二次曲面的分类
二次曲面分类
二次曲面分类二次曲面分类____________________曲面分类是几何学中的一种重要的分类方式，它可以用来对曲面进行归类、分类。
曲面分类可以根据曲面的不同特征来划分，比如曲面的几何特性、曲面的拓扑特性等。
一般来说，曲面分类可以分为一次曲面和二次曲面两大类。
一次曲面是一个平面或者圆形的曲面，而二次曲面是由一个二次多项式表达式组成的曲面。
具体来说，二次曲面是由两个参数决定的，它们分别是二次多项式的系数和它的幂数。
二次曲面可以分为平面、平行平面、圆台、双曲面和球面五大类。
其中，平面是由一个二次多项式表达式组成的平面；平行平面是由两个二次多项式表达式组成的平面；圆台是由一个二次多项式表达式和一个圆周方程组成的椭圆形的曲面；双曲面是由两个二次多项式表达式和一个圆周方程组成的双峰形的曲面；球面是由三个二次多项式表达式和一个圆周方程组成的球形的曲面。
二次曲面有很多应用，其中一个重要的应用是几何建模。
几何建模是用来对物体进行数字化建模的一种方法，通常使用二次曲面作为建模物体的基本元素。
几何建模过程中，通常会使用多种不同的二次曲面来进行建模，这样就可以得到一个真实而复杂的三维物体。
此外，二次曲面还可以用于近似计算。
近似计算是一种数值计算方法，它通常会使用二次多项式来对函数进行近似。
使用二次多项式来近似计算可以减少计算量，同时也可以得到相对准确的计算结果。
最后，二次曲面也可以用于机器视觉中。
机器视觉是一种机器学习方法，它可以利用图像处理和图形学中的二次多项式来识别图像中的对象。
使用二次多项式进行机器视觉任务可以得到准确而快速的识别结果。
总之，二次曲面是几何学中重要的一种分类方式，它可以根据不同的特征将曲面进行归类和分类。
此外，二次曲面也有很多应用，包括几何建模、近似计算、机器视觉等，可以说是几何学中十分重要的一部分。
高等数学二次曲面
高等数学二次曲面引言在高等数学中，二次曲面是一类重要的曲面，它们在空间中具有特定的几何性质和数学定义。
本文将介绍二次曲面的定义、分类以及一些重要的性质和应用。
定义二次曲面是定义在三维空间中的曲面，它可以用一个二次方程的方程来表示。
二次曲面的方程一般具有以下形式：Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0其中，A、B、C、D、E、F、G、H、I和J是实数。
当方程中的系数满足一些条件时，可以得到不同种类的二次曲面。
分类根据方程中系数的特点，可以将二次曲面分为以下几类：1. 椭球面当A、B和C的系数都为正时，方程表示一个椭球面。
椭球面具有两个主轴，其中两个主轴的长度由A、B和C的值决定。
椭球面在物理学、天文学和工程学等领域有广泛的应用。
2. 单叶双曲面当A、B和C的系数分别为正、负和负时，方程表示一个单叶双曲面。
单叶双曲面有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
3. 双叶双曲面当A、B和C的系数分别为负、负和正时，方程表示一个双叶双曲面。
双叶双曲面同样有一个中心点，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
4. 椭圆抛物面当D、E和F的系数都为零时，方程表示一个椭圆抛物面。
椭圆抛物面具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
5. 双曲抛物面当D、E和F的系数至少有一个不为零时，方程表示一个双曲抛物面。
双曲抛物面同样具有一个焦点和一条对称轴，可以通过平移和旋转变换得到不同的形状。
6. 椭圆锥面当A、B、C的系数满足一个特定的条件时，方程表示一个椭圆锥面。
椭圆锥面可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
7. 双曲锥面当A、B、C的系数满足另一个特定的条件时，方程表示一个双曲锥面。
双曲锥面同样可以看作是椭球面在一个主轴的方向上无限延伸而成的曲面。
性质和应用二次曲面具有许多重要的性质和应用，以下是其中的一些：•二次曲面对称性：对于大多数二次曲面，它们都具有某种对称性，可以通过变换来描述这种对称性。
2二次曲面分类简介
或
x cos1 cos 1 cos1 x y cos2 cos 2 cos 2 y
z cos3 cos 3 cos 3 z
空间直角坐标变换
一般的空间直角坐标 (点) 变换公式:
x y
x cos1 x cos2
y cos 1 z cos y cos 2 z cos
1
d1 2 d2
z x cos3 y cos 3 z cos 3 d3
或
x cos1 cos 1 cos1 x d1 y cos2 cos 2 cos 2 y d2 ,
z cos3 cos 3 cos 3 z d3
空间直角坐标变换
空间一般坐标变换公式, 还可以由新坐标系的 三个坐标面来确定.
