解三角形综合与实际应用 - 解析版

解三角形综合与实际应用（讲案）

一、面积公式的应用

【例题讲解】

★★☆例题1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c 。向量(,3)m a =与(cos ,sin )n A B =平行。 （1） 求A ；

（2） 若2a b ==，求ABC ∆的面积。

）由//m n 可得sin a

★★☆练习1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c 。设(,)m a b =，(sin ,sin ),(2,2)n B A p b a ==−−． （1） 若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形； （2） 若m p ⊥，2,3

c C π=∠=，求ABC ∆的面积。

解析：（1）由//m n 得sin sin a A b B =，即2

2

a b =，所以ABC ∆为等腰三角形；

（2）由m p ⊥得(2)(2)0a b b a −+−=，化简得ab a b =+。由余弦定理得2

2

2

2cos c a b ab C =+−，代

★★☆练习2．锐角ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，且2sin a B =。 （1） 求A ∠的大小；

（2） 若6,8a b c =+=，求ABC ∆的面积。

二、完全平方公式思想

【例题讲解】

★★☆例题2．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=。 （1） 求C ；

（2） 若c =ABC ∆的面积为

2

，求ABC ∆的周长。

★★☆练习1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，已知cos cos 1

A C a c b

+=，且2,b a c =>。 （1） 求ac 的值；

（2） 若ABC ∆的面积2

S =

，求,a c 的值。

★★☆练习2．已知(2cos 23sin ,1),(,cos )a x x b y x =+=，且//a b 。 （1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；

（2）ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，若()3f B =，9

,32

BA BC a c ⋅=+=+b 。

，cos BA BC ac ⋅=2)2(1c ac +−+

三、恒等变换思想

【例题讲解】

★★☆例题3．在ABC ∆中，46,cos ,54

AC B C π===。 （1） 求AB 的长； （2） 求cos()6

A π−

的值。

★★☆练习1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，已知sin 2sin a B A =。

（1） 求B ； （2） 若1

cos 3

A =

，求sin C 的值。

★★☆练习2．斜ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，若sin cos c A C =。 （1） 求C ∠；

（2） 若c =sin sin()5sin 2C B A A +−=，求ABC ∆的面积。

（2）sin sin()sin()sin()2sin cos 5sin 2C B A B A B A B A A +−=++−==，所以sin 5sin B A =，即

★★☆例题4．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，且cos cos sin A B C

a b c

+=

。 （1） 证明：sin sin sin A B C =； （2） 若2

2

2

6

5

b c a bc +−=

，求tan B 。 答案：（1）见解析（2）tan 4B =

★★★练习1．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，已知2cos b c a B +=。

（1） 证明：2A B =； （2） 若2

cos 3

B =

，求cos C 的值。 （3） 若ABC ∆的面积2

4

a S =，求A ∠的大小。

解析：（1）由2cos b c a B +=得sin sin 2sin cos B C A B +=，

sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =−=−，所以2A B =

四、向量的应用

【例题讲解】

★★☆例题5．ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，且

2

32cos cos sin()sin cos()25

A B B A B B A C −⋅−−++=−。 （1） 求cos A 的值；

（2） 若5a b ==，求BA 在BC 方向上的投影。

解析：（1）

BA 在BC 方向上的投影等于||cos BA B ★★☆练习1．已知函数2()sin(2)2cos 1,6

f x x x x R π

=−

+−∈。

（1） 求()f x 的最小正周期和单调递增区间；

（2） ABC ∆的内角,,A B C 所对边,,a b c ，已知1

()2

f A =

，,,b a c 成等差数列，且9AB AC ⋅=，求ABC ∆的面积S 及a 的值。

，因为9AB AC ⋅=，所以

五、三角函数值域

【例题讲解】

★★☆例题6．在ABC ∆中，2

2

2

a c

b +=。

（1） 求B ∠的大小；

（2） cos A C +的最大值。