高等数学(同济大学数学系列教材)第二章测试题

第二章一元函数微分学及其应用

第二章测试题

人民邮电出版社

Advanced mathematics

一元函数微分学及其应用

高等数学

郭慧敏主讲

()[][](

)条件

上可导的上连续是在在、函数b a b a x f ,,1()()()=∆-∆-=→∆x f x f x x f x 121lim 120处可导，则在点、设⎪

⎭⎫ ⎝⎛''=4sin 32

πy y x x y ，，则、已知()()2

2

,sin 4dx

y

d dx dy x f y x f ，则存在，、若=''='

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+21cos 5x x 、无关

充分必要

必要充分....D C B A

()[]ξ

，验证结论成立的点，对函数理的条件和结论，

、叙述拉格朗日中值定2,21263

-∈-+=x x x x f 阶导数为

的、n e y x

37=

解：()()

'+'='x x x x y 22sin sin ⎪

⎭⎫

⎝⎛''=4sin 32

πy y x x y ，，则、已知x x x x cos sin 2sin 2⋅⋅+=42sin 44sin 42ππππ⋅+=⎪⎭

⎫ ⎝⎛'y 4214222ππ+=

⋅+=x

x x 2sin sin 2+=()()2

2

,sin 4dx

y

d dx dy x f y x f ，则存在，、若=''解：根据复合函数求导法，可得

()()'

⋅'='x x f y sin sin ()

x f x sin cos '=

='

⎪⎭

⎫ ⎝⎛+21cos 5x x 、解：()(

)(

)

()

22

2221cos 11cos 1cos x

x x x x x x +'+-+'='⎪⎭⎫ ⎝⎛+()()2221cos 21sin x x x x x +-+-=()()()x

x f x x f x y cos sin cos sin cos ⋅''+''

=''()()

x f x x f x sin cos sin sin 2

''+'-=

()[]ξ

，验证结论成立的点，对函数理的条件和结论，

、叙述拉格朗日中值定2,21263

-∈-+=x x x x f ()[]()()()()()a

b a f b f f b a b a b a x f --=

'∈ξξ，使得上可导，则存在上连续，

在,,,解：()2

32

+='ξξf 因此()11

122223

=-⨯+=f ()()()13

122223

-=--⨯+-=-f 221311232

++=+⇒ξ424

2432

=-=⇒ξ332342±

=⇒=⇒ξξ

阶导数为

的、n e y x

37=解：

()x

x

e

e

y 333='

='(

)x

x

e

e

y 33333⋅='

=''x

e

323=(

)x

x

e

e

y 333233='

='''()

x

n

n e

y

33=

()()b a x x b ax x x

x x f ,00,0,41ln 12

处可导，试求常数在、函数=⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+>-=()y y x y x y '

+=确定的，求的函数是由方程为、设ln sin 2()(

)

dx dy t y t

x x y y 确定，求由、函数⎪⎩

⎪⎨⎧=+==3

2

1ln 3x

x x ⎪

⎭

⎫

⎝⎛+∞→arctan 2lim 4π、求极限

解：()()b a x x b ax x x

x x f ,00,0,41ln 12

处可导，试求常数在、函数=⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+>-=()()处连续

在处可导在00=⇒=x x f x x f ()()()

0lim lim 00f x f x f x x ==-

→+

→即：(

)b

a b ax x

x

x x +⋅=+=-⇒-

→+→0lim 41ln lim 02

0()

()1

8411lim 41ln lim 200

20x x x x x x -⋅-=-+→+→由于0418lim 20=--=+→x x x b b ax x =+-→0lim 而0=b 因此()0

0=⇒f