(专题)数列求和的几种方法_.ppt

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高三数学最新复习课件数列求和(共42张PPT)

数列的通项的和，分别求出每个数列的和，从
而求出原数列的和．
例1
求下面数列的前 n 项和： 1 1 1 1＋1，a＋4， 2＋7，…， n－1＋3n－路点拨】
1 1 1 【解】 Sn＝ (1＋ 1)＋( ＋ 4)＋ ( 2＋ 7)＋…＋ ( n－1＋ 3n a a a － 2) 1 1 1 ＝ (1＋＋ 2＋…＋ n－1)＋ [1＋4＋ 7＋…＋(3n－2)]． a a a 1 1 1 令 Bn＝ 1＋＋ 2＋…＋ n－1， a a a an－1 ∴当 a＝ 1 时， Bn＝ n；当 a≠ 1 时， Bn＝ n n－ 1， a －a 3n－1 n Cn＝ 1＋ 4＋ 7＋…＋(3n－ 2)＝ . 2
【名师点评】
利用错位相减法求和时，转化为
等比数列求和．若公比是参数(字母)，则应先对参
数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种
情况分别进行求和．
裂项相消法求和裂项相消是将数列的项分裂为两项之差，通过
求和相互抵消，从而达到求和的目的．
例3 (2011 年博州质检 )已知数列 {an}中， a1＝ 1，
错位相减法求和一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an· bn}的前n项和时，可采用错位相减法．
例2
知数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an
－an－1，…是首项为1，公比为a的等比数列． (1)求an； (2)如果a＝2，bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和 S n.
等比数列，再求解．
4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． 5．倒序相加法把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和
公式的推导过程的推广)．

专题数列求和的几种方法.ppt

求： bn 的前n项和
1 1(1 1 ) an an1 d an an1
}
满足
Sn b1 b2 b3 bn
1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 )
d a1 a2 d a2 a3
d an an1
1(1 1 1 1 d a1 a2 a2 a3
1 1 ) an an1
数列求和
1运用公式法
等差或等比数列直接应用求和公式
2 分组求和法 3 错位相减法 4 裂项相消法 5 倒序相加法
化归思想转化成等差、等比数列求
1 2 2 3 3 4 n(n 1)
分析：设数列的通项为bn，则
bn

n(n 1)
6( 1 n
1) n 1
Sn
b1
b2
bn
6[(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1 )] n 1
6(1 1 ) 6n n1 n1
例4、设{1an bn anan1
解: bn
}是公差d 不为零的等差数列，{bn
1(1 1 ) n .
d a1 an1
a1an 1
若
an
( An
1 B)(
An
C)
,则求Sn用裂项相消法
.
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1.公式法：
即直接用求和公式，求数列的前n和Sn
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2

数列求和的几种方法的课件

x 0 x 1 x 1
探究：求和方法
探究一：等差、等比数列求和公式是用何种方法推导出来的？
倒序相加法
错位相减法
求和方法二:倒加序相
3 、已知对x R,有f x +f 1 x =1成立，则例 1 f 0 f 0.2 f 0.4 f 0.6 f 0.8 f 1 ___
1 （2）S f 2011 2 f 2011 2010 f 2011
课前检测
1.S 1 3 5 (2n 1) (n 1)
2.S 2 2 2 2 2
2 3 n n 1
2
2
n 2
3.Sn 1 x x x x
2 3 n
Sn
1, n, 1 x n 1 x
求和方法五：分组求和
例4：求数列 n 2

n

的前n项和。
答案：
n(n 1) n 1 2 2 2
求和方法五：分组求和
练习 .S 1 2 2 3 n (n 1) n( n 1)(n 2)
3
总结：
常见求和方法直接求和（公式法）倒序相加法错位相减法裂项相消法适用范围及方法等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。类比等差数列的求和方法。数列{ anbn}的求和，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列。数列{k/f(n)g(n)}的求和，其中 f(n),g(n)是一次函数的形式。把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和，如 {an+bn}。
数列求和
高一数学备课组

高三数学一轮总复习第五章数列 5.4 数列求和课件.ppt

12
n
4．一个数列{an}，当 n 是奇数时，an＝5n＋1；当 n 为偶数时，an＝22 ，则这个数列的前 2m 项的和是__________。
解析：当 n 为奇数时，{an}是以 6 为首项，以 10 为公差的等差数列；当 n 为偶数时，{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列。所以，S2m＝S 奇＋S 偶＝ma1＋mm2－1 ×10＋a211－－22m
7
2 种思路——解决非等差、等比数列求和问题的两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成。 (2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和。
8
3 个注意点——应用“裂项相消法”和“错位相减法”应注意的问题 (1)裂项相消法，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差。 (2)在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点。 (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比含有参数，应分 q＝1 和 q≠1 两种情况求解。
＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1) ＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2 ＝2m＋1＋5m2＋m－2。答案：2m＋1＋5m2＋m－2
13
5．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝__________。
解析：∵an＝n·2n， ∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n。① ∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1。② ①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2。 ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2。答案：(n－1)2n＋1＋2

