三角形的重心垂心内心外心附三角函数的图象与性质练习题及答案

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2020年高考数学一轮总复习三角函数、三角形、平面向量专题16三角形的五心与向量文(含解析)

专题15 三角形的五心与向量一【知识点】1.三角形的重心：三角形各边中线的交点2. 三角形的垂心：三角形各边高线的交点3. 三角形的内心：三角形各个内角平分线的交点4. 三角形的外心：三角形各边垂直平分线的交点5. 三角形的中心：正三角形四心合一为中心二．【学习目标】1．理解三角形五心的概念． 2．掌握五心的向量表示．3．掌握五心的向量表示的轨迹问题．三．【题型方法】（一）三角形的内心例1. O 是平面上一定点，,,A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的( )A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心【答案】A 【解析】Q ||AB AB u u u ru u u r 、AC ACu u u v u u u v 分别表示向量AB u u u v 、AC u u u v 方向上的单位向量 ∴AB ACAB AC+u u u v u u u v u u u v u u u v 的方向与BAC ∠的角平分线一致又Q，∴∴向量AP uu u r的方向与BAC ∠的角平分线一致 ∴一定通过ABC ∆的内心故选：A ．练习1. 已知ABC ∆满足，，则ABC ∆为( )A ．顶角为120︒的等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．有一个内角为60︒的直角三角形D ．等边三角形【答案】D 【解析】设，则，而，所以AF 是BAC ∠的角平分线，又，所以ABC ∆为等腰三角形，，所以ABC ∆是等边三角形.练习2.O 是平面内的一定点，A,B ，C 是平面内不共线的三个点，动点P 满足则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】A 【解析】∵、分别表示向量、方向上的单位向量，∴的方向与∠BAC 的角平分线重合，又∵可得到λ（）∴向量的方向与∠BAC 的角平分线重合，∴一定通过△ABC 的内心故选：A ．（二）三角形的重心例2.已知ABC ∆中，向量，则点P 的轨迹通过ABC ∆的（） A ．垂心 B ．内心C ．外心D ．重心【答案】D【解析】设D 为BC 中点，则，即P 点在中线AD 上可知P 点轨迹必过ABC ∆的重心本题正确选项：D练习1．过的重心作直线，已知与、的交点分别为、，，若，则实数的值为（） A ．或 B ．或 C ．或 D ．或【答案】B 【解析】设,因为G 为的重心，所以,即. 由于三点共线，所以，即.因为，，所以，即有，解之得或.故选B.练习2.已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若= , 则O 点是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】C【解析】作BD ∥OC ，CD ∥OB ，连结OD ，OD 与BC 相交于G ，则BG ＝CG ，（平行四边形对角线互相平分）， ∴，又∵，可得：， ∴，∴A ，O ，G 在一条直线上，可得AG 是BC 边上的中线，同理：BO ，CO 的延长线也为△ABC 的中线． ∴O 为三角形ABC 的重心．故选：C．练习3.已知是所在平面上的一定点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的( )A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】C【解析】∵＝设它们等于t，∴而表示与共线的向量,而点D是BC的中点，所以即P的轨迹一定通过三角形的重心．故选：C．练习4.已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，，则点P的轨迹一定通过的__________心．【答案】重.【解析】设D为BC的中点，则，于是有，，P，D三点共线，又D是BC的中点，所以AD是边BC的中线，于是点P的轨迹一定通过的重心．例4.是平面上不共线的三点，为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过____心（内心、外心、垂心或重心）．【答案】重心【解析】∵动点P满足[（2﹣2λ）（1+2λ）]（λ∈R），且，∴P、C、D三点共线，又D是AB的中点，∴CD为中线，∴点P的轨迹一定过△ABC的重心．故答案为重心．（三）三角形的外心例3. 已知点为外接圆的圆心，且，则的内角等于( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以点为的重心，延长交于，则为的中点，又为外接圆的圆心，所以，则，同理可得，为等边三角形，，故选B.练习1.已知，点，为所在平面内的点，且，，，则点为的 ( ) A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】B【解析】因为，所以，即又因为，所以，即所以即所以,所以，同理所以为的外心。

三角形的重心垂心内心外心附三角函数的图象与性质练习题及答案

三角形的重心垂心内心外心附三角函数的图象与性质练习题及答案一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

模型32三角形中的四心问题(重心外心内心垂心)(原卷版)

1．三角形的五心三角形的五心定义外心：三角形三边的垂直平分线的交点为三角形的外心，外心到三个顶点的距离相等；内心：三角形三个角的角平分线的交点为三角形的内心，内心到三边的距离相等；重心：三角形三条中线的交点为三角形的重心，重心为中线的三等分点；垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心；旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心；三角形有三个旁心．2．三角形的重心（1）三角形的重心是三角形三边中线的交点．（2）重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形）3．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在模型介绍三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．5.垂心：三角形三边上的高或其延长线的交点为三角形的垂心.考点一：三角形重心问题【例1】．如图，△ABC的中线BD、CE相交于点F，若四边形AEFD的面积为6，则△CBF的面积为．例题精讲【变式11】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CO⊥AB于点O，中线AE与CO 相交于点F，则的值为．【变式12】．如图，在平面直角坐标系中，点B（﹣2，3），点C在x轴负半轴，OB＝BC，点M为△OBC 的重心，若将△OBC绕着点O旋转90°，则旋转后三角形的重心的坐标为．考点二：三角形外心问题【例2】．如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为°．【变式21】．已知△ABC的三边a，b，c满足|c﹣4|+b+a2﹣10a＝4﹣30，则△ABC的外接圆半径的长为．【变式22】．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为．考点三：三角形内心问题【例3】．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．则△ABC的内切圆半径r＝．➢变式训练【变式31】．⊙O是△ABC的内切圆，且∠C＝90°，切点为D，E，F，若AF，BE的长是方程x2﹣13x+30＝0的两个根，则S△ABC的值为（）A．30B．15C．60D．13【变式32】．如图所示，在矩形ABCD中，BD＝10，△ABD的内切圆半径为2，切三边于E、F、G，则矩形两边AB＝，AD＝．考点四：三角形垂心问题【例4】．如图，H是锐角△ABC的垂心（3条高的交点），若AH＝BC，则∠BAC的度数是．➢变式训练【变式41】．如图，在△ABC中，已知AB＝5，CA＝7，BC＝6，H为垂心，则AH＝．【变式42】．如图，在△ABC中M为垂心，O为外心，∠BAC＝60°，且△ABC外接圆直径为10，则AM＝．1．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC＝45°，点O是△ABC的外接圆的圆心，则∠AOB等于（）A．65°B．90°C．130°D．140°2．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝3，O是它的内心，以O为中心，将△ABC旋转180°得到△A′B′C′，则△ABC与△A′B′C′重叠部分的面积为（）A．B．C．D．3．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm4．如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝52°，则∠A的度数是（）A．52°B．76°C．26°D．128°5．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝90°，∠C＝60°．若AB＝5．则△ABD外心与△BCD内心的距离是（）A．5B．C．D．6．如图，若正△A1B1C1内接于正△ABC的内切圆，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，已知Rt△ABC的直角边AC＝24，斜边AB＝25，一个以点P为圆心、半径为1的圆在△ABC内部沿顺时针方向滚动，且运动过程中⊙P一直保持与△ABC的边相切，当点P第一次回到它的初始位置时所经过路径的长度是（）A．B．25C．D．568．如图，点G是△ABC的重心，且△DGC的面积为4，则△ABC的面积为．9．如图所示，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝，则⊙O的直径等于．10．如图，点D是等腰Rt△ABC的重心，其中∠ACB＝90°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结DE．若△ABC的周长为6，则△DCE的周长为．11．如图，⊙O与△ABC的边BC、AC、AB分别切于E、F、D三点，若⊙O的半径是1，∠C＝60°，AB ＝5，则△ABC的周长为．12．如图，点P是△ABC的重心，过P作AB的平行线DE，分别交AC于点D、交BC于点E；作DF∥BC，交AB于点F，若△ABC的面积为36，则四边形BEDF的面积为．13．如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC＝100°，则∠BAC＝度．14．一个直角三角形的两条边长是方程x2﹣7x+12＝0的两个根，则此直角三角形外接圆的半径等于．15．如图，△ABC中，已知AB＝8，BC＝5，AC＝7，则它的内切圆的半径为．16．如图，G为△ABC的重心，点D在CB延长线上，且BD＝BC，过D、G的直线交AC于点E，则＝．17．在半径为1的⊙O中内接有锐角△ABC，H是△ABC的垂心，角平分线AL垂直于OH，则BC＝．18．如图，⊙O的半径为，△ABC是⊙O的内接等边三角形，将△ABC折叠，使点A落在⊙O上，折痕EF平行BC，则EF长为．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，⊙O1和⊙O2分别是△ABC和△ADC的内切圆，则O1O2＝．20．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB＝．21．若△ABC的外接圆半径为2，H是△ABC垂心，则△HAB的外接圆半径长是22．如图，剪一个边长为2的等边三角形，让它沿直线l在桌面上向右滚动，当等边三角形第9次落在直线l上时，等边三角形的内心运动过的路程长为．23．如图，O，H分别为△ABC的外心和垂心，O到BC边的距离为2，H到BC边的距离为HE＝3，则BC 边上的高为．24．如图，正△ABC的面积是8，取正△ABC的内心O1，以O1B为边长作正△O1BP1，再取正△O1BP1的内心O2，以O2B为边长作正△O2BP2，…，依次规律作第2009个正△O2009BP2009．则△O2009BP2009的面积是．25．如图，点P为△AOB的重心，点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0）图象经过点A，P，且交AB 于点C，则点A，P的纵坐标之比是，AC：BC的值为．26．如图，已知锐角△ABC的外接圆半径等于2，∠BAC＝60°，O、H分别为△ABC的外心和垂心，连接OH与BC的延长线交于点P，则OH•OP＝．27．如图，AB＝2，BC＝1，△ABC与△EBD为全等的Rt△（∠ABC＝∠EBD＝90°），F为直线AE和直线CD的交点，求线段BF的取值范围为．28．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点O是△ABC的重心，将线段AO绕点A逆时针旋转至O'，点D为线段CO′的中点，连接BD，则BD的最大值为．29．如图，等边△ABC的边长为4，点O为△ABC的三条中线的交点，点D，E分别为边AB，BC上的点，若∠DOE＝120°，则DE的最小值为．30．如图，锐角三角形ABC内接于半径为R的⊙O，H是三角形ABC的垂心，AO的延长线与BC交于点M，若OH⊥AO，BC＝10，OA＝6，则OM的长＝．31．如图，半径为3的⊙O分别与x轴，y轴交于A，D两点，⊙O上两个动点B，C，使∠BAC＝45°恒成立，设△ABC的重心为G，则DG的最小值是．32．如图，线段AC＝7，半圆D的直径AB＝4，点B在射线CB上运动．（1）当半圆D恰好经过AC边的中点时，CB＝；（2）当△ABC的内心，外心与某一个顶点在同一条直线上时，tan C＝．33．如图，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB的上，有一个动点P，PH⊥OA，垂足为H，△OPH 的重心为G．（1）当点P在上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）如果△PGH是直角三角形，试求OG：PG：HG的值；（3）如果△PGH是等腰三角形，试求出线段PH的长．34．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上．①若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是；②若正方形DEFG的面积为100，且△ABC的内切圆半径r＝4，则半圆的直径AB＝．35．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过点C（0，﹣4）和点D（2，﹣6），与x轴交于点A、B（点A在点B的左边），且点D与点G关于坐标原点对称．（1）求该二次函数解析式，并判断点G是否在此函数的图象上，并说明理由；（2）若点P为此抛物线上一点，它关于x轴，y轴的对称点分别为M，N，问是否存在这样的P点使得M，N恰好都在直线DG上？如存在，求出点P的坐标，如不存在，请说明理由；（3）若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0＜t＜4，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．。

三角函数的图象与性质经典例题含答案

二．基本训练
1、（1）（2008浙江卷5）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是(D)
（A）0（B）1（C）2（D）4
（2）、函数单调增区间是（A）
A[2kπ- ,2kπ＋］（k∈Z）B．［2kπ＋，2kπ＋］（k∈Z）
C．［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）D．［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）
2.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，则f（cosx）的定义域是[2kπ- ,2kπ＋］
（2）函数y=｜sin（2x+ ）｜的最小正周期是
三．典例解析
例1、求函数）y= sin（－）的单调递增区间：
例2、（2008北京卷）．已知函数（）的最小正周期为．
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．
8、（2008湖南卷）函数在区间上的最大值是(C)
A.1B. C. D.1+
9、函数y＝的最大值是（B）
A．－1B．＋1C．1－ D．－1－
10、（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+ ）有以下命题：
①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；
②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
①图象关于直线对称；②图象关于点对称；
③函数在区间内是增函数；
④由的图角向右平移个单位长度可以得到图象．
6．函数的图象向右平移（）个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值全国卷II）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是(D)
（A）2π（B）4π（C）（D）
化简完是
三角函数的图象与性质
一．要点精讲
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

第37课三角函数的图像(经典例题练习、附答案)

第37课三角函数的图像◇考纲解读①会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义②了解参数 A.ω、φ对函数图像变化的影响 .◇知识梳理1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：①sin y x =图象在[0，2π]上的五个关键点坐标_______________________________； ②cos y x =图象在[0，2π]上的五个关键点坐标为______________________________； ③五点法作y =A sin （ωx +ϕ）的简图：五点取法是设X x ωϕ=+，由X 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图． 3.利用图象变换作三角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的物理意义：振幅_____，周期____T =，相位_____,初相_____．函数y ＝Asin （ωx ＋φ）(0,0)A ω>>可由sin y x =的图象作如下变换得到： ① 相位变换： sin y x =→sin(),y x ϕ=+将sin y x =图象上所有的点向____(0)ϕ>或向____(0)ϕ<平移____个单位。

②周期变换：sin()y x ϕ=+→sin(),y x ωϕ=+将sin()y x ϕ=+图象上所有的点横坐标__________(01)ω<<或_________(1)ω>到原来的_______倍（纵坐标保持不变），得到sin()y x ωϕ=+的图象.③振幅变换: sin()y x ωϕ=+→sin(),y A x ωϕ=+将sin()y x ωϕ=+的图象上所有的点的纵坐标）________（A ＞1）或________（0＜A ＜1）的到原来的_____倍(横坐标保持不变)，得到sin()y A x ωϕ=+的图象.4.由函数的图象求sin(),(0,0)y A x B A ωϕω=++>>的解析式的步骤：① 求A , max min2y y A -=② 求B , max min2y y B +=③ 求T . 从而可得2Tπω=.④求ϕ, 通常是利用图象得最高或最低点.如果利用平衡点求ϕ,则当平衡点图象上升时，令2,,x k k Z ωϕπ+=∈当平衡点图象下降时，令2,x k k Z ωϕππ+=+∈.◇基础训练1. 将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于（） A ．12π-B ．3π-C ．3π D ．12π 2. 用五点法作x y 2sin 2=的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是（） A ．ππππ2,23,,2,0 B ．30,,,,424ππππ C ．ππππ4,3,2,,0 D ．32,2,3,6,0ππππ 3．若函数ϕωϕω和则如图部分的图象,)()sin()(+=x x f 的取值是（） A ．3,1πϕω-==B ．3,1πϕω==C ．6,21πϕω-==D ．6,21πϕω==4. 函数)0,0)(sin(πϕϕω<<>+=A x A y 的图像的两个相邻零点为)0,6(π-和(,0)2π，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（）A ．)423sin(2π+=x y B ．)42sin(2π+=x y C ．)623sin(2π+=x y D ．)62sin(2π+=x y ◇典型例题例1.（2007·天津改编）(1)画出函数π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图像,(2) 试述如何由sin y x =的图象得到π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.变式:（2007·山东）要得到函数sin y x =的图像，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图像（） A. 向右平移π6个单位B. 向右平移π3个单位 C. 向左平移π3个单位D. 向左平移π6个单位例2.（2008深圳）如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝Asin （ωx ＋φ）＋b（1）求这段时间的最大温差（2）写出这段曲线的函数解析式◇能力提升1．（2007·江苏南通）已知函数图像如右图所示，则它的解析式可以为（）Ａ.2sin()24y x π=-+ Ｂ.4sin()24y x π=-+Ｃ.2sin()24y x π=++ Ｄ.4sin()24y x π=++2．(2008珠海一模)已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f （其中0>ω，2πϕ<）的最小正周期是π，且3)0(=f ，则( ) A ．21=ω，6πϕ= B ．21=ω，3πϕ=C ．2=ω，6πϕ=D ．2=ω，3πϕ=3.（2007·重庆）把函数sin(2)16y x π=+-的图像按向量(,1)6a π= 平移，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12，则所得图像的函数解析式是（）A ．2sin(4)23y x π=+-B ．sin(4)6y x π=-C ．sin(2)6y x π=+D ．2cos(4)3y x π=+4. 要得到函数x y cos 2=的图像，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图像上所有的点的（）A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度5. 试述如何由y =31sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象.6.(2008佛山二模）函数()sin()(0,0,||)2f x A x B A πωϕωϕ=++>><的图像上一个最高点的坐标为(,3)12π，与之相邻的一个最低点的坐标为7(,1)12π-. （Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）求()f x 在6x π=处的切线方程.第37课三角函数的图像◇知识梳理2．①(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) ② (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 3. |A|，2πω， ;x ωϕ+ ϕ．①左右 ϕ.②伸长缩短1ω③伸长缩短 A.◇基础训练1. C2. B 3． C 4. A◇典型例题例1.解:(1)列表描点、连线(2) sin y x =4πsin()4y x π−−−−−−−−→=-图象向右平移个单位纵坐标不变12πsin 4y x −−−−−−−−−→=-横坐标缩小为原来的倍纵坐标不变（2）)4y x π−−−−−=-横坐标不变［规律总结］五点法作图的技巧：函数sin()(0,0)y A x j A ωω=+>>的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为4T ，于是五点横坐标依次为12132,,,44T Tx x x x x ϕω=-=+=+ ，这样，不仅可以快速求出五点坐标，也可在求得1x 的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像．变式:解:根据“左加右减”原则，备选答案D 中，函数图像向左平移π6个单位，其解析式变为cos[()]cos()sin 632y x x x πππ=--=-=，故选D ．［误区警示］本题考生容易错选A ，原因在于可能有部分考生错把题目看错为要把函数sin y x =变成cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭．例2.解：（1）由图示，这段时间的最大温差是30－10＝20（℃）；（2）图中从6时到14时的图像是函数y ＝Asin （ωx ＋φ）＋b 的半个周期的图像∴ωπ221⋅＝14－6，解得ω＝8π，由图示A ＝21（30－10）＝10，b ＝21（30＋10）＝20，这时y ＝10sin （8πx ＋φ）＋20，将x ＝6，y ＝10代入上式可取φ＝43π 综上所求的解析式为y ＝10sin （8πx ＋43π）＋20，x ∈［6，14］◇能力提升1．Ａ. 2. D 3. B 4. C5. 解：y =31sin （2x +3π））（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的6.解：（Ⅰ）依题意的2121272πππ=-=T ,所以π=T ,于是22==Tπω 由⎩⎨⎧-=+-=+13B A B A 解得⎩⎨⎧==12B A 把)3,12(π代入()2sin(2)1f x x ϕ=++,可得1)6sin(=+ϕπ,所以226ππϕπ+=+k ,所以32ππϕ+=k ,因为2||πϕ<,所以3πϕ=综上所述，1)32sin(2)(++=πx x f（Ⅱ）（Ⅱ）因为()4cos(2)3f x x π'=+所以2()4cos(2)4cos 26633k f ππππ'==⨯+==-而2()2sin(2)12sin116633f ππππ=⨯++=+=从而()f x 在6x π=处的切线方程为1)2()6y x π-=--即6330x y π+--=。

三角函数图像与性质练习题及答案

三角函数图像与性质练习题及答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--三角函数的图像与性质练习题一选择题1.把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移4π个单位,这时对应于这个图像的解析式是（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =-C ．sin(2)4y x π=-D ．sin(2)4y x π=+2.函数cos(4)3y x π=+图象的两条相邻对称轴间的距离为（）A ．π8B ．π4C ．π2D ．π3.函数21cos ()xf x -=（）A ．在ππ(,)22-上递增B ．在π(,0]2-上递增，在π(0,)2上递减C ．在ππ(,)22-上递减D ．在π(,0]2-上递减，在π(0,)2上递增4.下列四个函数中,最小正周期为π,且图象关于直线12x π=对称的是（）A ．sin()23xy π=+B ．sin()23x y π=- C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-5.函数231sin 232y x x =+的最小正周期等于（）A ．πB ．2πC ．4πD ．4π6.“φ=π”是“曲线y=sin(2x +φ)过坐标原点的”（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件xy O π2π 1-1 7.函数2sin()y x ωϕ=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（）A ．2sin(2)4y x π=-B ．2sin(2)4y x π=+C ．32sin()8y x π=+D ．72sin()216x y π=+ 8.（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）已知函数sin()y A x ωϕ=+的图象如图所示，则该函数的解析式可能．．是（）第6题图（）A ．41sin(2)55y x =+B ．31sin(2)25y x =+C ．441sin()555y x =-D ．441sin()555y x =+9.(2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )10.函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为 ( ) A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54]11.已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( ) A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3二填空题12.函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．定义一种运算,令,且,则函数的最大值是______15．（北京北师特学校203届高三第二次月考理科数学）把函数x y 2sin =的图象沿 x 轴向左平移6π个单位,纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数)(x f y =图象,对于函数)(x f y =有以下四个判断: ①该函数的解析式为)6sin(2x 2y π+=; ②该函数图象关于点)0,3(π对称; ③该函数在]6,0[π上是增函数;④函数a x f y +=)(在]2,0[π上的最小值为3,则32=a .其中,正确判断的序号是________________________16.设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．三解答题17. 已知函数2()cos cos f x x x x a =++．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为32，求a 的值．18. 已知函数()()0,,sin 2162cos 62cos 2>∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωωπωπωR x x x x x f 的最小正周期为π. (I)求ω的值;(II)求函数()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,4ππ上的最大值和最小值.19. 已知函数,2cos 26sin 6sin )(2x x x x f ωπωπω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 其中 R x ∈,0>ω.（1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f 的图象与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数)(x f 的单调增区间. 20. 已知函数()()21cos 22sin sin cos 3+-=x x x x x f .(I)求⎪⎭⎫⎝⎛3πf 的值; (II)求函数()x f 的最小正周期及单调递减区间. 21. 已知向量()()3cos ,0,0,sin a x b x ==,记函数()()23sin 2f x a b x =++.求:(I)函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合; (II)函数()f x 的单调递增区间.22. 函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕπ=+>><部分图象如图所示.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式,并写出其单调递增区间;(Ⅱ)设函数()()2cos 2g x f x x =+,求函数()g x 在区间[,]64ππ-上的最大值和最小值. 答案1. A 【解析】把函数=sin y x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,得到=sin 2y x 的图象,再把图像向左平移4π个单位,得到=sin 2()sin(2)cos 242y x x x ππ+=+=,所以选A.4 C32π6πo2x2-y5. A【解析】11cos 2=sin 2222x y x +-1=sin 2cos 2sin(2)223x x x π+=+,所以函数的周期222T πππω===,选A. 6. A ϕπ=时,sin(2)sin 2y x x π=+=-,过原点,便是函数过原点的时候ϕ可以取其他值,故选A 答案.7. 【答案】B解：由图象可知52882T πππ=-=，所以函数的周期T π=，又2T ππω==，所以2ω=。

三角形内心典型题

1、三角形的三条角平分线交于一点，这一点是三角形的：A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心（答案：B）2、已知三角形的内心到三角形三边的距离分别为d1, d2, d3，若d1 + d2 + d3 = 6，且三角形的周长为12，则三角形的面积等于：A. 6B. 12C. 18D. 24（答案：B）3、在三角形ABC中，I为内心，若∠BIC = 130°，则∠A的度数为：A. 50°B. 65°C. 80°D. 100°（答案：B）4、设三角形ABC的内心为I，半径为r，若三角形ABC的面积为S，则以下关系正确的是：A. S = r(a + b + c) / 2B. S = r(a + b - c)C. S = r(a + b + c)D. S = 2r(a + b + c)（答案：A）5、三角形ABC的内心I到三边AB, BC, CA的距离分别为d1, d2, d3，若d1:d2 = 2:3:4，且三角形ABC的周长为27，则三角形ABC的最短边长为：A. 6B. 9C. 12D. 15（答案：A）6、在三角形ABC中，内心I到顶点A的距离为3，到边BC的距离为1，若∠BIC = 120°，则三角形ABC的面积为：A. 3√3B. 6√3C. 9√3D. 12√3（答案：A）7、三角形ABC的内心为I，若∠A = 60°，∠BIC = 125°，则∠C的度数为：A. 55°B. 65°C. 75°D. 85°（答案：B）8、在三角形ABC中，若内心I到三边AB, BC, CA的距离之和为6，且三角形ABC的周长为12，则三角形ABC的面积是：A. 12B. 18C. 24D. 36（答案：A）。

数学三角函数的图象与性质试题答案及解析

数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.（本小题满分12分）已知三个内角的对边分别为，的图象与直线相切，且切点横坐标依次成公差为的等差数列，点是函数的一个对称中心．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）已知，，求的最大值及此时B的值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ） 2分由题意可知，周期，故，所以函数的解析式为 4分又点是对称中心，则有，所以，又,所以 6分；（Ⅱ）由已知， 8分由，所以+=， 10分∵，∴，故当，即时，取的最大值为．12分【考点】本题考查三角函数的图象和性质、两角差的余弦公式、数量积的坐标表示、三角形的面积公式等基础知识，考查学生逻辑思维能力和基本的运算能力．2.（本小题满分12分）已知向量：，，函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ）求的对称轴并作出在的图象．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：（Ⅰ）由，得，则的单调递增区间为．（Ⅱ）由（Ⅰ），得令解得所以的所有对称轴为在的图象如下图所示【考点】本题考查平面向量的数量积、三角函数的图象及其性质、三角恒等变换等知识，意在考查考生转化能力、作图能力及运算求解能力.3.函数的部分图象如右图所示，则=（）A．6B．4C．—4D．—6【答案】A【解析】由图可知函数图象过点A(2,0)，则有令，所以，所以，故选A.【考点】三角函数的图象与向量运算4.设是定义在R上最小正周期为的函数，且在上，则的值为 .【答案】【解析】因是周期，故【命题意图】本题考查分段函数和函数的周期性等基础知识，意在考查学生转化与化归的数学思想及基本运算能力.5.（本题满分12分）已知，．（I）求函数的单调递增区间；（II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？【答案】（I），（II）见解析【解析】（Ⅰ）由已知，4分当，，即，时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为，． 7分（II）函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；然后使曲线上各点的横坐标缩为原来的倍得到函数的图象；再将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象． 12分另法：函数图象上各点的横坐标缩为原来的倍，得到函数的图象；然后使图象向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将曲线上各点的纵坐标伸长为原来的倍得到函数的图象． 12分【考点】本题考查平面向量的坐标运算、三角恒等变换、三角函数图象得到变换等基础知识，意在考查考生的数学运算能力、作图视图的能力及应用数学知识解决问题的能力.6.函数的图象如图所示，则 .【答案】．【解析】由图象知，由的图象关于点以及直线对称知，，又，【考点】本题考查三角恒等变换、三角函数图象及其性质等知识，意在考查读图、识图、计算以及推理能力．7.如图所示，是函数图象的一部分．则的值为（）A．B．C．D．【答案】【解析】观察图象知，，即；将点代入得，结合，，即函数解析式为.所以，，故选.【考点】本题考查正弦型函数的图象和性质，任意角的三角函数等基础知识，意在考查计算能力及视图用图能力．8.已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递增区间是A．B．C．D．【答案】C.【解析】若对恒成立，则，所以，.由，（），可知，即，所以，代入，得，由，得，故选C.9.函数（其中A＞0，）的图象如图所示，为了得到的图象，则只需将g(x)=sin2x的图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位【答案】B【解析】由图可得，.，所以.又由.所以，所以应将的图象向左平移个长度单位.10.将函数f（x）＝的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】将的图象向左平移m个单位，得函数的图象，则由题意得(k∈Z)，即有(k∈Z)，∵m＞0，∴当k＝0时，.11.已知函数)在区间的图像如下：那么＝（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】在解析式中的值由周期确定,从图象分析周期为.由图象知函数的周期，所以确定函数的解析式就是确定其中的参数等，从图像的特征上寻找答案，它的一般步骤是:主要由最值确定，是由周期确定，周期通过特殊点观察求得，可由点在函数图像上求得，确定值时，注意它的不唯一性，一般要求中最小的．12.(本小题满分12分) 函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。