x2 y2 a2 b2 1;
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
二次曲面的类型
[12] 双曲柱面: [13] 一对相交平面:
x2 y2 a2 b2 1;
x2 a2
y2 b2
0;
[14] 抛物柱面:
x2 2 py;
[15] 一对平行平面:
x2 a2 , a 0.
[16] 一对平行平面:
a13 a23 a33 z
x
x
y
z
A0
y
z
用不变量判断二次曲面类型
记 F1(x, y, z) = a11x + a12y + a13z + b1
F2(x, y, z) = a12x + a22y + a23z + b2
F3(x, y, z) = a13x + a23y + a33z + b3
常见的二次曲面
用平行于Oxy面的平面z=h截所给曲面，截痕为
x2 y2 1, 2 ph 2qh z h.
当h<0时，是实轴与y轴平行的双曲线.
用Oxz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
2 x 2 pz, y 0. 它是以z轴为对称轴，开口朝上的抛物线.
用Oyz坐标面截所给曲面，截痕为抛物线
因此，椭球面介于 a x a .
二、单叶双曲面
x2 y2 z 2 由方程 2 2 2 1 a b c
所确定的曲面称为单叶双曲面.
(2)
用平行于Oxy坐标面的平面截所给曲面，得截 痕为椭圆
x2 y2 h2 1 2 , 2 2 a b c z h.
当|h|=a时，截痕为一个点；
当|h|<a时为虚椭圆，即无图形. 可见所给图形介于| x | a 的范围内，因此图形为
两支. 常称(a,0,0)和(–a,0,0)为双叶双曲面的顶点.
用Oxz坐标面截所给曲面，得截痕为双曲线
x2 z 2 2 2 1, a c y 0.
用平面y=h截所给曲面，得截痕为双曲线
2 x2 z 2 h 2 2 1 2 , a c b y h.
由上述截痕的分析，可画出双叶双曲面的图形.
四、二次锥面
x2 y2 z 2 方程 2 2 0 2 a b c 所确定的曲面称为二次锥面. (4)
五、椭圆抛物面
当|h|<a时，截痕为双曲线.它的实轴平行于y轴， 虚轴平行于z轴.
当|h|>a时，截痕为双曲线，它的实轴平行于z轴，
虚轴平行于y轴.
当|h|=a时，截痕为两条直线
y z y z 0, 0. b c b c
几种常见的二次曲面
o x
y
1 单叶双曲面 x2 y2 z2 2 2 2 a b c 1 双叶双曲面
图形
内容小结
1. 空间曲面 • 旋转曲面 三元方程 F ( x , y , z ) 0
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点M ( x , y , z ) 的坐标也满足方程
x
M
C
o
y
M1
l
沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面,所以为 柱面. 其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间 表示柱面
zl 2
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
二、柱面
定义. 平行定方向的动直线 l沿定曲线C 移动的 产生的曲面叫做柱面, C 叫做准线, l 叫做母线. 一般地,在三维空间 方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
z
y
C
l1
x
z
在 xoy 面上， 表示曲线C, 在C上任取一点 M1 ( x , y ,0) , 过此点作
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
(实轴平行于x 轴； 虚轴平行于z 轴）
z
2) y1 b 时, 截痕为相交直线: x z 0 a c y b (或 b) 3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 z2 y12 2 1 2 2 a c b y y1
2 2 2
( a 0) 表示的图形称为二次曲面.
i 1 2 i
6
以下给出几例常用的二次曲面.
