大一上学期同济版高数第五章习题课PPT课件

解：原式
lim
n
1 n
n1
i 1
1
(
i n
)
2
1 0
1 1x2
dx
4
1
2
n
例2 . 求
lim ( 2n 2n 2n ).
n n1 n12
n1 n
提示： lim 1
n n 1
ni
2n
i1
原式
lim 1 n n
n i1
2
i n
左边 lim n
n
2
i n
1
1 2x d x
1
= 右边
n n 1i 1
则存在 [a,b],使
b
f (x)g(x)dx f ( )
a
b
g (x) d x
a
证明思路:
b
f (x)g(x)dx
a
b
想到用
f () 介值定理
a g (x) d x
3
证明: 设 M , m 分别为 f (x) 在 [a , b] 上的最大值
与最小值 , 不妨设 g(x)0, 则
mg(x) f (x)g(x) Mg(x), x[a,b]
2
sinxcosx
dx
0 3sin2x
解：原式
2
d(sinxcosx)
0 3sin2x
2 0
d(sixncoxs) 2(sixncoxs)2
1 arctasninxcoxs 2
2
20
1 arctan 2
2
2
12
例6.
xsinx I 0 si2nx2co2sxdx
解：
I
0
2xssiinnx2 xdx
高等数学
第二十九讲
1
习题课
第五章
定积分及其相关问题
一、与定积分概念有关的问题的解法 二、有关定积分计算和证明的方法
2
一、与定积分概念有关的问题的解法
1. 用定积分概念与性质求极限
2. 用定积分性质估值 3. 与变限积分有关的问题
推广的积分中值定理 (积分第二中值定理)
设 f(x)C[a,b],g (x) 在 [a , b] 上可积且不变号,
lim n 1 nn1
利用夹逼准则可知 I 2 .
10
例4.
估计下列积分值
1 0
1 dx. 4x2x3
解: 因为 1 4
1 4x2 x3
1, 4 x2
x[0,1]
∴
11 dx 1
1
1
dx
1
dx
02
0 4x2x3
0 4x2
即
1 1 1 dx
2 0 4x2x3 6
11
例5.
7
说明: 1) 思考例1下列做法对吗 ?
利用积分中值定理
原式 nl im1nee 0
不对 ! 因为 依赖于 n ,且 01.
2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .
如, P270 题7
1xp
1
1 x
p
1
1
x
p
x
p
1
(0x1)
8
例 1. 求极限 n l i(m n 2 n 1 n 2 n 2 2 n 2 n n 2).
n
0
ln 2
9
例3. 求 In l i m sn i1 nnsn i2n 1 n 2 sn inn 1 n n
解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：
n n sink1
n1k1 n n
n
sin
k
n
k 1
n
1 k
n
sin
k 1
k
n
1 n
已知 n l i m kn 1sikn n 1 n1 0sinxdx2,
x
例9. 求积分
dx
1 x x2 1
解：原式
1 x (x
x2 1) dx
1 x2 (x2 1)
1
1
x x dx x
x2 1dx
1
1
奇函数
偶函数
1
0 2 x
x2 1dx
0
2(x2
t x
(t)sint
0 2sin2t dt
(x)sinx
0 2sin2x dx
I 2
0
2ssiinxn2xdx2
sinx 0 1co2sxdx
arctacnoxs
2
0
2
4
13
因为
0
f (sinx)dx
2
0
f (sinx)dx
f (sinx)dx
2
对右端第二个积分令 t x
综上所述
2
1sin2t
6
sint
dt
2(cstcsint)dt
6
[ln cts c cto c t to ]2 s
ln(2 3) 3
6
2
15
例7. 求 ln2 1e2x dx. 0
解：方法二
令 t 1e2x 则可得 x1ln1(t2) 2
原式
3t
2t 01
t
2
dt
33
22
00
1(11t12t211t2d)tdt
=原ln式 im =1elime n
101nxeendx0ln i作m1法e对e吗n1? 1
5
0
说明: 1) 思考例1下列做法对吗 ?
利用积分中值定理
原式 nl im1nee 0
不对 ! 因为 依赖于 n ,且 01.
2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 .
如, P265 题4
1xp
1
2 2 f(sinx)dx 0
x
f
(sinx)dx
f(sixn)dx
0
20
2 f(sinx)dx 0
14
例7. 求
ln2 1e2xdx.
0
解: 令 ex sint,则 xlnsitn ,dxcostdt,
x 0, t , x ln 2,t .
sint
2
6
原式
26cotscsionttsdt
(t 1 ln1t )
3 2
ln(2 3) 3
2 1t 0
2
16
例8 求
3
x sin cos 2
x x
d
x
3
解 fxc xso 2ix xn sfx
原式＝2
3 0
x co2sxdcoxs
2
3 0
xd 1 cosx
2[ x
cosx
3 0
3
dx ]
0 cosx
42ln1( 3)
3
17
1
m
b
g(x)dx
b
f (x)g(x)dx M
b
g(x)dx
a
a
a
若
b
g(x)dx
0
,
则
a
b
f(x)g(x)dx0,
a
故对任意
[a,b] 结论都正确 ;
b
若
b
g(x)
dx
0
,
则
a
m a
f (x)g(x)dx
b
M
a g (x) d x
由连续函数介值定理可知,
存在 [a,b], 使 f () , 故定理成立 . 4
1 x
p
1
1
x
p
x
p
1
(0x1)
6
二、有关定积分计算和证明的方法
1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法
思考: 下列作法是否正确?
11x12dx1x
1
1
2
1 1
113 x2
dx 1 1 3t12dt0(令t 3 11t2
x2)
2.wenku.baidu.com注意特殊形式定积分的计算。 3. 利用各种积分技巧计算定积分。 4. 有关定积分命题的证明方法。
例1 求
lim
n
1 xnex 01ex
dx
.
解:因为
x[0,1]时,
0
xnex 1 ex
xn,
所以
0
1 xnex 01 ex
dx
1xndx 1
0
n 1
利用夹逼准则得
lim
n
1 xnex 01ex
dx0
说另明法: :此利类用问积题分放第大二或中缩值小定时理一般应保留含参数
的项 . 原式 思考: