《等比数列》导学案
等比数列(优秀导学案)
§6.3 等比数列 考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增． 若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减． 常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( × ) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ，∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12， ∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14， ∴q ＝±12. 2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列，且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q ，a ，aq ， 则⎩⎨⎧ a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3， ∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n等于( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1 答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1.所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n －1， 所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n . 方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3＝q ＝2.将q ＝2代入①，解得a 3＝4.所以a 1＝a 3q 2＝1，下同方法一． (2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案 1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________.答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于() A ．－2或32 B ．－2或64C ．2或－32D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2，解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64，当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25， 即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.①求{a n }的通项公式；②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)． 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－(－22)n ]1－(－22)＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列，由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1. 教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；(2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，因为{a n }中各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列．(2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，故a n ＋1＝3a n ，所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1. 思维升华 等比数列的三种常用判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q ＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3，∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12. (2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12， 此时S n ＋12＝12×3n ， 则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3， 故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列． 题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2 019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023等于( )A.2 0243B ．1 011 C.2 0232D ．1 012答案 C解析 由题意得a 5a 2 019＝3，根据等比数列性质知，a 1a 2 023＝a 2a 2 022＝…＝a 1 011a 1 013＝a 1 012a 1 012＝3，于是a 1 012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023＝log 3(a 1a 2a 3…a 2 023) 11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60.教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3，∴S 9－S 6＝4S 3，∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， 解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0.因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16 答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16，∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 8＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 7＋⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 6＋⎝⎛⎭⎫1a 4＋1a 5 ＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5)＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( )A.643 B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8，所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1，所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( )A ．2B ．4 C.92 D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为() A.13 B ．－13 C.19 D ．－19答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13. 4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )A ．6里B ．12里C ．24里D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12， 因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378， 解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24. 5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列 答案 AD解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( )A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2 答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2. 当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1， 又S 1＝a 1＝1，适合上式，所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n 3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，又S 6＝S 3＋q 3S 3，得63＝7＋7q 3.∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2＝7， 得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________. 答案 3 81解析 由{a n }是等比数列，得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，故a 7＝3，a 4＝a 7q 3＝81. 9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *.(1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列．