数列求和及综合应用中小学PPT教学课件

例题：冲刺强化训练（14）T12
前两小问略下面主要研究第（3）问
第三部分：数列与其他知识的交汇综合
1
1 问1：能否相消？
Cn
2
3n1
1
3n
1
问2：是否需
要相消？
将Tn表示出来并不困难
解题目标？
Tn C1 C2 Cn
2n
1 32
1
1 30
1
1 33
1
1 32
1
1 3n 1
1 3n1 1
bn Sn Sn1(n 2)"
可化简得 2S 2Sn1 1 Sn • Sn1
1 11
Sn Sn1 2
Sn 与bn
关系？
第二部分：基本数列之间的综合
思路2：由 Sn 进一步求 bn
1 n时需1 要注意什么？
1(n 1)
bn
2 n(n 1)
(n
2)
第二部分：基本数列之间的综合
第一课文化与社会
画卷
“巨幅画轴” “巨幅画轴”
水墨画
海上丝绸之路
孔子三千弟子
活字印刷术
礼乐
礼乐
太极
刘欢和莎拉.布莱曼唱起了《我和你》
刘欢和莎拉.布莱曼唱起了《我和你》
回忆：
1、第29届奥林匹克运文动会化开形幕式式多中，有那些文艺节目？请写在文黑种化板多现上样。象无
n(n 1)
其中 (n 1)n 的大小理科生可以用数归法解决。 n n 1 也可得到第3项最大
第三部分：数列与其他知识的交汇综合
4、与解析几何知识的交汇综合
例：已知直线ln : y x 2n与圆Cn :
x2 y2 2an n 2交于不同的两点An , Bn，

2024年高考数学一轮复习(新高考版)《数列求和》课件ppt

跟踪训练2 (2023·重庆模拟)在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，② 2a1 ＋ 2a2 ＋…＋2an ＝2n＋1－2这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答. 问题：在数列{an}中，已知________. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. (1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝
2an 1 3an
，求数列{bn}的前n项和Sn.
由(1)可知 bn＝2n3－n 1，
则 Sn＝311＋332＋…＋2n3－n 1，
①
13Sn＝312＋333＋…＋2n3－n 3＋23nn－＋11.
②
两式相减得23Sn＝13＋322＋323＋…＋32n－23nn－＋11＝13＋2911－－313n1－1－23nn－＋11
教材改编题
2.数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝nn1＋1，则 S5 等于
A.1
√B.56
C.16
D.310
因为 an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，所以 S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.
教材改编题
3.Sn＝12＋12＋38＋…＋2nn等于
2n－n－1 A. 2n
第六章数列
§6.5 数列求和
考试要求
1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一部分
落实主干知识
知识梳理
数列求和的几种常用方法
1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和.

数列求和(23张PPT)

n 1 n 1 n 1 n 1 (1 6n 5) (a1 an ) 2 2 4 ( 1 4 ) a ( 1 4 ) 2 2 2 2 1 4 2 1 4

2
n2
9n 3n 14 6
2
例２．（天津卷）已知数列
问题解决
a n 的通项公式如下：
0 n 1 n 2 n
n n ，
则 Sn
(n 1)C nC
n n 0 n
n1 n 1 n
3C 2C C
2 n 1 n n 2 n
0 n n n
(n 1)C nC 3C
Sn (n 2) 2
0 n n1 1 n 3 n
2C
n n
n1 n
n b a x n （2）令 n
( x R) ，求知数列
a n 的通项公式如下：
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
。
s 求数列的前 n 项的和 n
例
a n 1．（北京卷）已知数列是等差数列，且
1 Sn 3 2 k 3 k 2k 1 思考题．已知 k 1
n
，
1 Sn 4 求证：
问题解决
C 2 C 3 C （ n 1 ） C 例３．求和
0 n 1 n 2 n n n
C 2 C 3 C （ n 1 ） C S 【解析】设 n
，
6n 5 an n 2
n为奇数 n为偶数
n n (a1 an 1 ) n 3 2 2 2 9 n 15n 8 a ( 1 4 ) 2 2 Sn 6 2 1 4 n2 2 2 9n 3n 14 n为奇数 6

专题一数列求和分组求和法 PPT

例4、1-22 + 32-42 + 52-62 +……+(2n-1)2-(2n)2 =？分析: 解:Sn=(12-22)+(32-42)+……+［(2n-1)2-(2n)2］ =-3-7-…-(2n-1)=-3-7-11-……-（4n-1) =-2n2-n
练习:已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
n(2 2n)
1 4
1
1 2n
2
1 1
2
n(n1)1 221 n1
(2)
an
(xn
1 xn
)2
x2n
1 x2n
2
S n ( x 2 x 1 2 2 ) ( x 4 x 1 4 2 ) L ( x 2 n x 1 2 n 2 )
(x 2 x 4 L x 2 n ) (x 1 2 x 1 4 L x 1 2 n ) 2 n
(1)求S20,S21
（2)求Sn
解:(1)S20= -1+3 + (-5)+7 +……+(-37)+39 =20
S21= -1+ 3+ (-5) + 7+(-9) +……+ 39+(-41)
=-1+(-2)×10=-21
(2)当n=2k(k∈Z)时, Sn=(1-3)+(5-7)+……+[(2n-3)-(2n-1)]=k×(-2)=-n、当n=2k-1(k∈Z)时，
专题一:数列求与得方法 (1)
所谓特殊数列,指得就就是等差数列或等比数列;对于特殊数列求与，采用公式直接求和即可。

