压杆的稳定性问题
压杆稳定—提高压杆稳定性的措施(建筑力学)
提高压杆稳定性的措施
1.合理选择材料 细长压杆：
ห้องสมุดไป่ตู้ cr
2E 2
采用E值较大的材料可提高压杆的稳定性 由于各种钢材的E值大致相同，所以对大柔度钢压杆不宜选用优质钢材，以避 免造成浪费。
中粗压杆
cr a b
短粗压杆
cr u
采用强度较高的材料能够提高其临界应力，即能提高其稳定性。
提高压杆稳定性的措施
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
Page24
第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
压杆稳定性计算公式例题
压杆稳定性计算公式例题在工程结构设计中，压杆是一种常见的结构元素，用于承受压力和稳定结构。
在设计过程中，需要对压杆的稳定性进行计算，以确保结构的安全性和稳定性。
本文将介绍压杆稳定性计算的基本原理和公式，并通过一个例题进行详细说明。
压杆稳定性计算的基本原理。
压杆稳定性是指压杆在受压力作用下不会发生侧向屈曲或失稳的能力。
在进行压杆稳定性计算时，需要考虑压杆的材料、截面形状、长度、支座条件等因素，以确定其稳定性。
一般来说，压杆的稳定性可以通过欧拉公式或约束条件来计算。
欧拉公式是描述压杆稳定性的经典公式，其表达式为：Pcr = (π^2 E I) / (K L)^2。
其中，Pcr表示压杆的临界压力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，K表示约束系数，L表示压杆的有效长度。
这个公式是基于理想的弹性理论，适用于较长的细杆，但在实际工程中，压杆的稳定性计算可能还需要考虑其他因素。
除了欧拉公式外，压杆稳定性计算还需要考虑约束条件。
约束条件是指压杆在受力时的支座和边界条件，对压杆的稳定性有重要影响。
在实际工程中，约束条件可以通过有限元分析等方法来确定，以获得更精确的稳定性计算结果。
压杆稳定性计算的例题分析。
下面我们通过一个例题来说明压杆稳定性计算的具体步骤和方法。
假设有一根长度为2m的钢质压杆，截面形状为矩形，截面尺寸为100mm ×50mm，弹性模量为2.1 × 10^5 N/mm^2。
现在需要计算在这根压杆上施加的最大压力，使得其不会发生侧向屈曲或失稳。
首先，我们需要计算压杆的有效长度。
对于简支压杆，其有效长度可以通过以下公式计算：Le = K L。
其中，K为约束系数，对于简支压杆，K取1。
所以，这根压杆的有效长度为2m。
接下来，我们可以使用欧拉公式来计算压杆的临界压力。
根据欧拉公式，可以得到：Pcr = (π^2 E I) / L^2。
其中，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
根据矩形截面的惯性矩公式，可以计算得到I = (1/12) b h^3 = (1/12) 100mm (50mm)^3 = 5208333.33mm^4。
材料力学：第九章 压杆稳定问题
实际临界力
若杆端在不同方向的约束情况不同， I 应取挠 曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要 综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力， 得到直杆的实际临界力（最小值）。
求解临界压力的方法：
1. 假设直梁在外载荷作用下有一个初始的弯曲变形
2. 通过受力分析得到梁截面处的弯矩，并带入挠曲线 的微分方程
P
采用挠曲线近似微分方程得
B
到的d —P曲线。
Pcr A
B'
可见，采用挠曲线近
似微分方程得到的d —P曲
线在压杆微弯的平衡形态
d
下，呈现随遇平衡的假象。
大挠度理论、小挠度理论、实际压杆
欧拉公式
在两端绞支等截面细长中心受压直杆
的临界压力公式中
2EI
Pcr l 2
形心主惯矩I的选取准则为
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形
P
压杆稳定性的概念
当P较小时，P
Q
P
当P较大时，
P Q
稳定的平衡态
P
撤去横向力Q 稳定的
小
稳
P定
的
P P
临界压力
Pcr
不
稳
撤去横向力Q 不稳定的
定 的
P
大
不稳定的平衡态
压杆稳定性的概念
压杆稳定性的工程实例
细长中心受压直杆临界 力的欧拉公式
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
压杆的线（性）弹性稳定性问题
利用边界条件
得 w D,
xl
Dcos kl 0
若解1
D0
表明压杆未发生失稳
w(x) Asin kx B cos kx D
压杆稳定习题及答案
压杆稳定习题及答案【篇一：材料力学习题册答案-第9章压杆稳定】xt>一、选择题1、一理想均匀直杆受轴向压力p=pq时处于直线平衡状态。