三角函数图像及性质习题含答案

三角函数一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系(一)知识内容1. 角的概念的推广⑴角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，终边称为角的三要素.角可以是任意大小的.⑵角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角.①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. ②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角.2.终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{}360,Z S k k ββα==+⋅︒∈.集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0k =时，对应元素为α.3.弧度制和弧度制与角度制的换算⑴角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制.<教师备案>一些特殊角的度数与弧度数的对应表：板块一：任意角的概念与弧度制⑵1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知角α的弧度数的绝对值lrα=，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制.⑶弧度与角度的换算：180πrad=，1801rad57.305718π︒⎛⎫'=≈︒=︒⎪⎝⎭板块二：任意角的三角函数(一）知识内容1.三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r>，那么⑴比值yr叫做α的正弦，记作sinα，即sinyrα=；⑵比值xr叫做α的余弦，记作cosα，即cosxrα=；⑶比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanyxα=；⑷比值xy叫做α的余切，记作cotα，即cotxyα=；⑷比值rx叫做α的正割，记作secα，即secrxα=；⑸比值ry叫做α的余割，记作cscα，即cscryα=.2.三角函数的定义域、值域3.由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ⑴正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ⑵余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ⑶正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）. 可以用下图表示：说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.4.同角三角函数的基本关系式：平方关系：22sin cos 1x x +=，22sec tan 1x x -=，22csc cot 1x x -= 商数关系：sin tan cos x x x =，cos cot sin xx x= 倒数关系：111sec ,csc ,tan cos cos cot x x x x x x=== 6.诱导公式：⑴角α与2π()k k α+⋅∈Z 的三角函数间的关系；sin(2π)sin k αα+=,cos(2π)cos k αα+=,tan(2π)=tan k αα+;⑵角α与α-的三角函数间的关系；sin()sin αα-=-,cos()cos αα-=,tan()tan αα-=-;⑶角α与(21)π()k k α++∈Z 的三角函数间的关系；[]sin (21)πsin k αα++=-,[]cos (21)πcos k αα++=-,[]tan (21)πtan k αα++=;⑷角α与πα+的三角函数间的关系.πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,πcos sin 2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,πtan cot 2αα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识，一般情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角函数的种数，适当配凑和拆分，统一切割化弦等等.二、三角函数的图象与性质（一）知识内容⑴单位圆：半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x 轴交点分别为(1,0)A ，(1,0)A '-，而与y 轴的交点分别为(0,1)B ，(0,1)B '-.由三角函数的定义可知，点P 的坐标为(cos ,sin )αα，即(cos ,sin )P αα.其中cos OM α=，sin ON α=.α)这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T （或T '），则tan AT α=(或AT '). ⑵有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段.规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负. ⑶三角函数线的定义：板块一：任意角的概念与弧度制设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .我们就分别称有向线段MP ，OM ，AT 为正弦线、余弦线、正切线.(一) 知识内容1.2.函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象的作法――五点法①确定函数的最小正周期2πT ω=；②令x ωϕ+＝0、π2、π、3π2、2π，得x ϕω=-、1π()2ϕω-、1(π)ϕω-、13π()2ϕω-、1(2π)ϕω-，于是得到五个关键点(,0)ϕω-、1π((),1)2ϕω-、1((π),0)ϕω-、13π((),1)2ϕω--、1((2π),0)ϕω-；③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个周期内的图象向左、右扩展，得到函数()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象．3.()()sin 0,0,y A x A x ωϕω=+>>∈R 的图象函数()()sin 0,0,y A x A x R ωϕω=+>>∈的图象可以用下面的方法得到：先把sin y x =的图象上所有点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位；再把所得各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）；再把所得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短板块一：三角函数的图象(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），从而得到sin()y A x ωϕ=+的图象．当函数sin()y A x ωϕ=+表示一个振动量时：A 叫做振幅；T 叫做周期；1T叫做频率；x ωϕ+叫做相位，ϕ叫做初相．上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下： (1)相位变换要得到函数sin()(0)y x ϕϕ=+≠的图象，可以令x x ϕ=+，也就是原来的x 变成了现在的x ϕ+，相当于x 减小了(0)ϕϕ<，即可以看做是把sin y x =的图象上的各点向左(0)ϕ>或向右(0)ϕ<平行移动||ϕ个单位而得到的．这种由sin y x =的图象变换为sin()y x ϕ=+的图象的变换，使相位由x 变为x ϕ+，我们称它为相位变换．它实质上是一种左右平移变换． (2)周期变换要得到函数sin (0,1)y x ωωω=>≠的图象，令x x ω=，即现在的x 缩小到了原来的ω倍，就可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的1ω倍（纵坐标不变）得到，由sin y x =的图象变换为sin y x ω=的图象，其周期由2π变为2πω，这种变换叫周期变换．周期变换是一种横向的伸缩． (3)振幅变换要得到sin (0,1)y A x A A =>≠且的图象，令yy A=，即相当于y 变为原来的A 倍，也就是把sin y x =的图象上的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．这种变换叫做振幅变换．振幅变换是一种纵向的伸缩．(一）知识内容<教师备案>1．函数图象平移基本结论小结如下：(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=+左移个单位板块二：三角函数图象变换(0)()()a a y f x y f x a >=−−−−−−→=-右移个单位(0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→-=上移个单位(0)()()a a y f x y a f x >=−−−−−−→+=下移个单位1()()y f x y f x ωω=−−−−−−−−→=各点横坐标变成原来的倍()()y f x Ay f x =−−−−−−−−→=1各点纵坐标变成原来的倍A()()x y f x y f x =−−−−→-=绕轴翻折这些新的解析式可以由图象上任意一点变换后的对应关系得出，以左移a 个单位的解析式变化为例：设00(,)P x y 为()y f x =左移a 个单位后所得图象上的任意一点，则将Ｐ右移a 个单位得到的00'(,)P x a y +必在()y f x =的图象上，故00()y f x a =+，又00(,)P x y 点任意，故()y f x =的图象左移a 个单位得到的新的函数的解析式为：()y f x a =+．函数变换可以用下图表示：()()y f x y f x =−−−−→=-绕y 轴翻折板块三：三角函数的性质1.三角函数的性质][(22π,[2π,(21)π]()k k k k +∈Z 在2.sin y x =与sin y x =的性质（数学4必修）第一章三角函数（上） [基础训练A 组]一、选择题1．设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（）A ．①B ．②C ．③D ．④ 3．02120sin 等于（）A ．23±B ．23C ．23-D ．21 4．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么 tan α的值等于（）A .43-B .34- C .43 D .345．若α是第四象限的角，则πα-是（）A .第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角6．4tan 3cos 2sin 的值（）A .小于0B .大于0C .等于0D .不存在二、填空题1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限．2．设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①0<<OM MP ；②0OM MP <<； ③0<<MP OM ；④OM MP <<0，其中正确的是_____________________________。

三角函数的图像与性质专项训练(解析版)

三角函数的图像与性质专项训练一、单选题1．（23-24高一上·浙江宁波·期末）为了得到πsin 53y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 5y x =的图象（）A ．向左平移π15个单位长度B ．向右平移π15个单位长度C ．向右平移π3个单位长度D ．向左平移π3个单位长度2．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+的图象向左平移π6个单位长度后得到函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的一个可能值是（）A ．0B ．π12C ．π6D ．π33．（23-24高一下·浙江杭州·期末）为了得到函数()sin2f x x =的图象，可以把()cos2g x x =的图象（）A ．向左平移π2个单位长度B ．向右平移π2个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度4．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭.若π8f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，且()f x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最小值，则ω的最大值是（）A ．2B ．6C ．10D ．145．（23-24高一上·浙江湖州·期末）我们知道，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是sin y A x ω=．已知某音是由3个不同的纯音合成，其函数为()11sin sin 2sin 323f x x x x =++，则（）A ．π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为116C ．()f x 的最小正周期为2π3D ．()f x 在π0,6⎛⎫⎪上是增函数6．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数()*2sin 6f x x ωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N 有一条对称轴为23x =，当ω取最小值时，关于x 的方程()f x a =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．(2,1)--B ．[1,1)-6⎣7．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数1()2sin(32f x x x π=ω-ω>∈，R)，若()f x 的图象的任意一条对称轴与x 轴交点的横坐标均不属于区间(3π,4π)，则ω的取值范围是（）A ．1287(,[]2396B ．1171729(,][,]2241824C ．52811[,][,]93912D ．11171723[,][]182418248．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知函数()()sin ,0f x x ωω=>，将()f x 图象上所有点向左平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（）A ．(]0,4B ．(]0,2C ．30,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．(]0,1【答案】C【详解】因为函数()()sin ,0f x x ωω=>，二、多选题9．（23-24高一上·浙江台州·期末）已知函数()ππsin cos sin cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．点π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心C ．函数()f x 在区间π5π,88⎡⎤⎢⎥上单调递减D ．函数()f x 的最大值为110．（23-24高一上·浙江湖州·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间，点P 的高度()h t 随时间t （单位秒）变化时满足函数模型()()sin h t A t b ωϕ=++，则下列说法正确的是（）A ．函数()h t 的初相为π6B ．1秒时，函数()h t 的相位为0故选：BC ．11．（23-24高一上·浙江丽水·期末）已知函数π()tan(2)6f x x =-，则（）A ．()f x 的最小正周期是π2B ．()f x 的定义域是π{|π,Z}3x x k k ≠+∈C ．()f x 的图象关于点π(,0)12对称D ．()f x 在ππ(,)32上单调递增三、填空题12．（23-24高一上·浙江金华·期末）函数()π2π200cos 30063f n n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（{}1,2,3,,12n ∈⋅⋅⋅为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当n =时，游客流量最大．13．（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知()3sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且ππ62f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()f x 在区间2π,3θ⎛⎫⎪上有且只有三个零点，则θ的范围为．14．（23-24高一上·浙江温州·期末）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，对x ∀∈R 都有()π3f x f ⎛⎫⎪⎝⎭≤，且在,163⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，则ω的取值集合为四、解答题15．（23-24高一下·浙江丽水·期末）已知函数22()sin2f x x x x =.(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；(2)将函数()f x 的图象上每个点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标也缩短到原来的12，得到函数()g x 的图象，若函数()y g x m =-在区间π0,4⎡⎤⎢⎥内有两个零点，求实数m 的取值范围.16．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知函数()cos2f x x x =+.(1)求函数()f x 的最小正周期和对称中心；(2)求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥上的值域.17．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数22()sin 2sin cos 3cos ,R f x x x x x x =++∈．求：(1)函数()f x 的最小值及取得最小值的自变量x 的集合；(2)函数()f x 的单调增区间．18．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知实数0a <，设函数22()cos sin2f x x a x a =+-，且()64f =-．(1)求实数a ，并写出()f x 的单调递减区间；(2)若0x 为函数()f x 的一个零点，求0cos2x ．19．（23-24高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数()24cos 2f x x x a x =--．(1)若1a =-，求函数()f x 在[]0,2上的值域；(2)若关于x 的方程()4f x a =-恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，求()()131278f x f x x --的最大值，并求出此时实数a 的值．，。

三角函数的图象和性质练习题及答案

1y三角函数图像与性质练习题(一)一．选择题〔每题５分，共100分〕1.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=-⎪⎝⎭平移，平移后的图象如下图，那么平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A.sin()6y x π=+B.sin()6y x π=-C.sin(2)3y x π=+D.sin(2)3y x π=- 2. 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点( )A.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕B.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍〔纵坐标不变〕C.向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕 D.向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍〔纵坐标不变〕3. 函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，那么ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3 4.函数y ＝sin(2x +3π)的图象可由函数y =sin2x 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是( ) A.向左平移6πB.向右平移6πC.向左平移12π D.向右平移12π 5. 要得到函数y =sin (2x -)6π的图像，只需将函数y =cos 2x 的图像( )A.向右平移6π个单位 B.向右平移3π个单位 C. 向左平移6π个单位 D. 向左平移3π个单位 6. 为了得到函数y =sin (2x-4π)+1的图象，只需将函数y =sin 2x 的图象〔〕平移得到A.按向量a=(-8π,1)B. 按向量a=(8π,1)C.按向量a=(-4π,1)D. 按向量a=(4π,1) 7.假设函数()sin ()f x x ωϕ=+的图象如图，那么ωϕ和的取值是( )A.1ω=，3πϕ= B.1ω=，3πϕ=-C.12ω=，6πϕ= D.12ω=，6πϕ=- 8. 函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是( )9. 函数sin(2)cos(2)63y x x ππ=+++的最小正周期和最大值分别为( ) A.,1π B.,2π C.2,1π D. 2,2π 10. 函数()sin()(0)3f x x πϖϖ=+>的最小正周期为π，那么该函数的图象( )A.关于点(,0)3π对称 B.关于直线4x π=对称 C.关于点(,0)4π对称 D.关于直线3x π=对称11.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的局部图象如图，那么( ) A.4,2πϕπω==B.6,3πϕπω==C.4,4πϕπω== D.45,4πϕπω==12. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=-⎪3⎝⎭的图象( ) yx11-2π- 3π- O6ππyx11- 2π- 3π- O 6ππ yx1 1-2π-3πO 6π-πy xπ2π- 6π-1O 1-3π Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．A.向右平移π6个单位 B.向右平移π3个单位 C.向左平移π3个单位 D.向左平移π6个单位 13. 设函数()x f ()φω+=x sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<>20,0πφω.假设将()x f 的图象沿x 轴向右平移61个单位长度，得到的图象经过坐标原点;假设将()x f 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的21倍〔纵坐标不变〕, 得到的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛1,61. 那么( ) A.6,πφπω== B.3,2πφπω== C.8,43πφπω== D. 适合条件的φω,不存在 14. 设函数)()0(1)6sin()(x f x x f '>-+=的导数ωπω的最大值为3,那么f (x )的图象的一条对称轴的方程是( ) A.9π=x B.6π=x C.3π=x D.2π=x三角函数图像与性质练习题答案三角函数的图象和性质练习题(二)一、选择题1.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，那么ϕ的值是〔〕A.0B.4πC.2πD.π2. 将函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，那么ϕ等于A ．12π-B ．3π-C ．3πD ．12π 3.假设,24παπ<<那么〔〕 (45<a<90)A .αααtan cos sin >>B .αααsin tan cos >>C .αααcos tan sin >>D .αααcos sin tan >>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B A B B C A A A 11 12 13 14 CAAA4.函数23cos()56y x π=-的最小正周期是〔〕A .52πB .25π C .π2 D .π5 5.在函数x y sin =、x y sin =、2sin(2)3y x π=+、2cos(2)3y x π=+中，最小正周期为π的函数的个数为〔〕. A .1个B .2个 C .3个 D .4个6.x x x f 32cos 32sin)(+=的图象中相邻的两条对称轴间距离为〔〕 A ．3π B ．π34 C ．π23 D ．π677. 函数)252sin(π+=x y 的一条对称轴方程〔〕A ．2π-=xB ．4π-=xC ．8π=xD ．=x π458. 使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值，那么ω的最小值为〔〕 A ．π25B ．π45C ．πD ．π23二、填空题1.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题： ①对任意α，()f x 都是非奇非偶函数； ②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α，()f x 都不是奇函数.其中一个假命题的序号是，因为当α=时，该命题的结论不成立.2.函数xxy cos 2cos 2-+=的最大值为________.3.假设函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,那么自然数k 的值为______. 4.满足23sin =x 的x 的集合为_________________________________. 5.假设)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，那么ϖ=________.三、解答题1.比拟大小〔1〕00150sin ,110sin ；〔2〕00200tan ,220tan 2. (1) 求函数1sin 1log 2-=xy 的定义域. 〔2〕设()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值与最小值. 3．)33sin(32)(πω+=x x f 〔ω＞0〕〔1〕假设f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值; ω= 1/3 ,θ= . 〔2〕f (x )在〔0，3π〕上是增函数，求ω最大值 "三角函数的图象和性质练习题二"参考答案一、选择题 1.C [解析]：当2πϕ=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数2.C [解析]：函数x y 4sin =的图象向左平移12π个单位，得到)12(4sin π+=x y 的图象，故3πϕ=3.D [解析]：tan 1,cos sin 1,ααα><<αααcos sin tan >>4.D [解析]：2525T ππ== 5.C [解析]：由x y sin =的图象知，它是非周期函数6.C [解析]： ∵x x x f 32cos 32sin)(+==)432sin(2π+x∴图象的对称轴为πππk x +=+2432，即)(2383Z k k x ∈+=ππ故相邻的两条对称轴间距离为π237.A [解析]：当2π-=x 时 )252sin(π+=x y 取得最小值－１，应选A8.A [解析]：要使x y ωsin =〔ω＞0〕在区间[0，1]至少出现2次最大值只需要最小正周期⋅45ωπ2≤1,故πω25≥ 二、填空题1、①0[解析]：此时()cos f x x =为偶函数2、3[解析]：2cos 4cos 2412cos 2cos 2cos x x y x x x++-===----3、2,3或[解析]：,12,,2,32T k k N k kkππππ=<<<<∈⇒=而或4、|2,2,33x x k k k Z ππππ⎧⎫=++∈⎨⎬⎩⎭或 5、34[解析]：[0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤< 三、解答题1.解：〔1〕0sin110sin 70,sin150sin 30,sin 70sin 30,sin110sin150==>∴>而〔2〕0tan 220tan 40,tan 200tan 20,tan 40tan 20,tan 220tan 200==>∴>而 2.解：〔1〕221111log 10,log 1,2,0sin sin sin sin 2x x x x -≥≥≥<≤ 22,6k x k πππ<≤+或522,6k x k k Z ππππ+≤<+∈5(2,2][2,2),()66k k k k k Z ππππππ++∈为所求.〔2〕0,1cos 1x x π≤≤-≤≤当时，而[11]-，是()sin f t t =的递增区间当cos 1x =-时，min ()sin(1)sin1f x =-=-；当cos 1x =时，max ()sin1f x =. 4.解：（1）因为f (x +θ)=)333sin(32πθω++x又f (x +θ)是周期为2π的偶函数，故∈+==k k 6,31ππθω Z（2）因为f (x )在〔0，3π〕上是增函数，故ω最大值为61三角函数的图象专项练习一．选择题1．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数y=cos2x 的图象 ( )A ．向右平移6π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度2．以下函数中振幅为2，周期为π，初相为6π的函数为 ()A ．y=2sin(2x+3π) B. y=2sin(2x+6π) C ．y=2sin(21x+3π) D. y=2sin(21x+6π) 3．三角方程2sin(2π-x)=1的解集为 ( ) A ．{x│x=2kπ+3π,k∈Z}B .{x│x=2kπ+35π,k∈Z}.C ．{x│x=2kπ±3π,k∈Z}D .{x│x=kπ+(-1)K ,k∈Z}.4．假设函数f(x)=sin(ωx+ϕ)的图象〔局部〕如下图，那么ω,ϕ的取值是 ( )A ．3,1πϕω==B.3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D.6,21πϕω-==5．函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，那么φ的值可以是 ( ) A. -6π B. 6π C.12π- D.12π6．设函数y=2sin(2x+Φ)的图象为C ，那么以下判断不正确的选项是〔〕A ．过点(,2)3π的C 唯一 B.过点(,0)6π-的C 不唯一C ．C 在长度为2π的闭区间上至多有2个最高点D ．C 在长度为π的闭区间上一定有一个最高点，一个最低点 7．方程)4cos(lg π-=x x 的解的个数为〔〕A ．0B ．无数个C ．不超过3D ．大于38．假设函数y=f(x)的图像上每点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原2倍，然后再将整个图像沿x 轴向左平移2π个单位，沿y 轴向下平移1个单位，得到函数1sin 2y x =的图像，那么y=f(x)是 ( )A ．1sin(2)122y x π=++B.1sin(2)122y x π=-+ C ．1sin(2)124y x π=-+ D.11sin()1224y x π=++9．()sin()2f x x π=+，()cos()2g x x π=-，那么f(x)的图像 ( )A ．与g(x)的图像一样 B.与g(x)的图像关于y 轴对称C ．向左平移2π个单位，得g(x)的图像 D.向右平移2π个单位，得g(x)的图像 10．函数f(x)=sin(2x+2π)图像中一条对称轴方程不可能为( )A.x=4πB. x=2πC. x=πD. x=23π11．函数y=2与y=2sinx ，x ∈3[,]22ππ-所围成的图形的面积为 ( ) A ．πB.2πC.3πD.4π12．设y=f(t)是某港口水的深度y 〔米〕关于时间t 〔时〕的函数，其中240≤≤t .下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asina(ωt+ϕ)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A.]24,0[,6sin312∈+=t t y πB.]24,0[),6sin(312∈++=t t y ππC.]24,0[,12sin 312∈+=t t y πD.]24,0[),212sin(312t t y ππ++=二．填空题 13．函数y=5sin(3x −2π)的频率是______________。

