高数9-1二重积分概念
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解一、什么是二重积分？1.1 定义二重积分是微积分中的重要概念之一，用于求解二元函数在有界闭区域上的积分。
它是对一个区域上的函数进行“求和”的操作，可以用来计算该函数在该区域上的平均值、总体积、质心等。
1.2 符号表示一般来说，用符号∬来表示二重积分。
对于一个函数f(x,y)，其在区域D上的二重积分可以表示为：∬fD(x,y) dx dy,其中D表示一个有界闭区域，dx dy表示在该区域内按照矩形的面积进行积分。
二、二重积分的计算方法2.1 直角坐标系中的二重积分计算在直角坐标系中，我们可以通过将区域D分割成许多小矩形来进行计算。
对于一个小矩形R i，其面积可以表示为ΔA i=Δx iΔy i，其中Δx i和Δy i分别为矩形的宽度和高度。
然后，我们选取矩形R i中点(x i∗,y i∗)，计算函数在该点的值f(x i∗,y i∗)，并乘以该矩形的面积ΔA i。
将所有小矩形的贡献相加，即可得到二重积分的近似值。
当矩形的宽度和高度趋近于零时，即Δx i和Δy i趋近于零，这时我们可以得到准确的二重积分。
用极限的形式表示为：∬f D (x,y) dx dy=limΔx i→0Δy i→0∑fni=1(x i∗,y i∗)ΔA i.2.2 极坐标系中的二重积分计算在极坐标系中，二重积分的计算可以更加简化。
对于一个区域D，我们可以使用极坐标的面积元素r dr dθ来进行积分。
其中r表示极径，θ表示极角，dr和dθ分别表示极径和极角的微小增量。
则二重积分的计算公式为：$$\iint_D f(x, y) \,dx\,dy = \iint_D f(r\cosθ, r\sinθ)r\,dr\,d\theta.$$这种方法适用于具有旋转对称性的问题，通过转换到极坐标系可以简化计算过程。
三、二重积分的应用3.1 几何意义二重积分的一个重要应用是求解曲面面积或体积。
对于一个曲面z=f(x,y)在区域D上的投影曲域为D′的情况，可以通过以下公式计算曲面的面积S：S=∬√1+(∂z∂x)2+(∂z∂y)2D dx dy.3.2 质心的计算另一个常见的应用是计算一个区域D上物体的质心位置。
高等数学二重积分
高等数学二重积分
二重积分是高等数学里面重要的概念，通过它可以得出有关两个变量相关的积分函数。
它实际上是一种比一重积分更深层次的计算，将积分以二维形式考虑，而一维积分只以一个变量为考虑。
二重积分可以被用于研究计算两个变量的总和，这种总和的基本概念是假定两个变量可以同时发生变化，即，未知的函数可以被称为： z= f(x,y)。
以往，进行积分计算，一般使用分离变量法，即将一重积分分解为两重积分以获得更容易计算的结果，但此法有许多局限性，后来发展为进行二重积分计算。
在求解二重积分时，我们需要求解的是由不同变量定义的几何图形的面积，常见的图形有矩形、圆形和椭圆等。
一个二重积分的例子就是求解矩形的圆周率，另一例子是计算一束光线的相位差。
二重积分也有其研究的理论和应用前景，如计算电场和磁场之间的相互作用，从而实现弯曲空间带来的相对论效应。
研究表明，二重积分计算不仅能求出一般积分所不能求出的准确解，而且在实际应用中，应用更加广泛，能够应对更复杂的情况，进行更快更精准的计算。
高中数学(人教版)二重积分的概念与性质课件
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
高等数学 第九章 二重积分
第九章二重积分
教学要求
1、理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
2、掌握二重积分（直角坐标情形、极坐标情形）的计算方法。
3、会用二积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转动惯量等）。
教学重点
二重积分概念与性质，二重积分计算方法，二重积分在几何方面的应用。
教学难点
二重积分的几何意义，二重积分在极坐标下的计算，二重积分的思想如何应用于实际问题
