2019级调研考试数学参考答案

深圳市普通高中2019级调研考试
数 学 参 考 答 案
2
（2）222222π
cos(2)
sin 22sin cos 2tan 2==2
sin cos 22sin cos 2sin cos 2tan 1
αααααααααααα+−−−==−−−−−. ………….10分
18．（12分）某地为了解居民家庭的月均用电量，通过抽样获得了100户居民家庭在近一年内的月均用电量（单位：度）数据，将这些数据分成9组：[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350)，[350,400)，[400,450)，[450,500)，并绘制成如下的频率分布直方图.
31(,)a b ，32(,)a b ，41(,)a b ，42(,)a b 共8个基本事件， …………………………………………11分 ∴由古典概型的计算公式可知，事件A 的概率为8
()15
P A =
. …………………………………12分
19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1111AA A B C ⊥底面，1AC AA =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点.
求证：（1）1//A B 平面1AC D ；
111B
O A O =∴平面11//O A B 平面1B ⊂平面O ∴1//A B 平面1AC D . ………………………………………………………………5分 （2）∵在三棱柱111ABC A B C −中，1AA ⊥平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ， ∴111A B AA ⊥， ……………………………………………………………6分
又∵90BAC ∠=︒， ∴1111A B A C ⊥， 又∵1
111AA A C A =，1AA ，11A C ⊂平面11AA C C ，
∴11A B ⊥平面11AA C C ， ………………………………………………………8分 11A C A =平面11A B C ⊂平面AC ∵π0<<ϕ， ∴2π
3
ϕ=
， ………………………………………. ……………………………………….5分
故函数)(x f 的解析式为2π
()2sin(2)3
f x x =+
. ……. ………………………………….6分 （2）由题意可知)6π
sin(2)(+=x x g ， ……. …………………………………………….9分
∵]π
,π[−∈x ，
又∵A ,B 为切点，圆O 的方程224x y +=L L ② ，
由 − 可得直线AB 的方程为340tx y −−=， ………………………………………11分
故直线AB 恒过定点40,3⎛
⎫− ⎪⎝
⎭. ……….……….………………………………………12分
解法二：设(3)P t −，
，()11,A x y ，()22,B x y .则22114x y +=， …………………………6分 0
①，0
②，（2）若函数()f x 与()g x 的值域相同，求实数m 的值； （3）令(),0()(),0f x x F x g x x <⎧=⎨
>⎩
，
，讨论关于x 的方程()3F x m =+的实数根的个数．
【解答】（1）∵()g x 为偶函数， ∴ 当0x >时，则0x −<， ∴1()()=
22x m x m
g x g x −−+=−=． .………….……………….………………………….2分
（2）∵函数2()23f x x mx =−+在(0,)+∞上单调递增，
∴0m ≤，且()f x 的值域为2[3,)m −+∞. .…….…………………………………….3分 当(,0]x ∈−∞时，()2m g x −≥， ∵()g x 是偶函数，
∴()g x 的值域为[2,)m −+∞. …….…………………………………… ……………….4分 由题23=2m m −−.
令2()32m h m m −=−−，易知()h m 在(,0]−∞上单调递增，且(1)0h −=；
∴1m =−. …….…………………………………… ………………………….5分
（3）解法一：①当=0m 时，33m +=，23,0()2, 0x x x F x x ⎧+<=⎨>⎩
，，
此时()3F x =仅有一个实数根2log 3x =. …………………………………………………6分
②当=1m −时，32m +=，2123,0()2, 0.
x x x x F x x +⎧++<=⎨>⎩，
此时()2F x =仅有一个实数根1x =−. …………………………………………………7分 ③当10m −<<时，则
233m <+<，2233m <−<，122m −<<，
而23)(3)(1)0m m m m +−−=+<（， ∴2233m m m −<+<−，
∵函数()F x 在(],m −∞上单调递减，在[)0m ，上单调递增，在0+∞（，）
上单调递增， 故此时，方程()3F x m =+仅有一个实数根0x ，且023x m m −=+，02log (3)x m m =++. ……9分 ④当1m <−时，则
32m +<，232m −<，22m −>，
而23)(3)(1)0m m m m +−−=+>（， ∴2332m m m −−<+<，
∵函数()F x 在(],m −∞上单调递减，在[)0m ，上单调递增，在0+∞（，）上单调递增， 故此时，方程()3F x m =+有两个实数根，其根满足方程2233x mx m −+=+，
解之，得x m = …………………………………11分
综上所述，当1m <−时，方程()3F x m =+有两个实数根；当10m −≤≤时，方程()3F x m =+仅一个实数根. …………………………………..12分
（3）解法二： ① 当1m <−时，
(i)当0x <时，2() 3 20.F x m x mx m =+⇔−−=。