(1)解 S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1) ＝n 2＋(a 1－1)n ，又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，所以q ＝3，所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13， 所以T n ＝13(1－3n )1－3＝3n －16， 所以T n ＋16＝3n 6， 又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列． 10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10.(1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1，得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，所以b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1 ＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列．(2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，所以c n ＝|2n －100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n ，n ≤6，2n －100，n >6， 所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400＝200－2(1－26)1－2＋27＋28＋29＋210 ＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3D ．S 20＝23(410－1) 答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)，又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；若a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3，则a 2＝23＋(－1)23＝3， 但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2(1－410)1－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7 答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1，∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列，∴S n 无最大值，故C 错误；又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2 015＝T 2 021，则log 3a 2 019log 3a 2 021＝________. 答案 15解析 由题意得，T 2 015＝T 2 021＝T 2 015·a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021，所以a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021＝1，根据等比数列的性质，可得a 2 016a 2 021＝a 2 017a 2 020＝a 2 018a 2 019＝1，设等比数列的公比为q ，所以a 2 016a 2 021＝(a 2 021)2q 5＝1⇒a 2 021＝52,q a 2 018a 2 019＝(a 2 019)2q ＝1⇒a 2 019＝12,q 所以log 3a 2 019log 3a 2 021＝123523log 1.5log q q= 14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案 132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( )A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误； 对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n项和为(2n －1)·3n ＋12. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12(n ≥2)， 两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
《等比数列》 导学案
《等比数列》导学案一、学习目标1、理解等比数列的定义，能够根据定义判断一个数列是否为等比数列。
2、掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决相关问题。
3、了解等比数列的性质，能够运用性质简化计算和解决问题。
二、学习重难点1、重点（1）等比数列的定义和通项公式。
（2）等比数列性质的应用。
2、难点（1）等比数列通项公式的推导。
（2）灵活运用等比数列的性质解决问题。
三、知识链接1、数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列。
2、等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
四、自主学习（一）等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。
数学表达式：＼（＼frac{a_{n+1}｝｛a_{n}｝＝ q\）（n∈N）例如：数列 2，4，8，16，32，… 是等比数列，公比 q ＝ 2；数列 1，＼（＼frac{1}｛2}＼），＼（＼frac{1}｛4}＼），＼（＼frac{1}｛8}＼），… 是等比数列，公比 q ＝＼（＼frac{1}｛2}＼）。
思考：（1）公比 q 可以为负数吗？（2）常数列一定是等比数列吗？（二）等比数列的通项公式若等比数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的首项为\（a_{1}＼），公比为q，则其通项公式为\（a_{n} ＝ a_{1}q^｛n-1}＼）。
推导过程：＼（a_{2} ＝ a_{1}q\）＼（a_{3} ＝ a_{2}q ＝ a_{1}q^｛2}＼）＼（a_{4} ＝ a_{3}q ＝ a_{1}q^｛3}＼）……＼（a_{n} ＝ a_{n-1}q ＝ a_{1}q^｛n-1}＼）例1：已知等比数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的首项\（a_{1} ＝2\），公比\（q ＝ 3\），求\（a_{5}＼）。
高中数学等比数列导学案
★课题★等比数列 编写人 班级 姓名 组别学习目标 1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及其推导；2. 能运用等比数列的通项公式解决相关问题；3. 掌握等比中项的定义并能进行相关运算. ※预 习·探 究※阅读教材21页到25页完成下列问题： 1、研究下面三个数列并思考其特点：①1、2、4、8…，从第2项起，每一项与前一项的比都等于②-5、-25、-125、-625…，从第2项起，每一项与前一项的比都等于 ③1、21-、41、81-，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2、等比数列的定义 ：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示.3、等比数列的通项公式的推导： 设等比数列{}n a ，的公比为q 方法1：（归纳法）,11a a =12a a = ，123a q a a == ，134a q a a == ，……11a q a a n n ==-方法2：（累积法）4、等比数列的通项公式 =n a5、等比中项如果三个数y G x ,,组成等比数列，则G 叫做x 和y 的等比中项。
如果G 是x 和y 的等比中项，那么Gx =，即=2G注意：两个正数（或两个负数）的等比中项有两个，它们互为相反数，一个正数和一个负数没有等比中项。
探究：1. 已知数列{}n a 为等比数列（1）若,4,131==a a 则=2a ，=n a ； （2）若,4,151==a a 则=3a ，=n a ； （3）若,4,151==a a 则1a 与5a 等比中项是 . 2.在4和41之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。
※自测巩固※1.判断下列数列是否为等比数列（1）2,2,2,2，…；（2）-1,1,2,4,8，…；（3）,,,321aaa,n a；（4）已知数列{}n a的通项公式为nna23⨯=.2.在等比数列{}n a中，（1）已知,243,963==aa求5a；（2）已知32,31,891===qaan，求n；（3）已知,21,18,367463==+=+naaaaa求n 3．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.4．求下列各等比数列的通项公式：;8,2)1(31-=-=aannaaa32,5)2(11-==+且5．在等比数列{a n}中，a n>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( ) A．16 B．27 C．36 D．816．已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )A．64 B．81 C．128 D．2437．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a9＋a10a7＋a8等于( ) A．1＋ 2 B．1－ 2 C．3＋2 2 D．3－2 28．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么( )A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－99．已知{a n}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝203，求{a n}的通项公式．。
《等比数列》导学案