三角函数图像和性质练习题（附答案）

三角函数的图像与性质一、选择题1.已知函数f(x)=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4π]上的最小值是－2，则ϖ的最小值等于（）A.32B.23C.2D.32.若函数cos(3y x πω=+(0)ω>的图象相邻两条对称轴间距离为2π，则ω等于．A ．12B ．12C ．2D ．43.将函数sin()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平行移动4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()212x y x R π=-∈ D ．5sin()224x y x R π=+∈4.函数262cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /，F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a 可以等于A.)2,6(-πB.)2,6(πC.)2,6(--πD.)2,6(π-5.将函数sin yx =的图象向左平移(02)ϕϕπ≤≤个单位后，得到函数sin(6y x π=-的图象，则ϕ等于（）A .6πB .76πC .116πD .56π 6.函数x x y 2cos 32sin -= 66(ππ≤≤-x 的值域为A. []2,2-B. []0,2-C. []2,0 D. ]0,3[-7.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是（）A ．B ． C. D.8.函数f(θ ) = 的最大值和最小值分别是( )sin θ －1cos θ －2 (A) 最大值和最小值0(B) 最大值不存在和最小值 4334(C) 最大值－和最小值0 (D) 最大值不存在和最小值－43349.ααcos sin +=t 且αα33cos sin+＜0，则t 的取值范围是（）A. [)0,2-B. []2,2-C. ()(]2,10,1 -D. ()()+∞-,30,3 10.把函数)(x f y =的图象沿着直线0=+y x 的方向向右下方平移22个单位，得到函数x y 3sin =的图象，则A 、2)23sin(--=x yB 、2)63sin(--=x yC 、2)23sin(++=x yD 、2)63sin(++=x y 二、填空题11.设函数).0)(3cos()(πϕϕ<<+=x x f 若)()(x f x f '+是奇函数，则ϕ=.12.方程2cos()14x π-=在区间(0,)π内的解是．13.函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间14.已知x R ∈，则函数()max sin ,cos f x x x ⎧=⎨⎩的最大值与最小值的和等于。

(完整版)三角函数的图象与性质练习题及答案

三角函数的图象与性质练习题一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形．其中正确的序号为( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示，则当t =1001秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________． 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 15．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．三角函数的图象与性质练习题及答案一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( B ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( A ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( C ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sin πxR 图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( D ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形．其中正确的序号为( C )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( A )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( A )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( D ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( D ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示，则当t =1001秒时，电流强度是( A )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图象，只要将y ＝f (x )的图象( A )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．⎣⎡⎦⎤98π＋3k π，21π8＋3k π (k ∈Z ) 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 31415．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) ②③16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 2 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)f (x )＝21＋cos 2ωx2＋sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2⎝⎛⎭⎫sin 2ωx cos π4＋cos 2ωx sin π4＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2，所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z )时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2，此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝π16＋k π2，k ∈Z .19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．解 f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为T ＝π，所以ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32. (2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以2ω⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ω＝32k ＋12 (k ∈Z )，又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12.20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象可知，函数的最大值M =3，最小值m =-1，则A =,1213,22)1(3=-==--b ，又π)6π32(2=-=πT ，∴2ππ2π2===T ω，∴f (x )=2sin(2x +φ)+1，将x =6π，y =3代入上式，得1)3π(=+ϕ ∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ，即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1. (2)由2x +6π=2π+k π，得x =6π+21k π，k ∈Z ， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为 216π+=x k π，k ∈Z. 21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12. 由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32. ∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12. ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π， ∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6. 22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；π4x＝－π，即x＝－4时，y＝f(x)＋f(x＋2)取得最小值－2 2.当。

高二数学三角函数的图象与性质试题答案及解析

高二数学三角函数的图象与性质试题答案及解析1.函数的部分图象如图所示，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，，，由最高点得，解.【考点】由函数图象求解析式.2.已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）如果△ABC的三边所对的角分别为、、，且满足，求的值．【答案】（1）最小正周期为，的增区间为；（2）．【解析】（1）直接利用数量积的运算、倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出函数的表达式，再利用周期公式和正弦函数的单调性即可得出其单调递增区间；（2）利用余弦定理、特殊角的正弦函数值即可得出．试题解析：（1）因为所以的最小正周期为，由得的增区间为．（2）由得，又由．在△ABC中，，所以．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．3.已知函数，．（1）求函数的最小正周期；（2）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）首先化简已知函数的解析式为，则可得到函数的周期为；（2）应用余弦定理将已知等式：中的转化为只含边的等式，可求得角Ｂ的余弦值，进而就可求得角Ｂ的具体值，然后代入的解析式中即可求得的值．另也可利用正弦定理将已知等式：转化为只有角的关系式：再用三角恒等变形公式同样可求出角Ｂ的大小．试题解析：（1）．．．．．．．2分函数的最小正周期； 4分（2）解法一：， 6分整理得，故， 9分，，； 12分解法二：，，，，，，．【考点】１．三角恒等变形公式；２．三角函数的性质；３．余弦定理．4.已知向量，，若函数.（1）求的最小正周期；（2）若，求的最大值及相应的值；（3）若，求的单调递减区间.【答案】(1);(2)，有最大值，（3）的单调减区间.【解析】(1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到的形式，利用公式计算周期.（2）利用正弦函数的单调区间，求在的单调性.(3)求三角函数的最小正周期一般化成，，形式，利用周期公式即可.(4)求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成形式，再的单调区间，只需把看作一个整体代入相应的单调区间，注意先把化为正数,这是容易出错的地方.试题解析：解：=的最小正周期为当时，，当，即时，有最大值当时，，由的图像知，，即时，单调递减.所以的单调减区间【考点】（1）三角函数的周期性；（2）三角函数的最值；（3）三角函数的单调性.5.函数的值域为．【答案】.【解析】因为=，所以.【考点】三角函数中的归一公式，三角函数值域问题.6.函数的一个单调递增区间为 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由余弦函数的图象：知应选D．【考点】余弦函数的单调性7.函数在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由最高点纵坐标与最低点纵坐标，知振幅，由，所以，又，得，图像过顶点代入可求得．【考点】函数图像与变量的关系．8.已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．(1)求的值；(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．【答案】(1) ;(2) ．【解析】(1)将原函数化简得，函数为偶函数，所以得，由，所以，又图象的两相邻对称轴间的距离为，所以周期，可得;(2) 的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象，所以，将看作整体，由余弦函数的性质，可得的单调递减区间．解：（1）．因为为偶函数，所以对，恒成立，因此．即，整理得．因为，且，所以．又因为，故．所以．由题意得，所以．故．因此．（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．所以．当（），即（）时，单调递减，因此的单调递减区间为（）．【考点】1．三角函数的性质；2．三角函数的图像变换．9.已知函数．(1)当A＝1时，求f(x)的单调递增区间；(2)当A>0，且x∈[0，π]时，f(x)的值域是[3,4]，求A，b的值．【答案】(1) (k∈Z)；(2),．【解析】(1)将代入，利用倍角公式，辅助角公可得，利用的单调递增区间，将看成整体可得，整理可得递增区间；(2)原函数化简可得，x∈[0，π]时，，可得值域与[3,4]比较，可得关于的方程组，解得的值．解：(1)因为， 2分由 (k∈Z)，得 (k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)． 6分(2)因为， 7分因为x∈[0，π]，则，所以． 8分故， 10分所以． 12分【考点】倍角公式，的性质．10.如果函数的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数在区间内单调递增；②函数在区间内单调递减；③函数在区间内单调递增；④当时，函数有极大值；⑤当时，函数有极大值；则上述判断中正确的是 .【答案】③⑤【解析】观察导函数的图像可得，当或时，，而当或时，，所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，，所以③正确，①②错误；由在单调递增，在单调递减，所以当时，函数有极大值，所以⑤正确，由在单调递增，所以不是极值点，故④错误，综上可知③⑤正确.【考点】1.函数的单调性与导数；2.函数的极值与导数.11.定义在R上的函数既是奇函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数，若f（x）的最小正周期是π，且当时，，所以,=f（－）=－f（）=－cos=．故选A。

高考数学专题复习四-4.3三角函数的图象与性质-高考真题练习(附答案)