二次曲面一般式
二次曲面一般式摘要：一、二次曲面的定义二、二次曲面的分类1.椭圆曲面2.双曲线曲面3.抛物线曲面三、二次曲面的性质1.标准方程2.参数方程3.二次曲面的对称性四、二次曲面的应用1.数学领域2.物理领域3.工程领域正文：二次曲面是数学中的一种曲面，它的定义可以表示为二次方程的曲面。
在三维空间中，二次曲面是一个与二次方程相关的曲面。
根据二次方程的不同，二次曲面可以分为椭圆曲面、双曲线曲面和抛物线曲面三类。
1.椭圆曲面椭圆曲面是一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中a和b分别表示椭圆的长短轴。
椭圆曲面在数学和物理领域中都有着广泛的应用，比如在光学和天文学中，椭圆曲面常用于描述光的传播和成像。
2.双曲线曲面双曲线曲面是另一种二次曲面，它的标准方程为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1或(x^2 / b^2) - (y^2 / a^2) = 1其中a和b分别表示双曲线的长短轴。
双曲线曲面在数学和物理领域中也有广泛的应用，例如在电场和磁场的研究中，双曲线曲面可以用于描述电荷和电流分布。
3.抛物线曲面抛物线曲面是一种特殊的二次曲面，它的标准方程为：y = ax^2 + bx + c或x = ay^2 + by + c其中a、b和c是常数。
抛物线曲面在数学和工程领域中都有广泛的应用，例如在计算机图形学和机器人运动控制中，抛物线曲面可以用于描述物体的运动轨迹。
二次曲面不仅具有标准方程和参数方程，而且还具有丰富的性质和应用。
例如，二次曲面的对称性可以通过其标准方程或参数方程进行判断。
在数学领域，二次曲面是代数几何、微分几何和拓扑学等学科的重要研究对象。
二次曲面部分内容总结归纳
二次曲面部分内容总结归纳在数学中，二次曲面是一类重要的曲线图形，具有广泛的应用。
本文将对二次曲面的定义、性质以及常见的二次曲面进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这一内容。
一、二次曲面的定义和特点二次曲面是由二次方程定义的曲面，其一般方程可以表示为Ax² + By² + Cz² + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0，其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J为系数。
1. 定义：二次曲面是在三维空间中满足以上方程的点的集合。
它是由平面或曲线与另外一个平面所构成的立体。
2. 分类：根据系数之间的关系，二次曲面可以分为椭球面、双曲面、抛物面和圆锥曲面等。
3. 对称性：二次曲面通常具有一定的对称性，例如椭球面关于三个坐标轴对称，双曲面关于两个坐标轴对称，抛物面则关于一个坐标轴对称。
二、常见的二次曲面下面将介绍几种常见的二次曲面及其特点：1. 椭球面：椭球面是指A、B、C系数均为正数的二次曲面。
它可以是一个三维椭球，具有三个轴，其中有一个是最大的主轴。
2. 双曲面：双曲面是指A、B、C系数有正有负的二次曲面。
它可以是两个相交的曲面，呈现典型的双曲线形状。
3. 抛物面：抛物面是指A、B系数有一个为零的二次曲面。
它可以是开口向上或向下的形状，对称于坐标轴。
4. 圆锥曲面：圆锥曲面是指除了A、B、C系数外，D、E、F系数都为零的二次曲面。
它可以是圆锥的侧面，或者是圆锥的顶部和底部。
三、二次曲面的应用二次曲面具有广泛的应用，其中一些常见的领域包括：1. 几何学：二次曲面在几何学中的应用非常广泛，如描述平面、曲线和曲面之间的关系，解决几何问题等。
2. 物理学：在物理学中，二次曲面可以用来描述电磁场、电荷分布和光学等现象。
3. 工程学：二次曲面在工程学中常用于描述悬索桥、天线接收器的覆盖范围等。
4. 经济学：二次曲面可以用于描述经济模型中的供需曲线、成本函数等。
高等数学 二次曲面
（3）用坐标面 yoz ( x = 0)， x = x1与曲面相截 ） 均可得抛物线. 均可得抛物线 时可类似讨论. 同理当 p < 0, q < 0 时可类似讨论
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系` 9
椭圆抛物面的图形如下： 椭圆抛物面的图形如下：
z o x y z
x
o
y
p < 0, q < 0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
19
思考题
x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 方程 表示怎样的曲线？ 表示怎样的曲线？ x = −3
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
20
思考题解答
2 2 − 4 y + z = 16 x 2 − 4 y 2 + z 2 = 25 ⇒ . x = −3 x = −3
表示双曲线. 表示双曲线.