在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ a ）。
a、弯曲变形消失，恢复直线形状；b、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； c、微弯状态不变； d、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力p=pq时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力p，则压杆的微弯变形（ c ）a、完全消失b、有所缓和c、保持不变d、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ d）来判断的。
a、长度b、横截面尺寸c、临界应力d、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ a）对临界应力的影响。
a、长度，约束条件，截面尺寸和形状；b、材料，长度和约束条件；c、材料，约束条件，截面尺寸和形状；d、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同，试判断哪一根最容易失稳。
答案：（ a ）6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。
其柔度为 ( c )a.60；b.66.7；c.80；d.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ d ）所示截面形状，其稳定性最好。
≤?≥?- 1 -10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ c）a、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是；b、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； c、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的； d、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ a ）a. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等；b. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等；c. 临界应力和临界压力一定相等；d. 临界应力和临界压力不一定相等；a、杆的材质b、杆的长度c、杆承受压力的大小d、杆的横截面形状和尺寸二、计算题1、有一长l=300 mm，截面宽b=6 mm、高h=10 mm的压杆。
《工程力学》第十六章 压杆稳定
• 式中：I和A都是与截面有关的几何量，如果将 惯性矩写成横截面面积与某一距离平方的乘积， 即I=Ai2。i称为此横截面面积对于某一轴的惯性 半径。如果截面对y轴或z轴的惯性半径分别为
• 其量纲为长度一次方。常见图形的惯性半径 可从有关手册中查到。将I=Ai2代入(a)式得
•或
• 式中 P——工作压力； • Plj——压杆临界压力； • nw——压杆工作时实际具有的稳定安全
系数； • ［nw］——规定的稳定安全系数。 • 也可采用应力形式表示压杆稳定性条件，
将式(16-10)及式(16-11)，同除以压杆 的横截面面积A得
•或
• 式中［σw］——稳定许用应力。
• 二、折减系数法 • 由式(16-12)可知，压杆的稳定条件为
• 一、减小压杆的支承长度
• 由大柔度杆的临界应力公式
可
知在压杆材料一定的条件下，临界应力与
柔度的平方成反比，压杆的柔度愈小，相
应的临界应力愈高。而柔度
与压
杆长
• 度l成正比，减小压杆支承长度是降低柔度的方 法之一，在条件允许的情况下，应尽可能地减 小压杆的长度。例如，钢铁厂无缝钢管车间的 穿孔机的顶杆(图16-14)，为了提高其稳定性， 在顶杆中段增加一个抱辊装置，这就达到了提 高顶杆稳定性的目的。
于是，压杆稳定性条件可以写成
• 对于已有压杆，其λ已知，可直接查表163得φ，代入式(16-14)进行稳定性校核。至
于设计截面尺寸，可采用逐次逼近法，即先
设定一个φ值，由式(16-14)计算出A值，然
后进行验算、调整，使杆件的工作应力逐渐 靠近许用应力。
表16-3.tif
第11章 压杆稳定性问题
相等，则此压杆的临界压力又为多少？
（压杆满足欧拉公式计算条件）
h
动脑又动笔
解： 一端固定，一端自由，长度因数 μ=2 在应用欧拉公式时，截面的惯性
矩应取较小的I 值。
