华南农业大学2014-2015数学分析期末考试试卷

华南农业大学期末考试试卷答案

2014-2015学年第 2 学期 考试科目： 数学分析BII 一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分） 函数项级数在[,]a b 的每一项都有连续的导数，且1))

((n n x u =∞

∑在某点

0x [,]a b ∈收

敛，且_1

()()n n

x d

u dx =∞

∑在[a,b]上一致收敛,则有

11()))()((n n n n d d u dx

dx x u x ∞

==∞=∑∑ 2.

()sin f x x =在[0,]π上平均值为

2

π

3. 幂级数0(1)(21)n

n x n ∞

=-+∑的收敛域为(0,2]

4.已知()f x 的一个原函数是2

e x -，则

()d xf x x '⎰=2

2

22x e e C x x

----+

5. 设函数3

()()d x a

x f t t Φ=⎰，则()x 'Φ=233x f(x )

二、解答题（每题6分，共48分）

(1) arcsin xdx ⎰ (2) 20

sin x e x dx π

⎰

(1)

arcsin arcsin (3)arcsin (6)xdx x x x x C =-=+⎰⎰

分分

(2)

222200

sin sin sin cos x

x

x

x e x dx x de e x e x dx π

π

ππ

==-⎰

⎰⎰（2分）

2222200

cos sin 1sin (5)x

x x e e x e x dx e e x dx π

ππ

ππ

=--=+-⎰⎰分

2201

sin (1)(62x

e x dx e π

π=+⎰分）

(3)

⎰

解:

u =，则2dx udu =（2分）

21

2(1)2(ln|1|)5

11

udu

du u u C

u u

==-=-++

++

⎰⎰⎰（分）

ln|1(6)

C

=++分

（4

）

⎰

解:令tan

x a t

=, 则（1分）

2

1

sec

(3)ln|sec tan|ln|(6)

sec

a tdt

t t C x C

a t

==++=+

⎰⎰分分

(5) 求圆域222

()

x y b a

+-≤（其中b a

>）绕x轴旋转而成的立体的体积.

解：上半圆和下半圆可分别表示为

21

()()

y f x b y b

f x

====-

+1分）

22

21

[()][()]

()4

f x f x

A xπππ

=-=3分）

体积为22

82

b

V ba

ππ

=

=⎰（6分）

(6) 求星形线

3

3

cos

sin

x a t

y a t

⎧=

⎨

=

⎩

的全长.

解：由弧长的参数方程公式得

:

4(2)46(6) s t a

θ===

分分（7

）讨论b

a

⎰是否收敛？若收敛，则求其值.

解（1）当2

p=时，有

/2

1

lim

()

b b

p

a u

u a

dx

dx

x a x a

→

=

--

⎰⎰

limln||

a a

b

x a

u

→

=-

lim(ln||ln||)

u a

b a u a

→

=---

=ln||lim ln||

n a

b a u a

→

---。（1分）

因最后的极限不存在，故当1p =时，

()

b

p

a

dx

x a -⎰

不收敛（2分） 当2p ≠时

/2

()b

p a

dx

x a -⎰

/21/211

lim

[()()]/21

p p n a

b a u a p -+-+→=----+

故仅当2p <时，

()b

p a

dx

x a -⎰

收敛，其值为/21()/21

p b a p -+--+，2p >时发散。（6分）

（8）sin ,0y x x π=≤≤，绕x 轴所得旋转曲面的面积.

解：()'

'

sin cos y x x ==

由旋转体侧面积公式，得

)

1/4

3/4

2(22cos 2cos 222ln

1(6)

sec S x x d ππ

πππ

πππθ

ππθπ--==-===⎤=⎦

⎰⎰⎰⎰

⎰

分)

分

三（本题7

分）证明不等式46e

e

<⎰

解：

设()f x =

则()0f x '=

=，得()f x 在[,4]e e 上唯一的驻点为2x e =，

可验证它是极大值点，而可导函数唯一的极大值必为最大值， 所以2

2

()f e e

=

为函数()f x 在上[,4]e e 的最大值。（2分）

又()f e =

，(4)f e =

且(4)()0f e f e -=

>，

CM