压杆的稳定性问题

F<Fcr
F>Fcr
压杆在轴向压力F作用 下处于直线的平衡状态。 F1
当干扰力撤消后杆件仍能恢 复到原来的直线平衡状态
2. 不稳定平衡
F a)
3. 临界力
F<Fcr b)
F>Fcr c)
使压杆直线形式的平衡由稳定转变为不稳定时
的轴向压力称为临界力，用Fcr表示。
A
2
其他形式的工程构件的失稳问题
(1) 狭长矩形截面梁在横向 力超过一定数值时，会突 然发生侧向弯曲和扭转。
解 考虑杆AB的平衡
A M A 0 ,F C D s i n 2 F 3 0
2m
1m F
C
B
1.5 m
F CD 2.5F10k0N
D
杆CD截面的惯性半径
F
FAx A
i I d 20mm
A4
FAy
C
B
FCD
杆CD的柔度
CD liCD21 0 A2 1.5 03 125
27
2m
1m F
FAx A
nF F cr38.3 1 0 11 7 3N 0 3N 04 .2 1 nst4
故丝杠稳定性满足要求。 A
30
例题10-3 磨床液压装置的活塞杆如图，已知液压缸内径D = 65mm，油压 p =1.2MPa.活塞杆长度 l =1250 mm，材料为35
钢，s =220MPa，E = 210GPa，nst = 6。试确定活塞杆的直
cr
S
cr a b ——直线型经验公式
P
粗短杆 中柔度杆
o
s
cr
2E 2
细长压杆。
大柔度杆
P
A
l i
22
粗短杆 中长杆 细长杆
细长杆—发生弹性屈曲 (p) 中长杆—发生弹塑性屈曲 (s < p) 粗短杆—不发生屈曲，而发生屈服 (< s)
A
23
10.4 压杆的稳定性计算
10.4.1 压杆的稳定性计算内容
Fcr
Fcr
0.5l
压杆约束愈强， 其稳定性愈好。
l
0.5l
l
0.5l
Fcr a) A
Fcr b)
c) 34
10.6.3、提高压杆承载能力的主要途径
F
[Fcr]
Fcr nst
.
Fcr (2lE)2I22EA
l i
1、选择合理的截面形状： I Fcr
i I A
2、改变压杆的约束形式： 约束越牢固 Fcr。
P
Fcr
π 2 EI
(l )2
（2）中柔度杆 S P
σcrab
（3）小柔度杆
S
σcrσAs
18
10.3.3 三类压杆的临界应力公式
临界力Fcr除以横截面面积A，即得压杆的临界应力 crFA cr(l2)E2AI(l2/E i)2
式中，i I / A 为压杆横截面对中性轴的惯性半径。
引入符号 λ称为压杆的柔度
A
C
B
FAy
F
C
B
FCD
1.5 m
D
CD p 杆CD属于大柔度杆，可用欧拉公式计算临界力
(FCD)cr ( l2C E D I)22206109(1 (2. 58 )2041012/64)
6.54105N654kN
其工作安全系数
n(FCD )cr FCD
1 60 50 46.54nst
托架满足稳定性要求。 A
若杆端在各个方向的约束情况不同（如
x y
z
柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳
时的临界压力. I 为其相应中性轴的惯性矩.
即分别用 Iy ，Iz 计算出两个临界压力.
然后取小的一个作为压杆的临界压力.
A
16
10-3 长细比的概念 三类不同压杆的判 断
10.3.1 长细比的定义域概念
cr
Fcr A
例如对于Q235钢，E=206GPa，σp=200MPa，可得
p
E p
206109 200106
100
因而用Q235钢制成的压杆，只有当柔度λ≥100时才 能应用欧拉公式计算临界应力。
A
21
10.3.4 临界应力总图
小柔度杆（短粗压杆）只需进行强度计算。
cr s
FN
A
s(s)
临界应力总图：临界应力与柔度之间的变化关系图。
（1）确定临界载荷 （2）稳定性安全校核
（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷。
A
24
10.4.2 安全因数法与稳定安全条件 1. 工作安全系数
压杆的临界压力与实际工作压力之比，称为工作 安全系数。
2. 稳定安全系数 nst
3. 稳定条件
n
Fcr F
nst
A
25
10.4.3 压杆的稳定性计算过程
siபைடு நூலகம்kx
2
当 klπ时， w sinπx 挠曲线为半波正弦曲线.
