概率论第二版杨振明课后题答案.doc

2.1.习题

1．设随机变量ξ的分布函数为)(x F ，证明ξηe =也是随

机变量，并求η的分布函数．

证明：由定理2.1.3随机变量的Borel 函数仍为随机变量， 故ξη

e =也是随机变量．

η的分布函数为

}{}{)(y e P y P y F <=<=ξηη

当0≤y 时，φξ=<}{y e ，故0)(=y F η；

当

>y 时

，

)

(ln }ln {}{}{)(y F y P y e P y P y F ξξηξη=<=<=<=

因此，η的分布函数为

⎩⎨⎧≤>=00

),(ln )(y y y F y F ξ

η． 3．假定一硬币抛出正面的概率为

(01)p p <<，反复抛这

枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数ξ的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率．

解：（1）}{k =ξ

表示前1k -次都出现正(反)面，第k 次出

现反(正)面，据题意知，

p p p p k P k k 11)1()1(}{---+-==ξ， ,4,3,2=k

所以，抛掷次数ξ的密度阵为

22112322(1)(1)k k k

p p p p p p p p

--⎛

⎫ ⎪ ⎪---+-⎝

⎭

(2) 恰好抛掷偶数次的概率为：

+=++=+=+=}2{}6{}4{}2{n P P P P ξξξξ

+++++++++=

--p q q p p q q p p q q p qp pq n n 12125533

)

1()1(4242 +++++++=q q qp p p pq

2

211

11q qp p pq -⋅+-⋅

=

)

1(1

)1(1q p qp q p pq +⋅++⋅

=

q

q p p +++=

11

4．在半径为R 的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离ξ的分布函数及}3

2{R

P >

ξ

． 解：此点到圆心之距离ξ的分布函数为

}{)(x P x F <=ξ

当0x ≤时，φξ

=<}{x ，()0F x =；

当0x R <<时，22

2

2}{)(R

x R x x P x F ==<=ππξ；

当x R ≥

时， ()1F x =

故ξ的分布函数为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=R x R x R

x

x x F ,

10,0,

0)(22．

95

941)3/2(1)32(1}32{2

2=-=-=-=>R

R R F R P ξ． 5．在半径为1的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距

地面高度ξ的分布函数．

解：当0x ≤时，φξ

=<}{x ，()0F x =；

1x =

R

当裂纹距离地面高度为1时，分布函数为

()(){}{}1arccos(1),1122R x F x F P R ππξππ

--=-∞=<===；

当裂纹距离地面高度为x ()01x <<时，分布函数为()(){}{}()2arccos 1,2x R

F x F x P x R ξπ-=-∞=<=

()

arccos 1x π

-=

()

arccos 1x ππ

--=

；

当裂纹距离地面高度为(12)x x <

<时，分布函数为

()(){}{}()()22arccos 1arccos 1,2x R x F x F x P x R ππξππ

--⎡⎤--⎣⎦=-∞=<==

；

当2>x

时， ()1F x =；

则ξ的分布函数为

()()00arccos 10212x x F x x x ππ≤⎧

⎪

--⎪=<≤⎨⎪

>⎪⎩

6．已知随机变量ξ的密度函数为

(),01,2,1 2.x

x p x x x <≤⎧=⎨

-<≤⎩

试求：(1)

ξ的分布函数，

（2）{}0.2 1.2P ξ<<． 解：（1）当0≤x 时，00)()(===⎰⎰∞

-∞

-dt dt t p x F x

x ；

当01x <≤时，20

2

1)()(x dt t dt t p x F x

x =

==⎰⎰∞

-； 当

12

x <≤时

，

122

1

2)()(211

0-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t dt t dt t p x F x

x

；

当2x

>时，12)()(2

1

10

=-+==⎰⎰⎰∞

-dt t dt t dt t p x F x ；

则ξ的分布函数为

()220,0,1,01,2121,12,

2

1,2.x x x F x x x x x ≤⎧

⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎪>⎩

（2）{}0.2 1.2P ξ<<{}{}1.20.2P P ξξ=<-<

=()()1.20.20.66F F -=

7．设

)()(a x e e x p --=，0x >

（1）求a 使()p x 为密度函数； （2）若ξ以此()p x 为密度函数，求b 使b b P =>}{ξ．

解：（1）由密度函数的性质，知

ea a x e a x e e e e e

dx e dx x p 101

)(1)(0)(=∞-===--∞--∞∞-⎰⎰

解得，1

a e

=

． （2）【法一】根据概率的非负性，0≥b ，

当0=b 时，1}{=>b P ξ，显然b b P =>}{ξ不成立；

当

>b 时

，

()1

()

1

(11)(}{b

e e x e b

e

x e b

e

e b e e

dx e

dx x p b P ---∞

--∞

=∞-===>⎰⎰ξ

而b b P =>}{ξ，即b e

e

e b e =--)

1

(1， 解得，1b

e

=

． 【法二】ξ的分布函数为

()10,0,111,

.

e x e x F x e

e x e

e ⎛⎫-- ⎪⎝

⎭≤⎧

⎪=⎨++>⎪⎩

{}{}()11P b P b F b b ξξ>=-<=-=