§2.4 《等比数列》导学案【学习目标】〖知识目标〗1.正确认识和理解等比数列的定义，明确等比数列中公比的概念，探索并掌握等比数列的通项公式.2.懂得将生活中的实例抽象为等比数列模型来解决生活中的实际问题.〖能力目标〗1．通过发现几个具体简单的数列的等比关系，类比于之前的等差数列概念的推导过程，归纳出等比数列的概念，探索出等比数列的通项公式.2．培养学生严密的思维习惯，通过对等比数列的研究，采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学，发挥学生的主体作用，并进一步培养学生善于思考、解决问题的能力.〖情感目标〗1．感受等比数列丰富的现实背景，培养学生勇于探索，实事求是的科学态度.2．进一步激发学生主动参与学习，感受数学文化，激发学生的学习欲望．〖教学重点〗等比数列的定义和通项公式．〖教学难点〗等比数列与指数函数的关系．【学习过程】一．探求新知〖探究一〗：阅读教材48、49页的具体实例①～④，并把各自对应的数列补充完整：①1, 2， 4，，…②1，，，，…③1，，，，…④10000×1.0198，，，，观察这几个数列：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的比都等于；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的比都等于。
共同特点：。
1、等比数列定义：一般地，如果一个数列 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示．等价数学表达式为：思考讨论：1.等比数列中的项能否为零?2.等比数列的公比q 能否为零?3.常数列是否是等比数列？4.既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？如果存在，你能举出例子吗？2、等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使得a, G , b 成 ，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
想一想： 1、G 与a 、b,之间的关系 2、a 、b 的符号有什么特点？3、等比数列通项公式：〖探究二〗：类比等差数列通项公式的推导过程，完成等比数列通项公式的推导： （法一）归纳法等差数列：21314123a a da a da a d =+=+=+L L，由此归纳等差数列的通项公式可得．1(1)n a a n d =+-（法二）累加法2132431n n a a d a a d a a d a a d-ì-=ïïïï-=ïïï-=íïïïïïï-=ïîL L 相加得1(1)n a a n d =+-等比数列：21a a q =〖探究三〗：等比数列与指数函数的关系分别在下面的直角坐标系中，画出通项公式为12-=n n a 的数列的图象和函数12y -=x 的图像．通过画图象并观察图象，我们可以发现：等比数列{}n a 的通项公式11-⋅=n n q a a 的图像是分布在)1q 0(1≠>=且q q qa y n 的图像上的一些 。
等比数列第一课时导学案
2.3 等比数列导学案(1)学习目标:1 .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列; 2 ..掌握等比数列的通项公式并能简单应用;重点：等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用 难点：等比数列通项公式的推导及应用。
一、温故知新什么叫等差数列？通项公式是什么?什么叫等差中项？二、探求新知1、研究下面三个数列并回答问题①1、2、4、8…；②1、-1、1、-1…③1、21-、41、81-…问题1：上面数列都是等差数列吗？问题2：以上数列后项与前项的比有何特点？2、等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的 都等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。
3、等比数列的通项公式的推导过程 设等比数列{}n a ，的公比为q 方法1：（归纳法）,11a a =12a a = ，123a q a a == ，134a q a a == ，……11a q a a n n ==-方法2：（累乘法）根据等比数列的定义，可以得到=12a a ，=23a a ，=34a a，…，=-1n n a a .以上共有 等式，把以上 个等式左右两边分别相乘得=••••-1342312n n a a a a a a a a ，即=1a a n，即得到等比数列的通项公式。
4、等比数列的通项公式 =n a三、通过预习掌握的知识点1、等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0） 1“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q)｛n a ｝成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2 隐含：任一项00≠≠q a n 且 3q= 1时，{a n }为常数。
高中数学必修五导学案等比数列(一)
必修五等比数列（一）【学习目标】1.正确理解等比数列的观点，能用等比数列的定义判断一个数列能否为等比数列。
2.掌握等比数列的通项公式，能运用通项公式解决简单问题。
3.经过自主学习、合作研究，体验学习的快乐。
【要点和难点】要点：等比数列的观点的理解，掌握等比数列的通项公式。
难点：利用等比数列的定义和通项公式解决有关问题。
【使用说明及学法指导】1．先学习课本P48P52而后开始做导教案； 2. 针对复习纲要，理解等比数列的观点及通项公式。
预习案一．问题导学1.既是等比又是等差的数列存在吗？假如存在你能举出例子吗？。
2.你能用定义证明等比数列的通项公式吗？二．知识梳理1.等比数列的定义：一般的，，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比往常用字母q 表示。
即若an q n 2, q为常数，则称数列a n为， q 为，且 q。
a n12.等比数列的通项公式 a n。
3.若a, G,b成等比数列，则；此中G叫做a与b的。
此时a与b （填同号或异号）。
三. 预习自测1.以下各数列必定成等比数列的是（）① -1 ，-2 ， -4 ，-8 ；②1， - 3 ，3，-3 3 ；③ a,a,a,a;④ 1,12,13,14.a a a aA、①②③B、①②C、①②④D、①②③④2.2+ 3与 2- 3 的等比中项为。
3．在等比数列{ a n}中，已知a110 ，公比 q3, a n90 ，则 n。
4．在等比数列{ a n}中，a n 12a n0 ，则2a1a2。
2a3a4四 . 我的疑问：研究案一．合作研究研究 1：在等比数列a n中，（1） a32, a158 ，求 a9；（2） a5＝1， a n＝256， q ＝2，求 n 。
研究 2：若a,2a2,3a 3 成等比数列，务实数 a 的值。
研究 3：已知a n为等比数列， a3 2,a2 a420，求 a n的通项公式。
3研究 4：已知数列a n知足 lg a n3n 5 ,试用定义证明a n是等比数列。
等比数列预习、导学案
等比数列学案一、学习目标1.（A 级）掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导。
2. (B 级)通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
3.（C 级）充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活。
二、重难点等比数列的定义及通项公式三、自主学习(A 级)1、观察：请同学们仔细观察一下，看看以下①、②、③三个数列有什么共同特征？①1，2，4，8，16，… ②1，12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，… 共同特征：思考：你能类比等差数列的定义给这种数列下一个定义吗？（B 级）2、观察等比数列的定义后思考下列问题：（1）定义中应该注意哪些关键地方？（2）你能类比等差数列用一个式子表示等比数列吗？如何判断一个数列是否为等比数列？（3）等比数列中的公比q 可以是零吗？等比数列中可以有零项吗？（C 级）3、你能类比等差数列推导出等比数列的通项公式吗？四、合作学习1.你能通过公比q 的不同取值的讨论，对等比数列进行分类吗？例题一：已知等比数列{n a }中，20205,5,20a a a 求==思考：1.已知等比数列数列公比q ，第m 项为m a 如何求其第n 项？2. 要确定一个等比数列的通项公式，需要知道几个独立条件？例二．在4与41之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数。
五、达标检测（A 级）1.如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的 等于 ，这个数列叫等比数列。
这个常数叫等比数列的 ，常用符号 表示。
（A 级）2.等比数列用式子可表示为 。
（A 级）3.等比数列{n a }满足 条件时，为递增数列，满足条件时，为递减数列。
q=1时，等比数列是 ，q<0时，等比数列是 。
（B 级）4.（1） 一个等比数列的第9项是94，公比是－31，求它的第1项。
等比数列的定义及性质 导学案
比一比看谁表现最好！拼一拼力争人人过关！
启明中学高效课堂 高二 数学学科导学案
班级： 姓名： 日期: 课题： 等比数列的定义及性质 编号： 小组： 评价：
编制人： 李鹏 审核人： 代成学
学习目标：
1、掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导；
2、通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；体会等比数列与指数函数的关系。
使用说明：
1、认真研读教材2521P P -内容，完成下面学内容；
2、参照手头资料探讨等比数列的性质，能够灵活运用等比数列的性质。
定向导学*互动展示
12。
等比数列公开课导学案
§2.4等比数列（1）1．理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及推导过程方法；3.体会等比数列与指数函数的关系.等差数列的通项公式n a = ，变式 ， 。
复习2：等差数列的单调性复习3：等差数列的通项公式推导方法是什么？与函数的关系如何？图像呢？二、新课导学 创设情景，探索新知 ※ 学习探究创设情景：见课件探究1：阅读课本的4个背景实例，找出规律，写出4个实例所得到的数列。