Iy 1 3 1 hb 90 403 mm 4 48 104 mm 4 12 12
b
F
l
1 3 1 I z bh 40 903 mm 4 243 104 mm 4 12 12
理解长细比、临界应力和临界应力总图的概念，熟 悉各类压杆的失效形式。
§11–1 压杆稳定性的基本概念
① 强度 衡量构件承载能力的指标 ② 刚度 ③ 稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全 可靠地工作。 杆件在各种基本变形下的强度和刚度问题在前述各章节中 已作了较详细的阐述，但均未涉及到稳定性问题。事实上， 杆件只有在受到压力作用时，才可能存在稳定性的问题。
屈曲曲线是偏离原直线轴线不远的微弯状态。
F F EI L
M d2w 2 EI dx
§11–2 细长压杆的临界荷载—欧拉临界力
一、两端铰支压杆的临界力
多大的轴向压力才会使压杆失稳？
d2w EI 2 Fw 0 dx
y
M EI x w L
记
F
k2
F EI
F
F
x
d2w 2 k w0 2 dx
§11–3长细比的概念 三类不同压杆的判断
三、临界应力总图
cr
S
P
cr s
cr a b
2E cr 2
粗短杆 s
s s a
b
中长杆
P
细长杆
第11章压杆稳定
压杆截面如图所示。两端为柱形铰链约束，
若绕 y 轴失稳可视为两端固定，若绕 z 轴失稳可视为 两端铰支。已知，杆长l=1m ,材料的弹性模量
E=200GPa，sp=200MPa。求压杆的临界应力。
解：
iy 1 3 ( 0 . 03 0 . 02 ) Iy 12 0.0058m A 0.03 0.02
3.压杆失稳：
弹性杆件 稳定直线平衡
F Fcr
F Fcr
F Fcr
F Fcr
微小扰动 恢复直线平衡 不稳定直线平衡
F Fcr
弯曲 除去扰动
v
弯曲
微小扰动
新的弯曲平衡 随遇平衡
除去扰动
F Fcr 除直线平衡形式外，无穷小邻域内，可能微弯平衡
压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变，称为失稳
一、两端铰支的细长压杆：
x
Fcr
F M(x)=Fw
l m w B m
m
x
m
B y F
x
y
Fcr
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 w f ( x ) 该截面的弯矩
M ( x ) Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EIw '' M ( x ) Fw
2
（ a）
m
F 令k 得 w '' k 2 w 0 (b) EI
16
4.压杆的临界压力： 稳 定 平 衡 临界状态
过 渡
临界压力：Fcr
不 即：使压杆保持在微 稳 弯状态下平衡的最小 定 轴向力。 平 衡
F Fcr —稳定平衡状态 F Fcr —临界平衡状态 F Fcr —不稳定平衡状态
提高压杆稳定性的措施
提高压杆稳定性的措施压杆是在机械工程和结构工程中经常使用的一种构件，用于支撑、固定或调整结构的位置和形状。
在一些特定的应用中，压杆可能面临着稳定性的问题，因此需要采取一些措施来提高其稳定性。
下面将介绍一些可以提高压杆稳定性的措施。
1.增加固定点的刚度：在压杆两端的固定点，可以通过改变支撑构造或增加支撑的数量来提高固定点的刚度。
增加固定点的刚度可以有效地减小压杆的位移或变形，在很大程度上提高了压杆的稳定性。
2.增加压杆的截面积：压杆的截面积越大，其在承受压力时的变形和变位越小。
因此，增大压杆的截面积可以提高其抗压能力，从而提高压杆的稳定性。
这可以通过增加压杆的直径或者采用更厚的材料来实现。
3.增加材料的强度：材料的强度是压杆稳定性的重要因素之一、因此，可以通过选择强度更高的材料来提高压杆的稳定性。
例如，工程师可以使用高强度钢材来制造压杆，以提高其承载能力和稳定性。
4.增加压杆的长度：增加压杆的长度可以有效地提高其稳定性。
根据欧拉公式，压杆的临界压力与长度成反比。
因此，通过增加压杆的长度，可以降低压杆的临界压力，提高其稳定性。
同时，增加压杆的长度还可以增大其受力面积，分散受力，从而减小应力集中。
5.增加压杆的支撑方式：压杆的支撑方式是影响其稳定性的重要因素之一、传统的支撑方式是在两端固定点进行支撑，可以通过改变支撑点的位置或增加支撑点的数量来提高压杆的稳定性。
此外，还可以采用斜支撑或环形支撑等新型支撑方式，以进一步增加压杆的稳定性。
6.加入支撑构件：在压杆的受力部位加入支撑构件是提高其稳定性的有效手段之一、支撑构件可以通过增加结构的稳定性，使压杆受力更加均匀，减小结构的变形。
根据具体情况，可以选择不同形式和位置的支撑构件，以提高压杆的稳定性。
总之，提高压杆的稳定性是设计和工程实践中重要的问题之一、通过采取上述措施，可以有效地提高压杆的稳定性，保证结构的安全性和可靠性。