4.3三角函数的图象与性质考点一三角函数的图象及其变换1.(多选题)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=()A.sin-2xC.cos2-2x答案BC由题图可知,2=2π3-π6=π2,∴T=π,由T=2π|U可知,2π|U=π,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),又∵,0φ=0,又∵π6是f(x)的下降零点,∴π3+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=2π3+2kπ,k∈Z,不妨取φ=2π3,则f(x)=sin22=cos22π--2x-2x,故选BC.2.(2016课标Ⅰ文,6,5分)将函数y=2sin2+的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为()A.y=2sin2B.y=2sin2C.y=2sin2tD.y=2sin2t答案D该函数的周期为π,将其图象向右平移π4个单位后,得到的图象对应的函数为y=2sin2t2t故选D.易错警示三角函数图象的平移变换中,“左加右减”是对x而言的,将x变为x-π4,而不是将2x变为2x-π4.评析本题主要考查三角函数图象的平移变换,注意“左加右减”仅针对x.3.(2016四川理,3,5分)为了得到函数y=sin2t,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点()A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度答案D将y=sin2x的图象向右平行移动π6个单位长度得到y=sin2=sin2t,故选D.评析将y=sin2t y=sin2t.4.(2016北京理,7,5分)将函数y=sin,t向左平移s(s>0)个单位长度得到点P'.若P'位于函数y=sin2x的图象上,则()A.t=12,s的最小值为π6的最小值为π6C.t=12,s的最小值为π3的最小值为π3答案A点,t在函数y=sin2t,∴t=sin2×π4=12.函数y=sin的图象向左平移π6个单位长度即可得到函数y=sin2x的图象,故s的最小值为π6.5.(2015陕西理,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数+φ+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C因为函数+φ+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.评析在解答应用题时,正确理解函数模型中各变量的实际意义是解题的关键.在形如y=Asin(ωx+φ)+k 的函数模型中,往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定A,k的值.6.(2014课标Ⅰ理,6,5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为()答案C由题图可知:当x=π2时,OP⊥OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∈π2,OM=cosx,设点M到直线OP 的距离为d,则O=sinx,即d=OMsinx=sinxcosx,∴f(x)=sinxcosx=12sin2x≤12,排除B,故选C.7.(2012课标文,9,5分)已知ω>0,0<φ<π,直线x=π4和x=5π4是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=()A.π4B.π3C.π2D.3π4答案A由题意得2π=254π4,∴ω=1,∴f(x)=sin(x+φ),∴π4+φ=kπ+π2(k∈Z),φ=kπ+π4(k∈Z),又0<φ<π,∴φ=π4,故选A.评析本题考查了三角函数的图象和性质,掌握相邻对称轴的距离为周期的一半是关键.8.(2016课标Ⅱ,7,5分)若将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为()A.x=χ2-π6(k∈Z)B.x=χ2+π6(k∈Z)C.x=χ2-π12(k∈Z)D.x=χ2+π12(k∈Z)答案B将函数y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度得到函数y=2sin2π122π6象,由2x+π6=kπ+π2(k∈Z),可得x=χ2+π6(k∈Z).则平移后图象的对称轴为x=χ2+π6(k∈Z),故选B.易错警示将y=2sin2x的图象向左平移π12个单位长度,应该得到y=2sin2π12,而不是y=2sin2π12.9.(2022浙江,6,4分)为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数y=2sin3π5)A.向左平移π5个单位长度B.向右平移π5个单位长度C.向左平移π15个单位长度D.向右平移π15个单位长度答案D因为y=2sin3=2sin3y=2sin3π15个单位长度,可以得到y=2sin3x的图象,故选D.10.(2022全国甲文,5,5分)将函数f(x)=sin Bω>0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C,若C 关于y轴对称,则ω的最小值是() A.16 B.14 C.13 D.12答案C设平移后的曲线C对应的函数为y=g(x),则g(x)=sin=sin B+π2又曲线C关于y轴对称,∴π2+π3=π2+kπ(k∈Z),∴ω=2k+13(k∈Z).又ω>0,∴ωmin=13.故选C.11.(多选)(2020新高考Ⅰ,10,5分)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=()A.sinB.sin2C.cos2D.cos−22π3−π6=π2,∴T=π,由Tπ,∴|ω|=2,不妨取ω=2,则f(x)=sin(2x+φ),答案BC由题图可知,0,∴=0,又∵π6是f(x)的下降零点,∴π3+φ=π+2kπ,k∈Z,∴φ=2π3+2kπ,k∈Z,不妨取φ=2π3,则f(x)=sin2=sin2=cos2f(x)=sin2=sinπ−2=2,故选BC.12.(2021全国甲文,15,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则=.2析式即可求出解析02在f(x)的图象上,∴34=13π12−π3=3π4,则T=π,所以|ω|=2π=2,不妨取ω=2,则函数f(x)=2cos(2x+φ2代入得,2×13π12+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-13π6+2kπ,k∈Z,∴=2cos2×π2−13π6+2χ=−3,k∈Z.13.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移个单位长度得到.答案2π3解析设f(x)=sinx-3cosx=2sin+53π,g(x)=sinx+3cosx=2sin将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin t=2sin的图象,所以x-φ+π3=2kπ+x+5π3,k∈Z,此时φ=-2kπ-4π3,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为2π3.14.(2015湖南文,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.答案π2解析由=2sinB,消去y,得sinωx-cosωx=0,即2sin B-解得x=χ+π4,k∈Z.取k=0,1,,2,-2,又两交点的距离为23,+(2+2)2=(23)2,解得ω=π2.15.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)>0,-π2≤φ<的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象,则=.答案解析y=sinx y=sin2析式即可求出解析02在f(x)的图象上,∴34=13π12−π3=3π4,则T=π,所以|ω|=2π=2,不妨取ω=2,则函数f(x)=2cos(2x+φ2代入得,2×13π12+φ=2kπ,k∈Z,解得φ=-13π6+2kπ,k∈Z,∴=2cos2×π2−13π6+2χ=−3,k∈Z.13.(2016课标Ⅲ,14,5分)函数y=sinx-3cosx的图象可由函数y=sinx+3cosx的图象至少向右平移个单位长度得到.答案2π3解析设f(x)=sinx-3cosx=2sin+53π,g(x)=sinx+3cosx=2sin将g(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x-φ)=2sin t=2sin的图象,所以x-φ+π3=2kπ+x+5π3,k∈Z,此时φ=-2kπ-4π3,k∈Z,当k=-1时,φ有最小值,为2π3.14.(2015湖南文,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=.答案π2解析由=2sinB,消去y,得sinωx-cosωx=0,即2sin B-解得x=χ+π4,k∈Z.取k=0,1,,2,-2,又两交点的距离为23,+(2+2)2=(23)2,解得ω=π2.15.(2014重庆文,13,5分)将函数f(x)=sin(ωx+φ)>0,-π2≤φ<的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象,则=.答案解析y=sinx y=sin即=sinπ4=16.(2013课标Ⅱ文,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin2,则φ=.答案56π解析令y=f(x)=cos(2x+φ),将其图象向右平移π2个单位后得f=cos2t2+φ=cos(2x+φ-π)=sin(2x+φ-π)+π2=sin2x+φ-π2,因为与y=sin2+图象重合,所以φ-π2=π3+2kπ(k∈Z),所以φ=2kπ+56π(k∈Z),又-π≤φ<π,所以φ=56π.17.(2011浙江文,18,14分)已知函数+φ,x∈R,A>0,0<φ<π2.y=f(x)的部分图象如图所示,P、Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A).(1)求f(x)的最小正周期及φ的值;(2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=2π3,求A的值.解析(1)由题意得,T=2ππ3=6.因为P(1,A)在+φ的图象上,所以φ=1.又因为0<φ<π2,所以φ=π6.,-A).(2)设点Q的坐标为(x由题意可知π3x0+π6=3π2,得x0=4,所以Q(4,-A).连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ=2π3,由余弦定理得cos∠PRQ=B2+R2-P22B·B=-12,解得A2=3.又A>0,所以A=3.评析本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识.在(2)中,求出点Q 坐标,根据△PRQ 的边角关系,列出关于A 的方程是求解关键.考点二三角函数的性质及其应用1.(2018课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)=tan1+tan 2x的最小正周期为()A.π4B.π2C.πD.2π答案C 本题考查三角函数的周期.解法一:f(x)的定义域为Ux ≠kπ+2,k ∈Z .f(x)=sincos 1+sin cos2=sinx·cosx=12sin2x,∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.解法二:f(x+π)=tan(rπ)1+tan 2(x+π)=tan 1+tan 2x =f(x),∴π是f(x)的周期.f π2=tan r π21+tan 2r π2,tan +π2=sin r π2cos r π2=cos -sin =-1tan ,∴f π2=-tan1+tan 2x ≠f(x),∴π2不是f(x)的周期,∴π4也不是f(x)的周期.故选C.方法总结函数周期的求法:(1)定义法:若f(x+T)=f(x),T≠0,则T 是f(x)的一个周期.(2)若T 是函数y=f(x)的周期,则kT(k∈Z 且k≠0)也是y=f(x)的周期.(3)若定义域内都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=1op (f(x)≠0)或f(x+a)=-1op (a 是常数且a≠0,f(x)≠0),则f(x)是以2|a|为周期的周期函数.(4)若f(x)的图象关于直线x=a 和x=b 对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)对称,则2|a-b|是f(x)的一个周期;若f(x)关于点(a,0)和直线x=b 对称,则4|a-b|是f(x)的一个周期.2.(2018课标Ⅰ文,8,5分)已知函数f(x)=2cos 2x-sin 2x+2,则()A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4答案B本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质.f(x)=2cos2x-sin2x+2=2(1-sin2x)-sin2x+2=4-3sin2x=4-3×1−cos22=52+3cos22,∴f(x)的最小正周期T=π,当cos2x=1时,f(x)取最大值,为4.故选B.解题关键解题关键是通过三角恒等变换化简函数解析式3.(2017课标Ⅱ文,3,5分)函数f(x)=sin2+3()A.4πB.2πC.πD.π2答案C本题考查三角函数的性质.由题意得ω=2,所以函数f(x)=sin2T=2π=π.故选C.4.(2017天津,理7,文7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=23,φ=π12B.ω=23,φ=-11π12C.ω=13,φ=-11π24D.ω=13,φ=7π24答案A的最小正周期大于2π,∴4=11π8-5π8=3π4,得T=3π,则ω=2π=23,又5π8+φφ=1.∴5π12+φ=2kπ+π2,k∈Z,∴φ=2kπ+π12,k∈Z.∵|φ|<π,∴φ=π12,故选A.易错警示根据f(x)的最小正周期T>2π,可知14T=11π8-5π8=3π4,得T=3π.若不注意已知条件,则容易出现34T=3π4,得T=π,从而造成错误.思路分析由三角函数的图象(图略)可知4=11π8-5π8=3π4,得T=3π,ω=23,,2代入y=f(x)中解出φ的值即可.5.(2017山东文,7,5分)函数y=3sin2x+cos2x的最小正周期为()A.π2B.2π3C.πD.2π答案C本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的性质.y=3sin2x+cos2x=2sin2从而最小正周期T=2π2=π.6.(2017课标Ⅲ文,6,5分)函数f(x)=15sin+cos()A.65B.1C.35D.15答案A∵f(x)=15sin+cos tcos cosx+12sinx=35sinx+5=35×2sin=65sin∴f(x)的最大值为65.故选A.一题多解∵cos t-x-x x,∴f(x)=65sin max=65.故选A.7.(2016课标Ⅱ文,11,5分)函数-x的最大值为()A.4B.5C.6D.7答案B f(x)=1-2sin2x+6sinx=-2sint+112,当sinx=1时,f(x)取得最大值5,故选B.思路分析利用二倍角的余弦公式及诱导公式将-x转化为关于sinx的二次函数,通过配方来求最值,注意不要忘记sinx∈[-1,1].8.(2016山东理,7,5分)函数f(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)的最小正周期是()A.π2B.πC.3π2D.2π答案B∵f(x)=(3sinx+cosx)(3cosx-sinx)=4sin2,∴T=2π2=π,故选B.评析本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换,属中档题.9.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案B f(x)=sin2x+bsinx+c,若b=0,则f(x)=sin2x+c=12(1-cos2x)+c,此时f(x)的周期为π;若b≠0,则f(x)的周期为2π,所以选B.10.(2015安徽理,10,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数)的最小正周期为π,当x=2π3时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2)D.f(2)<f(0)<f(-2)答案A∵ω>0,∴T=2π=π,∴ω=2.又即φ=-1,得φ+4π3=2kπ+3π2,k∈Z,即φ=2kπ+π6,k∈Z,又∵φ>0,∴可取f(x)=Asin2,∴f(2)=Asin4-4+,f(0)=Asinπ6.∵π<4+π6<3π2,∴f(2)<0.∵-7π6<-4+π6<-π,且y=sinx在-7π6,-π上为减函数,∴sin-4+-=sinπ6,且sin-4+从而有0<f(-2)<f(0).故有f(2)<f(-2)<f(0).评析本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数值的大小比较.准确判断4+π6与-4+π6的范围是解题的关键.11.(2015课标Ⅰ理,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.χ-14B.2χ-14C.t14,kD.2t14,2k答案D由题图可知2=54-14=1,所以T=2.结合题图可知,在-34的一个周期)内,函数f(x)的单调递减区间为-14由f(x)是以2为周期的周期函数可知,f(x)的单调递减区间为2t14,2k故选D.12.(2014课标Ⅰ文,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos2,④y=tan,最小正周期为π的所有函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③答案A ①y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π;②由图象知y=|cosx|的最小正周期为π;③y=cos 2T=2π2=π;④y=tan 2t T=π2.因此选A.评析本题考查三角函数的周期性,含有绝对值的函数可先变形再判断,或运用图象判断其最小正周期.13.(2012课标理,9,5分)已知ω>0,函数f(x)=sin B ,π单调递减,则ω的取值范围是()2C. D.(0,2]答案A 由π2<x<π得χ2+π4<ωx+π4<ωπ+π4,又y=sinα32π上递减,π4≥π2,+π4≤32π,解得12≤ω≤54,故选A.评析本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.14.(2011课标理,11,5分)设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)>π,且f(-x)=f(x),则()A.f(x)在0,B.f(x)C.f(x)在0,D.f(x)答案A f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=2sin ωx+φ+π4,∵周期T=2π=π,∴ω=2.又f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数,∴φ+π4=kπ+π2,φ=kπ+π4,k∈Z.又|φ|<π2,∴φ=π4,∴f(x)=2sin 2=2cos2x,易得f(x)在,故选A.评析本题考查三角公式和三角变换,考查三角函数y=Asin(ωx+φ)的单调性、奇偶性的判定,属中等难度试题.15.(2011课标文,11,5分)设函数f(x)=sin 2+cos 2+则()A.y=f(x)在,其图象关于直线x=π4对称B.y=f(x)在,其图象关于直线x=π2对称C.y=f(x)在,其图象关于直线x=π4对称D.y=f(x)在,其图象关于直线x=π2对称答案D f(x)=sin2+cos2=2·sin2=2cos2x,其部分图象如图.故选D.评析本题考查三角恒等变换、诱导公式及三角函数的图象等知识,考查学生综合应用三角知识分析和解决问题的能力,属中等难度试题.16.(2016课标Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)>0,|U,x=-π4为f(x)的零点,x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x),则ω的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B依题意,有·-+φ=mπ,·π4+φ=nπ+π2(m、n∈Z),∴=2(tp+1, =2(rp+14又|φ|≤π2,∴m+n=0或m+n=-1.当m+n=0时,ω=4n+1,φ=π4,由f(x),得π≥5π36-π18,∴ω≤12,取n=2,得ω=9,f(x)=sin9.当m+n=-1时,φ=-π4,ω=4n+3,取n=2,得ω=11,f(x)=sin此时,当536π时,11x-π4∈2318π,f(x)不单调,不合题意.故选B.17.(2021北京,7,4分)已知函数f(x)=cos x-cos2x,则该函数为()A.奇函数,最大值为2B.偶函数,最大值为2C.奇函数,最大值为98D.偶函数,最大值为98答案D f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=cos(-x)-cos(-2x)=cos x-cos2x=f(x),所以f(x)为偶函数.f(x)=cos x-cos2x=cos x-(2cos2x-1)=-2cos2x+cos x+1=-2cos+98,当cos x=14时,f(x)max=98.故选D.解题指导:先判断函数的奇偶性,再借助二倍角的余弦公式将f(x)=cos x-cos2x转化为关于cos x的二次函数,进而在[-1,1]范围内求二次函数的最值.18.