新知1：根据等比数列的规律，你能给出等比数列的定义吗？1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1n n a a -= （q ≠0）或 （数学符号表示） 探究2：⑴上述例子的公比分别是什么？⑵你能举一些在生活中的等比数列吗？等比小于0的呢？课堂练习：给出以下几组数列，哪些是等比数列？.由此你得到什么？①－2，1，4，7，10，13，16，19，…②8，16，32，64，128，256，…③1，1，1，1，1，1，1，…④243，81，27，9，3，1，…⑤31，29，27，25，23，21，19，…⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…⑧0，0，0，0，0，0，0，⑨0，1，2，4，8，…⑩1，x ，,432,,x x x … ※合作讨论1：（1）等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的等比数列是什么数列？（3）常数列都是等比数列吗？（4）有没有既是等差数列又是等比数列的数列？我的总结：新知2：等比数列的通项公式及推导过程方法在学习等差数列时我们能够用公差d ，项数n 及首项1a 表示数列的任一项，也就是它的通项公式n a ，那么在等比数列中，要表示该数列通项公式，需要确定几个条件？探究3：想想等差数列通项公式的推导过程，你能动手推导一下等比数列的通项公式吗？法一：法二：21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … …∴ 11n n a a q a -==⋅ 等式成立的条件所以, 等比数列的通项公式是等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是：新知3：等比数列的通项公式与指数函数的关系※合作讨论2：阅读课本50页探究（2），（3）你发现了什么？等比数列与指数函数的关系：※ 知识拓展 等比数列的单调性在等比数列{}n a 中，⑴ 当10a >，q >1时，数列{}n a 是递增数列；⑵ 当10a <，01q <<，数列{}n a 是递增数列；⑶ 当10a >，01q <<时，数列{}n a 是递减数列；⑷ 当10a <，q >1时，数列{}n a 是递减数列；⑸ 当0q <时，数列{}n a 是摆动数列；⑹ 当1q =时，数列{}n a 是常数列.三、例题讲解 巩固提升，深化理解 ※ 典型例题例1：某种放射性物质持续变化为其他物质，若每经过一年，剩留的这种物质是原来的 84%，则这种物质的半衰期为多少？（精确到1年）※ 动手试试 当堂检测（1） 一个等比数列的第9项是49，公比是－13，求它的第1项； （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项.课本例3：一个等比数列的第3项和第四项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
高中数学《等比数列》(一)导学案 新人教版必修5
江苏省徐州市王杰中学高一数学必修五《等比数列（一）》导学案 体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模一．自学准备与知识导学：1．观察下列数列有何特点?（1）1，2，4，8，…（2）10，2110⨯，2)21(10⨯，3)21(10⨯，… （3）1，21，41，81，… （4）05110000．⨯，205110000．⨯，305110000．⨯，… 2．等比数列的定义：____________________ ________________________________ ． 思考：等比数列的公比可以为0吗? 可以有为0的项吗?3．练习：（1）判断下列数列是否为等比数列：①1，1，1，1，1；②0，1，2，4，8； ③1，21-，41，81-，161； ④1，2，1，2，1； ⑤1，31，91，271，811； ⑥2，1，21，41，0． （2）求出下列等比数列中的未知项： ①2，a ，8； ②4-，b ，c ，21．（3）已知下列数列是等比数列，试在括号内填上适当的数：①、（ ），3，27； ②、3，（ ），5； ③1，（ ），（ ），881． 3．等比数列的通项公式的推导与证明：4．练习：求下列等比数列的公比q 、第5项5a 及第n 项n a ：①2，6，18，54，…=q ______，=5a ______，=n a _________； ②7，314，928，2756，… =q ______，=5a ______，=n a _________； ③30．，090．-，0270．，00810．-，…=q ______，=5a ______，=n a _________； ④5，15+c ，125+c ，135+c ，… =q ______，=5a ______，=n a _________．二．学习交流与问题研讨： （1）在等比数列{}n a 中，是否有112+-⋅=n n n a a a ？（2）如果数列{}n a 中，对于任意正整数)2(≥n n ，都有112+-⋅=n n n a a a ，那么{}n a 一定是等比数列吗？例1在等比数列{}n a 中，（1）已知31=a ，2-=q ，求6a ； （2）已知203=a ，1606=a ，求n a ．例3 试在243和3中间插入3个数, 使这5个数成等比数列．三．练习检测与拓展延伸：1．下列哪些数列是等差数列，哪些数列是等比数列？（1）12lg 6lg 3lg ，，； （2）2122222-- ，，，； （3）a a a a a ，，，，．2．已知等比数列{}n a 的公比为52，第4项是25，求前3项．四．课后反思或经验总结： 等比数列的概念、通项公式. 例2。
等比数列导学学案
,,,a思考：在等比数列中，各项的符号与公比，那么各项的符号与,n a 它的前n a ，公比为项和是.1n a -++1n a -++ 〔.项和n S 与通项等比数列综合练习一、选择题1.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，那么3132310log log log a a a +++＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 52.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，那么=1020a a 〔 〕 A.32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 3.等比数列{}n a 中，121264a a a =，那么46a a 的值为〔 〕A ．16B ．24C ．48D ．1284.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，那么a 3的值为〔 〕A. －4B.4C. ±4D. 55.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，假设63S S =3 ，那么69SS = A ． 2 B. 73 C. 83D. 36.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设242S S =，那么公比为〔 〕A.1B.1或－1C.21或21- D.2或－2 7.等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，那么前8项的和为A ．15B ．17C ．19D ．218.等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，那么该数为〔A 、 S 1B 、S 2C 、 S 3D 、 S 49.数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),那么数列{}n a 为( )A.等差数列B.等比数列C.既不是等比数列也不是等差数列D.既是等差数列又是等比数列 10.某人为了观看2021年奥运会，从2001年起每年5月10日到银行存入a 元定期储蓄，假设年利率为p 且保持不变，并且每年到期的存款及利息均自动转为新一年定期，到2021年将所有的存款和利息全部取回，那么可取回的钱的总数〔元〕为〔 〕． A a(1+p)7 Ba(1+p)8 C)]1()1[(7p p pa+-+ D)1()1[(8p p pa+-+] 二、填空题11.假设各项均为正数的等比数列{}n a 满足23123a a a =-，那么公比q =． 12.1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，那么=+221b a a ______． 13.等比数列{n a }的公比0q >, 2a =1，216n n n a a a +++=，那么{n a }的前4项和4S =_____14.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n，那么n a =_______.三、解答题15.设二次方程2110()n n a x a x n N *+-+=∈有两个实根α和β，且满足6263ααββ-+=．〔1〕试用n a 表示1n a +；〔2〕求证：2{}3n a -是等比数列； 〔3〕当176a =时，求数列{}n a 的通项公式．16.数列{}n a 满足：111,1,22,nn n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，且*22,n n b a n N =-∈ 〔Ⅰ〕求234,,a a a ；〔Ⅱ〕求证数列{}n b 为等比数列并求其通项公式； 〔Ⅲ〕求和2462n nT a a a a =+++17.在等比数列{}n a 中，,11>a 公比0>q ，设n n a b 2log =，且.0,6531531==++b b b b b b〔1〕求证：数列{}n b 是等差数列；〔2〕求数列{}n b 的前n 项和n S 及数列{}n a 的通项公式； 〔3〕试比拟n a 与n S 的大小.18.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，231,,S S S 成等差数列.〔1〕求{}n a 的公比q ； 〔2〕假设331=-a a ，求n S .等差等比数列求和习题一、选择题.. .word..。
1.3.1等比数列导学案
等比数列1使用说明：完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成自我检测练习。