教学内容
第一节二重积分的概念及其性质
一、二重积分的概念
1.曲顶柱体的体积；
2.平面薄皮的质量
二、二重积分的性质
第二节二重积分的计算
一、二重积分在直角坐标系下的计算
二、二重积分在极坐标下的计算
1.极点O在积分区域D外；
2. 极点O在积分区域D的边界曲线上；
3. 极点O在区域D的内部
第三节二重积分的应用
一、几何应用
1.求立体的体积和平面图形的面积；
2.求曲面的面积
二、物理应用
1.平面薄皮的质量；
2.平面薄皮的质心。
二重积分的概念及几何意义
若函数$f(x,y)$和$g(x,y)$在区域$D$ 上均可积，则有 $iint_{D}[f(x,y)+g(x,y)]dsigma=iint_ {D}f(x,y)dsigma+iint_{D}g(x,y)dsig ma$。
积分区域的可加性
简单区域的叠加
若复杂区域$D$可以划分为有限个简单区域（如矩形、三角形等）的并集，且函数在每个简单区域上 均可积，则二重积分可以通过在这些简单区域上分别进行积分并求和得到。
复杂区域的分解
对于复杂的不规则区域，可以通过引入辅助线将其划分为几个较简单的子区域，然后在每个子区域上 分别进行积分，最后将结果相加。这种方法在处理具有复杂边界或包含多个不同部分的积分区域时特 别有用。
03
二重积分的计算
直角坐标系下的二重积分
积分区域为矩形区域
通过对矩形区域进行划分，将二重积分转化为累次积分进行计算。
对于环形区域，可以通过对内外圆的极径 进行划分，将环形区域划分为若干个小扇 形区域，然后对每个小扇形区域进行积分 ，最后将结果相加得到二重积分的值。
二重积分的换元法
直角坐标与极坐标的互化
通过直角坐标与极坐标之间的互化公式，可以将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标 系下的二重积分进行计算。
一般变换
对于一般的二重积分，可以通过变量代换的方法将其转化为更简单的形式进行计算。常 用的变量代换方法有极坐标代换、广义极坐标代换等。
积分的数乘性质
若函数$f(x,y)$在区域$D$上可积，则对于任意常数$k$，有 $iint_{D}kf(x,y)dsigma=kiint_{D}f(x,y)dsigma$。
可加性质
积分区域的可加性
若区域$D$可分成两个不相交的区域$D_1$和 $D_2$，且函数$f(x,y)$在$D_1$和$D_2$上均 可积，则有 $iint_{D}f(x,y)dsigma=iint_{D_1}f(x,y)dsigm a+iint_{D_2}f(x,y)dsigma$。
高等数学随堂讲义二重积分概念
二重积分的性质
即若把曲线 K 按 x x0 , x1 , , xn ,分成 n 个小段
则每一小段都能被以
xi 为宽, i 为高的小矩形所
覆盖. 由于这 n 个小矩形面积的总和
n
i xi
i1
b
a
n i1
xi
,
因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零.
推论 1
参量方程 x (t ), y (t ) ( t ) 所表示的
I P 为 P 的外面积.
定义1
若平面图形 P 满足
I P = I P , 则称 P 为可求面积
的图形, 并把共同值 IP I P I P 作为 P 的面积.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:
对任给的 0 , 总存在直线网 T,
所以也有 SK (T ) . 由上述推论, P 的边界K 的面积
为零.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.3
若曲线 K 为定义在 [a , b] 上的连续函数
的图象, 则曲线 K 的面积为零.
f (x)
证 由于 f ( x) 在闭区间 [a , b]上连续, 所以它在
的网眼 (小闭矩形)
i 可分为三类:
(i) i 上的点都是 P 的内点;
(ii) i 上的点都是 P 的外点, 即
i
(iii) i 上含有 P 的边界点.