lA
11
10.2.2 其它刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式
1.细长压杆的形式
两 端 铰 支
一端 自由 一端 固定
两 端 固 定
一端 固定 一端 铰支
A
12
2.其它支座条件下的欧拉公式
Fcr
Fcr
Fcr
Fcr
l
Fcr
2EI l2
欧拉公式
第十章 压杆的稳定性问题
§10-1 压杆稳定性的基本概念 §10-2 细长压杆的临界载荷-欧拉临界力 §10-3 长细比的概念 §10-4 压杆稳定性计算 §10-5 压杆稳定性计算示例 §10-6 结论与讨论
A
1
10.1 压杆稳定的基本概念
10.1.1 平衡状态的稳定性和不稳定性
1. 稳定平衡
F
（1）计算最大的柔度系数max； （2）根据max 选择公式计算临界应力；
（3）根据稳定性条件，判断压杆的稳定性或确定许可载荷。
A
26
10.5 压杆稳定性计算示例 例10−1 图所示托架中的杆CD为圆截面杆，材料为Q235
钢，直径d = 80 mm，F = 40 kN。若规定的稳定安全系
数nst= 6，试校核托架的稳定性。
5.讨论
（1）相当长度 l 的物理意义
压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
度 l . l是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于
半波正弦曲线的一段长度.
A
15
（2）横截面对某一形心主惯性轴的惯性矩 I
若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等），则 I
应取最小的形心主惯性矩. 取 Iy ，Iz 中小的一个计算临界力.
（2）用求得直径计算活塞杆柔度
l
i
l
d
200
4
P π
E 97 σP
由于 > P，所以前面用欧拉公式进行试算是正确的。
A
33
10.6 结论与讨论
10.6.1 稳定性计算的重要性
(1) 选用优质钢材并不能提高细长压杆的稳定性。
(2) 可以提高中、小柔度杆的临界力。
10.6.2 影响承载能力的因素Fcr
查表得 P 100 S 60
丝杠柔度 sil2 13077 5 5P
属于中柔度杆
A
29
2）计算临界力 用直线公式，查表得： a = 461MPa b = 2.568 MPa 丝杠的临界应力
σcrab26.4M 8 Pa
丝杠的临界力
FcrσcrA33.1M 7 Pa
3）稳定性校核 丝杠的工作安全因数
不产生破坏，安全
max [] 产生突然的横向弯曲 而丧失承载能力
短粗杆 长细杆
最大工作应力小于 材料的极限应力
失去稳定性
建立不同的准则，即稳定性条件，确保压杆不失稳
工作最大值 < 临界值
A
5
10.1.3 三种类型压杆的不同临界状态
A
6
A
7
10.2 细长杆的临界载荷—欧拉临界力
10.2.1 两端铰支的细长压杆
y
(l) y
iy
.
z
(l)z
iz
.
y z.
A
36
10.6.4、稳定性计算中需要注意的几个重要的问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。
2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
A
37
3、选择合理的材料： EFcr
但是对于各种钢材来讲，弹性模量的数值相差不大。
（1）大柔度杆——采用不同钢材对稳定性差别不大；
（2）中柔度杆——临界力与强度有关，采用不同材料
对稳定性有一定的影响；
（3）小柔度杆——属于强度问题，采用不同材料有影响。
A
35
4、减小压杆的长度。
5、整个结构的综合考虑。
l i
cr
2E 2
欧拉公式的另一形式。
A
19
只有在临界应力小于比例极限的情况下，压杆的 失稳属于弹性失稳，欧拉公式才能成立。
欧拉公式的适用范围为
cr
2E 2
p
或写成
E p
令
p
E p
通常将λ≥λp的压杆称为大柔度杆或细长杆。
A
20
λp为能够应用欧拉公式的压杆柔度的低限值，它取 决于材料的力学性能。
2 EI (l)2 A
2E (l)2
i 2
2E ( l )2
2E 2
i
l i
——临界应力的欧拉公式 ——压杆的柔度（长细比）
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
i I A
——惯性半径
Iz Aiz2, Iy Aiy2.