【学习目标】1. .理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列;2. .掌握等比数列的通项公式并能简单应用;【重点难点】重点：等比数列的定义难点：等比数列通项公式的应用。
一、预习案教材助读：1. 等比数列的定义是什么？2. 咋样求公比？3.等比数列的通项公式是什么？4.公式中各量的含义是什么？5.等比数列中公比以及各项能否为零？预习自测：1 判别下列那些是等比数列？（1）2,2，2，2，…2；(2)a,a,a,…a:(3)1,2,4,8,12,16,20；（4）1，—21，41，—81…2.已知数列1,-2，4,-8，16…，它的公比是————，通项公式是————。
3. 已知数列1，—21，41，—81…则—1281是它的第————项。
二、探究案基础知识探究数列a, 2a,3a…,是否是等比数列？.综合能力探究：一个等比数列的首项是2，第二项与第三项的和是12.求它的第8项的值。
我的收获：规律方法总结：—————————————————————————————————————————————。
当堂训练：1.课本p25页练习2的第1题，第2题2．在等比数列{a n}中，a n>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为()A．16 B．27 C．36 D．813．已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于()A．64 B．81 C．128 D．243我的疑惑：。
高中数学《等比数列》导学案
第二章 数列2.4等比数列一、学习目标1.理解等比数列的定义，会用定义判断等比数列2.掌握等比数列的通项公式并能应用3.掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题4.能够综合运用等比数列的性质和通项公式解决等比数列中的计算问题【重点、难点】重点：等比数列的概念以及通项公式难点：等比数列通项公式以及等比中项的认识和应用，等比数列的性质二、学习过程【导入新课】1．等比数列的定义定义：从第 项起，每一项与它的 的比等于 ，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示。
2.等比数列的通项公式a n =_______ 。
3.等比中项若______成等比数列,称G 为a,b 的等比中项且4. 等比数列项的运算性质 数列{a n }是等比数列 ，若m+n=p+q(m,n,p,q ∈N *) 则a n a m =____【典型例题】例1.(1)等比数列1,5,25,125，…的通项公式为_______.(2)等比数列 …的公比为________. (3)在等比数列{a n }中，已知a n =4n －3，则a 1=________，q=________.(4)3与6的等比中项为________.例2.在等比数列{a n }中，(1)若a 4＝27，q ＝－3，求a 7.(2)若a 2＝18，a 4＝8，求a 1和q.(3)若a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，求a 3.例3.等比数列的性质(1)等比数列{a n }中，a 4=3,a 6=12,a 2·a 8=______.(2)等比数列{a n }中，a 5a 7a 9=27，则a 7=_______.【变式拓展】 1.已知{a n }是等比数列，a 2=2,a 5=14，则公比q=( ) A.-12 B.-2 C.2 D.122.在等比数列{a n }中，已知a 1=1，a 4=8，则a 6=( )A.16B.16或-16C.32D.32或-323.若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( ) A. 3B. 4C. 5D. 6111,,,10100 1 000－－－三、总结反思1.推导等比数列通项公式的常见方法(1)迭代法：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由等比数列的定义得，a n =a n －1q=a n －2q 2=a n －3q 3=…=a 2q n －2=a 1q n －1.(2)归纳法：a 2=a 1q ，a 3=a 2q=a 1q 2，a 4=a 3q=a 1q 3，…，a n =a n －1q=a 1q n －1.(3)累乘法：=q ·q ·q ·…·q ，即 故a n =a 1q n －1 2.理解等比数列通项公式应注意的三点(1)由等比数列的首项和公比可以写出其通项公式.(2)根据等比数列的通项公式，已知四个量a 1,n,q,a n 中的三个，就可以求出第四个.(3)由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列的项.四、随堂检测1.已知a 是1，2的等差中项,b 是－1，－16的等比中项，则ab=( )A.6B.-6C.±6D.±122.1的等比中项是( )A.±2B.2C.-2D.43.在等比数列{a n }中，若a n =2n ，则a 7与a 9的等比中项为（ ）A.a 8B.-a 8C.±a 8D.前3个选项都不对4.设a 1=2，数列{a n +1}是以3为公比的等比数列，则a 4=__________.5.已知数列{a n }的通项公式a n =2n －6(n ∈N *).(1)求a 2，a 5.(2)若a 2 ，a 5分别是等比数列{b n }的第1项和第2项，求数列{b n }的通项公式b n .6.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =n a 13-(n ∈N *). (1)求a 1,a 2.(2)求证：数列{a n }是等比数列.324n 123n 1a a a a a a a a ⋯－n 1n 1a q a =－，。
等比数列的性质导学案
第二章 数列2.4.2等比数列的性质基本知识点：1、等比数列的项与序号的关系以及性质两项关系：(,)n m n m a a q m n N -*=∈多项关系：(,,,)m n p q m n p q N *+=+∈ 则m n p q a a a a ⋅=⋅ 2、等比数列的判定（1）定义法：1n n a q a +=（q 为常数且不为零）⇔{}n a 为等比数列；（2）等比中项法：212n n n a a a ++=⋅（n N *∈且0n a ≠）⇔{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：11n na a q -=（10a ≠且0q ≠）⇔{}n a 为等比数列；温故知新：1、等比数列}{n a 中，24a ＝6a -5a ，则公比是( )(A)0 (B)1或2 (C)-1或2 (D)－1或-22、若等比数列的首项为1，末项为512，公比为2，则这个数列的项数为____.3、若22是b -1，b +1的等比中项，则b =________.4、等比数列}{n a 中，已知2a =3,5a =24，求8a 的值.课后检测：1.在等比数列}{n a 中，若a 4＝-8，公比q =2，则a 8＝( )(A)128 (B)-128 (C)64 (D)-642.等差数列}{n a 的公差为1，若a 1，a 2，a 4成等比数列，则a 3＝( )(A)1 (B)2 (C)-3 (D)33.在等比数列}{n a 中，若a 3＝3，a 7=6，则a 11＝______.4.设等比数列}{n a 中，a 3是a 1,a 2的等差中项，则数列的公比为______.5.在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,求插入的这三个数的 乘积.能力提高：已知数列}{n a 为等差数列且公差d ≠0，}{n a 的部分项组成下列数列：a 1k ,a 2k ,…,a n k 恰为等比数列,其中k 1=1,k 2=5,k 3=17,求k n .参考答案：2.4.2课后检测：1．B 2．D 3．12 4.12-或1 5. 216 能力提高：由题意有2132k k k a a a =,即25117a a a =,∴(a 1+4d)2=a 1(a 1+16d)⇒ a 1=2d 或d=0(舍去）, ∴a 5=a 1+4d=6d ⇒等比数列的公比21k 5k 1a a q 3a a ===. 由于n k a 是等差数列的第k n 项，又是等比数列的第n 项，故()n 1n 1k 1n k a a k 1d a q -=+-=,⇒n 1n k 231-=⋅-.。
高中数学《等比数列的性质》导学案
第2课时 等比数列的性质1.等比数列的项与序号的关系及性质(1)等比数列通项公式的推广(2)等比数列项的运算性质在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝□02a p ·a q . ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ·a n ＝□03a 2k .②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·□04a n －1＝…＝a k ·□05a n －k ＋1＝…. 2．等比数列的常用结论(1)若{a n }是公比为q 的等比数列，则下列数列：①{ca n }(c 为任一不为零的常数)是公比为□06q 的等比数列． ②{|a n |}是公比为□07|q |的等比数列． ③{a m n }(m 为常数，m ∈N *)是公比为□08q m 的等比数列． (2)若{a n }，{b n }分别是公比为q 1，q 2的等比数列，则数列{a n ·b n }是公比为□09q 1·q 2的等比数列．3．等比数列的单调性已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则(1)当⎩⎨⎧ a 1>0，q >1或⎩⎨⎧ a 1<0，0<q <1时，等比数列{a n }为□10递增数列； (2)当⎩⎨⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎨⎧a 1<0，q >1时，等比数列{a n }为□11递减数列．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){a n }是等比数列，若m ＋n ＝p ，则a m ·a n ＝a p .( )(2)若等比数列{a n }的公比是q ，则a n ＝a m q m －n (m ，n ∈N *)．( )(3)若{a n }是有穷等比数列，则a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝…＝a m a n －m ＋1.