a－1，a＋1)内的极值(a>0)．

[解](1)函数f(x)＝3

x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝－3

x2＋

3

x＝

3(x－1)

x2，

令f′(x)＝0得x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

因此当x＝

(2)由f(x)＝x3－3x2－2得f′(x)＝3x(x－2)，

令f′(x)＝0得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

当0

当a＝1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值；

当1

当a≥3时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．

综上得，当0

[条件探究]若将本例(2)中a>0改为a<0，结果会怎样？

[解]由例1(2)中表可得：当－1

当a≤－1时，f(x)在(a－1，a＋1)内无极值．

综上得，当－1

当a≤－1时，f(x)无极值．

拓展提升

求函数极值的方法

一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0，设解为x0，

(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；

(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．

注意：如果在x0附近的两侧f′(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点．例如，对于函数f(x)＝x3，我们有f′(x)＝3x2.虽然f′(0)＝0，但由于无论是x>0，还

是x<0，恒有f′(x)>0，即函数f(x)＝x3是单调递增的，所以x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．一般地，函数y＝f(x)在一点的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．

【跟踪训练1】求下列函数的极值．

(1)f(x)＝

2x

x2＋1

－2；

(2)f(x)＝x2e－x.

解(1)函数的定义域为R.

f′(x)＝2(x2＋1)－4x2

(x2＋1)2

＝－

2(x－1)(x＋1)

(x2＋1)2

.

令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.

当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：

由上表可以看出，

当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1. (2)函数的定义域为R.

f′(x)＝2x e－x－x2e－x

＝x(2－x)e－x.

令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：

由上表可以看出，