(2021全国乙文,4,5分)函数f(x)=sin3+cos3的最小正周期和最大值分别是() A.3π和2 B.3π和2 C.6π和2 D.6π和2答案C解题指导:先对函数f(x)进行三角恒等变换,再利用三角函数的周期公式、求值域的方法进行求解.解析由题意知:f(x)=sin3+cos3=3cos=2sin T=2π13=6π;当,即x=34π+6kπ,k∈Z时,f(x)取最大值2,故选C.易错警示对三角恒等变换公式不熟练,不能将函数化成y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的形式,导致后面无法求解.19.(2021新高考Ⅰ,4,5分)下列区间中,函数f(x)=7sin()A.0,B.πC.π,D.2π答案A解题指导:由三角函数的单调递增区间表示出f(x)=7sin x 的取值范围,结合选项分析即可.解析f(x)=7sin令2kπ-π2≤−π6≤2kπ+π2,k∈Z,解得2kπ-π3≤x≤2kπ+2π3,k∈Z,令k=0,得-π3≤≤2π3.故选A.20.(2022北京,5,4分)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则()A.f(x)在−π2B.f(x)在−π4C.f(x)在D.f(x答案C f(x)=cos2x-sin2x=cos2x,令2kπ<2x<2kπ+π,k∈Z,解得kπ<x<kπ+π2,k∈Z,则f(x)的单调递减区间为χ,χ+k∈Z;令2kπ-π<2x<2kπ,k∈Z,解得kπ-π2<x<kπ,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为χ−π2,χ,k∈Z.对于A,f(x)在−π2,−A错误;对于B,f(x)在−π0上单调递增,在B错误;对于C,f(x)在0,C正确;对于D,f(x D错误.故选C.21.(2022新高考Ⅰ,6,5分)记函数f(x)=sin B b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π,且y=f(x)的图象2中心对称,则() A.1 B.32 C.52 D.3答案A∵2π3<T<π,ω>0,∴2π3<2π<π,∴2<ω<3①.又y=f(x2中心对称,∴=2,b3π2+π4=χ(∈Z),从而ω=2316(k∈Z)②,由①②知ω=52(取k=4),∴f(x),∴f=sin32π+2=1.22.(2021全国乙理,7,5分)把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把所得曲线向右平移π个单位长度,得到函数y=sin f(x)=()B.+C.sin2D.2答案B将函数y=sinπ3个单位长度可得函数y=sin=sin+象,再将该函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得函数y=f(x)的图象,则f(x)B.易错警示(1)忽略图象的平移规律:“左加右减”,从而错选A;(2)对横坐标伸长到原来的2倍理解不清,误认为是x的系数乘2,从而错选D.23.(多选)(2022新高考Ⅱ,9,5分)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<0中心对称,则()A.f(x)在区间0,12B.f(x)在区间−π12C.直线x=7π6是曲线y=f(x)的对称轴D.直线y x是曲线y=f(x)的切线答案AD 因为f (x 0对称,所以=0,即4π3+φ=k π,k ∈Z,故φ=k π-4π3,k ∈Z .结合0<φ<π,得φ=2π3,所以f (x )=sin 2对于A ,令π2+2k π≤2x +2π3≤3π2+2k π,k ∈Z,解得-π12+k π≤x ≤5π12+k π,k ∈Z,故f (x )的单调递减区间为-π12+k π,5π12+k π,k ∈Z .显然0,⫋−π12+χ,5π12+χ,k ∈Z,故.对于B ,f '(x )=2cos 2令f '(x )=0,得2x +2π3=k π+π2,k ∈Z,即x =χ2−π12,k ∈Z .又因为x ∈−π12x =5π12,故f (x )在区间−π12k ∈Z,故B 错误.对于C ,令2x +2π3=π2+k π,k ∈Z,解得x =-π12+χ2,k ∈Z,故C 错误.对于D ,结合B ,令2cos 2,得2x +2π3=2π3+2k π,k ∈Z 或2x +2π3=4π3+2k π,k ∈Z,解得x =k π,k ∈Z 或x =π3+k π,k ∈Z,故其中一个切点为0,y =f (x )在该点处的切线方程为y x ,即y x ,故D 正确.故选AD .24.(2022全国甲理,11,5分)设函数f (x )=sin B 0,π)恰有三个极值点、两个零点,则ω的取值范围是()答案C 由x ∈(0,π)得ωx +π3∈χf (x )=sin B 0,π)内恰有三个极值点、两个零点,则ωx +π3的取值应包括π2,π,3π2,2π,5π2,所以5π2<ωπ+π3≤3π,解得136<≤83,即ω故选C .25.(2022北京,13,5分)若函数f (x )=A sin x -3cos x 的一个零点为π3,则A =;=.答案1;-2解析由题意知,即A sin π3−3cos π3=0,解得A =1,所以f (x )=sin x -3cos =2sin=2sin=−2sinπ4=−2=−2.26.(2022全国乙理,15,5分)记函数f (x )=cos (ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T.若f (T )x =π9为f (x )的零点,则ω的最小值为.答案3解析∵T =2π,ω>0,f (T )∴cos×2π+=cosφ∵0<φ<π,∴φ=π6,∴f(x)=cos B又,∴,∴π9+π6=kπ+π2(k∈Z),∴9=+13(k∈Z),∴ω=9k+3(k∈Z).∵ω>0,∴k=0时,ω取得最小值3.27.(2021全国甲理,16,5分)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则满足条件f(x)-f-7π4f(x)-f4π3>0的最小正整数x为.答案2解题指导:首先通过函数图象,确定ω和φ的取值,然后分别求出f−调性确定最小正整数x的值.解析设函数f(x)的最小正周期为T,则3413π12−π3=3π4,解得T=π,π,解得|ω|=2,不妨取ω=2,此时f(x)=2cos(2x+φ).0代入上式,得2π3+=π2+2kπ,k∈Z,∴φ=-π6+2kπ,k∈Z,取φ=-π6,∴f(x)=2cos26∴f−=−7π2=2cosπ3=1,==2cosπ2=0,∴不等式可化为(f(x)-1)f(x)>0,解得f(x)>1或f(x)<0.由f(x)>1,得2cos2,即cos2>12,①由f(x)<0,得cos2,②由①得-π3+2kπ<2x-π6<π3+2kπ,k∈Z,解得-π12+kπ<x<π4+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=1,此时,11π12<<5π4;由②得π2+2kπ<2x-π6<3π2+2kπ,k∈Z,解得π3+kπ<x<5π6+kπ,k∈Z,欲使x为最小正整数,则k=0,此时,π3<<5π6.综上,最小正整数x为2.方法点拨解本题的关键是能够正确求解f(x)的解析式,然后能结合三角函数的单调性求出x的取值范围.28.(2017课标Ⅱ文,13,5分)函数f(x)=2cosx+sinx的最大值为.答案5解析本题主要考查三角函数的最值.由题意可知f(x)=2cosx+sinx=5sin(x+φ)(tanφ=2),∴f(x)的最大值为5.29.(2015天津文,14,5分)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.答案解析由已知得f(x)=2sin B令2kπ-π2≤ωx+π4≤2kπ+π2,k∈Z,由ω>0,得2χ-34π≤x≤2χ+π4, k∈Z,当k=0时,得f(x)的单调递增区间为-3π4所以(-ω,ω)⊆-3π4≤−ω,又y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,所以ω2+π4=kπ+π2,k∈Z,解得ω2=kπ+π4,k∈Z,又所以30.(2013课标Ⅰ,理15,文16,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ=.答案解析由辅助角公式得cos=5sin(x-φ),其中由x=θ时,f(x)取得最大值得:sin(θ-φ)=1,∴θ-φ=2kπ+π2,k∈Z,即θ=φ+π2+2kπ,∴cosθ=cos评析本题考查了辅助角公式的应用,准确掌握辅助角的含义是解题关键.31.(2018北京文,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+3sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(x)在区间-π3,m上的最大值为32,求m的最小值.解析(1)f(x)=12-12cos2x+=sin2t+12.所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.(2)由(1)知f(x)=sin2t+12.由题意知-π3≤x≤m.所以-5π6≤2x-π6≤2m-π6.要使得f(x)在-π3,m上的最大值为32,即sin2t6-π3,m上的最大值为1.所以2m-π6≥π2,即m≥π3.所以m的最小值为π3.32.(2016山东文,17,12分)设f(x)=23sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间;(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求.解析(1)f(x)=23sin(π-x)sinx-(sinx-cosx)2=23sin2x-(1-2sinxcosx)=3(1-cos2x)+sin2x-1=sin2x-3cos2x+3-1=2sin+3-1.由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z).所以f(x)的单调递增区间是χ-π12,kπ或kt12,k(k∈Z)(2)由(1)知f(x)=2sin+3-1.把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=2sin t+3-1的图象,再把得到的图象向左平移π3个单位,得到y=2sinx+3-1的图象,即g(x)=2sinx+3-1.所以=2sinπ6+3-1=3.方法总结研究三角函数的单调性,首先将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h(或y=Acos(ωx+φ)+h)的形式,要视“ωx+φ”为一个整体,另外注意A的正负.评析本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质,考查三角函数图象变换.(1)将函数化为y=Asin(ωx+φ)+h的形式是解题的关键,要视“ωx+φ”为一个整体.(2)三角函数图象变换仅对“x”而言.33.(2016天津理,15,13分)已知函数f(x)=4tanxsinπ2-x·cos x-π3-3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-π4.解析(1)f(x)的定义域为Ux≠2+kπ,∈Z.f(x)=4tanxcosxcos-3=4sinxcos-3cos+sin-3=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x+3(1-cos2x)-3=sin2x-3cos2x=2sin2t所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)令z=2x-π3,易知函数y=2sinz的单调递增区间是-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,得-π12+kπ≤x≤5π12+kπ,k∈Z.设A=-π4,B=U−12+kπ≤≤512∈Z,易知A∩B=-12所以,当x∈-π4,f(x)在区间-π12,在区间-π4.方法总结研究三角函数的各类性质时,首先要将所研究函数利用辅助角公式、降幂扩角公式及两角和差的正弦、余弦公式等价转化为f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式,然后类比y=sinx的性质进行研究.评析本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式,三角函数的定义域、最小正周期性、单调性等基础知识.考查运算求解能力.34.(2016北京文,16,13分)已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值;(2)求f(x)的单调递增区间.解析(1)因为f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=2sin2B分)所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(4分)依题意,π=π,解得ω=1.(6分)(2)由(1)知f(x)=2sin24函数y=sinx的单调递增区间为2χ-π2,2kπ分)由2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-3π8≤x≤kπ+π8(k∈Z).(12分)所以f(x)的单调递增区间为χ-3π8,kπ分)易错警示本题函数解析式中含有参数ω,在用倍角公式时要注意转化成“2ωx”,在求单调区间时,也要注意x的系数.评析本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单调区间等知识,属中档题.35.(2015天津理,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2t(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-π3.解析(1)由已知,有f(x)=1−cos22-sin2-12cos2x=sin2x-14cos2x=12sin2t所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间-π3,在区间-π6,f=-14,f-=-12,f所以,f(x)在区间-π3最小值为-12.36.(2015北京理,15,13分)已知函数f(x)=2sin2cos2-2sin22.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.解析(1)因为=sin所以f(x)的最小正周期为2π.(2)因为-π≤x≤0,所以-3π4≤x+π4≤π4.当x+π4=-π2,即x=-3π4时,f(x)取得最小值.所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f-37.(2015安徽文,16,12分)已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+cos2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间0,.解析(1)因为f(x)=sin2x+cos2x+2sinxcosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=2sin2所以函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π.(2)由(1)的计算结果知,f(x)=2sin2当x∈0,,2x+π4∈由正弦函数y=sinx,当2x+π4=π2,即x=π8时,f(x)取最大值2+1;当2x+π4=5π4,即x=π2时,f(x)取最小值0.综上,f(x)在上的最大值为2+1,最小值为0.评析本题考查三角恒等变换,三角函数的周期性及最值.38.(2015湖北理,17,11分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)>的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:ωx+φ02π322πx356Asin(ωx+φ)05-50(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对,0,求θ的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-π6.数据补全如下表:ωx+φ02π322πx123712561312πAsin(ωx+φ)050-50且函数表达式为f(x)=5sin(2)由(1)知f(x)=5sin得g(x)=5sin2+因为y=sinx图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z,令2x+2θ-π6=kπ,解得x=χ2+π12-θ,k∈Z.由于函数y=g(x),0中心对称,令χ2+π12-θ=5π12,解得θ=χ2-π3,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值π6.39.(2014山东理,16,12分)已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函数f(x)=a·b,且y=f(x)的图象过点,3.(1)求m,n的值;(2)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.解析(1)由题意知f(x)=a·b=msin2x+ncos2x.因为y=f(x),3,-2,所以3=msinπ6+ncosπ6,-2=Lin4π3ncos4π3,即312+-2=-3212n,解得m=3,n=1.(2)由(1)知f(x)=3sin2x+cos2x=2sin2由题意知g(x)=f(x+φ)=2sin2+2设y=g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2),由题意知02+1=1,所以x0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y=g(x)得sin2因为0<φ<π,所以φ=π6.因此g(x)=2sin2由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z,得kπ-π2≤x≤kπ,k∈Z,所以函数y=g(x)的单调递增区间为χ-π2,kπ,k∈Z.40.(2014重庆理,17,13分)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)>0,-π2≤φ<x=π3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若α<求cos+.解析(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π,所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω=2π=2.又因为f(x)的图象关于直线x=π3对称,所以2·π3+φ=kπ+π2,k=0,±1,±2,….由-π2≤φ<π2得k=0,所以φ=π2-2π3=-π6.(2)由(1)得=3sin2·2所以sin=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2,所以cos t6因此cos t=sin t cosπ6+cos sinπ6=14××12=41.(2014四川理,16,12分)已知函数f(x)=sin3(1)求f(x)的单调递增区间;(2)若α是第二象限角=45cos求cosα-sinα的值.解析(1)因为函数y=sinx的单调递增区间为-π2+2kπ,π2+2kπ,k∈Z.由-π2+2kπ≤3x+π4≤π2+2kπ,k∈Z,得-π4+2χ3≤x≤π12+2χ3,k∈Z.所以,函数f(x)的单调递增区间为-π42χ3,π12(2)由已知,有sin=45cos2α-sin2α),所以sinαcosπ4+cosαsinπ4π42α-sin2α).即sinα+cosα=45(cosα-sinα)2(sinα+cosα).当sinα+cosα=0时,由α是第二象限角,知α=3π4+2kπ,k∈Z.此时,cosα-sinα=-2.当sinα+cosα≠0时,有(cosα-sinα)2=54.由α是第二象限角,知cosα-sinα<0,此时综上所述,cosα-sinα=-2或评析本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.42.(2014天津理,15,13分)已知函数f(x)=cosx·sin-3cos2(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在闭区间-π4.解析(1)由已知,有cos-3cos2=12sinx·cosx-2=14sin2x-=14sin2x-=12sin2t所以f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间-π4,在区间-π12,f=-14,f-=-12,fπ4=14,所以函数f(x)在闭区间-π4上的最大值为14,最小值为-12.评析本题主要考查两角和与差的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,三角函数的最小正周期、单调性等基础知识.考查基本运算能力.43.(2014江西理,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈-π2 (1)当a=2,θ=π4时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若求a,θ的值.解析(1)当a=2,θ=π4时,f(x)=sin+2cos(sinx+cosx)-2sinx4-x由x∈[0,π],知π4-x∈-3π4故f(x)在[0,π]最小值为-1.(2)由=0,oπ)=1得2θ-sint=1,由θ∈-π2cosθ≠0,解得=−1,=−π6.44.(2013北京文,15,13分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)若,π,且求α的值.解析(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x=cos2xsin2x+12cos4x=12(sin4x+cos4x)sin4所以f(x)的最小正周期为π2,(2)因为所以sin4因为,π所以4α+π4∈所以4α+π4=5π2.故α=9π16.。

