二次曲面的分类

二次曲面的分类

在空间直角坐标系下，二次曲面的一般方程可以写成

222111222333121213132323141242343442222220a x a x a x a x x a x x a x x a x a x a x a +++++++++=即

()1112

1311232122232141242343443132

333,,2220a a a x x x x a a a x a x a x a x a a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪++++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

， 其中，ij ji a a =. 记123x X x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，那么实二次型()1112131123123212223231

32333(,,),,a a a x x x x x x x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪Φ= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，通过正交线性替换X TY =，其中123y Y y y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，有 122221122333(,,)''(')'x y z X AX Y T AT Y Y Y y y y λλλλλλ⎛⎫ ⎪Φ====++ ⎪ ⎪⎝

⎭， 其中123,,λλλ是实对称矩阵A 的全部特征值，它们与正交矩阵T 无关，由矩阵A 唯一确定. 这样，在上述正交线性替换X TY =下（即所谓的转轴变换），原二次曲面的方程变成了 222112233141242343442220y y y b y b y b y a λλλ++++++=.

最后，再通过适当的平移变换消去一次项，二次曲面的一般方程可以化成下列十七种标准形之一，并且它们分别表示十七种曲面：

（一）假设123,,λλλ都非零，即0A ≠，那么二次曲面的方程再通过适当的平移变换消去

一次项后可以变为2221122330z z z d λλλ+++=的形式。进而得到：

1. 椭圆面 2223122221z z z a b c

++=； 2. 虚椭圆面 2223122221z z z a b c

++=-；

3. 单叶双曲面 2223122221z z z a b c

+-=； 4. 双叶双曲面 2223122221z z z a b c

+-=-； 5. 虚二阶锥面（一个点） 2223122220z z z a b c

++=； 6. 二阶锥面 2223122220z z z a b c

+-=； （二）假设A 的秩为2，不妨设12,λλ都非零，30λ=，那么二次曲面的方程再通过适当的

平移变换消去一次项后可以变为221122320z z pz λλ++=或2211220z z d λλ++=的形式。进

而得到：

7. 椭圆抛物面 22123222z z z a b

+=； 8. 双曲抛物面 22123222z z z a b

-=； 9. 椭圆柱面 2212221z z a b

+=； 10. 虚椭圆柱面 2212221z z a b

+=-； 11. 双曲柱面 2212221z z a b

-=； 12. 一对相交平面 2212220z z a b

-=； 13. 一对相交虚平面 2212220z z a b

+=； （三）假设A 的秩为1，不妨设10λ≠，230λλ==，那么二次曲面的方程再通过适当的

平移变换消去含1y 一次项后，可以变为211121310z p y q y d λ+++=的形式。如果必要的话

再做关于1z 轴的旋转，得到 21120z d λ++=. 于是得到：

14. 抛物柱面 2122z pz =；

15. 一对平行平面 221z a =；

16. 一对虚平行平面 221z a =-；

17. 一对重合平面 210z =.