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系`
21
练 习 题
y2 + z2 − 2x = 0 一、求曲线 ，在 xoy 面上的投影曲线 z = 3 的方程， 的方程，并指出原曲线是什么曲线 . 画出方程所表示的曲面： 二、画出方程所表示的曲面： z x2 y2 1、 = + ； 3 4 9 2、16 x 2 + 4 y 2 − z 2 = 64 . 画出下列各曲面所围成的立体的图形： 三、画出下列各曲面所围成的立体的图形： y 1、 x = 0 , z = 0 , x = 1 , y = 2 , z = ； 4 2、 x = 0 , y = 0 , z = 0 , x 2 + y 2 = R 2 , y 2 + z 2 = R 2 (在第一卦限内 在第一卦限内) (在第一卦限内) .
二次曲面(2012)
解
表示圆柱面， x 2 + y 2 = 1 表示圆柱面， 表示平面， 2 x + 3 y + 3 z = 6 表示平面，
x2 + y2 = 1 2 x + 3 y + 3z = 6
交线为椭圆. 交线为椭圆
z = a2 − x2 − y2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a2 a2 表示怎样的曲线？ 2 ( x − ) + y = 2 4
（一）椭球面
x2 y2 z2 1 2 + 2 + 2 = a b c
椭球面与 三个坐标面 的交线： 的交线：
2 z2 x2 + 2 = 1 , a c y = 0
2 y2 x2 + 2 = 1 , a b z = 0
2 y2 2 + z2 = 1 . b c x = 0
= z1 ( | z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
方程可写为 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 .
( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
部点. 部点
M 在圆柱面x2 + y2 = a2 上以 例 3 如果空间一点 ω z 轴旋转， v z 角速度 绕 轴旋转，同时又以线速度 沿平行于 ω v 都是常数）， 轴的正方向上升（ ），那么点 轴的正方向上升（其中 、 都是常数），那么点 M构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 构成的图形叫做螺旋线 试建立其参数方程． 螺旋线． z 取时间t为参数 动点从 点出 为参数， 取时间 为参数， 动点从A点出 解 经过t时间 运动到M点 时间， 发，经过 时间，运动到 点 M 在 xoy 面的投影 M ′( x , y ,0)
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释
二次曲线的分类和二次曲面的分类-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述：二次曲线和二次曲面是解析几何学中重要的研究对象，它们具有许多美妙的几何性质。
在本文中，我们将讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面等。
通过对这些曲线和曲面的特点和性质进行深入的研究，我们可以更好地理解它们在几何学中的应用和意义。
本文将分析这些曲线和曲面的方程、图像和几何特征，帮助读者全面了解它们的分类和区分。
希望本文能够对二次曲线和二次曲面的研究有所启发，并为相关领域的学习和研究提供参考和帮助。
文章结构部分内容如下:1.2 文章结构：本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将概述二次曲线和二次曲面的概念，说明文章结构和目的。
