中心极限定理

设至少要供给这个车间 r 千瓦电才能以99.9%的概率保证正常生产.
由题意有 P{ 0 X r } 0.999, 由德莫佛-拉普拉斯定理有
P{0 X r } (r 120) (17.32) ( r 120) 0.999
48
48
查表得 (r 120) / 48 3.1, r 141.
中心极限定理
这里反映了什么样的客观统计规律呢？ 测量结果 X = μ + X1+ X2 + …+ Xn + …
μ : 待测量量的真实值， Xk : 第 k 个随机因素的影响.
前 n 个随机因素的综合影响: X1+ X2 + …+ Xn 近似服从正态分布. 即 n 很大时，近似的有
n
n
Xk - E(X k )
a
np npq
2）频率估计概率的误差概率近似计算
记 nA = X
P
nA n
p
P
X
np
n
2
n pq
1
中心极限定理
3. 应用举例
例1 一加法器同时收到20个噪声电压，Vk (k 1, 2,, 20)，设它们是互相独 立的随机变量，且都在区间(0,10)上服从均匀分布，求噪声电压之和大于
k 1
y
若
lim
n
Fn
(
y)
1 et2 /2dt.
2
即
Yn N( 0, 1 ), n .
则称 { Xn } 满足中心极限定理.
{ Xn } 满足的条件？
中心极限定理
2. 中心极限定理
定理1 （独立同分布的中心极限定理）
设X1 , X2 , … , Xn , …相互独立且同分布，且 EXn , 2 DXn.
n
k 1
中心极限定理
2. 中心极限定理
定ຫໍສະໝຸດ Baidu2 （德莫佛-拉普拉斯定理）
设 X ~ B ( n, p ) ，则 lim P{ X np x } x 1 et2/2dt (x)
n
npq
2
n
证明： X Xi.
i 1
1, Xi 0.
A 发生， A 发生.
i 1, 2,, n.
显然 X1 , X2 , … , Xn 相互独立，都服从相同的两点分布.
则 { Xn } 满足中心极限定理. 中心极限定理说明了正态分布的重要地位，
即 lim n
n
Xk - n
P k1
x
它也是统计学中处理大样本时的重要工具。 x 1 et2 /2dt (x).
n
2
n
注：当 n 很大时，近似的有
Xk - n
k 1
N (0,1) 或
n
X k N (n, n 2 )
练习
1. 系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件的损坏率为0.1. 系统要正常工作，至少有85个部件正常工作，求系统正常工作的概率。
答案：0.952 2. 今从良种率为1/6的种子中任取6000粒，问能以0.99的概率保证在这 6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差的绝对值不超过多少？相应的 良种粒数在哪个范围内？ 答案： 1）0.0124；2）[925, 1075]
n
Xk - n
k 1
N (0,1)
n
则 { Xn } 满足中心极限定理， 所以定理结论成立.
中心极限定理
推论：设 X ~ B ( n, p )，则当 n 很大时，近似的有
X N( np, npq ) 1）二项分布的近似计算
X np N(0,1) npq
P(a X
b)
b
np npq
休息，休息一下！
中心极限定理
3. 应用举例
例为21千车瓦间，有问2供00电台所车至床少，要它供们给独这立个地车工间P作{多a着少，X电开力b工}才率能为以0b.96n9,pn.开9qp%工的时概耗 率a电n保pn各qp
证这个车间正常生产.
解：记某时刻工作着的车床数为 X，则 X ~ B( 200, 0.6 ).
k 1
k 1
n
D(Xk )
k 1
~ N (0,1)
这就是中心极限定理所阐述的内容.
中心极限定理
1. 中心极限定理的定义
设随机变量序列X1 , X2 , … , Xn , … 相互独立，且 EXk，DXk 存在 , 记
n
n
Xk - E(Xk)
Yn
k 1 n
k 1
.
D(Xk )
Yn 的分布函数为 Fn ( y ).
中心极限定理
引言
在概率论的早期研究中，学者们发现，正态分布广泛存在于自然界及工程 问题中, 这也是正态分布广泛受到应用工作者及理论研究者关注的原因.
许多测量量的概率分布都可以用正态分布来描述. 测量一个量时，由于在测量过程中，会受到许多微弱随机因素的影 响，这些因素的作用是微小的，时隐时现的，其综合作用的结果导 致观测量服从正态分布.
105的概率.
解：记 V V1 V2 V20 , EVk 5, DVk 100 /12, k 1, 2,, 20.
由中心极限定理， 所求概率为
P{ V
105 }
P
V -205
105-205
20 100 /12 20 100 /12
n
Vk - n
k 1
N (0,1)
n
1 (0.387) 0.348.