数学分析ch14-5场论初步

其中 n cosi cos j cos k 为在 (x, y, z) 处的、在指定侧的单位法向
量。
显然， 0说明向指定侧穿过曲面 的流量多于向相反方向穿 过曲面 的流量； 0 说明向指定侧穿过曲面 的流量少于向相反 方向穿过曲面 的流量； 0 说明向指定侧穿过曲面 的流量等于 向相反方向穿过曲面 的流量。
vx x
vy y
vz z
dxdydz
来自百度文库
vx x
vy y
vz z
M
mV
。
其中 M~ 为V 上某一点。
于是
lim
V M
mV
lim
M M
vx x
vy y
vz z
M
vx (x, y, z) vy (x, y, z) vz (x, y, z) 。
x
y
z
因此，可以用
vx (x, y, z) vy (x, y, z) vz (x, y, z)
x
y
z
来判别场中的点是源还是汇，以及源的“强弱”或汇的“大小”。
定义 14.5.1 设
a(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
(x, y, z)
是一个向量场， P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在上具有连续偏导数。
为场中的定向曲面，称曲面积分
a dS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面的通量。
设 M 为这个场中任一点。称
P (M ) Q (M ) R (M )
x
y
z
为向量场 a 在 M 点的散度，记为 diva(M ) 。
定义 14.5.1 设
a(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
由数量场 f 产生的向量场 grad f fxi fy j fzk 称为梯度场。 再看一个实际例子。经测量某积雪山顶的高度可用函数 z f (x, y) 来表示，图 14.5.1 是等高线图，即 f (x, y) c 的图形。当雪融化时，由 于重力的作用，雪水会沿高度下降最快的方向，即 grad f 方向流动， 溪流就是这样形成的。
如果 为一张封闭曲面，定向为外侧。那么 0说明从曲面内 的流出量大于流入量，此时在 内必有产生流体的源头（源）； 0 说明从曲面内的流出量小于流入量，此时在 内必有排泄流体的漏 洞（汇）。
要判断场中一点 M (x, y, z) 是否为源或汇，以及源的“强弱”或汇
的“大小”，可以作一张包含 M 的封闭曲面 （定向为外侧），考察
f (x, y, z,t) 为上的数量场（或向量场）。例如，某一区域上每一点的温
度确定了一个数量场，它称为温度场；而某流体在某一区域上每一点 的速度确定了一个向量场，它称为速度场，如此等等。如果一个场不 随时间的变化而变化，就称该场为稳定场；否则称为不稳定场。在本 节中除非特别声明，我们只考虑稳定场。
§5 场论初步
在实际应用中，常常需要考察某种物理量（如温度，密度，电场 强度，力，速度等）在空间的分布和变化规律，从数学和物理上看这 就是场的概念。
设 R3 是一个区域，若在时刻 t ，中每一点 (x, y, z) 都有一个确
定的数值 f (x, y, z,t) （或确定的向量值 f (x, y, z,t) ）与它对应，就称函数
图14.5.1
通量与散度
设上稳定流动的不可压缩流体（假定其密度为 1）的速度场为
v vx (x, y, z)i vy (x, y, z) j vz (x, y, z)k ，
其中 vx , vy , vz 具有连续偏导数。设是中的一片定向曲面，则单位时
间内通过流向指定侧的流量为
vx (x, y, z)dydz vy (x, y, z)dzdx vz (x, y, z)dxdy v ndS v dS ，
a dS
diva(M ) lim
。
V M mV
换句话说，散度就是穿出单位体积边界的通量。
由向量场 a 产生的数量场 diva 称为散度场。
利用散度的记号，Gauss 公式就可写成如下形式：
divadV a dS 。
向量线
设
a(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k ,
(x, y, z)
是一个向量场， P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在上具有连续偏导数。
为场中的定向曲面，称曲面积分
a dS
为向量场 a 沿指定侧通过曲面的通量。
设 M 为这个场中任一点。称
P (M ) Q (M ) R (M )
x
y
z
为向量场 a 在 M 点的散度，记为 diva(M ) 。
曲面
f (x, y, z) c （常数）
称为 f 的等值面。若 f x , f y , f z 不同时为零，那么 n
等值面上的一个单位法向量，并且有
f grad f 及 grad f f n 。
n
n
fxi fy j fzk 为
fx2 fy2 fz2
这说明， f 在一点的梯度方向与它的等值面在这点的一个法线方 向相同，这个法线方向就是 f 的方向导数取到最大值 grad f 的方向， 于是，沿着与梯度方向相同的方向， f 的函数值增加最快。而沿着与 梯度方向相反的方向， f 的方向导数取到最小值 grad f ，于是，沿 着与梯度方向相反的方向，函数值减少最快。
所围区域V 收缩到 M 点时（记为V M ）， v dS 的值。但因为
V M 时有 0，所以考虑
lim
v dS
lim
V M mV V M mV
（ mV 为V 的体积）。由 Gauss 公式，并利用积分中值定理，
v dS vxdydz vydzdx vzdxdy
V
由上面的流体例子可知道，如果 diva(M ) 大于零，则称在 M 点处 有正源（源）；如果 diva(M ) 小于零，则称在 M 点处有负源（汇）；如 果 diva(M ) =0，则称在 M 点处无源。如果在场中每一点都成立 diva 0 ， 则称 a 为无源场。
定理 14.5.1 a 的散度是通量关于体积的变化率，即