( )(4)若数列{a n }成等比数列，当m ，n ，p (m ，n ，p ∈N *)成等差数列时，a m ，a n ，a p 也成等差数列．( )答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×2．做一做(1)(教材改编P 53练习T 4)已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 8的值( )A ．35B ．63C ．21 3D ．±213(2)等比数列{a n }中，a 5a 7a 9＝27，则a 7＝________.(3)在等比数列{a n }中，若a 3＝43，a 5＝83，则a 11＝________.(4)若数列{a n }为等比数列，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝4，则a 9＋a 10＝________.答案 (1)B (2)3 (3)643 (4)256探究1 等比数列的性质例1 (1)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )A ．5 2B ．7C ．6D ．±52(2)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2答案 (1)A (2)C解析 (1)解法一：由等比中项的性质知a 1a 2a 3＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝a 38＝10，a 4a 5a 6＝a 35＝(a 2a 8)3＝52，故选A.解法二：因为a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，所以(a 4a 5a 6)2＝(a 1a 2a 3)×(a 7a 8a 9)，即a 4a 5a 6＝±5 2.因为a n >0，所以a 4a 5a 6＝5 2.故选A.(2)解法一：a 5·a 2n －5＝a 2n ＝22n ，注意到a n >0，所以a n ＝2n ，于是log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2.故选C.解法二：a 1·a 2n －1＝a 3·a 2n －3＝…＝a 2n ＝22n ，所以log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3·…·a 2n －1)＝log 2[(a 1a 2n －1)(a 3a 2n －3)…]＝log 22n 2＝n 2.故选C.拓展提升运用等比数列的性质应注意的问题运用等比数列的性质a m ·a n ＝a k ·a l ＝a 2t (m ，n ，k ，l ，t ∈N *)的关键是发现各项的序号之间满足关系m ＋n ＝k ＋l ＝2t ，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列相应的性质混淆．【跟踪训练1】 在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11等于( )A ．10B ．25C ．50D ．75答案 B解析 运用等比数列的性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 可得a 8·a 11＝a 9·a 10＝a 7·a 12＝5，所以a 8·a 9·a 10·a 11＝25.故选B.探究2 灵活设项求解等比数列例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．解 解法一：从前三个数入手，设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，(a ＋d )2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋(a ＋d )2a ＝16，a ＋(a ＋d )＝12.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝9，d ＝－6.所以当a ＝4，d ＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a ＝9，d ＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：从后三个数入手：设这四个数依次为2a q －a ，a q ，a ，aq (q ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a q －a ＋aq ＝16，a q ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a ＝8或⎩⎨⎧ q ＝13，a ＝3.所以当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16；当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法三：从首末两项的和与中间两项的和入手：设这四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2y ＝x ＋(12－y )，(12－y )2＝y (16－x )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.[变式探究] 若将本例中“和是16”改为“积为－128”，将“和是12”改为“积为16”如何求解？解 设所求四个数为2a q －aq ，a q ，aq ，aq 3(q ≠0)．则由已知⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a q ·(aq )＝16，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a q －aq ·(aq 3)＝－128. ①②由①得a 2＝16，∴a ＝4或a ＝－4.由②得2a 2q 2－a 2q 4＝－128.将a 2＝16代入整理，得q 4－2q 2－8＝0.解得q 2＝4或q 2＝－2(舍)，∴q ＝2或q ＝－2.∴所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.拓展提升在解决与等比数列有关的数的设法时常用的规律对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为…，x q ，x ，xq ，…；连续偶数个项成等比数列，可设为…，x q 3，x q，xq ，xq 3，…(注意：此时公比q 2>0，并不适合所有情况)这样即可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便．【跟踪训练2】 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间两个数的和为18，求这四个数．解 设前三个数分别为a q ，a ，aq (q ≠0)，则第四个数为2aq －a ，由题意得⎩⎨⎧ a q ＋(2aq －a )＝21，a ＋aq ＝18，解得q ＝2或q ＝35.当q ＝2时，a ＝6，这四个数为3,6,12,18；当q ＝35时，a ＝454，这四个数为754，454，274，94.探究3 等比数列与等差数列的综合应用例3 若{a n }是公差d ≠0的等差数列，通项为a n ，{b n }是公比为q ≠1的等比数列，已知a 1＝b 1＝1，且a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求d 和q ；(2)是否存在常数a ，b ，使对于一切n ∈N *都有a n ＝log a b n ＋b 成立，若存在，则求a 、b 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋d ＝q ，1＋5d ＝q 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝4.(2)由(1)知a n ＝3n －2，b n ＝4n －1.假设存在常数a ，b ，使a n ＝log a b n ＋b 成立，n ∈N *.则3n －2＝log a 4n －1＋b ＝log a 4n ＋b －log a 4对n ∈N *恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ log a 4＝3，b －log a 4＝－2⇒⎩⎨⎧ a ＝223，b ＝1.拓展提升求解等差、等比数列综合问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系．(2)发挥两个数列的基本量a 1，d 或a 1，q 的作用，并用好方程这一工具．(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验．【跟踪训练3】 若等差数列{a n }的公差为2，且a 5是a 2与a 6的等比中项，则该数列的前n 项和S n 取最小值时，n 的值等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4答案 B解析 由a 5是a 2与a 6的等比中项，可得a 25＝a 2a 6，由等差数列{a n }的公差d 为2，即(a 1＋8)2＝(a 1＋2)(a 1＋10)，解得a 1＝－11，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－11＋2(n －1)＝2n －13，由a 1<0，a 2<0，…，a 6<0，a 7>0，…可得该数列的前n 项和S n 取最小值时，n ＝6.故选B.探究4 等比数列的实际应用例4 从盛满a (a >1)升纯酒精的容器里倒出1升然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去．问：第n 次操作后溶液的浓度是多少？若a ＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?解 设开始的浓度为1，操作一次后溶液浓度a 1＝1－1a ，设操作n 次后溶液的浓度为a n ，则操作n ＋1次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ，从而建立了递推关系．所以{a n }是以a 1＝1－1a 为首项，公比为q ＝1－1a 的等比数列．