这时直线网 T
P ;
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
高等数学 二重积分概念PPT课件
即: 1.96 I 2
12
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例3. 判断积分
解: 分积分域为 D1, D2 , D3, 则
原式 = 3 1 x2 y2 d x d y D1 D2 3 x2 y2 1d x d y
的正负号. y
D3 D2
O 1 32x
D1
猜想结果为负
D1 d x d y
记作
则称 f (x, y) 可积 , 称 I 为 f (x, y)在D上的二重积分.
积分和
积分表达式
x , y 称为积分变量
积分域
被积函数
面积元素
6
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如果 f (x, y) 在D上可积, 可用平行坐标轴的直线来划
分区域 D , 这时
因此面积 y
元素d也常记作 dxdy, 二重积分记作
1
D
解: 积分域 D 的边界为圆周
O 1 2 3x x y 1
它在与 x 轴的交点 (1,0) 处与直线
而域 D 位于直线的上方, 故在 D 上 x y 1, 从而 (x y)2 (x y)3
D (x y)2 d D (x y)3 d
11
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D1
OD x
(2) f (x , y) f (x, y), 则 D f (x, y) d 0
当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍
有类似结果.
在第一象限部分, 则有
4 (x2 y2 ) d x d y D1
D (x y) d x d y 0
又 D 的面积为 1 ,
故结论成立 .
成贤教材-高数B下§9.1二重积分的的概念与性质
§9.1二重积分的的概念与性质9.1.1 曲顶柱体的体积设有一立体，它的底是xoy 面上的有界闭区D 域，侧面是以的D 边界曲线为准线而母线平行于轴 z 的柱面，它的顶是曲面),(y x f z =，0),(≥y x f 且在上D 连续。
这种立体称为曲顶柱体。
试求该曲顶柱体的体积。
当h y x f =),((h 为常数,0>h )时，即为平顶柱体，其体积 σ⨯=⨯=h V 底面积高，其中σ是有界闭区域D 的面积。
若柱体的顶是曲面，它的高),(y x f 在D 上是变量，其体积就不能用上面的公式 来计算。
我们可仿照求曲边梯形面积的思路，把D 分成许多小区域，由于),(y x f 在D 上连续，它在每个小区域上的变化很小，因而相应每个小区域上的小曲顶柱体的体积就可用平顶柱体的体积来近似代替，且区域D 分割得愈细，近似值的精度就愈高。
于是通过求和、（1）分割。
将D 区域任意分成个 n 子域：1σ∆，2σ∆，…，n σ∆。
并以i σ∆) , 2, ,1(n i =表示第个i 子域的面积。
然后以每个子域的边界曲线为准线，作母线于平行轴 z 的柱面，这些柱面就把原来的曲顶柱体分成n 个小的曲顶柱体。
（2）近似。
∈ηξ∀) , (i i i σ∆) , 2, ,1(n i =，用以) , (i i f ηξ为高，i σ∆为底的平顶柱体的体积) , (i i f ηξi σ∆⋅近似代替第个i 小曲顶柱体的体积，即≈∆i V ) , (i i f ηξi σ∆⋅) , 2, ,1(n i =。
i i i ) ) i（3）求和。
将这n 个小平顶柱体的体积相加，得到原曲顶柱体体积的近似值，即 i ni i i n i i f V V σ∆ηξ≈∆=∑∑==11) ,(（4）取极限设}{max 1的直径i ni d σ∆=≤≤，当0→d 时上面和式的极限就是曲顶柱体的体积，即 i ni i i d f V σ∆ηξ=∑=→1) ,(lim。
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解
二重积分通俗理解
二重积分的概念十分抽象，在没有接触相关课程的情况下，很容易就会感到困惑和不理解。
其实，这个概念在我们日常生活中也不断地出现，只是我们没有意识到而已。
