2013届高考北师大版数学总复习课件：8.7空间向量及其运算

)
[答案] D → → → → 2 [解析 ] AB∥CD ⇔AB＝ kCD ，得 2＝3k，∴ k＝ . 3
15 ∴ x＝ 6， y＝ . 2
→ 3．已知点 A(2，－ 5,1)，B(2，－ 2,4)，C(1，－4,1)，则AB与 → AC的夹角为( A． 30° C． 60° ) B． 45° D． 90°
→ → 1 1 1 (B1A1＋A1D1 )＝ c＋ (－ a＋ b)＝－ a＋ b＋ c. 2 2 2
→ → → → 2．已知AB＝ (2,4,5)，CD ＝ (3，x，y)， 若AB∥CD ， 则( A． x＝ 6， y＝ 15 C． x＝ 3， y＝ 15 15 B． x＝ 3， y＝ 2 15 D． x＝ 6， y＝ 2
②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a，b，则|a||b|cos〈a，b〉 叫做向量 a， b 的数量积，记作 a· ． b＝|a||b|cos〈a· b〉 b ，即a·
(2)空间向量数量积的运算律
b) ； ①结合律：(λa)· b＝ λ(a·
a； ②交换律：a· b＝ b·
b＋ a· c . ③分配律：a· (b＋ c)＝ a·
4．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 若 a＝ (a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)， 则 a· b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
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(2)共线与垂直的坐标表示 设 a＝ (a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)， a1＝λb1 ， b ＝0⇔ 则 a∥b⇔ a＝λb⇔ a2＝λb2 ， a⊥ b⇔ a· a ＝λb ， 3 3
[答案] C
→ → [解析] ∵AB＝(0,3,3)，AC＝(－ 1,1,0)， → → ∴ cos<AB，AC>＝ → → ∴ <AB，AC>＝ 60° . 1 2 2 2 2＝2， 3 ＋ 3 × －1 ＋ 1 3
4． (2012· 广东广州模拟)在空间直角坐标系中，点 A(1,1,1) 与点 B(2,2，－ 1)之间的距离为 ( A. 6 C. 3 B． 6 D． 2 )
→ 若 A(a1， b1， c1)， B(a2， b2， c2)，则|AB|＝
a2－a12＋b2－b12＋c2－c12 .
基 础 自 测
1.(教材改编题 )如下图，在平行六面体 ABCD— A1B1C1D1 → → → 中， M 为 AC 与 BD 的交点，若A1B1＝ a，A1D1 ＝ b，A1A ＝ c， → 则下列向量中与B1M 相等的向量是( )
3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a， b， 在空间任取一点 O， 作OA ＝a， OB
〈a，b〉 ＝b，则∠AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 ，其范围
π 0 ≤〈 a ， b 〉≤ π 是 ，若〈a， b〉＝ ，则称 a 与 b互相垂直， 2 记作 a⊥b.
→ → → → → → ＋xMA ＋yMB 或OP ＝ xOM ＋ yOA ＋ zOB ，其中 x＋ y＋ z＝1.
(3)空间向量基本定理 如果向量 e1， e2， e3 是不共面的向量， a 是空间任一向量， 那么存在唯一一组实数 λ1，λ2，λ3，使得 a＝ λ1e1＋λ2e2＋λ3e3 ， 把 e1， e2， e3 叫做空间的一个基底．
→ → OP ＝OA ＋ ta
①
→ 其中 a 叫直线 l 的方向向量，t∈ R，在 l 上取AB＝a，则① → → → → → → 可化为OP ＝ OA ＋tAB或OP ＝ (1－ t)OA ＋ tOB .
(2)共面向量定理的向量表达式为： p＝ x a＋y b ，其中 x， y∈ R， a，b 为不共线向量，推论 → → → → → 的表达式为MP ＝ xMA ＋ yMB 或对空间任意一点 O 有，OP ＝OM
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 (a，b 均为非零向量)．
(3)模、夹角和距离公式 设 a(a1， a2， a3)， b＝ (b1， b2， b3)，
2 2 2 a ＋ a ＋ a 则|a|＝ a· a＝ 1 2 3 ， a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b 2 2 2 2 2 2 cos〈 a， b〉＝ ＝ a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3 . |a||b|
知识梳理 1．空间向量的概念及运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵 循 三角形法则和平行四边形法则 ，数乘运算和数量积运算与 平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量 的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标．
2．共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠ 0)，a∥b 的充要条件是存在 唯一的实数 λ，使 a＝λ b . 推论 如图所示，点 P 在 l 上的充要条件是：
1 1 A．－ a＋ b＋ c 2 2 1 1 C. a－ b＋ c 2 2
1 1 B. a＋ b＋ c 2 2 1 1 D．－ a－ b＋ c 2 2
[答案] A → → → → 1 → → → 1 [解析 ] B1M ＝ B1B ＋BM ＝ A1A ＋ ( BA ＋ BC )＝ A1A ＋ 2 2
[答案] A
[解析] 由空间两点间距离公式可得 | AB|＝ 1－ 22＋1－22＋1＋ 12＝ 6.
第 七 节
空间向量及其运算(理)
考纲解读 1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其 意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的 数量积判断向量的共线与垂直．
考向预测 1．以选择、填空的形式考查空间向量的概念、数量积及 其运算性质． 2．利用向量法判断或证明线面垂直、平行问题． 3．利用空间向量来求空间角、距离等问题． 4．运用空间向量的线性运算及数量积考查点共线、点共 面、线共面问题．