当然，在实际应用中，还需要根据具体情况进行综合考虑和工程计算，以确保采取的措施能够产生预期的效果。
第 11 章 压杆的稳定性问题
直线形状平衡 稳定的
第 11 章 压杆的稳定性问题 2.不稳定性
F F>Fpcr
压杆稳定性的基本概念
直线平衡平衡状态转变为弯曲平 衡状态，扰动除去后，不能够恢 复到直线平衡状态，则称原来的 直线平衡状态是不稳定的。
FP<FPcr :在扰动作用下，
直线形状平衡 不稳定的
第 11 章 压杆的稳定性问题
第 11 章 压杆的稳定性问题
P
A
(a )
三类不同压杆的判断
h
y
b
h
B
y
P 解：正视图平 面弯曲截面绕 z 轴转。 3 P
x
P
z
l
A bh 1.0
iz Iz A
bh Iz 12
h 2 3
z
l
iz
1 2300 2
60
3
132.8 P 100
σp σe σs
压杆稳定性的基本概念
三、三种类型压杆的不同临界状态
σ
σb
ε
第 11 章 压杆的稳定性问题 欧拉临界力 §11-2 细长压杆的临界载荷---欧拉临界力
一、两端铰支的细长杆
F x F x
F
l M w x w w
压杆
微弯下平衡
内力与变形
第 11 章 压杆的稳定性问题
x
欧拉临界力
M =F w EI w〞= － M =－F w
欧拉临界力
二、其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式
方法1： 同欧拉公式， 微分方程 + 边界条件 方法2： 相当长度法 在压杆中找出长度相当于两端铰支的 一段（即两端曲率为零或弯矩为零），该 段失稳曲线为半波正弦曲线，该段临界力 即压杆的临界力。
压杆的稳定计算
故稳定安全因数nst一般大于强度安全因数n。
二、稳定性计算步骤
(a)、确定压杆的长度因数、截面的惯性半径i， 计算杆件的柔度；
μ, i = I λ = μl
A
i
(b)、确定压杆的材料系数s以及p；
λp
π2E σp
λs
a
- σs b
(c)、根据杆件的与材料的常数p和s比较，确定
杆件的类型，并选择对应公式计算临界应力，并确定
σ
=
F A
σcr nst
= [σcr ]
n=
Fcr F
[nst ]
注意：对于局部有截面削弱的压杆，按没削弱的截面 尺寸计算稳定性，对削弱截面进行强度校核。
三、三类问题的分析计算
(a)、临界压力的计算：先确定柔度，判断属于哪 一类压杆，选择合适的公式计算临界压力。切忌乱用 公式，否则结果偏于危险。
σ = F 80103 63.66MPa
A π 0.042
4 螺杆的工作稳定安全因数为
n
=
σcr σ
=
218.88 =3.44 63.66
nst
=
3
故千斤顶的螺杆是稳定的。
(b)、稳定性计算：对于结构，首先确定压杆压力， 计算工作安全系数，由稳定条件判断是否满足稳定性 设计准则。
(c)、设计压杆横截面尺寸：采用试算法，先由欧 拉公式确定截面尺寸，再检查是否满足欧拉公式的适 用条件。
例：一螺旋式千斤顶，材料为Q235钢。若螺杆旋出的
最大长度l=38cm，内径d0=4cm。最大起重量F=80kN， 规定的稳定安全系数nst=3，试校核螺杆的稳定性。
临界载荷。
p：大柔度杆，欧拉公式：
π2E σcr = λ2
第十五章 压杆稳定
课题一 压杆稳定的概念
如上图，在自由端沿杆轴线方向施较小压力时，压杆处于直线平 衡状态（图a），此时若施加一微小横向干扰力，使杆处于微弯状 态（图b），然后将干扰力去除，杆经过几次左右摆动后，仍能回 复到原来的直线平衡状态（图c），这说明压杆的直线平衡状态是 稳定的。
但当压力F增大到某一数值时，压杆在微小干扰力作用下，杆即变 弯。当去除干扰力，杆不再回复到原来的直线平衡状态，而是处 于微弯平衡状态，称此时压杆的直线平衡状态不稳定。
（1）计算螺杆的柔度： i
I A
d
4 0
/
64
d0
40 mm 10mm
d
2 0
/
4
4
4
l 2 375 75
i 10
（2）计算临界应力
cr s a2 275 0.00853 压杆稳定校核与提高压杆稳定性的措施
（3）校核螺杆的稳定性。
稳定许用应力为：
[
w
]
cr nw
227 4
MPa
56.8MPa
螺杆的工作应力为： F 70 103 MPa 55.7MPa
A 40 2 / 4
[ w ]
，所以螺杆是稳定的。
二、提高压杆稳定性的措施
提高压杆的稳定性，关键在于提高压杆的临界力或临界应力。
第十五章 压杆稳定 课题三 压杆稳定校核与提高压杆稳定性的措施
对于钢材 cr s a2 对于铸铁 cr b a2
式中是与材料有关的常数，单位为MPa，其值可从表中10-2查得。
第十五章 压杆稳定
课题二 临界力和临界应力
压杆的临界应力是其柔度λ的函数，其函数图象（下图）称为临界 应力总图。
第十五章 压杆稳定
压杆的稳定性问题
i I A
——惯性半径
Iz Aiz2, Iy Aiy2.