二重积分可以用来计算一个物体在一段时间内所移动的总距离，以及一定面积内降雨量的总量，亦或是在一片土地上植物叶片籽粒的总数。
这些都是不同现实中的例子，但是形式上它们却有着一个共同之处：所有的运算都是按照一个累积的方式进行的，也就是积分。
在积分的时候通常会用到两个维度的变量，比如计算车在一段时间内的总里程就需要时间和速度两个维度变量。
这也就是二重积分的由来，它的数学形式是I=∫∫f(x,y)dA，其中，f(x,y)表示某一个变量在不同时间、不同空间中的变化值，dA表示面积，I则表示累计的值。
所有这些变量都必须要被一一累计，才能得到最终的结果。
这就是二重积分的基本含义，当我们把这个概念应用到每一个具体的问题，都要根据实际情况来进行具体的计算，本质上来说，就是计算某一变量在不同的地方不同时间的累积值。
- 1 -。
二重积分的概念及几何意义
二重积分的概念及几何意义二重积分是微积分中一种重要的计算方法，它有着广泛的应用。
它的概念可以从两个角度来解释：代表被一些平面区域所包围的空间体积或质量，并且也可以理解为将一个函数在平面区域上的取值进行加总。
在几何意义上，二重积分表示一个函数在平面上一些区域的“总体积”。
可以将这个概念类比为将一个平面区域上的雨水用一个无数个等量的小盒子进行收集，然后把这些小盒子中的水量相加得到的结果。
也就是说，二重积分可以用来计算一个平面区域内的一些量的总和。
设函数f(x,y)在平面区域D上有定义，将D划分成无穷多个小区域，其中每个小区域的面积为ΔA，选取任意一个小区域，假设它的中心为(x_i,y_i)，则函数在该小区域上的取值可以近似表示为f(x_i,y_i)。
通过乘积f(x_i,y_i)·ΔA对所有小区域进行求和（即求和区域为整个D区域），可以得到对函数f(x,y)在平面区域D上进行加总的结果，即二重积分：∬Df(x,y)dA其中dA代表一个微小的面积元素，可以理解为小区域的面积ΔA趋向于无穷小时的极限。
需要注意的是，二重积分是对平面区域D上的每一个小区域进行加总，然后得到整个区域D上一些量的总和。
通过适当选择D区域的形状和大小，可以计算出许多不同类型的几何量，例如平面区域的面积、形心、质量等。
在实际应用中，二重积分具有广泛的应用。
例如，在物理学中，可以用它来计算平面区域上的质心位置、质量分布、力的分布等。
在经济学中，可以用它来计算一些区域内的总产量、总销售额等。
在统计学中，可以用它来计算一些区域内的总和、平均数、方差等。
此外，还可以用二重积分来计算平面区域的曲线长度、曲线的弧长、曲线的曲率等。
总之，二重积分是一种重要的计算方法，在数学和各个应用领域都有着广泛的应用。
通过对平面区域的小区域进行加总，可以得到一些量在整个区域上的总和，从而帮助我们研究和理解平面区域的特征和性质。
《高等数学》第九章 第一节 二重积分的概念与性质
1
2
x
I1 < I2
x + y =1
P79-3
例5
比较积分 ln( x y)d 与 [ln( x y)]2d
D
D
的大小, 其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为
(1, 0), (1, 1), (2, 0). 解 三角形斜边方程 x y 2
在 D 内有 1 x y 2 e, 故 0 ln( x y) 1.
分割、取近似、
求和、取极限。
z
z f (x, y)
o xD
y
(i ,i )
i
步骤如下：
1. 分割
z
z f (x, y)
D 任意分成 n 个小闭区域1，
2 ,…， n , 其中 i 表示
第 i 个小闭区域，也表示它的面
o
积。对应的小曲顶柱体体积为Vi . x D
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D，在点 ( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在 D上连 续，平面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块，
y
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量
o
n
M
lim
0
对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
若 为D的面积， 1 d d .
