湘教版九年级数学下册课件：第1章整合与提升
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湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 不共线三点确定二次函数的表达式
一般式法求二次函数的表达式
探究归纳 问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个
待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表
格的一部分，要求这个二次函数的表达式.
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
A．8
B．14
C．8或14
D．-8 或 -14
7. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点A(－4，－3)，与 y 轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式； 解：把点 A(－4，－3)代入 y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c ＝－3，c－4b＝－19. ∵对称轴是 x＝－3，∴ b ＝－3，
数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k， 把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 +k 得 y = a(x + 2)2 +1， 再把点(1，-8) 代入上式得 a(1+2)2 + 1 = -8，解得 a = -1. ∴所求的二次函数的表达式是 y = -(x + 2)2 +1 或 y = -x2 - 4x -3.
再把点( 0，-3)代入上式得 所以 a( 0 + 3 )( 0 + 1 ) = -3， 解得 a = -1， 所以所求的二次函数的表达式是 y = -( x + 3)( x +1 )，即 y = -x2 - 4x -3.
归纳总结 交点法求二次函数解析式的方法 这种已知抛物线 x 轴的交点，求表达式的方法叫做交点法. 其步骤是：
湘教版九年级下第1章反比例函数小结与复习课件ppt
然后指出“不难证明：对于反比例函数 y 2 ，当x>0时，函数值 随 x
自变量取值的增大而减小；当x<0时，也有这一性质”．知道了反比
例 y2 函数 x 的这一性质后，我们才能把y轴右边和左边各点，分别用
一条光滑曲线顺次连接起来，我们还讲了这两支曲线与x轴、y轴都不
相交的道理．
我们接着探究了如何画反比例函数 y 2 的图象，由于当x取任一非 x
三、实际生活中的反比例函数
我们列举了“使劲踩气球时，气球为什么会爆炸”， “纳鞋底时，为什么要用锥子”，“哪辆小车跑得快”， “用撬棍撬石头，支点搁在哪儿较省力”等实际生活中 用到反比例函数的几个有趣例子，为的是让同学们从中 体会到：生活中有数学，数学在生活中有用．
yy零的实图2x 数象2x的，a图时的从像，图这沿点象样着与得Px轴a到,翻的a2y折y与2x并点将2图Q象的 的“a图 图, a2复象 象印关 看关”于 出于下，x轴x来当轴对，x对称<就0称，时得，从，到因而函了y此只y要把2x2x x
数随自变量取值增大而增大；但x>0时，也有这一性质；并且
y k k为常数，k 0
x
的形式，那么称y是x的反比例函数．
二、反比例函数的图象和性质
我们首先探究了如何画反比例函数
y2 x
的图象，在我们还不
知道反比例函数的图象是什么样子的时候，在列表和描点之后，不应
当马上连线，因为我们还不清楚把描出的几个点怎样连起来，我们加
了“观察和分析”一步，先观察描出的几个点的走向趋势，作出猜想；
y 2 的图象与x轴、y轴都不相交． x
从上面探究的两个例子，我们可以认识到反比例函数
的图象应当是什么样子，这样从今以后，在画反比例函
自变量取值的增大而减小；当x<0时，也有这一性质”．知道了反比
例 y2 函数 x 的这一性质后，我们才能把y轴右边和左边各点，分别用
一条光滑曲线顺次连接起来，我们还讲了这两支曲线与x轴、y轴都不
相交的道理．
我们接着探究了如何画反比例函数 y 2 的图象，由于当x取任一非 x
三、实际生活中的反比例函数
我们列举了“使劲踩气球时，气球为什么会爆炸”， “纳鞋底时，为什么要用锥子”，“哪辆小车跑得快”， “用撬棍撬石头，支点搁在哪儿较省力”等实际生活中 用到反比例函数的几个有趣例子，为的是让同学们从中 体会到：生活中有数学，数学在生活中有用．
yy零的实图2x 数象2x的，a图时的从像，图这沿点象样着与得Px轴a到,翻的a2y折y与2x并点将2图Q象的 的“a图 图, a2复象 象印关 看关”于 出于下，x轴x来当轴对，x对称<就0称，时得，从，到因而函了y此只y要把2x2x x
数随自变量取值增大而增大；但x>0时，也有这一性质；并且
y k k为常数，k 0
x
的形式，那么称y是x的反比例函数．
二、反比例函数的图象和性质
我们首先探究了如何画反比例函数
y2 x
的图象，在我们还不
知道反比例函数的图象是什么样子的时候，在列表和描点之后，不应
当马上连线，因为我们还不清楚把描出的几个点怎样连起来，我们加
了“观察和分析”一步，先观察描出的几个点的走向趋势，作出猜想；
y 2 的图象与x轴、y轴都不相交． x
从上面探究的两个例子，我们可以认识到反比例函数
的图象应当是什么样子，这样从今以后，在画反比例函
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 二次函数
第1章 二次函数
1.1 二次函数
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧 不足道也.”
------中科院数学与系统科学研究院
李邦河 问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？ 如果变量 y 随着 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值， y 总有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数.