在正文部分，将详细讨论二次曲线和二次曲面的分类，包括椭圆、抛物线、双曲线以及椭球面、抛物面、双曲面的形态和特点。
最后在结论部分，对文章进行总结，并探讨二次曲线和二次曲面在实际应用中的意义，展望未来可能的发展方向。
整个文章结构严谨有序，逻辑清晰，旨在帮助读者更深入地了解二次曲线和二次曲面的分类和特性。
文章1.3 目的：本文旨在对二次曲线和二次曲面进行分类和介绍，帮助读者更好地理解和区分不同类型的二次曲线和曲面。
通过本文的阐述，读者将了解椭圆、抛物线、双曲线、椭球面、抛物面和双曲面的定义、性质和特点。
同时，本文也旨在展示二次曲线和曲面在数学、物理和工程等领域的应用，以及未来对其研究的展望。
通过本文的阅读，读者将深入了解二次曲线和曲面的重要性和应用价值。
": {}}}}请编写文章1.3 目的部分的内容2.正文2.1 二次曲线的分类二次曲线是一个二次方程所描述的平面曲线。
在代数几何学中，二次曲线可以分为三种基本类型：椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在平面上具有不同的几何性质和形态。
2.1.1 椭圆椭圆是一个闭合的曲线，其定义为所有到两个定点的距离之和等于一个常数的点的集合。
《I二次曲面介绍》课件
二次曲面的切线和法平面
1
切线
切线方程式是确定点切线方向的关键工具，可以帮助我们理解二次曲面的基本特 征。
2
法平面
法平面相切于曲面上的点，并垂直于该点的切线，是描述曲面矢量值和方向的基 本方法。
3
应用
对于计算两个表面之间的夹角和反射光线，有着应用上的力量，也是了解曲面空 间特征的重要手段。
二次曲面的焦点和准线
《二次曲面介绍》PPT课 件
欢迎来到《二次曲面介绍》课程！二次曲面是数学中一个重要的概念，也具 有广泛应用。在此课程中，我们将深入了解二次曲面的分类、性质、公式和 应用，希望你享受这次学习！
什么是二次曲面？
定义
由二元二次方程$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$所确定的曲面称为一般二次曲面。
工程领域
2
对于数学知识结构的完备和优化起着重 要的推进作用。
在多种物理和工程应用中，二次曲面有
着广泛的实际用途。谷歌、苹果等大型IT
公司也在开发利用二次曲面技术的产品。
3
学术研究
二次曲面仍然是数学与物理学研究领域 的重要研究对象，对未来科学教育的贡 献巨大。
二次曲面的实践应用案例分析
医学成像
二次曲面在体绘制和定义了新 的医学成像方法。它可以为医 师提供三维数据，从而进行更 高质量的检查和诊断。
二次曲面的思考与总结
1 对数学的重要性
了解二次曲面的形式，有助于人们理解和应用数学知识，可以使数学这一抽象的学科更 加形象化、通透化。
2 对科学的启示
二次曲面的理论和应用研究有助于开拓科学领域的新思路，推动科学的不断发展和进步。
3 对未来的期许
二次曲面分类简介
空间直角坐标变换
若取1 为yOz面, 2 为xOz面, 3 为xOy面,
则原系到新系旳坐标变换公式为:
x
A1x
B1 y C1z D1 A12 B12 C12
y
A2 x
B2 y C2 z D2 A22 B22 C22
,
z
A3 x
B3 y C3z D3 A32 B32 C32
(一) 椭球面 [1] 椭球面: [2] 点:
[3] 虚椭球面:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1;
x2 y2 z2 a2 b2 c2 0;
x2 y2 z2 1;
a2 b2 c2
上页 下页 结束
二次曲面旳类型
(二) 双曲面 [4] 单叶双曲面:
[5] 双叶双曲面: (三) 二次锥面 [6] 二次锥面: (四) 抛物面
其中a11, a22, a33, a12, a13, a23不全为零.