D
D
若在D上 f ( x, y) g( x, y),
高等数学课件D91二重积分概念
实际应用背景：二重积分在物理、工程、经 济等领域有广泛应用，如计算面积、体积、 质量等
添加 标题限制条件：二重积源自的计算需要满足一定的 条件，如函数在积分区域上连续、可积等
添加 标题
积分区域：二重积分的计算需要确定积分区 域，积分区域可以是平面区域、曲面区域等
添加 标题
积分顺序：二重积分的计算需要确定积分顺 序，积分顺序可以是先对x积分，再对y积分， 也可以是先对y积分，再对x积分
添加 标题
积分方法：二重积分的计算可以使用不同的 积分方法，如直接积分法、换元积分法、分 部积分法等
添加 标题
积分技巧：二重积分的计算需要掌握一些积 分技巧，如对称性、周期性、奇偶性等
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汇报人：
二重积分在几何上的应用
计算曲面的面积
计算曲面的体积
计算曲面的旋转体 体积
计算曲面的旋转体 表面积
二重积分在物理上的应用
计算曲面的面积和体积
计算流体的压力和流量
计算电场的强度和分布
计算热传导和扩散问题
二重积分在经济学上的应用
计算边际成本：二重积分可以用来计算边际成本，从而帮助企业进行成本控制和优化。
注意二重积分的计算精度和误差控制
计算精度：选择合适的积分方法，如矩形法、梯形法、辛普森法等 误差控制：通过增加积分区间的划分，提高计算精度 数值稳定性：避免在积分过程中出现数值不稳定的情况 计算结果验证：通过与其他方法或已知结果进行比较，验证计算结果的准确性
注意二重积分的实际应用背景和限制条件
添加 标题
极坐标变换法：适用于积 分区域为圆形或扇形的情 况
换元积分法：适用于积分 区域为圆环或椭圆的情况
分部积分法：适用于积分 区域为不规则图形的情况
二重积分的概念与性质
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。
在每个(1,2,)i i n σ=上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξηin (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregionsi σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
高数 二重积分
D 2 y +2 D −1 y2 2 −1 2 y+2 y2 2 2 5 −1
6
2
4
3
2
2 −1
2
2
题型 6 −4 交换积分的次序 如果二重积分化为二次积分后, 积分不易计算, 可考虑交换积分次序, 即把先对 x 后 对 y 的积分化为先对 y 后对 x 的积分, 或把先对 y 后对 x 的积分化为先对 x 后对 y 的积分. 交换积分的次序的的关键是根据原二次积分的积分限画出区域 D 的图形. 如果原二次积分是先对 y 后对 x 的积分, 则对 x 的积分的积分区间[a, b]为积分区域 D 在 x 轴上的投影区间, 也就是说积分区域 D 位于直线 x=a 和 x=b 之间; 对 y 的积分的积分 上限ϕ (x)对应积分区域 D 的上边界曲线 y=ϕ (x), 下限ϕ (x)对应积分区域 D 的下边界曲线 y=ϕ (x)(这里假定ϕ (x)≤ϕ (x)). 根据这些分析可画出积分区域的图形. 例 1. 交换积分 ∫ d y ∫ f ( x, y) d x 的积分次序. 解: 这是先对 x 后对 y 的积分, 积分区域 D 位于 直线 y=0 和 y=1 之间, 左边界曲线为 x=0, 右边界曲线 为 x=y, 由此可画出积分区域 D 的图形. 区域 D 在 x 轴上的投影区间为[0, 1], 上边界曲线为 y=1, 下边界 曲线为 y=x, 所以Dຫໍສະໝຸດ 22− xD
0
0
2
2
0
2− x 0
2
2
0
2
3
2 0
例 2. 计算 ∫∫ xy d x d y 其中 D 为由 y=x−2, y =x 所围成的区域. 解: 根据积分区域可选择先对 x 后对 y 的次序求 (1)区域 D 的下边界曲线是分段曲 积分 线(一段抛物线和一段直线), 如果 先对 y 后对 x 的积分次序, 则需要 ∫∫ xy d x d y = ∫ d y ∫ xy d x 分为两个积分进行计算, 计算麻烦, 1 1 故不宜采用. = ∫ [ yx ] d y = ∫ [ y ( y + 2) − y ]d y 2 2 (2)区域 D 的左边界曲线是 x=y , 右 y 1 y 4 5 边界曲线是 x=y+2, 它们都不是分 = [ + y + 2 y − ] =5 . 2 4 3 6 8 段曲线, 故采用先对 x 后对 y 的积 分次序. (3)将区域 D 向 y 轴进行投影, 投影 区间为[−1, 2], 故在对 y 的积分中, 积分下限为−1, 上限为 2; 在对 x 的 积分中 , 积分下限为左边界曲线 x=y 中的 y , 上限为右边界曲线 x=2+y 中的 2+y.