高中试卷-5.4 三角函数的图象和性质(含答案)

5.4 三角函数的图象和性质1. 用“五点法”作三角函数的图象；2. 利用图象变换作三角函数的图象；3. 利用正、余弦函数的图象解三角不等式；4. 利用正弦函数、余弦函数图象判断方程根的个数；5. 求三角函数的周期；6. 三角函数奇偶性的判断；7. 三角函数奇偶性与周期性的综合运用；8. 求三角函数的单调区间；9. 三角函数对称轴、对称中心；10. 与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题；11. 求定义域；12.三角函数的图像和性质的综合应用.一、单选题1．（浙北四校2021届高三12月模拟）若函数f (x )=2x ，x ∈R ，则f (x )是（）A ．最小正周期为π为奇函数B ．最小正周期为π为偶函数C ．最小正周期为π2为奇函数 D ．最小正周期为π2为偶函数【答案】A 【解析】∵+2x =-sin2x ，∴f（x ）=-sin2x ，可得f （x ）是奇函数，最小正周期T=2π2=π故选：A ．2．（2021·永州市第四中学高一月考）函数1sin y x =-，[]0,2x p Î的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】当0x =时，1y =；当2x p=时，0y =；当πx =时，1y =；当3π2x =时，2y =；当2x p =时，1y =.结合正弦函数的图像可知B 正确.故选B.3．（2021·全国高三课时练习（理））已知函数，则()f x 在[]0,2p 上的零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】由下图可得()f x 在[]0,2p 上的零点的个数为3，故选C.4．（2021·河南濮阳·高一期末（文））下列函数中，为偶函数的是（）A ．()21y x =+B ．2xy -=C ．sin y x =D ．()()lg 1lg 1y x x =++-【答案】C 【解析】对于A,函数关于1x =-对称，函数为非奇非偶函数，故A 错误；对于B,函数为减函数，不具备对称性，不是偶函数，故B 错误；对于C,()()()sin sin sin f x x x x f x -=-==-=，则函数()f x 是偶函数，满足条件，故C 正确；对于D,由1010x x +>ìí->î得11x x >-ìí>î得1x >，函数的定义为()1,+¥，定义域关于原点不对称，为非奇非偶函数，故D 错误.故选：C.5．（2021·河南信阳·°的大小属于区间（A ．1,02æö-ç÷èøB ．æççèC ．10,2æöç÷èøD ．【答案】B 【解析】cos 2020cos(5360220)cos 220cos(18040)cos 40°=´°+°=°=°+°=-°，因为cos y x =在(0,90)°上递减，且304045°<°<°，所以cos30cos 40cos 45°>°>°，cos 40>°>所以cos 40<-°<所以cos 2020<°<故选：B6．（2021·辽宁大连·高一期末）函数()cos 26f x x p æö=+ç÷èø的图像的一条对称轴方程为（）A ．6x p=B ．512x p =C ．23x p =D ．23x p =-【答案】B 【解析】函数()cos 26f x x p æö=+ç÷èø令()26x k k pp +=ÎZ ，则,212k x k p p=-ÎZ ，当1k =时，512x p =，故选B.7．（2021·海南枫叶国际学校高一期中）函数()f x =cos()x w j +的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（）A ．13(,44k k k Z p p -+ÎB ．13(2,2),44k k k Z p p -+ÎC ．13(,),44k k k Z-+ÎD ．13(2,244k k k Z-+Î【答案】D 【解析】由五点作图知，1+42{53+42pw j p w j ==，解得=w p ，=4p j ，所以()cos()4f x x p p =+，令22,4k x k k Z pp p p p <+<+Î，解得124k -＜x ＜324k +，k Z Î，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z Î，故选D.8．（2021·河南林州一中高一月考）函数()21sin 1xf x x eæö=-ç÷+èø的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x xxe f x x x ee æö-æö=-=ç÷ç÷++èøèø故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x ®> 故选：A.9．（2021·山东聊城·高一期末）用五点法作函数()sin 0,0,2y A x A p w j w j æö=+>><ç÷èø的图象时，得到如下表格：x6p 23p x w j+02pp32p 2py4-4则A ，w ，j 的值分别为（）A ．4，2，3p-B ．4，12，3p C ．4，2，6pD ．4，12，6p -【答案】A 【解析】由表中的最大值为4，最小值为4-，可得4A =，由21362T p p -=，则T p =，22p w p\==，4sin(2)y x j =+Q ，图象过(6p，0)，04sin(2)6p j \=´+，\226k pj p ´+=，()k ÎZ ，解得23k pj p =-，||2pj <Q ，\当0k =时，3pj =-．故选：A ．10．（2021·镇原中学高一期末）若点,26P p æö-ç÷èø是函数()()sin 0,2f x x m p w j w j æö=++><ç÷èø的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为2p，则（）A ．()f x 的最小正周期是pB ．()f x 的值域为[]0,4C ．()f x 的初相3pj =D ．()f x 在4,23p p éùêúëû上单调递增【答案】D 【解析】由题意得()62k k Z m pw j p ì-+=Îïíï=î，且函数的最小正周期为422T p p =´=，故21T p w ==.代入()6k k Z p w j p -+=Î，得()6k k Z pj p =+Î，又2p j <，所以6π=j .所以()sin 26f x x p æö=++ç÷èø.故函数()f x 的值域为[]1,3，初相为6p.故A ，B ，C 不正确，当4[,2]3x p p Î时，313[,626x p p p +Î，而sin y x =在313[,26p p 上单调递增，所以()f x 在4,23p p éùêúëû上单调递增，故D 正确.故选：D.二、多选题11．（2021·陕西渭滨·高一期末）函数tan(2)6y x p=-的一个对称中心是（）A ．(,0)12pB ．2(,0)3pC ．(,0)6pD ．(,0)3p【答案】AD 【解析】因为tan()01266f p p p æö=-=ç÷èø；24tan()tan 3366f pp p p æö=-==ç÷èø；tan 66f p p æö==ç÷èø；当3x p =时， 2362p p p ´-=.所以(,0)12p 、(,0)3p 是函数tan(2)6y x p=-的对称中心.故选：AD12.（2021·浙江高三专题练习）下列函数中，是奇函数的是（）．A ．2sin y x x=B ．sin y x =，[0,2]x p ÎC ．sin y x =，[,]x p p Î-D ．cos y x x=【答案】ACD 【解析】对A ，由()2sin ==y f x x x ，定义域为R ，且()()()()22sin sin f x x x x x f x -=--=-=-，故函数2sin y x x =为奇函数，故A 正确对B ，由函数的定义域为[0,2]x p Î，故该函数为非奇非偶函数，故B 错对C ，()sin y gx x ==，定义域关于原点对称，且()()()sin sin -=-=-=-g x x x g x ，故C 正确对D ，()cos ==y m x x x 的定义域为R ，且()()()()cos cos -=--=-=-m x x x x x m x ，故该函数为奇函数，故D 正确故选：ACD13．（2021·湖南天心·长郡中学高三月考）下图是函数()sin()f x A x w j =+（其中0A >，0>w ，0||x j <<）的部分图象，下列结论正确的是（）A ．函数12y f x p æö=-ç÷èø的图象关于顶点对称B ．函数()f x 的图象关于点,012p æö-ç÷èø对称C ．函数()f x 在区间,34p p éù-êúëû上单调递增D ．方程()1f x =在区间23,1212p p éù-êúëû上的所有实根之和为83p 【答案】ABD 【解析】由已知，2A =，2543124T p p p=-=，因此T p =，∴22pw p==，所以()2sin(2)f x x j =+，过点2,23p æö-ç÷èø，因此43232k p pj p +=+，k ÎZ ，又0||j p <<，所以6π=j ，∴()2sin 26f x x p æö=+ç÷èø，对A ，2sin 212y f x x p æö=-=ç÷èø图象关于原点对称，故A 正确；对B ，当12x p=-时，012f p æö-=ç÷èø，故B 正确；对C ，由222262k x k pppp p -£+£+，有36k x k ppp p -££+，k ÎZ 故C 不正确；对D ，当231212x pp -££时，2[0,4]6x pp +Î，所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，12317822663x x x x p p p+++=´+´=，故D 正确.故选：ABD.14．（2021·江苏海安高级中学高二期末）关于函数()sin cos f x x x =+()x R Î，如下结论中正确的是（）．A ．函数()f x 的周期是2pB ．函数()f x 的值域是éëC ．函数()f x 的图象关于直线x p =对称D ．函数()f x 在3,24p pæöç÷èø上递增【答案】ACD 【解析】A ．∵()sin cos f x x x =+，∴sin cos cos sin cos sin ()222f x x x x x x x f x p p p æöæöæö+=+++=+-=+=ç÷ç÷ç÷èøèøèø，∴()f x 是周期为2p的周期函数，A 正确，B ．当[0,]2x p Î时，()sin cos 4f x x x x p æö=+=+ç÷èø，此时3,444x p p p éù+Îêúëû，，∴()f x Î，又()f x 的周期是2p，∴x ÎR 时，()f x 值域是，B 错；C ．∵()()(2)sin 2cos 2sin cos sin cos ()f x x x x x x x f x p p p -=-+-=-+=+=，∴函数()f x 的图象关于直线x p =对称，C 正确；D ．由B 知[0,2x pÎ时，()4f x x p æö=+ç÷èø，当[0,]4x p Î时，[,]442x p p p +Î，()f x 单调递增，而()f x 是周期为2p的周期函数，因此()f x 在3,24p p æöç÷èø上的图象可以看作是在0,4p æöç÷èø上的图象向右平移2p 单位得到的，因此仍然递增．D 正确．故选：ACD ．三、填空题15．（2021·山东高一期末）函数tan 2xy =的定义域为_____．【答案】{}2,x x k k Z p p ¹+Î【解析】解不等式()22x k k Z pp ¹+Î，可得()2x k k Z p p ¹+Î，因此，函数tan2xy =的定义域为{}2,x x k k Z p p ¹+Î.故答案为：{}2,x x k k Z p p ¹+Î.16．（2021·河南林州一中高一月考）函数224sin 6cos 633y x x x pp æö=+--££ç÷èø的值域________．【答案】16,4éù-êúëû【解析】224sin 6cos 64(1cos )6cos 6y x x x x =+-=-+-22314cos 6cos 24(cos )44x x x =-+-=--+，233x p p -££Q ，1cos 12x \-££ ，故231164(cos )444x -£--+£，故答案为：16,4éù-êúëû17．（2021·全国高考题）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f（x ）的图像关于y 轴对称．②f（x ）的图像关于原点对称．③f（x ）的图像关于直线x=2p对称．④f（x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，152622f p æö=+=ç÷èø，152622f p æö-=--=-ç÷èø，则66f f p p æöæö-¹ç÷ç÷èøèø，所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z p ¹Î，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x æö-=-+=--=-+=-ç÷-èø，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x p p p æöæö-=-+=+ç÷ç÷æöèøèø-ç÷èøQ ，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x p p p æöæö+=++=+ç÷ç÷æöèøèø+ç÷èø，则22f x f x p p æöæö-=+ç÷ç÷èøèø，所以，函数()f x 的图象关于直线2x p=对称，命题③正确；对于命题④，当0x p -<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<，命题④错误.故答案为：②③.18．（2021·上海高一课时练习）函数42cos 133æö=+-ç÷èøx y p ，当x =_________时有最小值，最小值是___________.【答案】3,22k k Z pp +Î 3- 【解析】当4cos 133x p æö+=-ç÷èø时，即4233x k p p p +=+，可得3,22x k k Z pp =+Î，此时y 取得最小值；此时，最小值为3-；故答案为：3,22k k Z pp +Î； 3-.19．（2021·浙江高一课时练习）设函数()sin f x A B x =+，当0B <时，()f x 的最大值是32，最小值是12-，则A =_____，B =_____.【答案】121- 【解析】根据题意，得3212A B A B ì-=ïïíï+=-ïî，解得1,12A B ==-.故答案为：1,12-20．（2021·上海高一课时练习）函数sin 2sin =+xy x的最大值是________，最小值是________.【答案】131- 【解析】Q 21si 2sin 2sin n x y x x -==++，Q 221sin 11sin 232sin 23x x x -££Þ£+£Þ-£-£-+，\2111sin 23x -£-£+，\函数sin 2sin =+xy x 的最大值是13；最小值是1-.故答案为：13;1-.21．（2021·上海高一课时练习）若函数2()cos sin (0)=-+>f x x a x b a 的最大值为0，最小值为4-，则实数a =_________，b =________.【答案】2 2- 【解析】Q 2sin si )n (1x f a x b x =--++，令sin (11)t x t =-££，则21(11)y t at b t --++££=-，函数的对称轴为2a t =-，当12a-£-，即2a ³时，110,2,114,2,a b a a b b -+++==ììÞíí--++=-=-îî当102a -<-<，即02a <<时，2((1022a aa b ---×-++=且114a b --++=-，此时方程组无解；\2,2,a b =ìí=-î故答案为：2,2-.五、解答题22．（2021·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.（1）y =（2）sin cos tan x xy x+=.【答案】（1）{|22,}x k x k k Z p p p ££+Î；（2）|,2k x x k Z p ìü¹Îíýîþ【解析】（1）要使函数有意义，必须使sin 0x ³.由正弦的定义知，sin 0x ³就是角x 的终边与单位圆的交点的纵坐标是非负数.∴角x 的终边应在x 轴或其上方区域，∴22,k x k k Z p p p ££+Î.∴函数y ={|22,}x k x k k Z p p p ££+Î.（2）要使函数有意义，必须使tan x 有意义，且tan 0x ¹.∴,()2x k k Z x k p p pì¹+ïÎíï¹î∴,2kx k Z p ¹Î.∴函数sin cos tan x x y x +=的定义域为|,2k x x k Z p ìü¹Îíýîþ.23.（2021·涡阳县第九中学高一月考）已知函数()()2sin (0,0)f x x w j w j p =+><<最小正周期为p，图象过点4p æçè.（1）求函数()f x 解析式（2）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）()2sin(2)4f x x p=+；（2）()3,88k k k Z p p p p éù-++Îêúëû.【解析】（1）由已知得2pp =w，解得2w =.将点4p æçè2sin 24p j æö=´+ç÷èø，可知cos j =，由0j p <<可知4pj =，于是()2sin 24f x x p æö=+ç÷èø.（2）令()222242k x k k Z pppp p -+£+£+Î解得()388k x k k Z p pp p -+££+Î，于是函数()f x 的单调递增区间为()3,88k k k Z p pp p éù-++Îêúëû.24．（2021·全国高三（文））(1)利用“五点法”画出函数1()sin()26f x y x p==+在长度为一个周期的闭区间的简图.列表:126x p +x y 作图:(2)并说明该函数图象可由sin (R)y x x =Î的图象经过怎么变换得到的.(3)求函数()f x 图象的对称轴方程.【答案】(1)见解析(2) 见解析(3) 22,3x k k Z pp =+Î.【解析】（1）先列表,后描点并画图126x p +02pp32p 2px3p-23p 53π83p 113p y 01-1；（2）把sin y x =的图象上所有的点向左平移6p个单位, 再把所得图象的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到1sin(26y x p=+的图象，即1sin(26y x p=+的图象；（3）由12,2,2623x kx x k k Z p p pp +=+=+Î，所以函数的对称轴方程是22,3x k k Z pp =+Î.25．（2021·全国高一课时练习）求函数πtan(3)3y x =-的定义域、值域，并判断它的奇偶性和单调性.【答案】定义域为5|,,318k x x x k p p ìüÎ¹+ÎíýîþR Z 且，值域为R ，非奇非偶函数，递增区间为5,()183183k k k p p p pæö-++Îç÷èøZ 【解析】tan y t =的定义域为|,2t t k k Z p p ìü¹+Îíýîþ，单调增区间为,,22k k k Z pp p p æö-+Îç÷èø.又tan 33y x p æö=-ç÷èø看成tan ,33y t t x p==-的复合函数，由2t k pp ¹+得5,318k x k Z p p¹+Î，所以所求函数的定义域为5|,318k x x k Z p p ìü¹+Îíýîþ，值域为R ；函数tan 33y x p æö=-ç÷èø的定义域不关于原点对称，因此该函数是非奇非偶函数；令3232k x k pppp p -<-<+，解得5,318318k k x k Z p p p p -<<+Î，即函数tan 33y x p æö=-ç÷èø的单调递增区间为5,,318318k k k Z p p p p æö-+Îç÷èø.26．（2021·陕西省汉中中学（理））已知函数()2sin(1(0)6f x x pw w =-->的周期是p .（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在[0,2p上的最值及其对应的x 的值.【答案】（1）(),63k k k Z p p p p éù-++Îêúëû；（2）当0x =时，()min 2f x =-；当3x p =时，()max 1f x =.【解析】（1）解：∵2T pp w==,∴2w =,又∵0>w ,∴2w =,∴()2sin 216f x x p æö=--ç÷èø,∵222262k x k pppp p -+£-£+,k Z Î,∴222233k x k p pp p -+££+,k Z Î,∴63k x k ppp p -+££+,k Z Î,∴()f x 的单调递增区间为(),63k k k Z p p p p éù-++Îêúëû（2）解：∵02x p££,∴02x ££p ,∴52666x ppp-£-£,∴1sin 2126x p æö-£-£ç÷èø,∴12sin 226x p æö-£-£ç÷èø,∴22sin 2116x p æö-£--£ç÷èø,当0x =时,()min 2f x =-,当226x ππ-=,即3x p=时,()max 1f x =27．（2021·镇原中学高一期末）已知函数()()()sin 0,0,f x A x A w j w j p =+>><，在一周期内，当12x p=时，y 取得最大值3，当712x p=时，y 取得最小值3-，求（1）函数的解析式；（2）求出函数()f x 的单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标；（3）当,1212x p p éùÎ-êúëû时，求函数()f x 的值域.【答案】（1）()3sin 23f x x p æö=+ç÷èø；（2）增区间为()5,1212k k k Z p p p p éù-+Îêúëû，对称轴方程为212k x p p =+，k Z Î，对称中心为,062k p p æö-+ç÷èø（k Z Î）；（3）3,32éùêúëû.【解析】(1)由题设知，3A =，周期7212122T p p p =-=，T p =，由2T p w =得2w =.所以()()3sin 2f x x j =+.又因为12x p=时，y 取得最大值3，即3sin 36j p æö+=ç÷èø，262k p p j p \+=+，解得23k p j p =+，又j p <，所以3pj =，所以()3sin 23f x x p æö=+ç÷èø.(2)由222232k x k pppp p -£+£+，得51212k x k p p p p -££+.所以函数()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k Z p p p p éù-+Îêúëû.由232x k ppp +=+，k Z Î，得212k x p p=+，k Z Î.对称轴方程为212k x p p=+，k Z Î..由23x k pp +=，得62πkπx =-+（k Z Î）.所以，该函数的对称中心为,062k p p æö-+ç÷èø（k Z Î）.(3)因为,1212x p p éùÎ-êúëû，所以2,362x p p p éù+Îêúëû，则1sin 2,132x p æöéù+Îç÷êúèøëû，所以33sin 2323x p æö£+£ç÷èø.所以值域为：3,32éùêúëû.所以函数()f x 的值域为3,32éùêúëû.。