cr
A
压杆容易失稳
17
10.3.2 三类不同压杆的区分
压杆的分类 （1）大柔度杆
临界力的欧拉公式
Fcr
π2EI l2
Fcr
π2EI (0.7l )2
Fcr
π2EI (0.5l )2
Fcr
π 2 EI (2l )2
长度因数 =1 = 0.7 = 0.5 =2
欧拉公式 的统一形式
Fcr
π 2 EI
(l )2
（ 为压杆的长度因数）
A
14
Fcr
π 2 EI
(l )2
为长度因数 l 为相当长度
28
例题10 - 2 千斤顶如图，已知丝杠长度 l = 375 mm ，有效直径 d = 45 mm，材料为45号钢，所受最大轴向压力Fmax = 80 kN， 规定的稳定安全系数为 nst = 4 . 试校核丝杠的稳定性。 解： 1）计算丝杠柔度
丝杠可简化为一端固定、一端自由
长度因数 = 2
截面为圆形 i I d A4
l
l/4
0.7l
2l
l
l/2 l
l l/4
0.3l
F cr
2EI (2l)2
Fcr
2EI (l / 2)2
2EI Fcr (0.7l)2
Fcr
π 2 EI
( l A)2
l—相当长度
—长度因数
13
表10-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况 两端铰支 一端固定，另一端铰支 两端固定 一端固定，另一端自由
(2)承受外压的薄壁圆筒当 外压达到一定数值时，会 突然失稳变成椭圆形 。
A
F
a)
q
b)
3
第十章 压杆稳定
稳定性 平衡物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力。
失稳 不稳定的平衡物体在任意微小的外界干扰下
的变化或破坏过程。
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
A
不稳定平衡
4
10.1.2 临界状态与临界荷载 满足强受度压要杆求，即
m
y
B
(b)
F M(x)=-Fw
m x
(b)式的通解为
wAsiknxBcoksx(c) （A、B为积分常数）
A
9
边界条件
x 0, w 0
x
x l, w 0
F
由公式(c)
A s 0 B i c n 0 0 o B 0 s
l
A0 A sikn l0
sikn l0 y
m
m
w
x B
讨论： 若
径。
A
31
D
p
活塞
解：活塞杆承受的轴向压力为
FπD2 p398N0 4
活塞杆承受的临界压力为
F cr n stF23N 900
把活塞的两端简化为铰支座。
A
活塞杆 d
32
用试算法求直径
（1）先由欧拉公式求直径
Fcr
π(2lE)2I
π2Eπd4 64
(l)2
求得 d = 24.6mm. 取 d = 25mm
A0,w0
则必须 sikn l0k lnπ(n0,1,2,)
A
10
k2Fk ln π (n0 ,1 ,2 , )
EI
x
Fn2π l2 2E(In0,1,2,)
F
令 n = 1, 得
Fcr
2EI l2
l
这就是两端铰支等截面细长受压直杆临
m
m
w
界力的计算公式（欧拉公式）。
x
y
B
挠曲线方程为
w
sinkl
临界力概念：干扰力去除后，杆保持微弯状态。 从挠曲线入手，求临界力。
x
F
lm
m
w
x
y
B
y mB
F M(x) = - Fw
x m
A
8
压杆任一 x 截面沿 y 方向的位移 wf(x) 该截面的弯矩 M(x)Fw
杆的挠曲线近似微分方程
EI'' w M (x)F（w a)
令 k2 F EI
得 w ''k2w0