cr 压杆容易失稳
10.3.2 三类不同压杆的区分
压杆的分类 1 大柔度杆
2 中柔度杆 3 小柔度杆
P
Fcr
π2 EI
(l )2
S P
σcrab
S
σcrσs
10.3.3 三类压杆的临界应力公式
l
i
l
d
200
4
P π
E 97
σP
由于 > P,所以前面用欧拉公式进行试算是正确的,
10.6 结论与讨论
10.6.1 稳定性计算的重要性
1 选用优质钢材并不能提高细长压杆的稳定性,
2 可以提高中、小柔度杆的临界力,
10.6.2 影响承载能力的因素Fcr
Fcr
Fcr
0.5l
压杆约束愈强,其 稳定性愈好,
10.3.4 临界应力总图
小柔度杆 短粗压杆 只需进行强度计算,
cr s
FN
A
s(s)
临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图,
cr
S
cr a b ——直线型经验公式
P
粗短杆 中柔度杆
o
s
cr
2E 2
大柔度杆
P
细长压杆。 l
i
粗短杆 中长杆 细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 p 中长杆—发生弹塑性屈曲 s < p 粗短杆—不发生屈曲,而发生屈服 < s
l
0.5l
l
0.5l
Fcr a)
Fcr b)
c)
10.6.3、提高压杆承载能力的主要途径
第7章(压杆的稳定性问题)重要知识点总结(材料力学)
【陆工总结材料力学考试重点】之（第7章）压杆的稳定性问题1、压杆稳定性的特点？答：1）杆件两端受轴向压缩载荷作用；2）杆子比较细长；3）产生弯曲变形。
2、细长压杆的平衡状态？答：在F的作用下，压杆存在两种平衡状态：直线平衡状态，弯曲平衡状态。
F cr称为临界载荷，即使杆件恰好由直杆变为曲杆的压缩载荷。
压杆稳定性问题的关键就是求临界载荷F cr。
3、细长压杆的临界载荷——欧拉公式？答：细长压杆的临界载荷公式（欧拉公式）：F cr=π2EI (μL)2式中：L为压杆的实际长度，μ为长度系数，μL为压杆的相当长度（有效长度），I为压杆横截面对中性轴的惯性矩，E为弹性模量。
注意：对于上图所示矩形截面压杆，有两种弯曲可能，在xz面弯曲，或yx面弯曲，具体在哪个面弯曲，取决于惯性矩I z=bℎ312和I y=ℎb312的大小。
若I y>I z，则在xz平面内弯曲；若I z>I y，则在xy平面内弯曲；即采用F cr=π2EI(μL)2计算细长压杆的临界载荷时，I取I y、I z里面的较小值。
4、不同约束的长度系数μ值？1）对于图a）：细长压杆的一端为固定端约束，一端为自由端，μ=2 2）对于图b）：细长压杆的两端均为铰链约束，μ=13）对于图c）：细长压杆的一端为固定端约束，一端为铰链约束，μ=0.7 4）对于图d）：细长压杆的两端均为固定端约束， μ=0.5约束的强弱程度顺序：固定端约束>铰链约束>自由端约束可知：约束程度越强，则μ值越小。
5、临界正应力总图？答：根据不同压杆临界正应力σcr与长细比λ之间的关系绘成图，即可得到压杆的临界正应力总图：结论：杆子长细比λ越大，临界正应力σcr（临界载荷F cr=σcr A）越小，则杆子越容易弯曲（实际经验也可知道，杆子越细越长，则越容易被压弯）。
6、压杆的稳定性计算？答：设压杆的临界载荷为F cr，压杆实际承受的工作载荷为F，定义安全系数：n=F crF（可知，对于固定的压杆，其临界载荷为一固定值，则实际承受的工作载荷越小，安全系数就越大，压杆也就越安全），出于工程安全的考虑，假设压杆所允许的工作安全系数为[n]st（大于1的数），则实际操作中就必须满足：n=F crF≥[n]st。