9-1二重积分的概念
8-1
1.求极限 求极限(1) lim 求极限 x→0
10
sin xy xy + 1 − 1
x
2 2 xy (2)lim( x + y ) = 1 =2 x→0 y→0
y→0
2.
z = f ( u), u = φ ( u) + ∫ p( t )dt , f ( u), φ ( u) 可微 y
连续， p( t ), φ ′( u) 连续， φ ′( u) ≠ 1 ∂z ∂z + p( x ) 求 p( y ) =0 ∂x ∂y
D
___________________________________. 3 、若 f ( x , y ) 在 有 界 闭 区 域 D 上 可 积 , 且 D ⊃ D1 ⊃ D2 ,当 f ( x , y ) ≥ 0 时, 则 ∫∫ f ( x , y )dσ __________ ∫∫ f ( x , y )dσ ;
D
即 ∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,η i )∆σ i .
D
n
λ → 0 i =1
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素 积 分 和
8-1 7
关于二重积分定义的说明
(1) 在二重积分的定义中， 对闭区域的划分是 在二重积分的定义中， 任意的. 任意的
D D
2 2
圆 ( x − 2 ) + ( y − 1) = 2 所 围 成 . 2、 2 、 ∫∫ ln( x + y ) d σ 与 ∫∫ [ln( x + y )] 2 d σ , 其 中 D 是 矩 形
高等数学二重积分总结
第九章二重积分【本章逻辑框架】【本章学习目标】⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。
⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。
熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。
⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。
9.1 二重积分的概念与性质【学习方法导引】1．二重积分定义为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。
从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。
在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ∆∆∆的分法要任意，二是在每个小区域i σ∆上的点(,)i i i ξησ∈∆的取法也要任意。
有了这两个“任意”，如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。
2．明确二重积分的几何意义。
(1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示以区域D 为底，以(,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。
特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d Df x y σ⎰⎰表示平面区域D 的面积。
(2) 若在D 上(,)f x y ≤0，则上述曲顶柱体在Oxy 面的下方，二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积(3)若(,)f x y 在D 的某些子区域上为正的，在D 的另一些子区域上为负的，则(,)d Df x y σ⎰⎰表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在Oxy 平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy 平面之下的曲顶柱体的体积).3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。
二重积分的概念与性质-PPT精品文档
的体积为
Vlim λ0 i1
f(ξi,ηi)σi.
第一节 二重积分的概念与性质
1. 求曲顶柱体的体积
由于这种特殊和式的极限应用极广，实际工作 中各个领域中的不少问题，通常都要化为这种和式 的极限。因此，有必要对这种和的极限进行一般性 的研究。
为了研究问题方便起见，数学上人们就把这种 特殊结构的和的极限称为二重积分。
者之间的共性与区别.