∴a n ＝a 1q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ，即第n 次操作后酒精的浓度是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ， 当a ＝2时，由a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n <110，解得n ≥4. 故至少应操作4次后才能使酒精浓度小于10%.拓展提升本题是一道有关浓度的应用问题，首先弄清一次操作的含义，其次是列出第n 次操作后第n ＋1次操作后溶液浓度间的递推关系，即a n ＋1＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ，然后利用数列的有关知识解决问题．【跟踪训练4】 容器A 中盛有浓度为a %的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b )，先将A 中农药的14倒入B 中，混合均匀后，再由B 倒入一部分到A 中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?解 设第n 次操作后，A 中农药的浓度为a n ，B 中农药的浓度为b n ，则a 0＝a %，b 0＝b %.b 1＝15(a 0＋4b 0)，a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0)；b 2＝15(a 1＋4b 1)，a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1)；…；b n ＝15(a n －1＋4b n －1)，a n ＝15(4a n －1＋b n －1)．∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1.∵a 0－b 0＝15， ∴a n －b n ＝15·⎝ ⎛⎭⎪⎫35n . 依题意，得15·⎝ ⎛⎭⎪⎫35n <1%，n ∈N *，解得n ≥6. 故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.[规律小结]1.由等比数列的任意两项可求公比若已知等比数列{a n }中的任意两项a n ，a m ，由a n ＝a m ·q n －m 可以求得公比q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n －m a n a m (n －m 为奇数)，±n －m a na m (n －m 为偶数).2.等比数列的“子数列”的性质若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则(1){a n }去掉前几项后余下的项仍组成公比为q 的等比数列；(2)奇数项数列{a 2n －1}是公比为q 2的等比数列；偶数项数列{a 2n }是公比为q 2的等比数列；(3)若{k n }成等差数列且公差为d ，则{akn }是公比为q d 的等比数列，也就是说等比数列中项的序号若成等差数列，则对应的项依次成等比数列．3.等比数列与等差数列的区别与联系[走出误区]易错点⊳忽视题目中的隐含条件而致错[典例] 已知四个实数－9，a 1，a 2，－1成等差数列，五个实数－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，求b 2(a 2－a 1)的值．[错解档案] ∵－9，a 1，a 2，－1成等差数列，∴a 2－a 1＝－1－(－9)4－1＝83. 又－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，∴－9，b 2，－1也成等比数列．∴b 22＝－9×(－1)＝9，∴b 2＝±3.∴b 2(a 2－a 1)＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫3×83＝±8. [误区警示] 由－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，设公比为q ，则b 2＝－9×q 2<0，再由b 22＝－9×(－1)得b 2＝－3.上述解法忽视了“b 2的符号是确定的”这一隐含条件而致错．[规范解答] ∵－9，a 1，a 2，－1成等差数列，∴a 2－a 1＝－1－(－9)4－1＝83. 又－9，b 1，b 2，b 3，－1成等比数列，∴{b 22＝－9×(－1)，b 2<0，∴b 2＝－3. ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8.[名师点津] 等比数列有其自身的特殊性，如定义中就隐含了“等比数列中任一项不为0，公比不为0”这一特性．若公比q >0，则等比数列中所有项同号；若公比q <0，则等比数列中的各项正负相间．做题时，考虑到这一特性，设出公比q ，先确定项的符号，再求项可避免此类错误．1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数数列D ．摆动数列答案 D解析由于公比q＝－14＜0，所以数列{a n}是摆动数列．2．设{a n}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30等于()A．210B．220C．216D．215答案B解析∵a1·a2·a3＝a32，a4·a5·a6＝a35，a7·a8·a9＝a38，…，a28·a29·a30＝a329，∴a1·a2·a3·a4·a5·a6·a7·a8·a9·…·a28·a29·a30＝(a2·a5·a8·…·a29)3＝230.∴a2·a5·a8·…·a29＝210.∴a3·a6·a9·…·a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)＝(a2·a5·a8·…·a29)q10＝210·210＝220.3．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则log2a10＝() A．4 B．5 C．6 D．7答案B解析∵a3·a11＝16，∴a27＝16.又∵等比数列{a n}的各项都是正数，∴a7＝4.又∵a10＝a7q3＝4×23＝25，∴log2a10＝5.故选B.4．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．答案2048解析这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a210＝22·29＝211＝2048.5．在等差数列{a n}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，ak n，…成等比数列，求数列{k n}的通项公式．解由题意得a n＝a1＋(n－1)d，a22＝a1a4，∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d.∵d≠0，∴d＝a1，则a n＝nd.由已知得d,3d，k1d，k2d，…，k n d，…是等比数列．∵d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，k n，…也是等比数列．其首项为1，公比为q＝31＝3，则k1＝9.∴等比数列{k n}的首项k1＝9，公比q＝3，∴k n＝9×3n－1＝3n＋1，即数列{k n}的通项公式为k n＝3n＋1.A级：基础巩固练一、选择题1．在等比数列{a n}中，首项a1<0，要使数列{a n}对任意正整数n都有a n＋1>a n，则公比q应满足()A．q>1 B．0<q<1C.12<q<1 D．－1<q<0答案B解析a n＋1－a n＝a1q n－1(q－1)>0对任意正整数n都成立，而a1<0，只能0<q<1.2．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于()A．16 B．32 C．64 D．256答案C解析由已知，得a1a19＝16，又∵a1·a19＝a8·a12＝a210，∴a8·a12＝a210＝16，又a n>0，∴a10＝4，∴a8·a10·a12＝a310＝64.3．在等比数列{a n}中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于()A．81 B．27327 C．3 D．243答案A解析因为数列{a n}是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)＝(a1a10)4＝34＝81.故选A.4．设数列{a n}为公比不为－1的等比数列，则下面四个数列：①{a3n}；②{pa n}(p为非零常数)；③{a n·a n＋1}；④{a n＋a n＋1}．其中是等比数列的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析 对于①，因为a 3n ＋1a 3n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 3＝q 3(常数)，所以{a 3n }是等比数列；对于②，因为pa n ＋1pa n ＝a n ＋1a n ＝q (常数)，所以{pa n }是等比数列；对于③，因为a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 2(常数)，所以{a n ·a n ＋1}是等比数列；对于④，因为a n ＋1＋a n ＋2a n ＋a n ＋1＝a n q ＋a n ＋1q a n ＋a n ＋1＝q (a n ＋a n ＋1)a n ＋a n ＋1＝q (常数)．所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列． 二、填空题5．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是________．答案 3或27解析 设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.∴这个未知数为3或27. 6．在等比数列{a n }中，各项均为正值，且a 2a 14＋a 2a 6＝48，a 3a 9＝6，则a 4＋a 8＝________.答案 215解析 ∵a 2a 14＋a 2a 6＝48，a 3a 9＝6，∴a 28＋a 24＝48，a 4a 8＝6，因此(a 4＋a 8)2＝a 28＋a 24＋2a 4a 8＝60.又∵{a n }的各项均为正数，∴a 4＋a 8＝215. 7．公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.