材料力学-10-压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
表10-1 常用工程材料的a和b数值 （P247）
10.3 长细比与压杆分类
3、粗短杆
——不发生屈曲，而发生屈服
s
对于粗短杆，临界应力即为材料的屈服应力:
cr s
三、 临界应力总图与P、s值的确定
π EI FPcr 2 l
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
3.两端固定
同理
M C 0, M D 0
D
FPcr
C
π EI 2 0.5l
2
π EI FPcr 2 l
2
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
两端铰支 ＝1.0
一端自由， 一端固定 ＝2.0
一端铰支， 一端固定 ＝0.7
因为
1.3a
l 1 l 2 l 3
π 2 EI l 2
a
(1)
(2)
(3)
又 故
FPcr
FPcr1 FPcr2 FPcr3
（1）杆承受的压力最小，最先失稳； （3）杆承受的压力最大，最稳定。
10.2 细长压杆的临界荷载 欧拉公式
例题 2
P
c
a\2
已知：图示压杆EI ，且 杆在B支承处不能转动。 求：临界压力。
A
π 2 EI 0.5a 2
第10章 压杆的稳定问题
10.3 长细比与压杆分类
10.3 长细比与压杆分类
一、 临界应力与长细比的概念
欧拉公式应用于线弹性范围
FPcr cr p A
σcr——临界应力(critical stress)； σp——材料的比例极限。 能否在计算临界荷载之前，预先判断压杆是否 发生弹性屈曲？
12-第十一章 压杆的稳定性问题
1111-5 提高压杆稳定性措施
1、减小压杆的支承长度
2、选择合理的截面形状
小
压杆稳定的概念
结
在轴向压力作用下由于细长杆轴线不能维持原 有直线形状的平衡状态, 突然产生显著的弯曲, 有直线形状的平衡状态, 突然产生显著的弯曲, 致使杆件失去工作能力的现象称为失稳。 致使杆件失去工作能力的现象称为失稳。
如图（ ） 如图（a）,截面的惯性矩应为
12 × 20 3 Iy = = 8000cm 4 12 Iy 8000 惯性半径为 ry = = = 5.77cm A 12 × 20
两端铰接时， 两端铰接时，长度系数 其柔度为
λ= l
ry =
= 1,
1 × 700 = 121 > λ p = 110 5.77
细长杆承受轴向压力的工况是很多见的
因此，有必要研究细长压杆的稳定性问题 因此，
稳定平衡与不稳定平衡
考察一根细长压杆，当压力P 不大时，干扰力一旦撤去， 不大时，干扰力一旦撤去， 考察一根细长压杆， 杆经过若干次振动后，仍回复到原来的直线形状， 杆经过若干次振动后，仍回复到原来的直线形状，如图c,这 稳定的平衡。 种保持原有直线形状的平衡是稳定的平衡 种保持原有直线形状的平衡是稳定的平衡。 当压力P 增大到某一数值 Pcr 时，稍受横向力的干 杆即变弯， 扰，杆即变弯，不再恢复 原有的直线形状， 原有的直线形状，而处于 弯曲平衡状态； 弯曲平衡状态；如P值再 稍有增加， 稍有增加，杆的弯曲变形 显著增大， 显著增大，甚至最后造成 破坏， 破坏，这种不能保持原有 直线形状的平衡是不稳定 直线形状的平衡是不稳定 的平衡。 的平衡。如图d.