第一节 二重积分的概念与性质
（一）问题的提出
曲顶柱体 以曲面zf(x,为y)顶，以xy平面上区域D为
底，以通过D的边界且与z轴平行的柱面为侧面的立体。
１．曲顶柱体的体积(volume)
zf(x,y)
（曲顶）柱体体积=？
特点：曲顶 D （平顶）柱体体积 =底面积 × 高
特点：平顶
以常代变Δ Si f(ξi)Δ xi;
n
n oa
积零为整 S Si f(ξi)Δxi.
bx
i1
i1
无限累加
n
b
Slλ i0m i1f(ξi)Δ xi af(x)dx.
第一节 二重积分的概念与性质
1. 求曲顶柱体的体积
曲顶柱体: 以xOy平面上的
有界闭区域D为底, 其侧面为以 D的边界线为准线, 而母线平行于 z轴的柱面， 其顶是连续曲面
(3)若f (x,y)在D的某些子区域上为正的, 在D的另一些
子区域上为负的， 则 f (x, y)dσ表示在这些子区域上
曲顶柱体体积的代数和. D
（4）当 f(x,y时), 1 则 d =区域D的面积.
D
4.二重积分的性质
V bπ[f(x)]2dx. a
已知平行截面面积的几何体的体积
二重积分的概念
二重积分的概念如果一个向量可以由基向量和一个法向量构成，那么称这两个向量叫做共线向量。
显然，共线向量的方向决定于这两个向量之间的关系。
例如，如果将一个平面绕基向量旋转180°，则所得到的两个向量与原平面上的两个向量不共线，但它们的方向依旧相同。
同样，一个平面绕其法向量旋转180°，所得到的两个向量与原平面上的两个向量也不共线，但它们的方向依旧相同。
因此，共线向量必须满足四个条件：①共线向量的方向始终取决于两个向量的关系；②共线向量的方向不随两个向量的变化而变化；③共线向量的方向保持不变；④共线向量在两个向量之间的夹角范围内。
但是在不考虑通过基向量来改变它们方向的情况下，只需要满足三个条件：①共线向量的方向始终取决于两个向量的关系；②共线向量的方向不随两个向量的变化而变化；③共线向量的方向保持不变。
一、定义1、定义在向量空间S上，如果把S分成a个小区域，这些小区域可以用公共的向量表示，我们就说这些小区域构成一个向量空间S的子空间。
这个定义的结论可以由定理推出。
设有两个不同的向量分别是，和，它们之间的关系为，我们就说这两个向量为同一向量空间S上的向量，简称向量。
记为。
2、性质1)有向线段：有两个向量A和B组成的向量叫有向线段。
有向线段的长度等于两[gPARAGRAPH3]之间的距离。
例如，和的有向线段为和，即有两种情况，①若和=则两个向量互相垂直，②若和=则两个向量共线。
2、如果在某向量空间S，定义了正数的有向线段，那么S中所有向量都有至少一条有向线段，而且所有有向线段的和都等于1。
3、有向线段的和与单位向量的和相同。
如果两个向量都是单位向量，那么两个有向线段的和等于单位向量的和；如果两个向量都不是单位向量，那么两个有向线段的和等于0。
3、两个向量A和B，通过向量加法，可以合并成一个向量C；反过来，如果一个向量可以由另外一个向量和基向量构成，那么这两个向量可以用基向量加上任意两个向量的差来表示，这种两个向量间的运算被称为向量的“加法”或“合成”。
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解方程组
cx o s 0
coy s0
cz o s 0
,得
xyz2
3
x y z 2 0
故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为
xyz
SmaxR223sin23
3பைடு நூலகம்
3 4
R
2
.
