圆中的最值问题

圆中的最值问题Revised on November 25, 2020

圆中的最值问题

【考题展示】

题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________．

题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b

+的最大值.（有修改）

题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________．

题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120

BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最

∠=︒，6

A

大值为_________．（有修改）

题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是

_________．

题1图题2 图题3 图

题4图题5图

【典题讲练】

类型1（相关题：题5）

如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_________．

在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件．

如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动．

（1）当A在原点时，求点B的坐标；

（2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB；

（3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．

边长为2的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动，顶点B在射线OD上移动，∠AOD=45°，则顶点C到原点O的最大距离为_________．

如图，⊙O的直径为4，C为⊙O上一个定点，∠ABC=30°，动点P从A点出发沿半圆弧AB向B点运动（点

P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．

（1）在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为_________；

（2）在点P的运动过程中，线段AD长度的最大值为_________．

如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP

⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，则PM长度的最大值是_________．

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD 的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________．

类型2（相关题：题4）

如图，已知AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点，连接AC、BC，∠C=60°，⊙O的半径为2，则△ABC面

积的最大值是_________．

如图，已知直线MN经过⊙O上的点A，点B在MN上，连OB交⊙O于C点，且点C是OB的中点，AC=OB，若点P是⊙O上的一个动点，当AB=时，△APC的面积的最大值为_________．

如图，半圆O的半径为1，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=3，P是半圆上任意一点，则封闭图形ABDPC面积

的最大值是_________．

已知Rt△ABC中，斜边AB=5，则斜边上的高的最大值为_________．

如图，若Rt△ABC的斜边AB=2，内切圆的半径为r，则r的最大值为_________．

如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是_________．

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原

点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为_________．

如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（﹣3，﹣2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点

Q，则当PQ最小时，P点的坐标为_________．

类型3（相关题：题3）

如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别

交AB，AC于E，F，连接EF．

（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；

（2）求出该最小值．

如图，在△ABC 中，已知AB=5，BC=8，AC=7，动点P 、Q 分别在边AB 、AC 上，使△APQ 的外接圆与BC 相切，则线段PQ 的最小值等于_________．

类型4（相关题: 题2）

如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，CD ⊥AB 于P ，设AP=a ，PB=b ．

（1）求弦CD 的长；（2）如果a+b=10，求ab 的最大值，并求出此时a ，b 的值．(参考、）

如图，半径为2的⊙O 有两条互相垂直的弦AB 和CD ，其交点E 到圆心O 的距离为1，则

AB 2+CD 2=_________．

如图，⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 内一点，且OP=，过P 作互相垂直的两条弦AC 、BD ，则四边形ABCD 面积的最大值为_________．

如图，以O 为圆心，1为半径的圆内有一定点A ，过A 引互相垂直的弦PQ ，RS ．求PQ+RS 取值范围． 如图，线段AB=4，C 为线段AB 上的一个动点，以AC 、BC 为边作等边△ACD 和等边△BCE ，⊙O 外接于△CDE ，则⊙O 半径的最小值为 .

在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，线段AB 长度的最小值是 .

类型5（相关题：题1）

如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(-2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，-1)，半径为1，D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最大值是_________．

如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC 上的一点O 为圆心OA 为半径作⊙O ，若⊙O 与边BC 始终有交点（包括B 、C 两点），则线段AO 的取值范围是 .

如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作CD 的垂线交直线BC 于点E ，则线段CE 长度的最小值是 .

在坐标系中，点A 的坐标为（3，0），点B 是y 轴右侧一点，且AB=2，点C 上直线y=x+1上一动点，且CB ⊥AB 于点B ，则tan ACB m ∠=，则m 的取值范围是 .

如图，A 点的坐标为（-2，1），以A 为圆心的⊙A 切x 轴于点B ，P ()a b ，为⊙A 上的一个动点，请分别探索：①b a +的最大值；②b a +的最小值；③b a -的最大值；④b a -的最大值；

【拓展延伸】：①2b a +的范围；②2b a -的范围；

类型6

如图，CD 是⊙O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD 上的一个动点，当CD=4时，

求：（1）AP+BP 的最小值．