()
记 F(x, y, z) = a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy
+ 2a13xz + 2a23yz + 2b1x + 2b2y + 2b3z + c
上页 下页 结束
用不变量判断二次曲面类型
则
a11 a`12 a13 b1 x
上页 下页 结束
空间直角坐标变换
点旳坐标变换公式:
x y
c11x c21x
c12 y c22 y
c13z d1 c23z d2
,
z c31x c32 y c33z d3
x c11 c12 c13 x d1 y c21 c22 c23 y d2 . z c31 c32 c33 z d3
二次曲面的分类PPT
x2 a2
y2 b2
2z
x2 y2 2z a2 b2
Thank you!
(11)
x2 a2
y2 b2
1
0;
(13) x2 y2 0; a2 b2
(15)x2 a2 0;
(17）x2 0.
x2 (12) a2
y2 b2
0;
(14)x2 2 py 0;
(16)x2 a2 0;
类似结论参见 P:201 Th5.5.6 （二次曲面关于正交变换的分类（即度量分类） ）
x2 y2 (9) a 2 b 2 1 0;
x2 y2 z2 (2) a 2 b 2 c 2 1 0;
x2 y2 z2 (4) a 2 b 2 c 2 1 0;
x2 y2 z2 (6) a 2 b 2 c 2 0;
x2 y2 (8) a 2 b 2 2z 0;
x2 y2 (10 ) a 2 b 2 1 0;
二次曲面分类
胡努春
浙江师范大学数学系 course.zjnu/hnc
二次曲面方程的化简和分类 （ ） P:130 Th4.2.2; P:133 Th4.3.1
定理 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可 以化成下列五个简化方程中的一个：
(1) a11x2 a22y2 a33z2 a44 0,a11a22a33 0; (2) a11y2 a22y2 2a34z 0,a11a22a34 0; (3) a11x2 a22y2 a44 0,a11a22 0; (4)a11x2 2a24y 0,a11a24 0; (5)a11x2 a44 0,a11 0.
的锥面方程
z 1
二次曲面类型
二次曲面类型
二次曲面是三维欧氏空间中，由三元二次方程所表示的曲面。
其一般方程为\(Ax^2+By^2+Cz^2+2Fxy+2Gxz+2Hyz=D\)。
二次曲面有很多类型，常见的包括：
1.平面：所有平面的方程都可以写成\(Ax+By+Cz=D\)的形式，其中\(A,B,C,D\)是常数。
2.球面：球面的方程可以写成\(x^2+y^2+z^2=R^2\)的形式，其中\(R\)是球的半径。
3.椭球面：椭球面的方程可以写成\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y ^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)的形式，其中\(a,b,c\)是椭球的半轴长度。
4.抛物面：抛物面的方程可以写成\(x^2+y^2=2az\)或\(x^2+z^ 2=2ay\)的形式，其中\(a\)是抛物面的开口大小。
5.双曲面：双曲面的方程可以写成\(x^2+y^2-z^2=1\)或\(\fra c{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的形式，其中\(a,b\)是双曲面的半轴长度。
二次曲面的分类及其方程
二次曲面的分类及其方程二次曲面是指在三维空间中由二次方程描述的曲面。
它们是重要的数学对象，有着广泛的应用。
二次曲面可以分为三类：椭球面、双曲面和抛物面。
一、椭球面椭球面是由下列方程定义的曲面：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$其中 $a, b, c$ 是正实数。
椭球面是一种具有三个互相垂直的对称轴的曲面。
如果 $a = b = c$，那么这就是一个球面。
如果 $a = b$ 且 $c$ 与它们不相同，那么它是一个椭球体，也称为长方体。
二、双曲面双曲面是由下列方程定义的曲面：或$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$$其中 $a, b, c$ 是正实数。
它由两个平面曲线旋转形成。
双曲面可以分为单叶双曲面和双叶双曲面两类。
单叶双曲面，也称为马鞍面，是旋转一个双曲线得到的。
它具有对称轴。
作为一个示例，如果我们在 $x$ 轴上旋转 $y =\frac{1}{2} \sqrt{x^2 + 1}$，那么它就是一个单叶双曲面。
双叶双曲面由两个对称的单叶双曲面组成。
它是由以下方程定义的：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$或其中 $a, b, c$ 是正实数。
双叶双曲面没有对称轴。
如果 $a = b = c$，那么它是一个单叶双曲面。
三、抛物面抛物面是由下列方程定义的曲面：$$z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$$其中 $a, b$ 是正实数。