答案 16解析 ∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，∵b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.三、解答题8．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于多少？解 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，解得a 1＝d .∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316. 9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．解 由已知，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，∴a ＝2，这三个数可表示为2－d,2,2＋d ，①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解得d ＝6，或d ＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解之得d ＝－6，或d ＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d )·(2－d )，∴d ＝0(舍去)．综上可求得这三个数为－4,2,8.10．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1.(1)证明数列{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)设b n ＝log 3(1－S n ＋1)，求满足方程1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝2551的n 的值． 解 (1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23.当n ≥2时，∵S n＝1－12a n ，∴S n －1＝1－12a n －1，∴S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，∴a n ＝13a a n －1.故{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列，故a n ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13a n －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .(2)∵1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ， ∴b n ＝log 3(1－S n ＋1)＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝－n －1， ∴1b n b n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝12－1n ＋2， 解方程12－1n ＋2＝2551，得n ＝100. B 级：能力提升练1．若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m n的值是( ) A ．4 B ．2 C.12 D.14答案 D解析 由题意可知1是方程之一根，若1是方程x 2－5x ＋m ＝0的根则m ＝4，另一根为4，设x 3，x 4是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，则x 3＋x 4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x 3、4、x 4，公比为2、x 3＝2、x 4＝8、n ＝16、m n ＝14；若1是方程x 2－10x ＋n ＝0的根，则n ＝9，另一根为9，设x 2－5x ＋m ＝0之两根为x 1，x 2则x 1＋x 2＝5，无论什么顺序均不符合题意．2．设数列{a n }是公比小于1的正项等比数列，已知a 1＝8，且a 1＋13,4a 2，a 3＋9成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n (n ＋2－λ)，且数列{b n }是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 解 (1)设数列{a n }的公比为q .由题意，可得a n ＝8q n －1，且0<q <1.由a 1＋13,4a 2，a 3＋9成等差数列，知8a 2＝30＋a 3，所以64q ＝30＋8q 2，解得q ＝12或152(舍去)，所以a n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n .(2)b n＝a n(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由b n>b n＋1，得(n＋2－λ)·24－n>(n＋3－λ)·23－n，即λ<n＋1，所以λ<(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。
等比数列导学案设计
课题等比数列（一课时）课型新课媒体用具PPT 日期学习目标：1．通过实例，理解等比数列的概念并会应用2．掌握等比中项的概念并会应用3．理解等比数列的通项公式及推导重点：等比数列的定义及通项公式难点：灵活应用定义式及通项公式解决相关问题过程学习内容师生活动及设计意图一、二、复习引入：等差数列的定义：na－1-na=d ，（n≥2，n∈N+）观察：请同学们仔细观察一下，看看数列①、②、③、有什么共同特征？①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，…③1，20，220，320，420，…新知探究1、等比数列的概念：一般的，，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q表示。
符号表示：引例中的三个等比数列的通项公式分别是？猜想，等比数列的通项公式？2.等比数列的通项公式的推导:1）累乘法：2）归纳法：3、等比中项：若bGa,,成等比数列，则bGa,,的关系？G叫做a与b的，此时a与b（填同号或异号）。
学生观察找出共同特点/3通过类比法学生归纳等比数列定义思考？1）定义中的关键句？2）公比能否为0？3）公比为1时？4）常数列？是等差数列还是等比数列组内合作探究等比数列通项公式过程学习内容师生活动及设计意图三、四、五、六、跟踪练习（抢答）1. 已知下列数列是等比数列，请在括号内填上适当的数：①（），3,27；②2，（），8；③1，（），（），881．3、下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？（1）1,1,1,1,1；2）8,4,2,1,0；（3）161,81,41,21,1--（4）432,,,xxxx4、求出下列等比数列中的未知项：（1）8,,2a；（2）21,,,4cb-5、判断正误：①1，2，4，8，16是等比数列；②数列Λ,81,41,21,1是公比为2的等比数列；③若cbba=，则cba,,成等比数列；④若()*1Nnnaann∈=+，则数列{}n a成等比数列；合作学习例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项例2、三个数成等比，这三个数的和是7，这三个数的积是8，求这三个数。
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《等比数列》导学案
一、教学目标：
1、通过具体实例抽象出等比数列模型，理解并掌握等比数列概念；
2、类比等差中项的概念掌握等比中项的概念；
3、理解等比数列的通项公式及推导，并能简单的应用公式。
二、教学过程：
（一）自主探究：
1、等比数列的概念：一般的， ，那么这个数 列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q 表示。
2. 符号表示：若()为常数q n q a a n n ,21
≥=-，则称数列{}n a 为 ，q 为 ，且≠q 。
3、等比中项：若b G a ,,成等比数列，则G 叫做a 与b 的 ，此时a 与b （填同号或异号）。
4、等比数列的通项公式为： 。
5、等比数列的函数特征：
预习自测：
1. 已知下列数列是等比数列，请在括号内填上适当的数：
①（ ），3,27； ②3，（ ），5； ③1，（ ），（ ），
881． 2、等比数列211473,3,3,1，…中，983是这个数列的第 项．
3、下列数列是否为等比数列，如果是，公比是多少？
（1）1,1,1,1,1； （2）8,4,2,1,0； （3）161,
81,41,21,1-- （4）432,,,x x x x 4、求出下列等比数列中的未知项：
（1）8,,2a ； （2）2
1,,,4c b - 5、判断正误：
①1，2，4，8，16是等比数列； （ ）
②数列 ,8
1,41,21,
1是公比为2的等比数列； （ ） ③若c
b b a =，则
c b a ,,成等比数列； （ ） ④若()*1N n n a a n n ∈=+，则数列{}n a 成等比数列； （ ） 思考：如何证明一个数列是等比数列：
（二）合作学习
例1、一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项
例2、三个数成等比，这三个数的和是7，这三个数的积是8，求这三个数。
例3、已知数列{}n a 的前n 项和n S =1(1)3n a -，*n N ∈，求证：数列{}n a 是等比数列。
（三）巩固训练，反馈回授：
1．如果1,,,9a b c --，成等比数列，那么（ ）
A ．3,9b ac == B.3,9b ac =-= C.3,9b ac ==- D.3,9b ac =-=-
2. 等比数列{}n a 中，13a =，2q =，则3a 与7a 的等比中项是___________
3.（1） 一个等比数列的第9项是
94，公比是－31，求它的第1项 （2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项
4．在等比数列{}n a 中，
（1）472,8a a ==，求n a ；（2）253618,9a a a a +=+=，1n a =，求n
（四）师生总结：
（五）课后作业：
1、课本53页习题2.4 A 组1题
2、课本54页7、8题。