π 2Ε σ cr = 2 λ
临界力Pcr 临界应力σcr 临界力P
压杆稳定
压杆稳定一、压杆稳定的概念压杆的稳定性，是指受压杆件保持其原有平衡状态的能力。
压杆不能保持原有平衡状态的现象，称为丧失稳定，简称失稳。
压杆处于稳定平衡和不稳定平衡之间的临界状态时，其轴向压力称为临界力或临界荷载，用表示。
临界力是判别压杆是否会失稳的重要指标。
二、两端铰支细长压杆的临界力两端为铰支的细长压杆，如图所示。
取图示坐标系，并假设压杆在临界荷载作用下，在xy平面内处于微弯平衡状态。
两端铰支细长压杆的临界荷载为称为欧拉公式。
在两端支承各方向相同时，杆的弯曲必然发生在抗弯能力最小的平面内，所以，式(1)中的惯性矩I应为压杆横截面的最小惯性矩；对于杆端各方向支承情况不同时，应分别计算，然后取其最小者作为压杆的临界荷载。
三、各种支承情况下压杆临界力计算公式可以写成统一形式的欧拉公式式中：μ反映了杆端支承对临界力的影响，称为长度系数，μL称为相当长度。
一端自由，一端固定m＝2.0；两端固定 m＝0.5一端铰支，一端固定 m＝0.7；两端铰支m＝1.0四、压杆的临界应力（一）、临界应力与柔度将临界荷载除以压杆的横截面面积A，即可求得压杆的临界应力，即将截面对中性轴的惯性半径代入,--临界应力欧拉公式---柔度或长细比。
它是一个无量纲量。
λ值愈大，压杆就愈容易失稳。
（二）、欧拉公式的适用范围于是欧拉公式的适用范围可用柔度表示为是与压杆材料性质有关的量。
对于，钢制成的压杆，E=200GPa，，=100的压杆称为大柔度杆或细长杆，其临界力或临界应力可用欧拉公式来计算。
（三）、超出比例极限时压杆的临界应力1、经验公式式中：a、b是与材料的力学性能有关的两个常数，可以通过试验加以测定，使用时可从有关手册上查取。
2、临界应力总图&如果将临界应力与柔度之间的函数关系绘在～λ直角坐标系内，将得到临界应力随柔度变化的曲线图形，称为临界应力总图。
临界应力均随柔度λ的增大而呈逐渐衰减的变化规律。
也就是说压杆越细越长，就越容易失去稳定。
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5.讨论
（1）相当长度 l 的物理意义
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l . l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度.
A
15
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I
应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力.
F<Fcr
F>Fcr
压杆在轴向压力F作用 下处于直线的平衡状态。 F1
当干扰力撤消后杆件仍能恢 复到原来的直线平衡状态
2. 不稳定平衡
F a)
3. 临界力
F<Fcr b)
F>Fcr c)
使压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时
的轴向压力称为临界力，用Fcr表示。
A
2
其他形式的工程构件的失稳问题
(1) 狭长矩形截面梁在横向 力超过一定数值时，会突 然发生侧向弯曲和扭转。
Fcr
Fcr
0.5l
压杆约束愈强， 其稳定性愈好。
l
0.5l
l
0.5l
Fcr a) A
Fcr b)
c) 34
10.6.3、提高压杆承载能力的主要途径
F
[Fcr]
Fcr nst
.
Fcr (2lE)2I22EA
l i
1、选择合理的截面形状： I Fcr
i I A
2、改变压杆的约束形式： 约束越牢固 Fcr。
例如对于Q235钢，E=206GPa，σp=200MPa，可得
p
E p
206109 200106
100
因而用Q235钢制成的压杆，只有当柔度λ≥100时才 能应用欧拉公式计算临界应力。
A
21
10.3.4 临界应力总图
小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
cr s
FN
A
s(s)
临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。
P
Fcr
π 2 EI
(l )2
（2）中柔度杆 S P
σcrab
（3）小柔度杆
S
σcrσAs
18
10.3.3 三类压杆的临界应力公式
临界力Fcr除以横截面面积A，即得压杆的临界应力 crFA cr(l2)E2AI(l2/E i)2
式中，i I / A 为压杆横截面对中性轴的惯性半径。
引入符号 λ称为压杆的柔度
解 考虑杆AB的平衡
A M A 0 ,F C D s i n 2 F 3 0
2m
1m F
C
B
1.5 m
F CD 2.5F10k0N
D
杆CD截面的惯性半径
F
FAx A
i I d 20mm
A4
FAy
C
B
FCD
杆CD的柔度
CD liCD21 0 A2 1.5 03 125
27
2m
1m F
FAx A
nF F cr38.3 1 0 11 7 3N 0 3N 04 .2 1 nst4
故丝杠稳定性满足要求。 A
30
例题10-3 磨床液压装置的活塞杆如图，已知液压缸内径D = 65mm，油压 p =1.2MPa.活塞杆长度 l =1250 mm，材料为35
钢，s =220MPa，E = 210GPa，nst = 6。试确定活塞杆的直