归纳总结
S 2x2 100x ，0 x 50
y 6000x2 12000x 6000，0 x 1
像前面所列两式那样，如果函数的表达式是自变量的 二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的 一般形式是 y = ax²+bx+c (a，b，c 是常数，a≠0).
其中 x 是自变量，a 为二次项系数，ax2 叫做二次项； b 为一次项系数，bx 叫做一次项；c 为常数项.
列二次函数关系式
例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为 2x cm，宽为 (x+1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？分析：本题中的数量关系是：
剩余面积=正方形面积-长方形面积. 解：由题意得 y ＝122－2x(x+1)，
(2) 当 x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 .
定义 二次函数
一般形式
特殊形式
右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠ 0.
y = ax2+bx+c (a ≠0，a，b，c是常数） y = ax2； y = ax2+bx； y = ax2+c
(a ≠0，a，b，c是常数）.
1.1 二次函数
通过表情包来辨别人物，最重要的是根据个人的特 征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧 不足道也.”
------中科院数学与系统科学研究院
李邦河 问题1 我们以前学过的函数的概念是什么？ 如果变量 y 随着 x 而变化，并且对于 x 取的每一个值， y 总有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数.
归纳总结
S 2x2 100x ，0 x 50
y 6000x2 12000x 6000，0 x 1
像前面所列两式那样，如果函数的表达式是自变量的 二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的 一般形式是 y = ax²+bx+c (a，b，c 是常数，a≠0).
其中 x 是自变量，a 为二次项系数，ax2 叫做二次项； b 为一次项系数，bx 叫做一次项；c 为常数项.
列二次函数关系式
例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为 2x cm，宽为 (x+1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y 与 x 之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？分析：本题中的数量关系是：
剩余面积=正方形面积-长方形面积. 解：由题意得 y ＝122－2x(x+1)，
(2) 当 x＝3时，y＝－32＋8×3＝15 .
定义 二次函数
一般形式
特殊形式
右边是整式； 自变量的指数是 2 ； 二次项系数 a ≠ 0.
y = ax2+bx+c (a ≠0，a，b，c是常数） y = ax2； y = ax2+bx； y = ax2+c
(a ≠0，a，b，c是常数）.
2025年湘教版九年级下册数学第1章全章整合与提升
全章整合与提升
12．某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关 部门规定，其销售单价不低于进价，且不高于进价的 1.5倍．通过分析销售情况，发现每天的销售量y(件)与 销售单价x(元)满足一次函数关系，且当x＝15时，y＝ 50；当x＝17时，y＝30.
全章整合与提升
(1)求y与x之间的函数表达式；
数为( B )
A．3
B．2
C．1
D．0
全章整合与提升
17．[2024·淄博二模]若函数y＝(m＋1)x2－3x＋2的图象与x 轴只有一个交点，则m的值为_－__1_或__18__．
第1章 二次函数 全章整合与提升
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14
6 y＝2(x＋1)2－2 11 B
2B
7 (1，－3)
12
3
8
13 C
4D
9 ①②③
14 D
5 y2>y1 10 x1＝1，x2＝3 15
答案呈现
16 B 17
全章整合与提升
1．若函数y＝(a＋4)x|a|－2＋5x－8是二次函数，则a的值为 ______4______．
全章整合与提升
10．已知二次函数y＝ax2－4ax＋t(a≠0)的图象与x轴的一个 交点为(1，0)，则方程ax2－4ax＋t＝0的解为 ___x_1_＝__1_，__x2_＝__3____．
全章整合与提升
11．已知一次函数 y1＝ax＋c 和反比例函数 y2＝bx的图象如图 所示，则二次函数 y3＝ax2＋bx＋c 的大致图象是( B )
全章整合与提升
2．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数 y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的 图象可能是( B )
湘教版九年级下册数学 第1章 全章整合与提升
∴点 D 的坐标为(3，2)．
当－12m2＋32m＋2＝－2
时，解得
m3＝3－2
41(舍去)，m4＝3＋2
41 .
∴点 D 的坐标为3＋2 41，－2.
∴符合条件的点 D 的坐标为(3，2)，3＋2 41，－2.
B
A．－4 B．4
C．±4 D．±2
【点拨】∵y＝(a＋4)x|a|－2＋5x－8是二次函数，∴|a|－2＝2且a＋4≠0，解 得a＝4.