等差数列求和(共24张PPT)

例子二
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。

03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差数列的通项公式进行化简，最终得到等差数列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的项进行倒序相加，再利用等差数列的通项公式进行化简，最终得到等差数列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常数，这个常数被称为公差。

第四节数列求和课件(共48张PPT)

－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式；（2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋（ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝

高三数学一轮复习课件：数列求和_高考复习优秀课件

= n 1 -1.
令 Sn=10, 解得 n=120. 故选 C.
考向2 裂项相消法求和【例2】 (2013·江西高考)正项数列{an}满足：a2n－(2n－ 1)an－2n＝0. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)令bn＝n＋11an，求数列{bn}的前n项和Tn. 【思路点拨】 (1)通过解关于an的一元二次方程及 an>0，求an； (2)用裂项相消法求Tn.

解析： (1)设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，由于 a3＝7，a5＋a7＝26，所以 a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，解得 a1＝3，d＝2. 由于 an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na12＋an，所以 an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)因为 an＝2n＋1，所以 an2－1＝4n(n＋1)，因此 bn＝4nn1＋1＝141n－n＋1 1. 故 Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝141－21＋12－13＋…＋1n－n＋1 1 ＝141－n＋1 1＝4nn＋1. ∴所以数列{bn}的前 n 项和 Tn＝4nn＋1.
答案： B
2.已知数列{an}的通项公式是
an=
1
,若 Sn=10,则 n 的值
n n1
是( C )
(A)11
(B)99 (C)120
(D)121
解析:∵an=
1
= n 1 - n ,
n n 1
∴Sn=( 2 -1)+( 3
- 2 )+( 4 - 3 )+…
+( n - n 1 )+( n 1 - n )
一种思路一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．

数列求和ppt课件

法，分别求和后相加减．
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考点二裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.

高考专题复习数学数列求和 PPT课件图文

设 n N * ， xn 是曲线 y x2n2 1 在点 (1，2)
处的切线与 x 轴交点的横坐标.
（1）求数列 {xn} 的通项公式；
（2）记Tn x12x32
x2 2n1
，证明
Tn

1 4n
.
在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n 2 个数构成递增的等比数列，将这 n 2 个数的乘积记作Tn ，再令 an lg Tn, n≥1.
（2）求数列an 的通项公式；
（3）是否存在实数 a ，使不等式
(1 1 )(1 1 ) (1 1 ) 2a2 3
a1
a2
an 2a 2n 1
对一切正整数 n 都成立？若存在，
求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由．
设数列an 的前 n 项和为 Sn ,满足
2Sn an1 2n1 1 , n N* ,
则数列

1

的前10
项和为_________
an
设数列an，其前 n 项和 Sn 3n2 ，
bn为单调递增的等比数列， b1b2b3 512 ， a1 b1 a3 b3
（1）求数列an, bn的通项公式；
（2）若 cn

bn

bn
2 bn

1 n
bn

bn1
1(n

N* )
.
（1）求 an 与 bn ；（2）记数列{anbn} 的前 n 项和为Tn ，求Tn .
已知数列an ,bn , an 3n 1,bn 2n
记 Tn anb1 an1b2 a1bn , n N * ，求：Tn

第5章第4讲数列求和-2022版高三数学(新高考)一轮复习课件_ppt(56张)

天气骤冷2，0红2旗0 冻结。这句诗形象的写出了色彩鲜明、红白映衬的景象，“掣”字用了拟人的修辞手法，生动形象的写出了塞外天气的恶劣，寒风的呼啸。但在这样的环境下，红
旗却被冻的不会翻动了，更加突出了雪之大、天气之寒冷。从“红”字能反衬出白雪皑皑的景象，而“不翻”则衬托出了天气的寒冷。二是语言清新淡雅而又晶莹明丽，明白晓畅而又情韵悠长。
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第五章数列
高考一轮总复习 • 数学 • 新高考
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3．(必修 5P47T4 改编)数列{an}的通项公式是 an＝
1 n＋
n＋1，前
n
项和为
9，则
n＝( B ) A．9
B．99
C．10
D．100
[解析]
因为 an＝
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.所以 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(
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知识梳理 • 双基自测
第五章数列
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知识点一公式法求和
(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前 n 项和公式．
(2)等差数列的前 n 项和公式： Sn＝na1＋ 2 an＝___n_a_1＋__n__n_2－__1__d__＝___d2_n_2＋__(_a_1_－__d2_)n________.
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(3)等比数列的前 n 项和公式： na1，q＝1，
Sn＝a11－－aqnq＝_______________，q≠1. 注意等比数列公比 q 的取值情况，要分 q＝1，q≠1.
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