高中数学平面几何--三角形的五心的重要结论及经典例题

三角形“五心”的重要结论及经典例题1．重心(中线交点)①G 是△ABC 的重心⇔0GA GB GC ++= 证明作图如右，图中GB GC GE +=连结BE 和CE ，则CE=GB ，BE=GC ⇔BGCE 为平行四边形⇒D 是BC 的中点，AD 为BC 边上的中线.将GB GC GE +=代入GA GB GC ++=0，得GA EG +=0⇒2GA GE GD =-=-，故G 是△ABC 的重心.(反之亦然(证略))②1()3PG PA PB PC =++⇔G 为△ABC 的重心(P 是平面上的点).证明 PG PA AG PB BG PC CG =+=+=+⇒3()()PG AG BG CG PA PB PC =+++++ ∵G 是△ABC 的重心∴GA GB GC ++=0⇒AG BG CG ++=0，即3PG PA PB PC =++由此可得1()3PG PA PB PC =++.(反之亦然(证略)例、已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，求证 △P 1P 2P 3是正三角形.(《数学》第一册(下)，复习参考题五B 组第6题)证明由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =12-，同理2OP ·3OP =3OP ·1OP =12-， ∴|12P P |=|23P P |=|31P P△P 1P 2P 3是正三角形.反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |.即O 是△ABC 所在平面内一点，1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正 △P 1P 2P 3的中心.三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和. (第26届莫斯科数学奥林匹克)分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′，∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF . 例．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G 为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′.AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+， BE =2222221b ac -+，AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′， ∴∆∆S S '＝(aCF )2. 据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有∆∆S S '=43.∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.2．垂心(高线交点)三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.H 是△ABC 的垂心⇔HA HB HB HC HC HA •=•=• 由()00HA HB HB HC HB HC HA HB AC HB AC ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥, 同理HC AB ⊥，HA BC ⊥.故H 是△ABC 的垂心.(反之亦然(证略))若H 是△ABC (非直角三角形)的垂心，则 S △BHC ：S △AHC ：S △AHB =tanA ：tanB ：tanC 故tanA ·HA +tanB ·HB +tanC ·HC =0 例、设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. (1992，全国高中联赛) ABC DH ABCDO A A 12分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例、H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2.(1989，加拿大数学奥林匹克训练题) 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r . 连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH 2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2 =AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ② 而ABH AH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,Aasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有 A 21A=r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.∥=∥=H H HM AB B A A BC CC F12111222D E故有AA 1=BB 1=CC 1.3．外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理. O 是△ABC 的外心⇔|OA |=|OB |=|OC |(或OA 2=OB 2=OC 2)(点O 到三边距离相等) ⇔(OA +OB )·AB =(OB +OC )·BC =(OC +OA )·CA =0(O 为三边垂直平分线) 若O 是△ABC 的外心，则S △BOC ：S △AOC ：S △AOB =sinBOC ：sinAOC ：sinAOB =sin 2A ：sin 2B ：sin 2C故sin 2A ·OA 2sin 2B ·OB +sin 2C ·OC =0 例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. (杭州大学《中学数学竞赛习题》)分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. (B ·波拉索洛夫《中学数学奥林匹克》)分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3. ∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K =21(∠O 2O 1S +∠SO 1K ) =21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；A B C PP MN 'A B C QK P O O O ....S 123同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC .4．内心(角平分线交点，内切圆圆心)三角形内切圆的圆心，简称为内心. O 是△ABC 的内心充要条件是()()()0||||||||||||AB ACBA BCCA CBOA OB OC AB AC BA BC CA CB •-=•-=•-=引进单位向量，使条件变得更简洁。

(完整word版)三角函数图像与性质试题及配套答案

xO y1 2 3三角函数测试题一、选择题1、函数)32sin(2π+=x y 的图象（）A ．关于原点对称B ．关于点(－6π,0)对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x=6π对称 2、函数sin(),2y x x R π=+∈是（ )A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数C ．[,0]π-上是减函数D ．[,]ππ-上是减函数 3、如图，曲线对应的函数是 ( ） A ．y=｜sin x | B ．y=sin ｜x ｜C ．y=－sin ｜x |D ．y=－|sin x |4.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的( ）. A 。

)62sin(+=x y B.sin()26x y π=+ C.sin(2)6y x π=- D.sin(2)3y x π=-5.函数)sin(ϕω+=x y 的部分图象如右图,则ω，ϕ可以取的一组值是（ )。

A 。

,24ωϕππ== B.,36ωϕππ==C.5,44ωϕππ==D.,44ωϕππ==6。

要得到3sin(2)4y x π=+的图象，只需将x y 2sin 3=的图象（）.A.向左平移4π个单位B.向右平移4π个单位C 。

向左平移8π个单位 D.向右平移8π个单位7。

设tan()2απ+=，则sin()cos()sin()cos()αααα-π+π-=π+-π+（）.A.3 B 。

13C 。

1D 。

1- 8。

A 为三角形ABC 的一个内角，若12sin cos 25A A +=，则这个三角形的形状为（）.A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形9.定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数,若)(x f 的最小正周期是π，且当[0,]2x π∈时，x x f sin )(=,则5()3f π的值为（）.A.21-B.23 C.23-D 。

2110.函数2cos 1y x =+的定义域是( )。

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一、三角形重心定理二、三角形外心定理三、三角形垂心定理四、三角形内心定理五、三角形旁心定理有关三角形五心的诗歌三角形五心定理三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。

三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。

一、三角形重心定理三角形的三条边的中线交于一点。

该点叫做三角形的重心。

三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。

二、三角形外心定理三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。

外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。

2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。

4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。

5、外心到三顶点的距离相等三、三角形垂心定理三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。

2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。

（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。

4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

定理证明已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB 于点F ，求证：CF⊥AB证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB因此，垂心定理成立！四、三角形内心定理三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。

内心的性质：1、三角形的三条内角平分线交于一点。

该点即为三角形的内心。

2、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

3、P为ΔABC所在平面上任意一点，点0是ΔABC内心的充要条件是：向量P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC5、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0．6、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．7、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心，叫做三角形的旁心。

旁心的性质：1、三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点，该点即为三角形的旁心。

2、每个三角形都有三个旁心。

3、旁心到三边的距离相等。

如图，点M就是△ABC的一个旁心。

三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点。

一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清. 内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好三角函数的图象与性质练习题一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sinπxR图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形．其中正确的序号为( )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝2cos 2x B ．y ＝2sin 2x C ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示，则当t =1001秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx的图象，只要将y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________． 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.15．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上)16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．三角函数的图象与性质练习题及答案一、选择题1．函数f (x )＝sin x cos x 的最小值是( B ) A ．－1B ．－12C.12D ．12．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为 ( A ) A.π6B.π4C.π3D.π23．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是 ( C ) A ．6B ．7C ．8D ．94．已知在函数f (x )＝3sinπxR图象上，相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为 ( D ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是 `( D )6．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π4的一条对称轴方程； ⑤函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点⎝⎛⎭⎫π12，0成中心对称图形．其中正确的序号为( C )A ．①③B ．②④C ．①④D ．④⑤7．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 ( A ) A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图象解析式是 ( A )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝cos xC ．f (x )＝sin 4xD ．f (x )＝cos 4x9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( D ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2 10．若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为 ( D ) A.16B.14C.13D.1211．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数 I =A sin(ωt +φ)(A >0，ω>0,0<φ<2π)的图象如右图所示，则当t =1001秒时，电流强度是 ( A )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安12．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx的图象，只要将y ＝f (x )的图象( A )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度二、填空题(每小题6分，共18分)13．函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π4－23x 的单调递增区间为______________．⎣⎡⎦⎤98π＋3k π，21π8＋3k π (k ∈Z ) 14．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________.31415．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确的命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) ②③ 16．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________． 2 三、解答题(共40分)17．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 18．已知函数f (x )＝2cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1 (x ∈R ，ω>0)的最小正周期是π2.(1)求ω的值； (2)求函数f (x )的最大值，并且求使f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)f (x )＝21＋cos 2ωx2＋sin 2ωx ＋1＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2＝2⎝⎛⎭⎫sin 2ωx cos π4＋cos 2ωx sin π4＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋2. 由题设，函数f (x )的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2，所以ω＝2.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4＋2. 当4x ＋π4＝π2＋2k π，即x ＝π16＋k π2(k ∈Z )时，sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4取得最大值1，所以函数f (x )的最大值是2＋2，此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝π16＋k π2，k ∈Z .19．设函数f (x )＝cos ωx (3sin ωx ＋cos ωx )，其中0<ω<2. (1)若f (x )的周期为π，求当－π6≤x ≤π3时f (x )的值域；(2)若函数f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，求ω的值．解 f (x )＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋12. (1)因为T ＝π，所以ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，当－π6≤x ≤π3时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，所以f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤0，32. (2)因为f (x )的图象的一条对称轴为x ＝π3，所以2ω⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ω＝32k ＋12 (k ∈Z )，又0<ω<2，所以－13<k <1，又k ∈Z ，所以k ＝0，ω＝12. 20．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+ b (ω>0，|φ|<2π)的图象的一部分如图所示： (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象可知，函数的最大值M =3，最小值m =-1，则A =,1213,22)1(3=-==--b ，又π)6π32(2=-=πT ，∴2ππ2π2===T ω，∴f (x )=2sin(2x +φ)+1，将x =6π，y =3代入上式，得1)3π(=+ϕ ∴π22π3πk +=+ϕ，k ∈Z ，即φ=6π+2k π，k ∈Z ，∴φ=6π， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1. (2)由2x +6π=2π+k π，得x =6π+21k π，k ∈Z ， ∴f (x )=2sin )6π2(+x +1的对称轴方程为 216π+=x k π，k ∈Z. 21．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12. 由22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫2x －π12＝32.∵0<x <π，∴－π12<2x －π12<2π－π12. ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，∴x ＝524π或x ＝38π， ∴所求交点坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，6或⎝⎛⎭⎫3π8，6.22．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π4.又图象过点(－1,0)，∴2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4.(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＋π4＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π2＝22cos π4x .∵x ∈⎣⎡⎦⎤－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6.∴当π4x ＝－π6，即x ＝－23时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；当π4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2.。

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