2．对于二次函数y＝－(x＋1)(x－1)的二次项系数a，一次项系数b，常数项c描述
正确的是( )
A．a＝－1，b＝－1，c＝0
B
B．a＝－1，b＝0，c＝1
C．a＝－1，b＝0，c＝－1
湘教版九年级下
第1章 二次函数
全章整合与提升
1B 2B 3C 4D 5D
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6 见习题 7A 8 见习题 9D 10 C
答案显示
11 k≤1 12 D 13 见习题 14 －2 15 见习题
16 见习题
答案显示
1．若y＝(a＋4)x|a|－2＋5x－8是二次函数，则a的值为( )
(2)当m为何值时，在对称轴左边函数值y随自变量x的增大而减小？
解：∵在对称轴左边函数值y随自变量x的增大而减小， ∴函数图象的开口向上， ∴m＋3>0. ∴m>－3. ∴m＝1. ∴当m＝1时，在对称轴左边函数值y随自变量x的增大而减小．
(3)当m为何值时，该函数有最大值？
解：∵函数有最大值， ∴m＋3<0， ∴m<－3. ∴m＝－5. ∴当m＝－5时，该函数有最大值．
16．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点A(－1，0)，B(4，0)，交y轴于点C. (1)求抛物线的表达式．
湘教版九年级下册数学精品教学课件 第1章 二次函数 第1课时 抛物线形二次函数
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
典例精析 例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央 垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心， OA=1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各 个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂
亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m处达到距水面最 大高度 2.25 m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少 要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
探究 你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线， 所以应当是个二次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y 轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数图象是 这条抛物线呢？
由于顶点坐标是(0，0)， 因此这个二次函数的
形式为 y ax2 (a 0)
-2 -1 -2
-4
12
A
如何确定 a 是多少？ 已知水面宽 4 m 时，
-2 -1
12
拱顶离水面高 2 米，
-2
A
因此点 A( 2，-2)在抛物线上，
由此得出 2 a 22，解得 a 1 .
-4
因此，y 1 x2
2
，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y 是
2
拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水
设最多可安装 n 扇窗户， ∴1.5n + 0.8(n﹣1) + 0.8×2 ≤10.14， 解得 n ≤ 4.06．则最大的正整数为 4． 答：最多可安装 4 扇窗户.
5. 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似
2021春湘教版九年级数学下册 第1章 全章整合与提升
B．a＝－1，b＝0，c＝1 D．a＝1，b＝0，c＝－1
全章整合与提升
3．在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx－2k 和二次函数 y＝－kx2＋2x－4(k 是常数且 k≠0)的图象可能是( C )
全章整合与提升
4．关于二次函数 y＝－(x＋3)2＋2 的图象，下列说法错误的是 ( D) A．图象开口向下 B．抛物线的对称轴是直线 x＝－3 C．抛物线的顶点坐标是(－3，2) D．图象与 y 轴的交点坐标是(0，2)
全章整合与提升
(2)将抛物线 C 沿直线 y＝n(n＞0)翻折，得到抛物线 C2，设 C 与 C2 的交点记为点 M，点 N，抛物线 C 的顶点记为 F，抛物线 C2 的顶点记为 E，若在四边形 MFNE 中，∠MFN＝60°，求 抛物线 C2 的表达式． 解：如图，连接 EF 交 MN 于点 G. ∵∠MFN＝60°， ∴△MNF 为等边三角形，设边长为 2a，
湘教版 九年级下
第1章 二次函数
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2B
3C
4D
0 C
11 k≤1 12 D
13 见习题 14 －2 15 见习题
16 见习题
全章整合与提升
1．若 y＝(a＋4)x|a|－2＋5x－8 是二次函数，则 a 的值为( B ) A．－4 B．4 C．±4 D．±2
全章整合与提升
8．在平面直角坐标系中，已知抛物线 C：y＝x2＋(3－m)x 经过 点 A(－2，0)．
(1)将抛物线 C 沿直线 y＝1 翻折，得到抛物线 C1，求抛物线 C1 的顶点坐标；
全章整合与提升
解：将点 A 的坐标代入抛物线 C 的表达式， 得 0＝4＋(3－m)·(－2)，解得 m＝1. 故抛物线 C 的表达式为 y＝x2＋2x. ∴抛物线 C 的顶点坐标为(－1，－1)． ∴抛物线 C1 的顶点坐标为(－1，3)．
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0002页 0031页 0078页 0115页 0154页 0209页 0234页 0242页 0260页 0323页 0369页
第1章 二次函数 1.2 二次函数的图像与性质 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.4 过不共线三点作圆 2.6 弧长与扇形面积 第3章 投影与视图 3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图 第4章 概率 4.2 概率及其计算
2.7 正多边形与圆
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2.4 过不共线三点作圆
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2.5 直线与圆的位置关系
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2.6 弧长与扇形面积
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1.4 二次函数与一元二次方程的 联系
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1.5 二次函数的应用
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第2章 圆
第1章 二次函数
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1.1 二次函数
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1.2 二次函数的图像与性质
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1.3 不共线三点确定二次函数的 表达式
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2.1 圆的对称性
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2.2 圆心角、圆周角
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2.3 垂径定理
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第1章 二次函数 1.2 二次函数的图像与性质 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 第2章 圆 2.2 圆心角、圆周角 2.4 过不共线三点作圆 2.6 弧长与扇形面积 第3章 投影与视图 3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图 第4章 概率 4.2 概率及其计算
2.7 正多边形与圆
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2.4 过不共线三点作圆
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2.5 直线与圆的位置关系
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2.6 弧长与扇形面积
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1.4 二次函数与一元二次方程的 联系
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1.5 二次函数的应用
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第2章 圆
第1章 二次函数
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1.1 二次函数
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1.2 二次函数的图像与性质
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1.3 不共线三点确定二次函数的 表达式
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2.1 圆的对称性
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2.2 圆心角、圆周角
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2.3 垂径定理
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