第九章
重积分
一元函数积分学
重积分 多元函数积分学 曲线积分
曲面积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、引例
1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体:
二、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大) 值
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 m 3的有盖长方体水
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
z
解方程组
Fx 2 z y yz 0 Fy 2 z x xz 0
Fz 2 (x y )x y 0
y x
F xyzV00
得唯一驻点
xy2 z32 V 0,
3
4 2V0
由题意可知合理的设计是存在的,
因此 , 当高为
3
V0 4
,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
z
y x
例6：已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),
转 化
从 条 (x ,y ) 件 0 中y 解 (x )出
求一元函数 zf(x,(x))的无条件极值问题
方法2 拉格朗日乘数法. 例如,
在条 (x,y)件 0下 ,求函 zf数 (x,y)的极 . 值
如方法 1 所述 , 设 (x,y)0可确定隐函数 y(x),
则问题等价于一元函数 zf(x,(x))的极值问题, 故
解:
设水箱长,宽分别为
x
,
y
m
,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
A2xy
y
2 xy
x
2 xy
2xy2 x2 y
x y
0 0
令 Ax2(yx22)0得驻点 (3 2,3 2) Ay2(xy22)0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
F x 2 ( x y 2 z 2 ) 2 x 0
令
F y 2 ( x y 2 z 2 ) 2 y 0
F z 2 ( x y 2 z 2 ) 2 ) ( 0
zx2 y2
解此方程组得唯一驻点 x1,y1,z1.
4 48
由实际意义最小值存在 , 故
dmi n 161 41 41 42
朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
推广 拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多 个约束条件的情形.
例如, 求函数 uf(x,y,z)在条件 (x,y,z)0,
(x,y,z)0下的极值. 设 F f ( x , y , z ) 1 ( x , y , z ) 2 ( x , y , z ) F x f x 1x 2x 0 F y fy 1y2y 0 解方程组 F z fz 1z 2z 0
极值点必满足
d dxzfxfyddxy0
因d y dx
x y
,
故有
fx
f
y
x y
0
记
f x f y
x y
fxx0
极值点必满足 fyy0 (x,y)0
引入辅助函数 F f( x ,y ) ( x ,y )
则极值点满足:
F xfx x 0
F yfyy0
F0
辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 m 3的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
无条件极值: 对自变量只有定义域限制
三、条件极值
对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制
条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条 (x,y)件 0下 ,求函 z数 f(x,y)的极值
2(x3y1)02x0
94
9
解方程组 6(x3y1)02y0
4
1x2 y2 0 94
得驻点 x 3 , y 4 , 对应面积 55
S1.646
而 S D 2 ,S C 3 .5 ,比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形
面积最大.
3. 求旋转抛物面 zx2y2与平面 xy2z2
之间的最短距离. 解：设 P(x,y,z)为抛物面 zx2y2上任一点，则 P
7 4
6
1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者.
解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,则
xyz2 , x 0 ,y 0 ,z 0
它们所对应的三个三角形面积分别为
S11 2R2sixn, S21 2R2siyn, S31 2R2sizn
设拉氏函数 F s x s iy n s iz n i ( x n y z 2 )
F1 0 F1 0
可得到条件极值的可疑点 .
例5. 要设计一个容量为 V 0 的长方体开口水箱, 试问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？
解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,则问题为求x , y ,
z 使在条件 xyzV0下水箱表面积 S 2 (x z y z ) x y
最小. 令 F 2 ( x z y z ) x y ( x y z V 0 )
试在椭圆 x2y21(x0,y0)圆周上求一点 C, 使 94
△ABC 面积 S△最大.
yA
解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), D
B
则
S12
ABAC
C
o
Ex
1
i 3
j 1
k 0
1(0,0,x3y1)0
2 x 1 y 3 0 2
1 x3y10 2
设拉格朗日函数 F(x3y 1)2 0 (1x2y2)
底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 zf(x,y)0
侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. 解法: 类似定积分解决问题的思想:
到平面 x y 2 z 2 0 的距离为 d1 xy2z2
问题归结为 6 目标函数: (xy2z2)2 (min)
约束条件: x2y2z0 作拉氏函数
F ( x , y , z ) ( x y 2 z 2 ) 2 ( z x 2 y 2 )
F ( x , y , z ) ( x y 2 z 2 ) 2 ( z x 2 y 2 )