它是一个二次曲面，每个点都具有平移对称性。
抛物面有多个变形，其中最常见的是旋转抛物面。
旋转抛物面由以下方程定义：$$z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}$$在这种情况下，通过绕 $z$ 轴旋转获得的平面是横截面。
2.6二次曲面
二. 几种常见二次曲面. x2 y2 z2 （一） 椭球面 2 2 1 2 a b c 1 用平面z = 0去截割, 得椭圆
x2 y2 2 2 1 b a z 0
2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), x2 y2 得椭圆 k2
2 2 1 2 b c a z k
2
2
( p 0)
旋转抛物面
（由 xoz 面上的抛物线 x 2 2 pz 绕它的轴旋转而成的） 与平面 z z1 ( z1 0) 的交线为圆. 当 z1 变动时，这种圆 2 2 x y 2 pz1 的中心都在 z 轴上.
z z1
（五）. 双曲抛物面 （马鞍面）
§6
二次曲面的定义：
二次曲面
一个仿射坐标系中，x,y,z的一个三元二次方程的 图像称为二次曲面． 相应地平面被称为一次曲面． 讨论二次曲面形状的截线（截痕）法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌． 以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
x
0
（马鞍面） （五）. 双曲抛 物面
x2 y2 2 z 2 p q
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = 0截曲面 用x = b截曲面
y
x
0
.
（五）双曲抛物面
（马鞍面）
x2 y2 2 z 2 p q
(1 ) ( 2 )
2 y1 b 2 , 实轴与 x
轴平行,虚轴与 z 轴平行.
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二次曲面的分类
在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成
222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即
()1112
1311232122232141242343443132
333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么实二次型()1112131123123212223231
32333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪Φ= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ⎛⎫ ⎪Φ====++ ⎪ ⎪⎝
⎭， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=.
最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面：
（一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去
一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。
进而得到：
1. 椭圆面 2223122221z z z a b c
++=； 2. 虚椭圆面 2223122221z z z a b c
++=-；
3. 单叶双曲面 2223122221z z z a b c
+-=； 4. 双叶双曲面 2223122221z z z a b c
+-=-； 5. 虚二阶锥面（一个点） 2223122220z z z a b c
++=； 6. 二阶锥面 2223122220z z z a b c
+-=； （二）假设A 的秩为2，不妨设12,λλ都非零，30λ=，那么二次曲面的方程再通过适当的
平移变换消去一次项后可以变为221122320z z pz λλ++=或2211220z z d λλ++=的形式。
进
而得到：
7. 椭圆抛物面 22123222z z z a b
+=； 8. 双曲抛物面 22123222z z z a b
-=； 9. 椭圆柱面 2212221z z a b
+=； 10. 虚椭圆柱面 2212221z z a b
+=-； 11. 双曲柱面 2212221z z a b
-=； 12. 一对相交平面 2212220z z a b
-=； 13. 一对相交虚平面 2212220z z a b
+=； （三）假设A 的秩为1，不妨设10λ≠，230λλ==，那么二次曲面的方程再通过适当的
平移变换消去含1y 一次项后，可以变为211121310z p y q y d λ+++=的形式。
如果必要的话
再做关于1z 轴的旋转，得到 21120z d λ++=. 于是得到：
14. 抛物柱面 2122z pz =；
15. 一对平行平面 221z a =；
16. 一对虚平行平面 221z a =-；
17. 一对重合平面 210z =.。