不产生破坏，安全
max [] 产生突然的横向弯曲 而丧失承载能力
短粗杆 长细杆
最大工作应力小于 材料的极限应力
失去稳定性
建立不同的准则，即稳定性条件，确保压杆不失稳
工作最大值 < 临界值
A
5
10.1.3 三种类型压杆的不同临界状态
A
6
A
7
10.2 细长杆的临界载荷—欧拉临界力
10.2.1 两端铰支的细长压杆
临界力概念：干扰力去除后，杆保持微弯状态。 从挠曲线入手，求临界力。
x
F
lm
m
w
x
y
B
y mB
F M(x) = - Fw
x m
A
8
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 wf(x) 该截面的弯矩 M(x)Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EI'' w M (x)F（w a)
令 k2 F EI
得 w ''k2w0
临界力的欧拉公式
Fcr
π2EI l2
Fcr
π2EI (0.7l )2
Fcr
π2EI (0.5l )2
Fcr
π 2 EI (2l )2
长度因数 =1 = 0.7 = 0.5 =2
欧拉公式 的统一形式
Fcr
π 2 EI
(l )2
（ 为压杆的长度因数）
A
14
Fcr
π 2 EI
(l )2
为长度因数 l 为相当长度
3、选择合理的材料： EFcr
但是对于各种钢材来讲，弹性模量的数值相差不大。
（1）大柔度杆——采用不同钢材对稳定性差别不大；
（2）中柔度杆——临界力与强度有关，采用不同材料
对稳定性有一定的影响；
（3）小柔度杆——属于强度问题，采用不同材料有影响。
A
35
4、减小压杆的长度。
5、整个结构的综合考虑。
查表得 P 100 S 60
丝杠柔度 sil2 13077 5 5P
属于中柔度杆
A
29
2）计算临界力 用直线公式，查表得： a = 461MPa b = 2.568 MPa 丝杠的临界应力
σcrab26.4M 8 Pa
丝杠的临界力
FcrσcrA33.1M 7 Pa
3）稳定性校核 丝杠的工作安全因数
径。
A
31
D
p
活塞
解：活塞杆承受的轴向压力为
FπD2 p398N0 4
活塞杆承受的临界压力为
F cr n stF23N 900
把活塞的两端简化为铰支座。
A
活塞杆 d
32
用试算法求直径
（1）先由欧拉公式求直径
Fcr
π(2lE)2I
π2Eπd4 64
(l)2
求得 d = 24.6mm. 取 d = 25mm
（1）计算最大的柔度系数max； （2）根据max 选择公式计算临界应力；
（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷。
A
26
10.5 压杆稳定性计算示例 例10−1 图所示托架中的杆CD为圆截面杆，材料为Q235
钢，直径d = 80 mm，F = 40 kN。若规定的稳定安全系
数nst= 6，试校核托架的稳定性。
（2）用求得直径计算活塞杆柔度
l
i
l
d
200
4
P π
E 97 σP
由于 > P，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。
A
33
10.6 结论与讨论
10.6.1 稳定性计算的重要性
(1) 选用优质钢材并不能提高细长压杆的稳定性。
(2) 可以提高中、小柔度杆的临界力。
10.6.2 影响承载能力的因素Fcr
28
例题10 - 2 千斤顶如图，已知丝杠长度 l = 375 mm ，有效直径 d = 45 mm，材料为45号钢，所受最大轴向压力Fmax = 80 kN， 规定的稳定安全系数为 nst = 4 . 试校核丝杠的稳定性。 解： 1）计算丝杠柔度
丝杠可简化为一端固定、一端自由
长度因数 = 2
截面为圆形 i I d A4
l i
cr
2E 2
欧拉公式的另一形式。
A
19
只有在临界应力小于比例极限的情况下，压杆的 失稳属于弹性失稳，欧拉公式才能成立。
欧拉公式的适用范围为
cr
2E 2
p
或写成
E p
令
p
E p
通常将λ≥λp的压杆称为大柔度杆或细长杆。
A
20
λp为能够应用欧拉公式的压杆柔度的低限值，它取 决于材料的力学性能。
cr
S
cr a b ——直线型经验公式
P
粗短杆 中柔度杆
o
s
cr
2E 2
细长压杆。
大柔度杆
P
A
l i
22
粗短杆 中长杆 细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s)
A
23
10.4 压杆的稳定性计算
10.4.1 压杆的稳定性计算内容
A
C
B
FAy
F
C
B
FCD
1.5 m
D
CD p 杆CD属于大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力
(FCD)cr ( l2C E D I)22206109(1 (2. 58 )2041012/64)
6.54105N654kN
其工作安全系数
n(FCD )cr FCD
1 60 50 46.54nst
托架满足稳定性要求。 A
y
(l) y
iy
.
z
(l)z
iz
.
y z.
A
36
10.6.4、稳定性计算中需要注意的几个重要的问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
A
37